考研数学必背的内容2

考研数学必背的内容CH9线积分 面积分（6~10）○1 曲线:L ()x y y = b x a ≤≤， 则()()()dx y x y x F ds y x F ba L2'1,,+=⎰⎰； ○2 曲线:L ()t x x =，()t y y = βα≤≤t ，则()()()()dt y x t y t x F ds y x F L22'',+=⎰⎰βα；○3 曲线:L ()θr r =， βθα≤≤，则()()θθθβαd r r r r F ds y x F L22sin cos ,'+=⎰⎰，；○4 曲线:L ()t x x =， ()t y y =， ()t z z =， 则()()()()[]dt z y x t z t y t x F ds z y x F T222''',,,,++=⎰⎰βα注：积分下限必小于上限○1 曲线段的长度：Ll ds =⎰，Tl ds =⎰； ○2 曲线段的质量： ds m Lρ⎰=， ()ds z y x m ,,ρΓ⎰=； ○3 曲线的重心坐标：dsdsx x LLρρ⎰⎰=， dsdsy y LLρρ⎰⎰=， dsdsk k LLρρ⎰⎰=；○4 转动惯量：平面：()ds y x y I Lx ,2ρ⎰=； 空间：()()ds z y x z y I Lx ,,22ρ+⎰= 对坐标的曲线积分计算：○1 :L ()x y y =： 起点a x =， 终点b x =， 则()()()()(){}dx x y x y x Q x y x p Qdy pdx ba L⎰+=+⎰',,；○2 ()t x x L =:，()t y y =： 起 α=t ， 终点β=t ， 则{()(){}()()(){}()}dt t y t y t x Q t x t y t x p Qdy pdx L'+=+⎰⎰,',βα；○3 ()θr r L =:： 起点θα=，终点θβ=， 则{}{()()}θθθθθβαd r Q r r r p Qdy pdx L'sin 'cos sin ,cos +=+⎰⎰；○4 空间曲线:T ()()()t z z t y y t x x ===,,，起点t α→=，终点t β= ， 则()()(){}dt t Rz Qy t px Rdz Qdy dx z y x p T⎰++=++⎰βα''',,两种曲线积分之间的关系：()ds Q p Qdy pdx LLβαcos cos +⎰=+⎰，ds dx =αcos ，dsdy =βcos ， 曲线切向量的方向余弦()ds r R Q p Rdz Qdy pdx LLcos cos cos ++⎰=++⎰βα，ds dx =αcos ，ds dy =βcos ，dsdzr =cos 格林公式：设函数()()y x Q y x p ,,,在域D 及其边界L 上具有一阶连续偏导数，则dxdy y P x Q Qdy Pdx D L⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰=+⎰，L 取正向 平面曲线积分与路径无关的等价命题(单连通域) （1）LPdx Qdy ⎰+在D 内与路径无关；（2）0=+⎰Qdy Pdx L， L 为D 内任一分段光滑闭曲线；（3）yPx Q ∂∂=∂∂； （4）存在()y x u ,，使Qdy Pdx du +=，且()()()dy y x Q dx y x P y x u yy xx ⎰⎰+=0,,,0注：如果y Px Q ∂∂=∂∂，21L L 、 包围同一瑕点，则：⎰⎰=12L L空间曲线积分：Rdz Qdy Pdx T++⎰与路径无关⇔x Q y P ∂∂=∂∂，yRz Q ∂∂=∂∂，z P x R ∂∂=∂∂注：力Rk Qj Pi F ++= 沿Γ作功：⎰++=LR d zQ d y P d x W 对面积的曲面积分 ○1 ()y x z z ,=∑：： ()()()d x d y z z y x z y x f ds z y x f y x D xy221,,,,,++∑=⎰⎰⎰⎰；○2 ()z x y y ,:=∑：()()()d x d z y y z z x y x f ds z y x f z x D xz221,,,,,++=∑⎰⎰⎰⎰；○3 ()∑=z y x x ,:： ()()()d y d zx x z y z y x f ds z y x f z y D yz221,,,,,++∑=⎰⎰⎰⎰ （4）应用： ○1 曲面的质量：()ds z y x m ⎰⎰∑=,,ρ；○2 曲面的重心坐标：()⎰⎰⎰⎰∑∑=dsdsz y x k k ρρ,,，k 为,,x y z○3 曲面的转动惯量：()()ds z y x z yI x ,,22ρ⎰⎰∑+=，y I =()()22,,x z x y z ds ρ+∑⎰⎰对坐标的曲面积分计算： ○1 ()∑=y x z z ,:，投影域xyD，则()()[]dxdy y x z y x R dxdy z y x R xyD ⎰⎰⎰⎰±=∑,,,,,；○2 ∑:()z y x x ,=，投影域yzD ，则()()[]dydz z y z y x P dydz z y x P yzD ⎰⎰⎰⎰±=∑,,,,,；○3 ()∑=z x y y ,:，投影域xzD，则()()()dxdz z z x y x Q dxdz z y x Q xzD ⎰⎰⎰⎰∑±=,,,,,注：1、±与法向量与相应坐标轴的夹角有关：锐角↔+，钝角↔负2、负侧→正侧 ⇔ 法向量的指向 两种曲面积分之间的关系：()⎰⎰⎰⎰∑++=+∑+ds r R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz cos cos cos βα，其中r cos cos cos 、、βα为曲面的法向量的方向余弦 高斯公式： 设()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,、、在空间闭域Ω上具有一阶连续偏导数，则 P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ，其中∑是Ω的边界曲面外侧注：○1一阶连续偏导；○2外侧；○3闭曲面 .斯托克斯定理：设函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,、、在包含曲面∑的空间域Ω内具有一阶连续偏导数，设Γ为曲面∑的边界曲线，则⎰⎰⎰Γ∑∂∂∂∂∂∂=++RQ P z y x dxdydzdx dydz Rdz Qdy Pdx流体流过曲面的流量：Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑=Φ⎰⎰梯度、散度、旋度：设()z y x u u ,,=，则梯度：k z u j y u i x u gradu ∂∂+∂∂+∂∂=； Rk Qj Pi A ++=， 则散度：zRy Q x P dirA ∂∂+∂∂+∂∂=， 旋度：RQ P z y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=CH10级数（8~10）○1 nu ∑收敛，则称n u ∑绝对收敛；○2 nu∑收敛，n u ∑发散，则称n u ∑条件收敛性质：（1）若n u ∑收敛，其和为,s k 为常数，则1nn ku∞=∑也收敛，且其和为 ks（2）若级数n n u V ∑∑、分别收敛于 S 和 T ，则()n n u v ±∑也收敛，且收敛于S T ±注：○1 如一发散，一收敛，则其代数和发散；○2 如两发散，则结论不一定 （3）在级数前面增加、减少或改变有限项，并不影响其敛散性，但级数收敛时，仅可能改变其和（4）收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛，且其和不变 （5）若级数∑∞=1n n u 收敛，则0lim =n u注：若lim 0n u ≠，则n u ∑发散 定理及审敛法（1）正项级数n u ∑收敛 ⇔ 部分和数列 n S 有界； （2）比较审敛法：○1 设∑∑n n v u 、都是正项级数：A 、若从某项起，有 ()0,>≥≤k N n KV u n n 且 nV∑收敛，则n u ∑也收敛；B 、若从某项起，有n n u KV ≤且nu∑发散，则∑n V 也发散○2 设∑∑n n V u 、是两个正项级数，且+∞<<=∞→l l V u nnn 0,lim，则∑∑n n V u 、同敛散 注：对于正项级数可利用等价无穷小代换，只能用在(正项或负项)级数 （3）比值审敛法：设有正项级数1n n u ∞=∑，若1limn n nu p u +→∞=，则：○1 当01p ≤<时，级数n u ∑收敛； ○2 1p >时，级数n u ∑发散 注：含!n 或n 的乘积形式（4）根值审敛法：设有正项级数1n n u ∞=∑，若n p =，则：○1 10<≤p 时，级数∑n u 收敛； ○21>p 时，级数∑n u 发散 注：含以n 为指数的因子（5）交错级数审敛法：若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：○11+≥n n u u ； ○20lim =∞→n n u ，则该交错级数收敛，且其和1u s ≤，其余项的绝对值1+≤n n u r （6）绝对收敛定理：若n u ∑收敛，则n u ∑也收敛注：○1 改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且与原级数有相同的和；○2 设级数∑∑n n v u 、都绝对收敛，它们的和分别为 S 和 T ，则它们逐项相乘后，依任意方式排列所得级数仍绝对收敛，且其积为 ST公式：（1）11p n n ∞=∑：1p >时收敛，1p ≤时发散； （2）1n n a ∞=∑：1a <时收敛，1a ≥时发散；（3）11ln pn n n∞=∑：1p >时收敛，1p ≤时发散； 函数项级数定理公式：（1）阿贝尔引理：若幂级数n n a x ∑：当0x x =时收敛，则对0x x <的x ，n na x ∑绝对收敛；当0x x =发散，则对0x x>的x ，n n a x ∑发散注：收敛点是连成一片的（2）设R 是幂级数n n a x ∑的收敛半径，且1limn n na p a +→∞=： ○1 当0p ≠时，1R p =；○2 0p =时，R =∞； ○3 p =+∞时，0R = （3）幂级数的分析运算性质：设幂级数()0n n n a x S x ∞==∑，其收敛半径为0R >，则：○1 和函数()S x 在(),R R -内连续； ○2和函数()S x 在(),R R -内可导，且()()0nn n S x a x ∞=''=∑；○3和函数()S x 在(),R R -内任何区间上可积，且()dt t a dx x S n n x n x∑⎰⎰∞==0注：逐项求导，逐项积分并不改变收敛半径，但可改变端点的敛散性 （4）几个重要的麦克劳林展开式：+++++=!!212n x x x e nx；()()3521sin 13!5!21!n nx x x x x n +=-+-+-++ ；()242cos 112!4!2!n n x x xx n =-+-+-+ ；()() +-++-=+-n n x nx x x x 1321321ln ；()()()()++--++-++=+n x n n x x x !11!21112ααααααα；（5）泰勒定理：设()f x 在点0x 的某个邻域内具有任意阶导数，则()f x 在0x 处的泰勒级数在该邻域内收敛于()f x 的充要条件是：当∞→n 时，()f x 在点0x 的泰勒级数余项()0→x R n注：()f x 在点0x 的幂级数展开式()()()000()!n nn f x f x x x n ∞==-∑付立叶级数：○1 ()f x 是周期为π2的周期函数：则()nxdxx f a n cos 1⎰-=πππ，()nxdx x f b n sin 1⎰-=πππ○2 ()f x 在[],l l -上以2l 为周期：()dx l x n x f l a l l n πcos 1⎰-=，()dx l xn x f l b l l nπsin 1⎰-= ○3()f x 在[],a b 上：()dx a b x n x f a b a ban --=⎰π2cos 2，()dx ab xn x f a b b b a n --=⎰π2sin 2（4）付立叶级数：以付立叶系数n n b a 、构成的三角级数()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑ → 付立叶级数 （4）正弦级数、余弦级数（奇偶延拓）只含正弦项的级数 → 正弦级数； 只含余弦项的级数 → 余弦级数 注：奇延拓→正弦 即：奇函数→正弦偶延拓→余弦 偶函数→余弦 定理如()f x 在[]ππ-，上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）至多有有限个极值点,则()x f 的付立叶级数()S x 在[],a b 上收敛， 且：○1 x 为()f x 的连续点，()()x f x s → ○2 x 为()f x 的间断点，()()()2+-+→x f x f x s○3 x 为()f x 的端点，b x a x ==,,()()()2-++→b f a f x s微分方程（8~12）1、如果1y 、2y 是二阶线性齐次方程：0)(')(''=++y x Q y x p y 的两个解，则2211y c y c y +=也是它的解，其中21c c 、是任意常数； 2、如果12y y 、是()()'''0y p x y Q x y ++=的两个线性无关的解，则2211y c y c y +=就是该方程的通解；3、如果*y 是二阶非齐次线性方程：()()x f y x Q y x p y =++')(''的一个特解，而Y 是它对应的齐次方程的通解，则*+=y Y y 是该非齐次方程的通解；4、如果*1y 是()())('''1x f y x Q y x p y =++的解，*2y 是()())('''2x f y x Q y x p y =++的解，则2121)(')(''f f y x Q y x p y y y +=+++**是的解CH1行列式(4~6)性质：① 行与列互换，其值不变；② 行列式的两行或两列互换，行列式改变符号；③ 行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的外面，若以一个数乘行列式等于用该数乘行列式的任意一行（列）；④ 行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；⑤ 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两行列式之和：nnn n n i i i n nn n n in i i n nnn n in in i i i i na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a21211121121211121121221111211''''''+=+++ ⑥ 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变 几个公式：（1） 范得蒙行列式：1222212112112111()nn i j j i nn n n na a a A a a a a a a a a ≤<≤---==∏-213231121()()()()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a --=------ 特点：① 从第一行至第n 行按升幂排列；②(1)2n n -项)(j i x x -积； ③ ,i j x x i j ->（2）设A 为n 阶矩阵，B 为m 阶矩阵，C 为n 阶矩阵，则： ① ij n i ij ij n j ij A a A a A ∑∑====11，10,n ks is s a A i k ==≠∑，10,nis ik i a A k s ==≠∑；②C B c B c B ==0**0；③ C B C BCB mn )1(0*0-==*； ④nn nna a a a a a 221122110=***；⑤11212)1(1121)1(000n n n n n n n na a a a a a----=*；⑥ A K KA n =； ⑦ AC A C =，T A A =，但A B A B +≠+；⑧ 1n A A -*=，112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为元素ij a 的代数余子式； ⑨ 11--=AA ，nnnj nj n n ni j i j i i i n i j i j i i i nj j ji ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A1121111111211111111211111111211)1(+-+++-+++-+-----+-+-= (注意符号)→ij M 余子式：()ij ji ij M A ⨯-=+1 ()1i jij ij M A +=-⨯CH2矩阵(8~12)常用公式：（1）T T T B A B A +=+）（；（2）A A T T =)(，TT A A λλ=)(；（3）T T T A B AB =）（； （4）11--=）（）（T T A A ，A A =--11）（； （5）111--=A KKA ）（，111---=A B AB ）（， *-*=A K KA n 1）（； （6）AA11=- 分块矩阵：（1）已知A 为分块对角矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A A A A21， i A 为可逆方阵， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111t A A A A ；（2）若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00C B A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---00111B C A ；（3）若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A 0且0≠=D B A ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110D CD B B A ； （4）若A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D CB0，0≠=D B A ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110D CB D B A A 、B 为同阶方阵，则***=A B AB ）（；若A 为可逆矩阵，则11-**-=）（）（A A ，E A AA =*初等变换不改变矩阵的秩：)()()(B r A r B A r +≤+，{})(),(min )()()(B r A r AB r n B r A r ≤≤-+)()(T A r A r =CH3向量(6~10)基本定理：（1）向量组)2(,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是：其中至少有一个向量可由其余1m -个向量线性表示；（2）如向量组12,,m ααα 线性无关，而向量组12,,,m αααβ 线性相关，则β可由12,,m ααα 线性表示，且表示法唯一；（3）若向量组12,,m ααα 线性相关，则121,,,,,m m s ααααα+ 也相关； （4）向量组12,,m ααα 线性相关1(,,)m r m αα⇔< ， 向量组12,,m ααα 线性无关1(,,)m r m αα⇔= ；（5）若向量组线性无关，则将其每个向量添加分量后所组成的向量组也线性无关； （6）设向量组12,,r ααα 线性无关且可由向量组12,,s βββ 线性表示，则r s ≤。