【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集6
高考圆锥曲线压轴题(抛物线)
高考压轴题（抛物线）1、 (本小题满分14分)如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.2、（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．3、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹4、如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.5、抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上； （Ⅲ）当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.x y O A B P F l6、已知动圆过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >. （I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角 分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒 过定点，并求出该定点的坐标.7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q ，（1）若2OA OB ⋅=，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
高考数学圆锥曲线大题集大全
⾼考数学圆锥曲线⼤题集⼤全⾼考⼆轮复习专项：圆锥曲线⼤题集1. 如图，直线l1与l2是同⼀平⾯内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平⾯上的⼀个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.2. (Ⅰ建⽴适当的坐标系，求动点M的轨迹C的⽅程．(Ⅱ过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ中的轨迹C于E、F两点；另外平⾯上的点G、H满⾜：求点G的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中⼼是坐标原点，焦点在轴上，离⼼率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的⽅程.3. 已知椭圆的⼀条准线⽅程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的⼀条渐近线⽅程为3x－5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的⽅程及双曲线C2的离⼼率；（Ⅱ）在第⼀象限内取双曲线C2上⼀点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB 并延长交椭圆C1于点N，若. 求证：4. 椭圆的中⼼在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜⾓为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹⾓为 a.（1）⽤半焦距c表⽰椭圆的⽅程及tg;（2）若2 <3 ，求椭圆率⼼率 e 的取值范围 .5. 已知椭圆（a＞b＞0）的离⼼率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的⽅程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直⾓坐标平⾯中，的两个顶点的坐标分别为，，平⾯内两点同时满⾜下列条件：①；②；③∥（1）求的顶点的轨迹⽅程；（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围7. 设，为直⾓坐标平⾯内x轴．y轴正⽅向上的单位向量，若，且（Ⅰ）求动点M(x,y的轨迹C的⽅程；（Ⅱ）设曲线C上两点A．B，满⾜(1直线AB过点（0，3），(2若，则OAPB为矩形，试求AB⽅程．8. 已知抛物线C：的焦点为原点，C的准线与直线的交点M在x轴上，与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）．（Ⅰ）求抛物线C的⽅程；（Ⅱ）求实数p的取值范围；（Ⅲ）若C的焦点和准线为椭圆Q的⼀个焦点和⼀条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹⽅程．9. 如图，椭圆的中⼼在原点，长轴AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于C、D、D1、C1四点，且|CD|＝|AA1|.椭圆的⼀条弦AC交双曲线于E，设，当时，求双曲线的离⼼率e的取值范围.10. 已知三⾓形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的⼀个端点（点A在y轴正半轴上）.若三⾓形ABC的重⼼是椭圆的右焦点，试求直线BC的⽅程;若⾓A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹⽅程.11. 如图，过抛物线的对称轴上任⼀点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.(1 设点分有向线段所成的⽐为，证明:;(2 设直线的⽅程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的⽅程.12. 已知动点P（p，-1），Q（p，），过Q作斜率为的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C.（1）证明：l经过⼀个定点⽽且与曲线C⼀定有两个公共点；（2）若（1）中的其中⼀个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线；（3）设直线AP的倾斜⾓为，AP与l的夹⾓为，证明：或是定值.13. 在平⾯直⾓坐标系内有两个定点和动点P，坐标分别为、，动点满⾜，动点的轨迹为曲线，曲线关于直线的对称曲线为曲线，直线与曲线交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的⾯积为，（1）求曲线C的⽅程；（2）求的值。
【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集4
【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集4未命名一、解答题1．已知动圆M 恒过点(1,0)F ，且与直线l ：1x =-相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）探究在曲线C 上，是否存在异于原点的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，当1216y y =-时，直线AB 恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）轨迹方程为24y x =；（2）直线AB 过定点(4,0). 【解析】(1)因为动圆M,过点F (1,0)且与直线:1l x =-相切, 所以圆心M 到F 的距离等于到直线l 的距离.根据抛物线的定义可以确定点M 的轨迹是抛物线，易求其方程.（II ）本小题属于存在性命题，先假设存在A,B 在24y x =上, 直线AB 的方程:211121()y y y y x x x x --=--,即AB 的方程为22121121()4y y y y y y x y +--=-,然后根据1216y y =-,∴AB 的方程为12()(164)0y y y x ++-=,从而可确定其所过定点.解：(1) 因为动圆M,过点F (1,0)且与直线:1l x =-相切, 所以圆心M 到F 的距离等于到直线l 的距离. …………2分 所以,点M 的轨迹是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,且12p=,2p =, ……4分 所以所求的轨迹方程为24y x =……………6分 (2) 假设存在A,B 在24y x =上, …………7分 ∴直线AB 的方程:211121()y y y y x x x x --=--, …………9分即AB 的方程为:211124()4y y y x y y -=-+, …………10分 即22121121()4y y y y y y x y +--=-…………11分又∵1216y y =-∴AB 的方程为12()(164)0y y y x ++-=，…………12分令0y =,得4x =，所以,无论12,y y 为何值,直线AB 过定点(4,0) …………14分2．（Ⅰ）求以2220x y y +-=的圆心为焦点的抛物线方程；（Ⅱ）若00(,)P x y 为（Ⅰ）中所求抛物线上任意一点，求点P 到直线20x y --=的距离的最小值，并写出此时点P 的坐标． 【答案】（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）()2,1P，最小值2【解析】 【分析】（Ⅰ）将圆的方程配成标准式，即可得出圆心坐标，利用抛物线的标准方程即可求解。
高考数学圆锥曲线专题训练(附答案解析)
高中数学圆锥曲线专题*注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡阅卷人一、单选题（共10题；共20分）得分1. ( 2分) 波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.2. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B距离之比是常数的点M的轨迹是圆若两定点A、B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为A. B. C. D.3. ( 2分) 已知、为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线，交的左、右两支于、两点，若为线段的中点且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4. ( 2分) 已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.5. ( 2分) 关于曲线：性质的叙述，正确的是（）A. 一定是椭圆B. 可能为抛物线C. 离心率为定值D. 焦点为定点6. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（）A. （x﹣5）2+y2＝16B. x2+（y﹣5）2＝9C. （x+5）2+y2＝16D. x2+（y+5）2＝97. ( 2分) 已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C.D.8. ( 2分) 在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线9. ( 2分) 已知，及抛物线方程为，点在抛物线上，则使得为直角三角形的点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. ( 2分) 已知双曲线的左､右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是（）A. B. C. D.阅卷人二、填空题（共10题；共10分）得分11. ( 1分) 已知正实数是的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为________12. ( 1分) 设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦长________．13. ( 1分) 已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为________.14. ( 1分) 若椭圆的离心率为，则的短轴长为________．15. ( 1分) 从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且，设为抛物线的焦点，则的面积为________.16. ( 1分) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，点是坐标原点，则的面积为________17. ( 1分) 已知双曲线的下焦点为，虚轴的右端点为，点在的上支，为坐标原点，直线和直线的倾斜角分别为，，若，则的最小值为________．18. ( 1分) 已知为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则直线的斜率为________.19. ( 1分) 椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆C上，已知，则________.20. ( 1分) 已知椭圆的右顶点为A，左，右焦点为F1，F2，过点F2与x轴垂直的直线与椭圆的一个交点为B．若|F1F2|＝2，|F2B| ，则点F1到直线AB的距离为________．阅卷人三、解答题（共30题；共280分）得分21. ( 10分) 已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF2⊥F1F2，△F1F2D的面积为2 ，离心率e= ，抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线l经过D点．（1）求椭圆E与抛物线C的方程；（2）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，当坐标原点O落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围．22. ( 10分) 椭圆C1：+y2=1，椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．23. ( 10分) 已知A（1，）是离心率为的椭圆E：+ =1（a＞b＞0）上的一点，过A作两条直线交椭圆于B、C两点，若直线AB、AC的倾斜角互补．（1）求椭圆E的方程；（2）试证明直线BC的斜率为定值，并求出这个定值；（3）△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值？若不存在，说明理由．24. ( 10分) 设抛物线C1：y2=8x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2．以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记为C2．（Ⅰ）求椭圆C2的方程；（Ⅱ）设N（0，﹣2），过点P（1，2）作直线l，交椭圆C2于异于N的A、B两点．（ⅰ）若直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．（ⅱ）以B为圆心，以BF2为半径作⊙B，是否存在定⊙M，使得⊙B与⊙M恒相切？若存在，求出⊙M的方程，若不存在，请说明理由．25. ( 10分) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．（1）求椭圆的方程；（2）求直线MN的斜率．26. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且• =0，△GF1F2的面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．27. ( 10分) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.28. ( 10分) 设椭圆+ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．29. ( 10分) 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．30. ( 10分) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C 相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．31. ( 10分) 已知椭圆的长轴长为4,离心率为.(I)求C的方程；(II)设直线交C于A,B两点,点A在第一象限, 轴,垂足为M, 连结BM并延长交C于点N.求证：点A在以BN为直径的圆上.32. ( 10分) 已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由33. ( 5分) 已知点P（x，y）满足条件．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l与圆O：x2+y2=1相切，与曲线C相较于A，B两点，若，求直线l的斜率．34. ( 5分) 设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：a2＞；（Ⅱ）若，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．35. ( 15分) 已知点在抛物线上，是直线上的两个不同的点，且线段的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若的面积等于，求的值.36. ( 5分) 如图，曲线Γ由曲线C1：（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：（a＞0，b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（Ⅰ）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（Ⅱ）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．37. ( 5分) 已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．38. ( 10分) 如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.39. ( 10分) 已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．40. ( 5分) 已知椭圆E: 过点(0,1)且离心率.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.41. ( 10分) 已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4. （1）求抛物线的标准方程；（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.42. ( 10分) 设椭圆的左、右焦点分别为，、，，点在椭圆上，为原点.（1）若，，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）.①求椭圆的方程；②设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值.43. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．44. ( 10分) 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过抛物线：的焦点作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交曲线于另一点，求面积的最小值，以及取得最小值时直线的方程.45. ( 10分) 已知点，分别是椭圆的长轴端点、短轴端点，为坐标原点，若，.（1）求椭圆的标准方程；（2）如果斜率为的直线交椭圆于不同的两点(都不同于点)，线段的中点为，设线段的垂线的斜率为，试探求与之间的数量关系.46. ( 10分) 已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．47. ( 10分) 已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C 上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．48. ( 10分) 已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：• 为定值．49. ( 10分) 已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.（1）求椭圆的方程；（2）证明:直线恒过定点.50. ( 10分) 如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则 =2，化简得.∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴，解得，∴椭圆的离心率为．故答案为：D．【分析】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则利用两点距离公式得出，∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，利用三角形面积公式求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式结合离心率公式变形求出椭圆的离心率。
历年高考数学《圆锥曲线》真题集锦
以下题目全是经典的高考题目,希望对您有帮助!!圆锥曲线1．如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0)，M 为直线p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； (2)已知当M 点的坐标为（2，p 2-）时，AB = (3)是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解:(1)证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p-＜由22x py =得22x y p =，则,x y p'= 所以12,.MA MB x x k k p p ==因此直线MA :102(),x y p x x p +=- 直线MB :202().xy p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p +=- ① 222202().2x x p x x p p+=- ② 由①、②得: 0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. (2)解：由(1)知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得：2211440,x x p --= 2222440,x x p --=所以x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p-+===-所以2.AB k p =由弦长公式AB==又AB=p=1或p=2，因此所求抛物线方程为22x y=或24.x y=(3)解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),则CD的中点坐标为123123(,),22x x x y y yQ++++设直线AB的方程为011(),xy y x xp-=-由点Q在直线AB上，并注意到点1212(,)22x x y y++也在直线AB上，代入得033.xy xp=若D（x3,y3）在抛物线上，则2330322,x py x x==因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或22(2,).xD xp(1’ 当x0=0时，则12020x x x+==，此时，点M(0,-2p)适合题意.(2’ 当x≠，对于D(0，0)，此时221222221212002(2,),,224CDx xx x x xpC x kp x px+++==又0,ABxkp=AB⊥CD，所以22220121221,44AB CDx x x x xk kp px p++===-即222124,x x p+=-矛盾.对于22(2,),xD xp因为2212(2,),2x xC xp+此时直线CD平行于y轴，又00,ABxkp=≠所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以x≠时，不存在符合题意的M点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.2．已知曲线11(0)xyC a ba b+=>>：所围成的封闭图形的面积为1C的内切圆半径为3．记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（O为坐标原点）（Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若MO OA λ=，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．解：（Ⅰ）由题意得23ab ⎧=⎪⎨= 又0a b >>，解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+， 所以22222222202020(1)454545AAk k OA x y k k k +=+=+=+++．设()M x y ，由(0)MO OA λλ=≠，所以222MO OA λ=，即2222220(1)45k x y kλ++=+， 因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为1y x k=-，即x k y =-，因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x y λλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++， 又220x y +≠，所以2225420x y λ+=，故22245x y λ+=． 又当0k =或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M 轨迹222(0)45x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k =+，2222045A k y k =+，由221541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054M y k =+， 所以2222220(1)45AAk OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k+=+． 解法一：由于22214AMBSAB OM =△2222180(1)20(1)44554k k k k ++=⨯⨯++ 2222400(1)(45)(54)k k k +=++22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时最小409AMB S =△．当0k =，140229AMB S =⨯=>△． 当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上,AMB △的面积的最小值为409．解法二：因为222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++2224554920(1)20k k k +++==+，又22112OA OMOAOM+≥，409OA OM ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△．下同解法一. 3．已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=.（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解: （1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，此时斜率21mk m =+ 因为()2112m m ≤+，所以2112m k m =≤+，当且仅当1m =时等号成立 所以，斜率k 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）不能.由（1）知l 的方程为()4y k x =-，其中12k ≤； 圆Ｃ的圆心为()4,2C -，半径2r =；圆心Ｃ到直线l的距离d =由12k ≤，得1d ≥>，即2rd >，从而，若l 与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线l 所得 的弦所对的圆心角小于23π，所以l 不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为12的两段弧； 4．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解:（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+则由题有：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()ay x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。
2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。
3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。
4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。
5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。
6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。
7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。
重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。
2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。
3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。
4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。
【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集20
【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集20未命名一、解答题1．如图，已知直线与抛物线()220y px p =>交于,M N 两点，点D 的坐标为(，OD MN ⊥交MN 于点D ，,OM ON ⊥抛物线的焦点为F .（1）求p 的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线C ，过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与曲线C 相交于点,A B ，2l 与曲线C 相交于点,D E ，求AD ·EB 的最小值． 【答案】（1）2p =（2）16 【解析】试题分析：（1）由OD MN ⊥，得12120x x y y +=，由40x +-=与22y px =消去x ，得280y p +-=，利用韦达定理，即可求p 的值；（2）设出直线1l 的方程，联立直线和抛物线的方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线2l 的方程与抛物线的交点坐标，代入AD ·EB 利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值 试题解析：（1）设()()1122,,,M x y N x y ，由,OM ON ⊥得12120x x y y +=由已知得直线MN 的方程是)1y x =-即40x +-=，则有 ()()1212440y y +=即)121240y y y y ++= ①由40x +-=与22y px =消去x ，得280y p +-= ②所以1212,8y y y y p +=-=- ③把③代入①得()82340p p --+=解得2p=当2p =时方程②成为2160y +-=，显然此方程有实数根 所以2p =（2）由（1）知抛物线方程为24y x =由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k(x －1)． 由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋24k ，x 1x 2＝1． ∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k ．设D(x 3，y 3)，E(x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1．故AD ·EB ＝(AF ＋FD )·(EF ＋FB )＝AF ·EF ＋AF ·FB ＋FD ·EF ＋FD ·FB ＝|AF ||FB |＋|FD ||EF | ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋(2＋24k )＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋21k )≥8＋4×221k ＝16．当且仅当k 2＝21k ，即k ＝±1时，AD ·EB 取最小值16．考点：1.抛物线的简单性质；2.直线与抛物线相交的相关问题2．如图，已知抛物线y x C 4:2=，过点)2,0(M 任作一直线与C 相交于B A ,两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线（不含x 轴），与直线2=y 相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2122MN MN -为定值，并求此定值．【答案】（1）详见解析; （2）定值为8. 【解析】试题分析：（1）由题意可知直线AB 的斜率存在,则可设AB 的方程为2+=kx y ,代入椭圆方程消去y 可得关于x 的一元二次方程,可得两根之和两根之积. 设),(),,(2211y x B y x A ,可知直线AO ,BD 的方程.联立可解得点D 坐标.从而可得D 坐标中,x y 的关系式,即点D 所在的直线方程. （2）设切线b ax y l +=:,代入抛物线方程可得关于x 的一元二次方程,依题意可知其判别式等于0.可得,a b 关系式,即可用a 表示b .求得点12,N N 的坐标,由两点间距离公式可求得2122MN MN -的值.试题解析：解（1）依题意，设AB 的方程为2+=kx y ，代入y x 42=得)2(42+=kx x ，即0842=--kx x ，设),(),,(2211y x B y x A ，则有821-=⋅x x 直线AO 的方程为x x y y 11=，直线BD 的方程为2x x =， 解得交点D 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧⋅==1212x x y y x x ，注意到821-=⋅x x 及1214y x =， 2481121211-=-=⋅⋅=y y x x x y y 因此点D 在定直线)0(2≠-=x y 上（2）依题意，切线l 的斜率存在且不为0，设b ax y l +=:代入y x 42=得)(42b ax x +=，即0442=--b ax x ，令222:016)4(a ax y l a b b a -=⇒-=⇒=+=∆ 分别令2,2-==y y 得)2,2(),2,2(21-+-+a a N a a N 8)2(4)2(2222122=+-+-=-a aa a MN MN 为定值 考点：直线与抛物线的位置关系问题.3．已知过点P （0，2）的直线l 与抛物线C ：y 2=4x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点． （1）若以AB 为直径的圆经过原点O ，求直线l 的方程；（2）若线段AB 的中垂线交x 轴于点Q ，求△POQ 面积的取值范围． 【答案】（1）y=﹣．（2）（2，+∞）．【解析】试题分析：（1）设直线AB 的方程为y=kx+2（k≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，得k 2x 2+（4k ﹣4）x+4=0，由△=（4k ﹣4）2﹣16k 2＞0，得k ＜，由=，，知y 1y 2=（kx 1+2）（kx 2+2）=，由以AB 为直径的圆经过原点O ，能求出直线l 的方程．（2）设线段AB 的中点坐标为（x 0，y 0），由，得，故线段AB 的中垂线方程为，由此能求出△POQ 面积的取值范围．解：（1）设直线AB 的方程为y=kx+2（k≠0）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由，得k 2x 2+（4k ﹣4）x+4=0，则由△=（4k ﹣4）2﹣16k 2=﹣32k+16＞0，得k ＜，=，，所以y 1y 2=（kx 1+2）（kx 2+2）=k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4=， 因为以AB 为直径的圆经过原点O ，所以∠AOB=90°， 即，所以，解得k=﹣，即所求直线l 的方程为y=﹣．（2）设线段AB 的中点坐标为（x 0，y 0）， 则由（1）得，，所以线段AB 的中垂线方程为，令y=0，得==，又由（1）知k ＜，且k≠0，得或，所以，所以=，所以△POQ 面积的取值范围为（2，+∞）．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．4．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点(0,1)D -的直线l 与抛物线C 交于不同的A B 、两点．（Ⅰ）若43AB =，求直线l 的方程；（Ⅱ）记FA 、FB 的斜率分别为1k 、2k ，试问：12k k +的值是否随直线l 位置的变化而变化？证明你的结论．O x yFABD【答案】（Ⅰ）:1l y =-；（Ⅱ）12k k +的值不随直线l 位置的变化而变化 【解析】试题分析：（Ⅰ）设l ：y=kx-1代入24x y =得：2440x kx -+=，利用弦长公式，结合AB ＝求直线l 的方程；（Ⅱ）利用斜率公式，结合由韦达定理，由此能够得到12k k +为定值．； 试题解析：（Ⅰ）根据题意，可设:1l y kx =-，代入24x y =得：2440x kx -+=，令△2161601k k =->⇔>，设1122(,)(,)A x y B x y 、，∴124x x k +=，124x x =，∴AB ====∵AB =，∴413(,1)(1,)k k -=⇒=-∞-+∞，∴:1l y =-； （Ⅱ）∵(0,1)F ，∴12211212121211(1)(1)y y x y x y k k x x x x ---+-+=+= 211212121212(2)(2)22()8804x kx x kx kx x x x k k x x x x -+--+-====,∴12k k +的值不随直线l 位置的变化而变化． 考点：抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合5．在直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点)0,1(F 的距离与到定直线1:-=x l 的距离相等，记P 的轨迹为Γ,又直线AB 的一个方向向量(1,2)d =且过点)0,1(，AB 与Γ交于B A 、两点，求||AB 的长． 【答案】5 【解析】试题分析：根据抛物线的定义得动点P 的轨迹Γ是抛物线，求出其方程为x y 42=．由直线方程的点斜式，算出直线AB 的方程为22-=x y ，再将直线方程与抛物线方程联解，并结合抛物线的定义加以计算，可得线段AB 的长．试题解析：由抛物线的定义知，动点P 的轨迹Γ是抛物线，方程x y 42=． 直线AB 的方程为211yx =-，即22-=x y ． 设),(11y x A 、),(22y x B ，22-=x y 代入x y 42=， 整理，得0132=+-x x ． 所以52||21=++=x x AB ．考点：抛物线的标准方程；两点间的距离公式6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y=x 2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆心为C 的圆上． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线x ﹣y+a=0交于A ，B 两点，且CA ⊥CB ，求a 的值． 【答案】（1）（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=9；（2）a=1或﹣5．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出与y 轴，x 轴的交点坐标，可以看出圆心在x=3直线上，可设C 的圆心为（3，t ），利用条件求出方程； （Ⅱ）根据直线与圆的关系，可得AB=3，利用点到直线的距离公式可得，求出a 的值．（Ⅰ）解：曲线y=x 2﹣6x+1与y 轴的交点为（0，1），…（1分） 与x 轴的交点为，，…（3分）∴可设C 的圆心为（3，t ），则有，解得t=1，∴圆C 的半径为，∴圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=9…（6分） （Ⅱ）CA ⊥CB ， ∴AB=3，∴C 到AB 的距离为，∴∴a=1或﹣5．…（12分） 考点：二次函数的性质．视频7．如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB ．（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．【答案】（1）见解析；（2）y2=x﹣（x＞）【解析】试题分析：（1）可用待定系数法设出两直线的方程，用参数表示出两点E，F的坐标，用两点式求了过两点的直线的斜率，验证其是否与参数无关，若无关，则说明直线EF 的斜率为定值．（2）设出点M的坐标，如（1）用参数表示出点E，F的坐标，再由重心坐标与三角形的三个顶点的坐标之间的关系将其表示出来，消参数即可得重心的方程．解：（1）设M（y02，y0），直线ME的斜率为k（k＞0），则直线MF的斜率为﹣k直线ME的方程为y﹣y0=k（x﹣y02），由消去x得ky+ky0﹣1=0，解得y E=，x E=同理可得y F=，x F=∴k EF=，将坐标代入得k EF=﹣（定值）所以直线EF的斜率为定值．（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1∴直线ME的方程为：y﹣y0=x﹣y02，由得E（（1﹣y0）2，1﹣y0）同理可得F（（1+y0）2，﹣（1+y0）），设重心为G（x，y），则有代入坐标得消去参数y 0得y 2=x ﹣（x ＞）考点：直线的倾斜角；轨迹方程；抛物线的应用．8．斜率为2的直线l 经过抛物线的y 2=8x 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【答案】40 【解析】试题分析：设直线l 的倾斜解为α，则l 与y 轴的夹角θ=90°﹣α，cotθ=tanα=2，sinθ=，然后求出|AB|．解：设直线l 的倾斜解为α，则l 与y 轴的夹角θ=90°﹣α， cotθ=tanα=2， ∴sinθ=， |AB|==40．线段AB 的长为40．考点：直线与圆锥曲线的关系．9．已知抛物线C 1：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，抛物线上的点G(1,m)到焦点的距离为3，椭圆C 2：x 2m 2+y 2n 2=1(m >n >0)的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合，且离心率为12． （1）求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；（2）已知直线l ：y =kx −4交椭圆C 2于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．【答案】（1）抛物线C 1的方程为：y 2=8x ；椭圆C 2的方程为x 216+y 212=1；（2）−2√33<k <−12或12<k <2√33． 【解析】试题分析：（1）抛物线上的点G(1,m)到焦点的距离为3，即得到1+p2=3，解得p =4，求出抛物线C 1，再依据椭圆C 2的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合，且离心率为12，可以求得m =4，n =2√3，得到椭圆C 2的方程；（2）原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ >0，将直线y =kx −4与椭圆联立消去y ，得到关于x 的一元二次方程，再由韦达定理可以得到关于k 的不等式，求解出即可；试题解析：（1）由题意可知1+p2=3，解得p =4，所以抛物线C 1的方程为：y 2=8x ． ∴抛物线C 1的焦点F(2,0)，∵椭圆C 2的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合，∴椭圆C 2半焦距c =2，m 2−n 2=c 2=4．∵椭圆C 2的离心率为12，∴2m =12，解得m =4，n =2√3，∴椭圆C 2的方程为x 216+y 212=1． （2）设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由{y =kx −4,x 216+y 212=1,得(4k 2+3)x 2−32kx +16=0，∴x 1+x 2=32k4k 2+3，x 1x 2=164k 2+3，由Δ>0，即(−32k 2)−4×16(4k 2+3)>0， 解得k >12或k <−12．①由于原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，因此OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)⋅(x 2,y 2) =x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1−4)(kx 2−4) =(k 2+1)x 1x 2−4k(x 1+x 2)+16 =(k 2+1)⋅164k 2+3−4k ⋅32k 4k 2+3+16=16(4−3k 2)4k 2+3>0，解得−2√33<k <2√33．②由①②解得实数k 的范围是−2√33<k <−12或12<k <2√33． 考点：直线与抛物线的位置关系；10．已知抛物线C ：22y px =()0p >的焦点为F 并且经过点()1,2A -．（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作倾斜角为45的直线l ，交抛物线C 于,M N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 的面积．【答案】（1）y 2=4x （2）【解析】试题分析：（1）将抛物线过的点坐标代入方程可得到p 值，从而得到抛物线方程；（2）将直线与抛物线联立方程，借助于韦达定理可得到相交弦的长度MN ，由点到直线的距离可求得三角形的高，进而得到三角形面积试题解析：（1）把点A （1，﹣2）代入抛物线C ：y 2=2px （p ＞0），可得（﹣2）2=2p×1，解得p=2．∴抛物线C 的方程为：y 2=4x ．（2）F （1，0）．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 直线l 的方程为：y=x ﹣1． 联立，化为x 2﹣6x+1=0， ∴x 1+x 2=6，x 1x 2=1． ∴|MN|===8．原点O 到直线MN 的距离d=．∴△OMN 的面积S===2．考点：1．抛物线方程；2．直线与抛物线相交的弦长问题11．过点(0,4)，斜率为1-的直线与抛物线22(0)y px p =>交于两点A 、B ，如果弦AB 的长度为410．（1）求p 的值；（2）求证：OA OB ⊥（O 为原点）． 【答案】（1）2p =（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，计算弦|AB|的长度，即可求p 的值；（2）证明12120x x y y +=，即可得到OA ⊥OB试题解析：（1）直线AB 的方程为4y x =-+，联立方程242y x y px =-+⎧⎨=⎩,消去y 得,22(4)160x p x -++=．设A （11,x y ）,B （22,x y ）,得212122(4),16,4(4)640x x p x x p +=+=∆=+->22221212121212()()2()2()4AB x x y y x x x x x x =-+-=-=+-224(4)416410p +-⨯= 解得2p =（2）12122(4)12,16x x p x x +=+==121212121212(4)(4)24()16216412160x x y y x x x x x x x x ∴+=+-+-+=-++=⨯-⨯+=OA OB∴⊥考点：直线与圆锥曲线的综合问题12．直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l 的方程．【答案】y＋x－1＝0或x－y－1＝0【解析】试题分析：将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得到根与系数的关系，进而得到弦长AB的表达式，通过解方程可求得k的值，从而得到直线l方程试题解析：∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1,0），若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，∴可设所求直线l的方程为y＝k（x－1）．由()214y k xy x⎧=-⎨=⎩得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝2224kk+．又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝2224kk+＋2＝8，∴2224kk+＝6，解得k＝±1．∴所求直线l的方程为y＋x－1＝0或x－y－1＝0．考点：直线与抛物线相交的位置关系13．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），抛物线的焦点到直线l：y=2x+2的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点R（x0，2）在抛物线C上，过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R 的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．【答案】（Ⅰ）y2=4x；（Ⅱ）x+y﹣2=0．【解析】试题分析：（Ⅰ）可以得到抛物线的焦点为，而根据点到直线的距离公式得到，而由p＞0即可得出p=2，从而得出抛物线方程为y2=4x；（Ⅱ）容易求出R点坐标为（1，2），可设AB：x=m（y﹣1）+1，，直线AB方程联立抛物线方程消去x可得到y2﹣4my+4m﹣4=0，从而有y1+y2=4m，y1y2=4m﹣4．可写出直线AR的方程，联立y=2x+2即可得出，而同理可得到，这样即可求出，从而看出m=﹣1时，|MN|取到最小值，并且可得出此时直线AB的方程．解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，，得p=2，或﹣6（舍去）；∴抛物线C的方程为y2=4x；（Ⅱ）点R（x0，2）在抛物线C上；∴x0=1，得R（1，2）；设直线AB为x=m（y﹣1）+1（m≠0），，；由得，y2﹣4my+4m﹣4=0；∴y1+y2=4m，y1y2=4m﹣4；AR：=；由，得，同理；∴=；∴当m=﹣1时，，此时直线AB方程：x+y﹣2=0．考点：抛物线的简单性质．14．如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F．（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，见解析【解析】试题分析：法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），所以，由此能求出直线l的方程．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切．设A（x0，y0），则．因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（﹣x0，0），由此能够证明直线AB与抛物线相切．法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，设A（x0，y0），则．设圆的方程为：由此能够证明直线AB与抛物线相切．解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），…（1分）当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．…（2分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．…（3分）所以，，解得：．…（5分）故直线l的方程为：，即．…（6分）（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）（法一）：设A（x0，y0），则．…（8分）因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（﹣x0，0）．…（9分）所以直线AB的方程为：，整理得： (1)把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分），所以直线AB与抛物线相切．…（12分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）设A（x0，y0），则．…（8分）设圆的方程为：，…（9分）当y=0时，得x=1±（x0+1），因为点B在x轴负半轴，所以B（﹣x0，0）．…（9分）所以直线AB的方程为，整理得： (1)把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分），所以直线AB与抛物线相切．…（12分）考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．（1）求抛物线C的方程；（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，求线段MN的长度．【答案】（1）y2=4x．（2）8．【解析】试题分析：（1）利用抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点A（1，﹣2），求出p，即可求抛物线C的方程；（2）过F作倾斜角为45°的直线l的方程为：y=x﹣1，联立抛物线，利用弦长公式求线段MN的长度．解：（1）把点A （1，﹣2）代入抛物线C ：y 2=2px （p ＞0），可得（﹣2）2=2p×1，解得p=2．∴抛物线C 的方程为：y 2=4x ． （2）F （1，0）．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．直线l 的方程为：y=x ﹣1． 联立抛物线，化为x 2﹣6x+1=0， ∴x 1+x 2=6，x 1x 2=1． ∴|MN|==8．考点：抛物线的简单性质．16．（1）在y ＝2x 2上有一点P ，它到A （1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，求点P 的坐标；（2）一抛物线拱桥跨度为52m ，拱顶离水面6．5m ，一竹排上一宽4m ，高6m 的大木箱，问能否安全【答案】（1）()1,2P ；（2）能安全通过 【解析】试题分析：（1）利用抛物线定义将点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，结合图形可得到满足条件的点P 为()1,2P ；（2）先设抛物线解析式为22x py =-（p ＞0），把（26，-6．5）代入即可求得p ，进而可求当y=6-6．5时，x 的值再把2x 与4进行比较 试题解析：（1）如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1()1,2P ∴（2）建立坐标系，设抛物线方程为22x py =- ，则点（26，－6．5）在抛物线上，()2262 6.552p p ∴=--∴=抛物线方程为2104x y =- ，当0.5y =- 时，213x =± ，则有4134> ，所以木箱能安全通过．考点：抛物线方程及性质的应用17．如图所示，已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点)0,1(F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点)0,4(M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于B A ,两点（A 在下，B 在上）（1）写出抛物线2C 的标准方程； （2）若MB AM 21=，求直线l 的方程； （3）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值．【答案】（1）24y x =（2）2280x -=（334【解析】试题分析：（Ⅰ）抛物线2C 有公共焦点F （1，0），可知该抛物线的标准方程的形式和P 的值，代入即可；（Ⅱ）设出直线l 的方程为y=k （x-4），联立方程，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用韦达定理和△＞0及MB AM 21=，消去12,y y ，可求得斜率k 的值；（Ⅲ）设P （m ，n ），则OP 中点为,22m n ⎛⎫⎪⎝⎭，因为O 、P 两点关于直线y=k （x-4）对称，利用对称的性质（垂直求平方），可求得斜率k 的值，联立直线与椭圆方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，△≥0，解不等式即可椭圆1C 的长轴长的最小值试题解析：（1）由抛物线2C 焦点为)0,1(F 12p∴=∴24y x = （2）设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12AM MB = 22121214,4,424y y y y ⎛⎫⎛⎫∴--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212y y ∴=-122212121644160442y y y x y my y y m x my y y=-⎧⎧=⎪∴--=∴+=⎨⎨=+⎩⎪-=⎩12y y ∴=-=2m ∴=:280l x ∴-=（3）()2288,11P m m m ⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭1:4m l x y ∴=±∴=±+椭圆设为22221x y a b+=222214x y a bx y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理()()22242218117160a y a y a a -+--+-= 0∴∆≥得a ≥考点：1．椭圆与抛物线的标准方程；2．直线与圆锥曲线的位置关系18．如图，已知四边形ABCD 内接于抛物线2x y =，点()3,9C ， AC 平行于x 轴，BD 平行于该抛物线在点C 处的切线， 90BAD ∠=．（Ⅰ）求直线BD 的方程； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积．【答案】（Ⅰ）68.y x =-，（Ⅱ）36【解析】试题分析：（Ⅰ）先设出设B ， D 两点的坐标；由题意设切线的方程与抛物线方程联立，得到关于x 的二次函数，由判别式为0，从而求出k 的值，再设直线BD 的方程与抛物线方程联立为6y x m =+与抛物线方程联立关于x 的二次函数，由根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的关系，再由90BAD ∠=，得到两斜率之间的关系，求出m 的值，则可得直线BD 的方程；（Ⅱ）将 四边形ABCD 面积转化成两三角形的面积和即可求得试题解析：（Ⅰ）由()3,9C ，知()3,9A -，设()211,B x x ， ()222,D x x ；由题意知，过点C 的切线斜率存在，故设切线的方程为()93y k x -=- 联立()2293{390.y k x x kx k y x-=-⇒-+-==()()()22439060 6.k k k k ∆=---=⇒-=⇒=从而 6.BD k k ==从而设直线BD 的方程为6y x m =+226{60.y x m x x m y x=+⇒--== 则126,x x += 12x x m =- 又因为90BAD ∠=; 所以()()()22121212121299133139 1.33AB ADx x k k x x x x x x x x --⋅=-⇒⋅=--=-⇒-++=-++即36918.m m --⨯+=-⇒=-故直线BD 的方程为68.y x =-（Ⅱ）解方程2680x x -+=，可得()2,4B ， ()4,16D所以()()2242164237.BD =-+-=点A 到BD 的距离为1d ；点C 到BD 的距离为2d()1226398639836.3716d d ⨯---+⨯--+==+ ()12ABCD 1136=23736.2237S BD d d ⋅+=⨯⨯=四边形 另解, 四边形ABCD 面积ACD ACB S S S ∆∆=+()11167536222D C B C AC y y AC y y =⨯⨯-+⨯⨯-=⨯⨯+=． 考点：直线与抛物线的关系及面积的计算．【方法点睛】（1）解决直线和抛物线综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论． （2）求多边形的面积，可以分成易求的简单图形的面积和．19．（2000•北京）如图，设点A 和B 为抛物线y 2=4px （p ＞0）上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ．求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【答案】M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点． 【解析】试题分析：由OA ⊥OB 可得A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OM ⊥AB 可用斜率处理，得到M 的坐标和A 、B 坐标的联系，再注意到M 在AB 上，由以上关系即可得到M 点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB 的方程解决． 解：如图，点A ，B 在抛物线y 2=4px 上， 设，OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB ．。
高考圆锥曲线经典大题
圆锥曲线经典大题1.已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．2.如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程。
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．（1）已知1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r ，求12λλ+的值；（2）求MA MB ⋅u u u r u u u r 的最小值．3.设点F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.（1）过点P （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线的方程；（2）设A ，B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,分别延长AF ，BF 交抛物线G 于C ,D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.4.设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．（Ⅰ）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，410AB =．求此时抛物线的方程； 5.设椭圆222:12x y M a +=()2a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF AF +=0u u u r u u u r （其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PF PE ⋅的最大值．6.已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，离心率52e =，顶点到渐近线的距离为255。
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（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设直线 与轨迹 交于两点， 、 ，且 ( ，且 为常数)，过弦 的中点 作平行于 轴的直线交轨迹 于点 ，连接 、 .试判断 的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由
19．已知直线 与抛物线 相交于 两点， 是坐标原点．
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
（2）设直线 的斜率为1且与抛物线的准线 相交于点 ，抛物线 上存在点 使得直线 的斜率成等差数列，求点 的坐标.
13．已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴交于点 ，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点.
（1）求抛物线 的方程及 的值；
（2）若点 关于 轴的对称点为 ，证明：存在实数 ，使得 .
14．已知抛物线 ， 是 轴上一点， 是抛物线上任意一点.
【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集6
未命名
一、解答题
1．已知曲线 上的点到点 的距离比它到直线 的距离小2.
（1）求曲线 的方程.
（2）是否存在过 的直线 ，使得 与曲线 相交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，且 的面积等于4？若存在，求出此时直线 的方程；若不存在，请说明理由.
2．已知圆 ，抛物线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 （异于原点）作圆 的两条切线，斜率分别为 ，过点 作曲线 的切线，斜率为 ，若 成等差数列，求点 的坐标．
17．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 在 轴的上方，且点 的横坐标为4.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）设点 为抛物线 上异于 ， 的点，直线 与 分别交抛物线 的准线于 ， 两点， 轴与准线的交点为 ，求证： 为定值，并求出定值.
6．已知椭圆 ，点F为抛物线的焦点，焦点F到直线3x-4y+3=0的距离为d1，焦点F到抛物线C的准线的距离为d2，且 。
(1)抛物线C的标准方程;
(2)若在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点， 为定值，求点M的坐标.
7．已知抛物线 的焦点为 是曲线 上的一点，且 ．
（1）求 的方程；
（1）若抛物线 的焦点 在圆 上，且 为抛物线 和圆 的一个交点，求 ；
（2）若直线 与抛物线 和圆 分别相切于 两点，设 ，当 时，求 的最大值．
3．如图，抛物线 的焦点为 ，抛物线上一定点 .
（1）求抛物线 的方程及准线 的方程；
（2）过焦点 的直线（不经过点 ）与抛物线交于 两点，与准线 交于点 ，记 的斜率分别为 ， ， ，问是否存在常数 ，使得 成立？若存在 ，求出 的值；若不存在，说明理由.
（1）若 ，求 的最小值；
（2）已知 为坐标原点，若 的最小值为 ，求实数 的取值范围.
15．已知 ， 是曲线 上任意一点，动点 满足 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线交 于 ， 两点，过原点 与点 的直线交直线 于点 ，求证： .
16．已知直线 过圆 的圆心且平行于 轴，曲线 上任一点 到点 的距离比到 的距离小1．
11．已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 是坐标原点．
（1）若直线 过点 且 ，求直线 的方程；
（2）已知点 ，若直线 不过点 、不与坐标轴垂直，且 ，证明：直线 过定点．
12．已知 为抛物线 的焦点，过 的动直线交抛物线 与 两点，当直线与 轴垂直时， .
（1）求抛物线 的方程；
（1）求证： ；
（2）若 是抛物线的焦点，求 的面积．
20．已知点P在抛物线 上，且点P的横坐标为2，以P为圆心， 为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且 ．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且 ，求 的值．
23．已知点 ，点 为曲线C上的动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，满足 ．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l与曲线C交于两不同点P，Q（非原点），过P，Q两点分别作曲线C的切线，两切线的交点为M．设线段 的中点为N，若 ，求直线l的斜率．
24．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）直线 交 于A、B两点， 且 的面积为16，求 的方程．
8．设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 .已知 是抛物线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 .
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴相交于点 .若 的面积为 ，求直线 的方程.
4．已知点 为直线 上的动点， ，过 作直线 的垂线 ， 交 的中垂线于点 ，记点 的轨迹为 .
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）若直线 与圆 相切于点 ，与曲线 交于 ， 两点，且 为线段 的中点，求直线 的方程.
5．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上， .
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）如图， 为抛物线 的准线上任一点，过点 作抛物线 在其上点处的切线 ， ，切点分别为 ， ，直线 与直线 ， 分别交于 ， 两点，点 ， 的纵坐标分别为 ， ，求 的值.
9．已知抛物线 和 的焦点分别为 ，点 且 为坐标原点）．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 的直线交 的下半部分于点 ，交 的左半部分于点 ，求 面积的最小值．
10．过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点， ．
（1）求 的值；
（2）若 与坐标轴不平行，且 关于 轴的对称点为 ，求证：直线 恒过定点．
21．设抛物线 ： 的焦点为 ， 是 上的点．
（1）求 的方程：
（2）若直线 ： 与 交于 ， 两点，且 ，求 的值．
22．已知抛物线 ： 的焦点 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线 的交点为 ，且 .
（1）求 的值；
（2）已知点 为 上一点， 是 上异于点 的两点，且满足直线 和直线 的斜率之和为 ，证明直线 恒过定点，并求出定点的坐标.