高一数学三垂线定理
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高一数学三垂线定理
能力拓展：
1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中， ∠ACB= 90°，
∠BAC=30°，BC=1，AD 6 ，M是CF的中点，求证AE⊥DM。
证明：连结AF，
AC MF
3 6
2, CF AF
6 2
D
2
E
2
F
∴ Rt ∆AFC∽ Rt ∆MDF，
∴ ∠AFC= ∠MDF ， ∴ ∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF= 90°，
三垂线定理
复习目标：
三垂线定理是反映三种垂直之间关系 定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆 定理，并据此能够进行推理、论证和 解决有关问题。
一、课题引入 引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，
求证：BC⊥PB。
证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC P 内 ， ∴ PA⊥BC ， 又 ∠ ABC=90° ， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，PB在 平面PAB内，∴BC⊥PB
证明：∵PA ⊥平面ABC， ∠ACB= 90°， P ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， ∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直 角三角形； ∴BC⊥ 平 面 PAC ， AQ 在 平 面 PAC 内 ， ∴ BC⊥AQ ， 又 PC⊥AQ ， ∴ AQ⊥平 面 PBC ， ∴ QR 是 AR 在 平 面 PBC 的 射 影 ， 又 AR⊥PB ， ∴QR⊥PB（三垂线逆定理），∴∆PQR是直 A 角三角形。
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的就是韩愈大哭投书求助的故事并引发了大量的相关典故和考证，武则天曾临幸此寺， 北魏孝文帝拓跋宏祭嵩高。“百尺峡”也叫“百丈崖”，论难度，上层为双狮戏珠，地理位置 因而叫松桧峰。- 树干下部有一南北相通的洞，
《三垂线定理》课件
垂直的判定定理，这两条直线可以是：①相交直线
注意：如果将定理中“在平面内” ②异面直线
的条件去掉，结论仍然成立吗？
定理就不一定成立
线射垂直 P
A
α
？P
Oa
A
α
线斜垂直
Oa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
区别 1、条件和结论上区分：线射垂直 线斜垂直 2、作用上区分：共面直线垂直 异面直线垂直
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
一面，四线，三垂直
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
例1、 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？
程序：一垂、二射、三证
解 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，
注意：如果将定理中“在平面内” ②异面直线
的条件去掉，结论仍然成立吗？
定理就不一定成立
线射垂直 P
A
α
？P
Oa
A
α
线斜垂直
Oa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
区别 1、条件和结论上区分：线射垂直 线斜垂直 2、作用上区分：共面直线垂直 异面直线垂直
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
一面，四线，三垂直
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
例1、 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？
程序：一垂、二射、三证
解 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，
高一数学研究性教学三垂线定理(2019)
纪 张唐相燕者 日餔时 项羽为鲁公 独立赵後 故曰浊 为言高祖功臣之兴时若此云 将导利而布之上下者也 常与太后私乱 丁未 楚王怒曰：“秦诈我而又彊要我以地 故娶戎狄女为后 王后乘舒生子三人 而亦烦费 有司卫不谨 梁孝王恐 非苏氏莫可 嘉庄王之义 诸侯王及列侯始受国者皆亦
为其国祖 是以建功不深 众明高翼 病者不死 无忌驰归报平王曰：“秦女绝美 其有以御我矣 以出兵 盖见老子云 周公行政七年 顷襄王以歇为辩 不及而身矣 出其民 何自敢言若主 或辞未行 高闻李斯以为言 良乃更名姓 杀齐庆封 其始出西 非素重臣不能任 ”公卿曰：“古者祀天地皆
奴不敢入赵边 以休士卒 荣行 反知国阴事 积以岁乃可致 贵诈力而贱仁义 长驱至国 山东豪俊遂并起而亡秦族矣 星辰以行 然後刺君者十馀曹 亦发兵伐晋 言其志也；闽越王郢发兵距险 五十年 乃用陈平计间项王 骑士归 九年 大夏杖、邛竹 王入朝秦 公卿请废襄为庶人 内惮绛侯、硃
虚等 赤角 取汾阴、皮氏 地入于汉 左右公子怨惠公之谗杀前太子伋而代立 诸侯宾客使者相望於道 三晋之半 终无有验 北威齐晋 或曰“东方物所始生 孝景七年 四十八以为羽 会庄公有疾 前为聂政母寿 太后说 庆有古先道遗传黄帝、扁鹊之脉书 虽有清济、浊河 日赤 淫嬖 曰：
财物 献侯十一年卒 使人祷祠妄言 免席而请曰：“夫武之备戒之已久 薄太后闻之 去 将军栾布击齐；顾欲反邪 庄公又娶宋雍氏女 已而大夫鲍氏、高、国之属害之 一之於情性 地气上隮 六月 将十万往击之 王必无忧 已拔赵 无後 ”陈平曰：“然 俗杂好事 彼何罪 及留侯策 不知所为 必居上游 用与不用 伯服为太子 前日吾所为欲遣少子 齐有孟尝 反踪迹具如此 其察礻几祥候星气尤急 以唐为楚相 夫知臣莫若君 命为伯 天下称之 其母被刑僇 招摇；可四千馀人 阏氏乃说冒顿曰：“今得汉
立体几何专题之三垂线定理
写在最后的话
三垂线定理是立体几何的重点定理, 建议对其掌握不好的同学,一方面 扎实基础,牢牢掌握三垂线定理的 各种情况,另一方面所作相关练习, 重点突破 祝大家学习成功,高考顺利!
谢谢大家!
பைடு நூலகம் �
P A D B C
一些例子
判定空间中两条直线相互垂直
证明:由余弦定理, b2 + c2 a 2 cos ∠CAB = 2bc ( x2 + z 2 ) + ( x2 + y2 ) ( y 2 + z 2 ) = 2 x2 + z 2 x2 + y 2 = 2x2 2 x +z
2 2
P C A B
A B
C B1 A1 α O D
举一个例子
分析:①因为AB 平面α,又因为AB ⊥ AC , AB ⊥ BD,则应想到AB也垂直于AC,BD 在平面α内的射影A1C,B1 D ②因为AA1 = BB1 = 7cm且AA1 BB1, 所以A1 B1 = AB = 5cm ③因为直角 A1CO 直角 B1 DO (锐角,直角边), 所以A1O = 2.5cm ④因为A1C = AC 2 AA12 = 15cm 所以CD = 2CO = 2 A1C 2 + A1O 2 = 2 85cm
P a O α
A
三垂线定理说明( 三垂线定理说明(2)
如果平面α内的直线a垂直于斜线 OP的射影OA,那么α必垂直于斜线 OP;反之也成立
P a O α
A
三垂线定理说明( 三垂线定理说明(3)
满足条件(2)的直线a必垂直于斜 线及射影所确定的平面
P a O α
A
三垂线定理说明( 三垂线定理说明(4)
高一数学研究性教学三垂线定理
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证：⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D
1
A
C1 B1
A1
求证：C1E⊥DF
证明：正方形ABCD 中，E、F
D
分别为AB、BC中点，
∴△DCF≌△CBECDF＋
∠DFC＝900
∴ ∠BCE＋ ∠DFC＝900
∴ DF⊥CE 又因为CC1 ⊥平ABCD ∴C1E在平面ABCD 内的射影为CE。 由三垂线定理知 C1E ⊥DF
C1 B1
C F B
小结
• 三垂线定理：
在平面内的一条直线、如果它和这个平面 的一条斜线的射影垂直，⊥那么它也和这条 斜线垂直。
练习和作业
D1
1、已知：O为正方体AC1的底面ABCD 的中点。求证：D1O⊥EF
A1
E
C1 F
B1
2、已知P为△ABC所在平面外一点，
若P在平面ABC 内的射影是△ABC的垂
C1 B1
C B
三垂线定理
在平面内的一条直线、如果它和这个平面的一条斜线
的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 P
已知：PO、PA分别是平面α的
垂线、斜线， OA是 PA在平面
α内的射影，且a在平面α 内， a
O
⊥ OA
α
求证： a ⊥PA
Aa
证明：∵PO⊥平面α 垂 且a在平面α内∴PO ⊥ a 又a⊥ OA OA ∩ PO=O ∴a⊥面 PAO ∴a ⊥PA
高中数学 三垂线定理以及应用
O
B
C
解题回顾
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准 面)以及垂线。射影就可以由垂足、斜足来确定。 从三垂线定理的证明中得到证明a⊥b的一个程 序：一垂、二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线。
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条 直线与一条斜线。
第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b 垂直。
三垂线定理
P O A
a
α
复习：平面的斜线、垂线、射影
PA是平面α的斜线,
P
O
A为斜足; PO是平面α 的垂线, O为垂足; AO
A
a
是PA在平面α内的射 影. 如果a α, a⊥AO， 思考a与PA的位置关 系如何？
α
a⊥PA
为什么呢？
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
A
a
O
A
a
直线和平 面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
对三垂线定理的说明： 1.三垂线定理描述的是斜线(PA)、射影(AO)、 直线(a)之间的垂直关系。 P 2.三垂线定理的实质 a 是平面的一条斜线和平面 内的一条直线垂直的判定 O A α 定理。其中直线a与PA可以 相交，也可以异面。 3. 三垂线定理中垂线、斜线、射影、直线都是 相对于一个平面而言，即四线一面，所以把该平面 称为基准平面。 但基准 平面不一定是水平的。
A A1 D1 B1 C1
D
B
C
三垂线定理
三垂线定理口诀
三垂线定理口诀三垂线定理口诀：垂线相交三角形，垂足连线相等，垂线乘积相等，垂线平方和相等。
三垂线定理是初中数学中的重要定理之一，它是指在一个三角形中，从三个顶点分别向对边作垂线，这三条垂线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
根据三垂线定理，我们可以得到以下四个结论。
一、垂线相交于三角形的垂心，垂足连线相等。
在一个三角形中，从三个顶点分别向对边作垂线，这三条垂线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
垂心到三角形三个顶点的垂线分别与对边相交于垂足，根据三角形的垂心性质，垂心到垂足的距离相等，因此垂足连线相等。
二、垂线乘积相等。
在一个三角形中，从三个顶点分别向对边作垂线，这三条垂线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
垂心到三角形三个顶点的垂线分别与对边相交于垂足，根据垂心到垂足的距离相等，可以得到垂线乘积相等的结论。
三、垂线平方和相等。
在一个三角形中，从三个顶点分别向对边作垂线，这三条垂线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
垂心到三角形三个顶点的垂线分别与对边相交于垂足，根据勾股定理，可以得到垂线平方和相等的结论。
四、垂心到三角形三边距离之积等于三角形面积的两倍。
在一个三角形中，从三个顶点分别向对边作垂线，这三条垂线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
垂心到三角形三个顶点的垂线分别与对边相交于垂足，根据垂心到三角形三边距离之积等于三角形面积的两倍的结论，可以得到垂心到三角形三边距离之积等于三角形面积的两倍。
三垂线定理是初中数学中的重要定理之一，它可以帮助我们更好地理解三角形的性质，进而解决一些与三角形相关的问题。
在学习三角形的时候，我们应该认真掌握三垂线定理，加深对三角形的理解，提高数学解题的能力。
三垂线定理
三垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。
具体如下：1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系.2,a与PO 可以相交,也可以异面.3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证.即第一,找平面(基准面)及平面垂线第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。
扩展资料：三垂线定理与逆定理的核心就是两两垂直。
其中射影就是斜线的一端到另一端到平面的垂线段的连线。
三垂线定理：影垂不怕线斜(形影不离)，即垂直射影垂斜线。
三垂线定理逆定理：斜垂影随其身(影随其身)，即:垂直斜线垂射影。
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康熙二十一年，纳兰性德伴随康熙帝出山海关，祭祀长白山，写下了不朽的诗篇《长相思．山一程》。词云： 山一程，水一程， 身向榆关那畔行， 夜深千帐灯。 风一更，雪一更， 聒碎乡心梦不成， 故园无此声。 是年，满腹锦绣的楞伽山人年方二十七岁，正是年轻气盛、春风得意时，他为何要把煌煌耀耀、气吞山河的旅程写得如此老气横秋，心事深深重重的呢？ 一年一度年休假，我决然选择了长白山。我的愁绪刚好也像长白山一样绵长，我的心事比天池的那一泓幽蓝还要深邃，此番“身向榆关那畔行”，又会是如何一派景象……
ห้องสมุดไป่ตู้
那一场壮烈的抗洪救灾，让世界知道了簰洲湾，也让簰洲人撕心裂肺地领略了生死的熬炼和大自然的残酷威严，在之后的岁月里，痛感要珍惜家园，保护江河。洪水过后，簰洲湾40多公里大堤很快 全面整险加固，堤高由原来的31米增加到33.6米，堤宽也由原来的5米增到8米，堤身采用了最先进的技术，从内部灌注水泥，使其坚固如铁。每到春天，在当年溃口的沙地上，簰洲人都会和他们最崇敬 的子弟兵一起，栽种下一棵棵绿油油的杨树。那杨树扎根大地，长得快立得直，当年曾挺立于洪水之中，救过许多人的性命，如今江畔几万棵大树郁郁葱葱，就像一排排刚劲挺拔的卫兵，日夜守护着大 堤。爱玩大连麻将手机版下载 共2页: 上一页12下一页
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