高中数学抛物线高考经典例题教案

(2)直线 AB 的斜率 k= y2 x2
y1 x1
=
y2 y22
2p
y1 y12
2p
=
,
y1 y 2
2p
∴直线 AB 的方程为 y─ｙ1=
2p
y12
(x ─ ),
y1 y2 2 p
即 y(y1+y2) ─1ｙy2=2px, 由 (1)可得 y= 2 p (x ─ 2p), y1 y 2
直线 AB 过定点 C(2p,0)
p OF OK 。
2
⑤焦半径为半径的圆：以 P 为圆心、 FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点
准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样
的圆过定点 F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦 PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准
(k/4,0)
到焦点 (k/4,0)的距离等于
x= ─4k/
到准线 x= ─k4/的距离
x2 =ky
k>0 时开口向上 k<0 时开口向下
(0,k/4)
到焦点 (0,k/4)的距离等于 y= ─4k/
到准线 y= ─k4/的距离
.
精品文档
抛物线的定义：
例 1： 点 M与点 F ( － 4， 0) 的距离比它到直线 l ： x－ 6=0 的距离 4.2 ，求点 M的轨迹方
(k 2
4k ) y 6k 2
0
y k( x 2)
2 y1 y2 y1 y2
2 6k 2 12k
y0 k 2 4k k 4
①
.
又 y0
k 代入①式得 y0 4x0 4
②
x0 2
x
由
x0 2 3 得 x0
3x 2 代入②式得 : 12 x 3 y 4
0
y y0
y0 3 y
3
由
0 得 k 4 2 6 或 k 4 2 6 , 又由①式知 y0 关于 k 是减函数且 y0 12
p 和确定开口方向两个
∴p= 2 或 p= 9
3
4
∴所求的抛物线方程为 y2=－ 4 x 或 x2= 9 y ，前者的准线方程是
3
2
（2）令 x=0 得 y=－ 2，令 y=0 得 x=4，
∴抛物线的焦点为（ 4， 0）或（ 0，－ 2）
x= 1 ，后者的准线方程是 3
y=－ 9 8
当焦点为（ 4， 0）时，
46
12 4 6 y0 12 4 6 , 4
3
46
y4
且y 4
3
所以 Q 点轨迹为一线段 (抠去一点 ): 12x 3 y 4 0
精品文档
46
46
(4
y4
且 y 4)
3
3
例 4 已知抛物线 y2 2 px,( p 0) ,焦点为 F,一直线 l 与抛物线交于 A、B 两点 ,且 AF BF 8 ,且 AB 的垂直平分线恒过定
解：如图，设 A(x1,y1 ), B(x2,y2 ),M(x,y), 则 x= x1 x2 , y= y1 y2 ,
2
2
又设点 A， B， M 在准线 l :x= ─/１4 上的射影分别为 A/,B/,M /, MM / 与 y 轴的交点为 N，
则|AF|=|AA /|=x 1+ 1 ,|BF|=|BB / |=x 2+ 1 ,
是 (3) 题，要先化为标准形式： x 2
1 y ，则 2 p
1
． (4) 题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解．
m
m
答案： (1) F 5 ，0 ， x 2
5
． (2)
x2=12y (3)
F 0，
1
，y
1
； (4)
y2 =－ x 或 x2=－ 8y．
2
4m
4m
例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
BP
上的点 ,且适合
PC
BB1 ,求 POA的重心 Q 的轨迹方程 ,并说明该轨迹是什么图形
CC1
解析 : 设 B( x1 , y1 ), C (x2, y2 ), P( x0 , y0 ) , Q( x, y)
BP BB1 y1 PC CC1 y2
,
y0
y1
y1 y2
y2
1 y1
y2
y
由
x2
2 得 y2
y
2 2
4p2
．
而 y1y2≠ 0．所以
y1y2
=－
2
4p
．
弦的问题 例 1 A,B 是抛物线 y2=2px(p>0) 上的两点，满足 值；
OA OB(O 为坐标原点 ) 求证： (1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定
(2)直线 AB 经过一个定点
(3)作 OM AB 于 M ，求点 M 的轨迹方程 解： (1) 设 A(x1,y1), B(x2 ,y2), 则 y1 2=2px1, y22=2px2, ∴y 12y22=4p2x1x2, ∵OA OB, ∴ x1 x2+y1y2 =0, 由此即可解得： x1x2=4p2, y1y2=─ 42p(定值 )
4 (x
2) 得: y2
2y0y
2
y
2 0
16
0
y0
S ABS
1 KS y2 y1
2
1 (4
1
y
2 0
)
4
y
2 0
4(2 y02 16)
24
.
精品文档
S ABS
1
(16
y
2 0
)(
32
2 y02 )
42
2 (64 )3 64 6
83
9
例 5 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上移动， AB 的中点为 M ，求点 M 到 y 轴的最短距离， 并求此时点 M 的坐标
y2
由
4x
消去
y
得
x
2
－
6
x+1=0
．
y x1
程．
B的 到
设 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) 则 x1+x2=6． 又 A、 B 两点到准线的距离为 A ， B ，则
AA BB x1 1 x2 1 x1 x2 2 6 2 8
点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。 例 3: (1) 已知抛物线的标准方程是 y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程；
线。
3 抛物线标准方程的四种形式：
y 2 2 px， y 2 2 px，x 2 2 py， x2 2 py。
M2
P
F、
C
N
Ko F
M1 Q
4 抛物线 y 2 2 px 的图像和性质：
①焦点坐标是：
p ，0 ， 2
②准线方程是： x
③焦半径公式：若点

p
。
2 P( x0 , y 0) 是抛物线 y 2
2 px 上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为
焦半径）是： PF
x0
p
，
2
④焦点弦长公式：过焦点弦长
p
p
PQ x1
x2
x1 x2 p
2
2
⑤抛物线 y 2
2 px 上的动点可设为
y P(
2
,y
)或
P (2 pt 2, 2 pt )
或
P(x
,y
)其中 y 2
2 px
2p
5 一般情况归纳：
方程
图象
焦点
准线
定义特征
y
M2
P
Ko
Fx
M1
Q
y2=kx
k>0 时开口向右 k<0 时开口向左
( x1， y1) 、 ( x2， y2) 满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到
y1、 y2 的值．
证：由 OA⊥ OB，得 K OA K OB
y1 y2 x1 x2
1 ，即 y1y2 =－ x1x2，又 x1
y12 2p
，
x2
y22 ，所以： 2p
x1x 2
y12 y22 4p2
，即
y1 y2
y12
（1）过点（－ 3， 2）；
（2）焦点在直线 x－2y－ 4=0 上
分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数
p；从实际分析，一般需确定
条件，否则，应展开相应的讨论
解：（ 1）设所求的抛物线方程为 ∵过点（－ 3， 2），
y2=－ 2px 或 x2=2py（ p＞ 0），
∴4=－ 2p（－ 3）或 9=2p· 2
y2 x
依题意 |AB|=
1
k 2 |x 1─ｘ2|=
1
k2
×
16
k
2
1
=
k2 k2
=3,
∴ k2=1/2,
此时
1
8(k 2 2)
x= (x1+x2)=
2
2
16k 2
5
=
4
∴ y= ± 2 即 M( 5 ,
2 52
), N( , ─ )
2
42
42
例 3 设一动直线过定点 A(2, 0)且与抛物线 y x 2 2 相交于 B、C 两点 ,点 B、 C 在 x 轴上的射影分别为 B1 ,C1, P 是线段 BC
分析：点 M到点 F 的距离与到直线 x=4 的距离恰好相等，符合抛物线定义． 答案： y2=－ 16x 例 2：斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点，与抛物线相交于点 A、B，求线段 A、