《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第六章
高等数学课后习题答案第六章教学文案
高等数学课后习题答案第六章习题6-21. 求图6-21 中各画斜线部分的面积:(1)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为61]2132[)(1022310=-=-=⎰x x dx x x A .(2)解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为1|)()(1010=-=-=⎰x x e ex dx e e A ,解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为1)1(|ln ln 111=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A e e e .(3)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为332]2)3[(132=--=⎰-dx x x A .(4)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为332|)313()32(3132312=-+=-+=--⎰x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:(1) 221x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算);解:388282)218(220220*********--=--=--=⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=⎰ππtdt . 346)22(122-=-=ππS A . (2)xy 1=与直线y =x 及x =2;解:所求的面积为⎰-=-=212ln 23)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1;解:所求的面积为⎰-+=-=-1021)(ee dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).解所求的面积为a b e dy e A b a y ba y -===⎰ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:y '=-2 x +4.过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x -3).过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y =-2x +6.两切线的交点为)3 ,23(, 所求的面积为49]34(62[)]34(34[23023232=-+--+-+-+---=⎰⎰dx x x x x x x A . 4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p 处的法线所围成的图形的面积.解2y ⋅y '=2p .在点),2(p p 处, 1),2(=='p p y p y , 法线的斜率k =-1, 法线的方程为)2(p x p y --=-, 即y p x -=23. 求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,29(p p -. 法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p p pp =--=--=--⎰. 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积;(1)ρ=2a cos θ ;解:所求的面积为⎰⎰==-2022222cos 4)cos 2(21πππθθθθd a d a A =πa 2. (2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解所求的面积为⎰⎰⎰===2042202330sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t a t a d t a ydx A a 2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰.(3)ρ=2a (2+cos θ )解所求的面积为2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[21a d a d a A πθθθθθππ=++=+=⎰⎰. 6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积.解:所求的面积为⎰⎰⎰-=--==a a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a =++-=⎰. 7. 求对数螺线ρ=ae θ(-π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积.解 所求的面积为 )(421)(21222222ππππθππθθθ----===⎰⎰e e a d e a d ae A . 8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.(1)ρ=3cos θ 及ρ=1+cos θ解曲线ρ=3cos θ 与ρ=1+cos θ 交点的极坐标为)3,23(πA , )3,23(π-B . 由对称性, 所求的面积为πθθθθπππ45])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=⎰⎰d d A . (2)θρsin 2=及θρ2cos 2=.解 曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6,22(π. 所求的面积为 2316]2cos 21)sin 2(21[246602-+=+=⎰⎰πθθθθπππd d A .9. 求位于曲线y =e x 下方, 该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积.解 设直线y =kx 与曲线y =e x 相切于A (x 0, y 0)点, 则有⎪⎩⎪⎨⎧=='==ke x y e y kx y x x 00)(0000,求得x 0=1, y 0=e , k =e .所求面积为21ln 21)ln 1(00020e dy y y y y y e dy y y e e e e e=⋅+-=-⎰⎰. 10. 求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值.解 设弦的倾角为α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 10A A A +=.显然当2πα=时, A 1=0; 当2πα<时, A 1>0.因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 2030383822a x a dx ax A a a===⎰.11. 把抛物线y 2=4ax 及直线x =x 0(x 0>0)所围成的图形绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积. 解 所得旋转体的体积为20020222400x a x a axdx dx y V xx x ππππ====⎰⎰.12. 由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 解 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 ππππ712871207206202====⎰⎰x dx x dx y V x .绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 ⎰⎰-=-⋅⋅=8328223282dy y dy x V y πππππππ56453328035=-=y . 13. 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.解 由对称性, 所求旋转体的体积为 dx x a dx y V aa⎰⎰-==0332322)(22ππ30234323234210532)33(2a dx x x a x a a aππ=-+-=⎰.14. 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2H R H V -=π.证明 ⎰⎰---==RHR R HR dy y R dy y x V )()(222ππ)3()31(232H R H y y R RH R -=-=-ππ.15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:(1)2x y =, 2y x =, 绕y 轴;解 ππππ103)5121()(1052102210=-=-=⎰⎰y y dy y ydy V .(2)ax a y ch =, x =0, x =a , y =0, 绕x 轴; 解 ⎰⎰⎰===102302202chch )(udu a au x dx ax a dx x y V aaπππ令 1022310223)21221(4)2(4u u u u e u e a du e e a ---+=++=⎰ππ)2sh 2(43+=a π. (3)16)5(22=-+y x , 绕x 轴.解 ⎰⎰------+=44224422)165()165(dx x dx x V ππ2421601640π⎰=-=dx x .(4)摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, y =0, 绕直线y =2a .解 ⎰⎰--=ππππa a dx y a dx a V 202202)2()2( ⎰----=πππ20223)sin ()]cos 1(2[8t t da t a a a 232023237sin )cos 1(8ππππa tdt t a a =+-=⎰. 16. 求圆盘222a y x ≤+绕x =-b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积.解 ⎰⎰------+=aaaady y a b dy y a b V 222222)()(ππ2202228ππb a dy y a b a=-=⎰.17. 设有一截锥体, 其高为h , 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B , 求这截锥体的体积.解 建立坐标系如图. 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面, 则平面与截锥体的截面为椭圆, 易得其长短半轴分别为y h a A A --, y hb B B --.截面的面积为π)()(y h b B B y h a A A --⋅--.于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h+++=--⋅--=⎰ππ.18. 计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.解 设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x ), 由已知条件知, 它是边长为x R -2的等边三角形的面积, 其值为 )(3)(22x R x A -=, 所以 322334)(3R dx x R V RR=-=⎰-.19. 证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=ba dx x xf V )(2π.证明 如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ⋅f (x )dx ,于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰⎰==babadx x xf dx x xf V )(2)(2ππ.20. 利用题19和结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V .21. 计算曲线y =ln x 上相应于83≤≤x 的一段弧的长度. 解 ⎰⎰⎰+=+='+=8328328321)1(1)(1dx xx dx x dx x y s ,令t x =+21, 即12-=t x , 则 23ln 211111113223232222322+=-+=-=-⋅-=⎰⎰⎰⎰dt t dt dt t t dt t tt t s . 22. 计算曲线)3(3x x y -=上相应于1≤x ≤3的一段弧的长度.解 x x x y 31-=, x x y 2121-=',x x y 4121412+-=', )1(2112x x y +='+,所求弧长为3432)232(21)1(213131-=+=+=⎰x x x dx xx s .23. 计算半立方抛物线32)1(32-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度.解 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=3)1(32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为)36 ,2(, )36 ,2(-.所求弧长为⎰'+=21212dx y s .因为2)1(22-='x y y , yx y 2)1(-=', )1(23)1(32)1()1(34242-=--=-='x x x y x y . 所以 ]1)25[(98)13(13232)1(2312232121-=--=-+=⎰⎰x d x dx x s . 24. 计算抛物线y 2=2px 从顶点到这曲线上的一点M (x , y )的弧长. 解 ⎰⎰⎰+=+='+=y y ydy y p p dy p y dy y x s 02202021)(1)(1y y p y p y p y p 022222])ln(22[1++++=py p y p y p p y 2222ln22++++=. 25. 计算星形线t a x 3cos =, t a y 3sin =的全长. 解 用参数方程的弧长公式. dt t y t x s ⎰'+'=2022)()(4π⎰⋅+-⋅=202222]cos sin 3[)]sin (cos 3[4πdt t t a t t aa tdt t 6cos sin 1220==⎰π.26. 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直, 使细线与圆周始终相切, 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线, 它的方程为 )sin (cos t t t a x +=, )cos (sin t t t a y -=.计算这曲线上相应于t 从0变到π的一段弧的长度. 解 由参数方程弧长公式 ⎰⎰+='+'=ππ22022)sin ()cos ()]([)]([dt t at t at dt t y t x s202ππa tdt a ==⎰.27. 在摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上求分摆线第一拱成1: 3的点的坐标.解 设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0), 则 ⎰⎰+-='+'=0220220]sin [)]cos 1([)]([)]([)(t t dt t a t a dt t y t x t s)2cos 1(42sin 2000ta dt t a t -==⎰.当t 0=2π时, 得第一拱弧长s (2π)=8a . 为求分摆线第一拱为1: 3的点为A (x , y ), 令a t a 2)2cos 1(40=-,解得320π=t , 因而分点的坐标为:横坐标a a x )2332()32sin 32(-=-=πππ,纵坐标a a y 23)32cos 1(=-=π,故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a -π.28. 求对数螺线θρa e =相应于自θ=0到θ=ϕ的一段弧长. 解 用极坐标的弧长公式.θθθρθρϕθθϕd ae e d s a a ⎰⎰+='+=022022)()()()()1(11202-+=+=⎰θϕθθa a e aa d e a . 29. 求曲线ρθ=1相应于自43=θ至34=θ的一段弧长.解 按极坐标公式可得所求的弧长 ⎰⎰-+='+=3443222344322)1()1()()(θθθθθρθρd d s23ln 12511344322+=+=⎰θθθd .30. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长. 解 用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2a d a 82cos 40==⎰πθθ. 习题6-31. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功.解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 182160260===⎰s k ksds W k(牛⋅厘米). 2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？解 由玻-马定律知:ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV .设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P , π-=80800)(x P .功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π, 所求功为 2ln 8008018000080800)10(400402πππππ=-=-⋅⋅=⎰⎰dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是 hR mgRhW +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径;(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km .证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为 dyy kMm dW 2=, 所求的功为 )(2h R R mMhk dy y kMm W h R R+⋅==⎰+.(2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以23)(cx t x v ='=, 阻力4229t kc kv f -=-=. 而32)(cx t =, 所以 34323429)(9)(x kc cx kc x f -=-=. 功元素dW =-f (x )dx , 所求之功为 37320343203432072799)]([a kc dx x kcdx x kc dx x f W a aa===-=⎰⎰⎰. 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在击第一次时, 将铁钉击入木板1cm . 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次时, 铁钉又击入多少？解 设锤击第二次时铁钉又击入h cm , 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比, 即f =kx , 功元素dW =f dx =kxdx , 击第一次作功为 k kxdx W 21101==⎰,击第二次作功为)2(212112h h k kxdx W h+==⎰+. 因为21W W =, 所以有 )2(21212h h k k +=,解得12-=h (cm).6. 设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3210-=, 功元素为 dx x x dx r x dW 22)3210(-=⋅=ππ, 所求功为⎰-=1502)3210(dx x x W π ⎰+-=15032)9440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力.解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面.水压力元素为xdx dx x dP 221=⋅⋅=,闸门上所受的水压力为21252252===⎰x xdx P (吨)=205. 8(kN). 8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力.解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为 11)43()43(2222=+-y x . 压力元素为dx x x dx x y x dP 22)43()43(38)(21--⋅=⋅⋅=, 所求压力为⎰⎰-⋅⋅+=--⋅=2223022cos 43cos 43)sin 1(4338)43()43(38ππtdx t t dx x x P ππ169cos 49202==⎰tdx (吨)=17.3(kN). (提示: 积分中所作的变换为t x sin 4343=-) 9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m , 高为20m . 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力.解 建立坐标系如图. 直线AB 的方程为x y 1015-=, 压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21-⋅=⋅⋅=, 所求压力为1467)5110(200=-⋅=⎰dx x x P (吨)=14388(千牛).10. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所受的压力.解 建立坐标系如图.腰AC 的方程为x y 32=, 压力元素为 dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=, 所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=⎰x x dx x x P (克)=1.65(牛). 11. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为dy ya Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为dF ra dF x -=, dF r y dF y =.2202222022)(1)(l a a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +-=++-=+⋅-=⎰⎰μμμ, )11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +-=++=+⋅=⎰⎰μμμ.12. 设有一半径为R 、中心角为 ϕ 的圆弧形细棒, 其线密度为常数 μ . 在圆心处有一质量为m 的质点F . 试求这细棒对质点M 的引力. 解 根据对称性, F y =0.θμcos 2⋅⋅⋅=R ds m G dF x θθμθθμd RGm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=, θθμϕϕd R Gm F x ⎰-=22cos 2sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==⎰. 引力的大小为2sin 2ϕμR Gm , 方向自M 点起指向圆弧中点.总 习 题 六1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半?解 x 应满足⎰⎰+=+300112111dt t dt t x . 因为212]12[1100-+=+=+⎰x t dt t x x , 1]12[2111213030=+=+⎰t dt t , 所以 1212=-+x ,45=x (m).2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积. 解 ⎰++⋅=432222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 24322241)2sin 1(28a d a a -=++=⎰πθθπππ. 3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0),且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为94, 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.解 因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 所以c =0, 从而bx ax y +=2.抛物线bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为23)(102b a dx bx ax S +=+=⎰. 令9423=+b a , 得968a b -=. 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为)235()(221022ab b a dx bx ax V ++=+=⎰ππ )]968(2)968(315[22a a a a -+-+=π. 令0)]128(181********[=-+-⋅+2=a a a d dV π, 得35-=a , 于是b =2.4. 求由曲线23x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 所求旋转体的体积为πππ7512722240274023=⋅=⋅=⎰x dx x x V . 5. 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 )2(122312⎰--⋅⋅=dx x x V π 22224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=-⎰-tdt t t x 令. 6. 抛物线221x y =被圆322=+y x 所需截下的有限部分的弧长.解 由⎪⎩⎪⎨⎧==+222213x y y x 解得抛物线与圆的两个交点为)1 ,2(-, )1 ,2(, 于是所求的弧长为2022202])1ln(2112[212x x x x dx x s ++++=+=⎰ )32ln(6++=.7. 半径为r 的球沉入水中, 球的上部与水面相切, 球的比重与水相同, 现将球从水中取出, 需作多少功?解 建立坐标系如图. 将球从水中取出时,球的各点上升的高度均为2r . 在x 处取一厚度为dx 的薄片, 在将球从水中取出的过程中, 薄片在水下上升的高度为r +x , 在水上上升的高度为r -x . 在水下对薄片所做的功为零, 在水上对薄片所做的功为 dx x r x r g dW ))((22--=π,对球所做的功为g r x d x r x r g W rr 22234))((ππ=--=⎰-. 8. 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成α 角斜沉于液体内, 长边平行于液面而位于深h 处, 设a >b , 液体的比重为ρ, 试求薄板每面所受的压力.解 在水面上建立x 轴, 使长边与x 轴在同一垂面上, 长边的上端点与原点对应. 长边在x 轴上的投影区间为[0, b cos α], 在x 处x 轴到薄板的距离为h +x tan α. 压力元素为dx x h ga dx a x h g dP )tan (cos cos )tan (ααρααρ+=⋅⋅+⋅=, 薄板各面所受到的压力为)sin 2(21)tan (cos cos 0αρααραb h gab dx x h ga P b +=+=⎰.9. 设星形线t a x 3cos =, t a y 3sin =上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方, 在原点O 处有一单位质点, 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.解 取弧微分ds 为质点, 则其质量为 ds y x ds y x 322322)()(+=+, 其中tdt t a dt t a t a ds cos sin 3])sin [(])cos [(2323='+'=.设所求的引力在x 轴、y 轴上的投影分别为F x 、F y , 则有 ⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds y x x y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π, ⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds yx y y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π, 所以)53 ,53(22Ga Ga =F .。
高等数学第六章参考答案
第六章参考答案习题6.11. 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? ()3,4,3A -4,()4,3B -; 3,43(),C --; 3()3,4,D ---解 A 在第四卦限, B 在第二卦限, C 在第六卦限, D 在第七卦限.2. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: ()0,4,1A ;()1,0,3B ; ()0,2,0C ; 0,0(,1)D -解 在xOy 面上的点的坐标为(,,0)x y ; 在yOz 面上, 的点的坐标为(0,,)y z ; 在zOx 面上, 的点的坐标为(,0,)x z .在x 轴上的点的坐标为(,0,0)x ; 在y 轴上的点的坐标为(0,,0)y , 在z 轴上的点的坐标为(0,0,)z .A 在yOz 面上,B 在xOz 面上,C 在y 轴上,D 在z 轴上.3. 求点(,,)x y z 关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(,,)x y z 关于x O y 面的对称点为(,,)(,,)x y z x y z -; 点称点(,,)x y z 为(,,)(,,)x y z x y z --; 点(,,)x y z 关于z 轴的对称点为(,,)x y z --.(3)点(,,)x y z 关于坐标原点的对称点为(,,)x y z ---.4. 过()01,2,3M 分别作平行于x 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解 过0M 且平行于x 轴的直线上点的坐标,其特点是，它们的纵坐标均为2，它们的竖坐标均为3。
过0M 且平行于xOy 面的平面上点的坐标，其特点是，它们的横坐标均为1.5. 求点5,4( ,3)M -到各坐标轴的距离. 解 点M 到x 轴的距离就是点5,4(,3)M -与点(5,0,0)之间的距离, 即22(4)35x d =-+=.点M 到y 轴的距离就是点5,4(,3)M -与点0,4)( ,0-之间的距离, 即 225334y d =+=.点M 到z 轴的距离就是点5,4(,3)M -)与点(0,0,3)之间的距离, 即 225(4)41z d =+-=.6. 求证以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解 因为 222212741()()()32114,M M =-+-+-=222223()( 572()12,)36M M =-+-+-=222213()(542()31,)36M M =-+-+-=所以2313 ,M M M M = 即123 M M M 为等腰三角形.7. 设已知两点 (2, 2, 2)A )和 (1, 3, 0)B 计算向量AB −−→的模、方向余弦和方向角.解 (12, 32, 02)(1, 1, 2)AB =---=--; 22211(2)2AB =++=;21cos -=α, 1cos 2β=, 2cos 2γ=-;32πα=, 3πβ=, 34πγ=.8. 设向量的方向余弦分别满足(1)cos 0=α; (2)cos 1=β;(3)cos cos 0==αβ, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 (1)当cos 0=α时, 向量垂直于x 轴, 或者说是平行于yOz 面.(2)当cos 1=β时, 向量的方向与y 轴的正向一致, 垂直于zOx 面.(3)当cos cos 0==αβ时, 向量垂直于x 轴和y 轴, 平行于z 轴, 垂直于xOy 面.9. 一向量的终点在点(2,17)B -, 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4,4,7-. 求这向量的起点A 的坐标.解 设点A 的坐标为(,,)x y z . 由已知得 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-774142z y x ,解得2,3,0x y z =-==. 点A 的坐标为(2,3,0)A -.10. 设358m i j k =++, 247n i j k =--和54p i j k =+-. 求向量43a m n p =+-在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解因为434()7541()()3715a m n p i j k i j k i j k i j k =+-=+++---+-=++,所以43a m n p =+-在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j . 11. 设a 的方向角,43ππαβ==，且3=a ，求a 的坐标表示。
数学第六章 实数知识点及练习题及解析
数学第六章 实数知识点及练习题及解析一、选择题1．在求234567891666666666+++++++++的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：234567891666666666S =+++++++++……① 然后在①式的两边都乘以6，得：234567891066666666666S =+++++++++……②②-①得10661S S -=-，即10561S =-，所以10615S -=.得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出23420181...a a a a a ++++++的值?你的答案是A ．201811a a --B ．201911a a --C ．20181a a-D ．20191a -2．设记号*表示求,a b 算术平均数的运算，即*2a ba b +=，那么下列等式中对于任意实数,,a b c 都成立的是（ ）①()()()**a b c a b a c +=++；②()()**a b c a b c +=+；③()()()**a b c a b a c +=++；④()()**22aa b c b c +=+ A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②④ 3．下列选项中的计算，不正确的是( )A 2=±B 2=-C ．3=±D 4=4．观察下列各等式：231-+= -5-6+7+8=4-10-l1-12+13+14+15=9 -17-18-19-20+21+22+23+24=16 ……根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ） A ．-130B ．-131C ．-132D ．-133530b -= ） A ．0B ．±2C ．2D ．46．下列各式中,正确的是( )A 34B 34; C 38D 347．设n 为正整数，且n n+1，则n 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个9．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17-是17的平方根.其中正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 10．下列运算中，正确的是（ ） A ．93=±B ．382=C ．|4|2-=-D ．2(8)8-=-二、填空题11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=．例如：(-3)☆2=32322-++-- = 2．从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____． 12．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ． 13．64的立方根是___________．14．2(2)-的平方根是 _______ ；38a 的立方根是 __________．15．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O '点，那么O '点对应的数是______．你的理由是______．16．若x ＜0323x x ____________． 17．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________ 18．0.050.55507.071≈≈≈≈，按此规500_____________19．若一个正数的平方根是21a +和2a +，则这个正数是____________．20．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，5＝2，现对72进行如下操作：72821→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____．三、解答题21．定义：对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．将一个“奇异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为()f a例如：19=a ，对调个位数字与十位数字后得到新两位数是91，新两位数与原两位数的和为9119110+=，和与11的商为1101110÷=，所以()1910f = 根据以上定义，完成下列问题：（1）填空：①下列两位数：10，21，33中，“奇异数”有 . ②计算：()15f = .()10f m n += .（2）如果一个“奇异数”b 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8f b =请求出这个“奇异数”b（3）如果一个“奇异数”a 的十位数字是x ，个位数字是y ，且满足()510a f a -=，请直接写出满足条件的a 的值． 22．观察下列各式：111122-⨯=-+； 11112323-⨯=-+； 11113434-⨯=-+； …(1)你发现的规律是_________________.(用含n 的式子表示； (2)用以上规律计算：1111223⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113420172018⎛⎫⎛⎫-⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23．是无理数，而无理是无限不循环小数，因1的小数部分，事的整数部分是1，将这个数减去其整数部的小数部分，又例如：∵23223<<，即23<<的整数部分为2，小数部分为)2。
高等数学课后习题答案第六章
习题6-2 1求图6-21 中各画斜线部分的面积(1)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为61]2132[)(1022310=-=-=⎰x x dx x x A .(2)解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为1|)()(1010=-=-=⎰x x e ex dx e e A解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为1)1(|ln ln 111=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A ee e(3)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3 1] 所求的面积为 332]2)3[(132=--=⎰-dx x x A(4)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1 3] 所求的面积为332|)313()32(3132312=-+=-+=--⎰x x x dx x x A2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 221x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算);解:388282)218(220220*********--=--=--=⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x dx x x A34238cos 16402+=-=⎰ππtdt .346)22(122-=-=ππS A .(2)xy 1=与直线y =x 及x =2;解:所求的面积为⎰-=-=212ln 23)1(dx x x A .(3) y =e x , y =e -x 与直线x =1;解:所求的面积为⎰-+=-=-1021)(ee dx e e A x x .(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).解所求的面积为a b e dy e A ba y ba y -===⎰ln ln ln ln3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积.解:y ¢=-2 x +4.过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x -3).过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y =-2x +6. 两切线的交点为)3 ,23(, 所求的面积为49]34(62[)]34(34[23023232=-+--+-+-+---=⎰⎰dx x x x x x x A .4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p处的法线所围成的图形的面积.解2y ×y =2p在点),2(p p处1),2(=='p p y p y 法线的斜率k =-1法线的方程为)2(px p y --=- 即y p x -=23求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,29(p p -法线与抛物线所围成的图形的面积为 233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A pppp =--=--=--⎰5. 求由下列各曲线所围成的图形的面积(1)=2a cos q解:所求的面积为⎰⎰==-2022222cos 4)cos 2(21πππθθθθd a d a A =pa 2.(2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解所求的面积为 ⎰⎰⎰===2042202330sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t a t a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰(3)=2a (2+cos q )解所求的面积为2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[21a d a d a A πθθθθθππ=++=+=⎰⎰6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0t 2p )与横轴所围成的图形的面积.解:所求的面积为⎰⎰⎰-=--==aaa dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a=++-=⎰. 7. 求对数螺线=ae q (-p q p )及射线q =p 所围成的图形面积解所求的面积为)(421)(21222222ππππθππθθθ----===⎰⎰e e a d e a d ae A8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.(1)=3cos q 及=1+cos q解曲线=3cos q 与=1+cos q交点的极坐标为)3,23(πA , )3,23(π-B . 由对称性, 所求的面积为πθθθθπππ45])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=⎰⎰d d A .(2)θρsin 2=及θρ2cos 2=解曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6,22(π 所求的面积为2316]2cos 21)sin 2(21[246602-+=+=⎰⎰πθθθθπππd dA9. 求位于曲线y =e x 下方该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积.解 设直线y kx 与曲线y e x 相切于A (x 0 y 0)点 则有⎪⎩⎪⎨⎧=='==ke x y e y kx y x x 00)(0000求得x 01 y 0e k e所求面积为21ln 21)ln 1(00020edy y y y y y e dy y y e e e ee=⋅+-=-⎰⎰10. 求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值.解 设弦的倾角为a . 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 10A A A +=. 显然当时, A 1=0; 当2πα<时, A 1>0.因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 2030383822a x a dx ax A a a===⎰.11. 把抛物线y 2=4ax 及直线x =x 0(x 0>0)所围成的图形绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积. 解 所得旋转体的体积为2020222400x a x a axdx dx y V xx x ππππ====⎰⎰12. 由y =x 3x =2 y =0所围成的图形分别绕2πα=x 轴及y 轴旋转 计算所得两个旋转体的体积解 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为ππππ712871207206202====⎰⎰x dx x dx y V x绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 ⎰⎰-=-⋅⋅=8328223282dy y dy x V y πππππππ56453328035=-=y13. 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形 绕x 轴旋转 计算所得旋转体的体积解 由对称性 所求旋转体的体积为 dx x a dx y V aa⎰⎰-==03323202)(22ππ30234323234210532)33(2a dx x x a x a a aππ=-+-=⎰14. 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2H R H V -=π证明 ⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy y x V )()(222ππ)3()31(232H R H y y R RH R -=-=-ππ15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:(1)2x y =, 2y x =, 绕y 轴;解 ππππ103)5121()(1052102210=-=-=⎰⎰y y dy y ydy V .(2)ax a y ch = x =0 x =a y =0 绕x 轴解 ⎰⎰⎰===102302202chch )(udu a au x dx ax a dx x y V a a πππ令 1022310223)21221(4)2(4u u u u e u e a du e e a ---+=++=⎰ππ)2sh 2(43+=a π(3)16)5(22=-+y x , 绕x 轴. 解⎰⎰------+=44224422)165()165(dx x dx x V ππ2421601640π⎰=-=dx x .(4)摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, y =0, 绕直线y =2a . 解 ⎰⎰--=ππππa a dx y a dx a V 202202)2()2( ⎰----=πππ20223)sin ()]cos 1(2[8t t da t a a a 232023237sin )cos 1(8ππππa tdt t a a =+-=⎰. 16 求圆盘222a y x ≤+绕x =-b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积.解 ⎰⎰------+=aaaa dy y ab dy y a b V 222222)()(ππ2202228ππb a dy y a b a=-=⎰.17 设有一截锥体 其高为h 上、下底均为椭圆 椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B 求这截锥体的体积解 建立坐标系如图 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面 则平面与截锥体的截面为椭圆 易得其长短半轴分别为yha A A -- yhb B B --截面的面积为π)()(y h b B B y h a A A --⋅--于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h+++=--⋅--=⎰ππ18 计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 解 设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x ), 由已知条件知, 它是边长为x R -2的等边三角形的面积, 其值为)(3)(22x R x A -=, 所以 322334)(3R dx x R V RR=-=⎰-.19. 证明 由平面图形0a x b 0y f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰=ba dxx xf V )(2π证明 如图 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2x ×f (x )dx 这就是体积元素 即dV 2x ×f (x )dx于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰⎰==babadxx xf dx x xf V )(2)(2ππ20. 利用题19和结论 计算曲线y =sin x (0x )和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V21. 计算曲线y =ln x 上相应于83≤≤x 的一段弧的长度. 解 ⎰⎰⎰+=+='+=8328328321)1(1)(1dx xx dx x dx x y s ,令t x =+21, 即12-=t x , 则 23ln 211111113223232222322+=-+=-=-⋅-=⎰⎰⎰⎰dt t dt dt t t dt t tt t s . 22. 计算曲线)3(3x x y -=上相应于1x 3的一段弧的长度解 xx x y 31-= xx y 2121-='xx y 4121412+-=' )1(2112xx y +='+所求弧长为3432)232(21)1(213131-=+=+=⎰x x x dx xx s23. 计算半立方抛物线32)1(32-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度解 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=3)1(32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为)36 ,2( )36 ,2(-所求弧长为⎰'+=21212dxy s因为 2)1(22-='x y y yx y 2)1(-=' )1(23)1(32)1()1(34242-=--=-='x x x y x y所以 ]1)25[(98)13(13232)1(2312232121-=--=-+=⎰⎰x d x dx x s24. 计算抛物线y 2=2px 从顶点到这曲线上的一点M (x , y )的弧长.解 ⎰⎰⎰+=+='+=y yydy y p p dy p y dy y x s 02202021)(1)(1y y p y p y p y p 022222])ln(22[1++++=py p y py p p y 2222ln22++++=. 25. 计算星形线t a x 3cos =, t a y 3sin =的全长.解 用参数方程的弧长公式. dt t y t x s ⎰'+'=2022)()(4π⎰⋅+-⋅=202222]cos sin 3[)]sin (cos 3[4πdt t t a t t aa tdt t 6cos sin 1220==⎰π.26. 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直 使细线与圆周始终相切 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线 它的方程为 )sin (cos t t t a x +=)cos (sin t t t a y -=计算这曲线上相应于t 从0变到的一段弧的长度解 由参数方程弧长公式 ⎰⎰+='+'=ππ22022)sin ()cos ()]([)]([dt t at t at dt t y t x s202ππa tdt a ==⎰27. 在摆线x =a (t -sin t ) y =a (1-cos t )上求分摆线第一拱成13的点的坐标解 设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0) 则⎰⎰+-='+'=0220220]sin [)]cos 1([)]([)]([)(t t dt t a t a dt t y t x t s)2cos 1(42sin 2000t a dt t a t -==⎰当t 02时 得第一拱弧长s (2)8a 为求分摆线第一拱为1 3的点为A (x y ) 令ata 2)2cos 1(40=-解得320π=t 因而分点的坐标为横坐标aa x )2332()32sin 32(-=-=πππ纵坐标aa y 23)32cos 1(=-=π故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a -π 28. 求对数螺线θρa e =相应于自=0到=的一段弧长.解 用极坐标的弧长公式. θθθρθρϕθθϕd ae e d s a a ⎰⎰+='+=022022)()()()()1(1122-+=+=⎰θϕθθa a e aa d e a . 29. 求曲线=1相应于自43=θ至34=θ的一段弧长解 按极坐标公式可得所求的弧长 ⎰⎰-+='+=3443222344322)1()1()()(θθθθθρθρd d s23ln 12511344322+=+=⎰θθθd30. 求心形线=a (1+cos 的全长.解 用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2a d a 82cos 40==⎰πθθ. 习题6-31. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm, 计算所作的功.解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 182160260===⎰s k ksds W k(牛×厘米). 2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少解 由玻-马定律知:ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV .设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P , π-=80800)(x P .功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π, 所求功为2ln 8008018000080800)10(4004002πππππ=-=-⋅⋅=⎰⎰dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是hR mgRhW +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径;(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg, 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km.证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功dy y kMm dW 2=, 所求的功为 )(2h R R mMh k dy y kMm W hR R+⋅==⎰+. (2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以23)(cx t x v ='=, 阻力4229t kc kv f -=-=. 而32)(cx t =, 所以 34323429)(9)(x kc cx kc x f -=-=. 功元素dW =-f (x )dx , 所求之功为 37320343203432072799)]([a kc dx x kcdx x kc dx x f W a aa===-=⎰⎰⎰. 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在击第一次时, 将铁钉击入木板1cm. 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次时, 铁钉又击入多少？解 设锤击第二次时铁钉又击入h cm, 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比, 即f =kx , 功元素dW =fdx =kxdx ,击第一次作功为k kxdx W 21101==⎰,击第二次作功为)2(212112h h k kxdx W h+==⎰+. 因为21W W =, 所以有 )2(21212h h k k +=, 解得12-=h (cm).6. 设一锥形贮水池, 深15m, 口径20m, 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3210-=, 功元素为dx x x dx r x dW 22)3210(-=⋅=ππ,所求功为⎰-=1502)3210(dx x x W π⎰+-=15032)9440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m. 求闸门上所受的水压力.解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为xdx dx x dP 221=⋅⋅=, 闸门上所受的水压力为21252252===⎰x xdx P (吨)=205. 8(kN).8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力.解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为11)43()43(2222=+-y x .压力元素为dx x x dx x y x dP 22)43()43(38)(21--⋅=⋅⋅=,所求压力为 ⎰⎰-⋅⋅+=--⋅=222322cos 43cos 43)sin 1(4338)43()43(38ππtdx t t dx x x P ππ169cos 49202==⎰tdx (吨)=17.3(kN).(提示: 积分中所作的变换为t x sin 4343=-)9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m, 高为20m. 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力. 解 建立坐标系如图. 直线AB 的方程为 x y 1015-=,压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21-⋅=⋅⋅=,所求压力为1467)5110(200=-⋅=⎰dx x x P (吨)=14388(千牛).10. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm, 试求它每面所受的压力.解 建立坐标系如图.腰AC 的方程为x y 32=, 压力元素为dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=,所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=⎰x x dx x x P (克).(牛).11. 设有一长度为l 、线密度为m 的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为 dy ya Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为, dF ry dF y =.dF r adF x -=2202222022)(1)(la a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +-=++-=+⋅-=⎰⎰μμμ, )11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +-=++=+⋅=⎰⎰μμμ. 12. 设有一半径为R 、中心角为 的圆弧形细棒, 其线密度为常数m . 在圆心处有一质量为m 的质点F . 试求这细棒对质点M的引力.解 根据对称性, F y =0. θμcos 2⋅⋅⋅=R dsm G dF x θθμθθμd RGm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=, θθμϕϕd R Gm F x ⎰-=22cos2sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==⎰. 引力的大小为2sin 2ϕμR Gm , 方向自M 点起指向圆弧中点.总 习 题 六1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足⎰⎰+=+300112111dt t dt t x.因为212]12[1100-+=+=+⎰x t dt t x x, 1]12[2111213030=+=+⎰t dt t , 所以 1212=-+x , 45=x (m).2. 求由曲线r =a sin q , r =a (cos q +sin q )(a >0)所围图形公共部分的面积. 解⎰++⋅=432222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 24322241)2sin 1(28a d a a -=++=⎰πθθπππ3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 且当x Î[0, 1]时, y ³0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为94, 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.解 因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0 0) 所以c 0 从而 bxax y +=2抛物线bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为 23)(102ba dx bx ax S +=+=⎰令9423=+b a 得968ab -=该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为)235()(221022ab b a dx bx ax V ++=+=⎰ππ)]968(2)968(315[22a a a a -+-+=π令0)]128(18181863125[=-+-⋅+2=a a a d dV π 得35-=a 于是b 24. 求由曲线23x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 所求旋转体的体积为πππ7512722240274023=⋅=⋅=⎰x dx x x V5. 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 )2(122312⎰--⋅⋅=dx x x V π22224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=-⎰-tdt t t x 令6. 抛物线221x y =被圆322=+y x 所需截下的有限部分的弧长.解 由⎪⎩⎪⎨⎧==+222213x y y x 解得抛物线与圆的两个交点为)1 ,2(- )1 ,2( 于是所求的弧长为 202222])1ln(2112[212x x x x dx x s ++++=+=⎰)32ln(6++=7. 半径为r 的球沉入水中, 球的上部与水面相切, 球的比重与水相同, 现将球从水中取出, 需作多少功? 解 建立坐标系如图将球从水中取出时球的各点上升的高度均为2r 在x 处取一厚度为dx 的薄片 在将球从水中取出的过程中薄片在水下上升的高度为r x 在水上上升的高度为r x 在水下对薄片所做的功为零 在水上对薄片所做的功为dxx r x r g dW ))((22--=π对球所做的功为 g r x d x r x r g W r r 22234))((ππ=--=⎰-8. 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成角斜沉于液体内, 长边平行于液面而位于深h 处, 设a >b , 液体的比重为, 试求薄板每面所受的压力.解 在水面上建立x 轴 使长边与x 轴在同一垂面上长边的上端点与原点对应 长边在x 轴上的投影区间为[0 b cos ] 在x 处x 轴到薄板的距离为h x tan 压力元素为dx x h ga dx a x h g dP )tan (cos cos )tan (ααρααρ+=⋅⋅+⋅= 薄板各面所受到的压力为)sin 2(21)tan (cos cos 0αρααραb h gab dx x h ga P b +=+=⎰ 9. 设星形线t a x 3cos = t a y 3sin =上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方, 在原点O 处有一单位质点, 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.解 取弧微分ds 为质点 则其质量为ds y x ds y x 322322)()(+=+其中tdtt a dt t a t a ds cos sin 3])sin [(])cos [(2323='+'= 设所求的引力在x 轴、y 轴上的投影分别为F x 、F y 则有⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds y x x y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds y x y y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π所以)53 ,53(22Ga Ga =F。
高等数学第六章答案
高等数学第六章答案第六章定积分的应用第二节定积分在几何上的应用1? 求图中各阴影部分的面积?（1）(2) 1 1. 632? 332 (4)? 3 (3)2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积?(1) 6??(2)4? 33?ln2? 21 (3)e??2? e(4)b?a93? ? 414? （1）?21（2）?4 35? (1) ?a2?(2) 32?a? 82 (3)18?a? ?6? （1）2?（2）?4? ?35? 4（3）及?2?cos2??6?127．求下列已知曲线所围成的图形? 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：（1）y?x和x轴、向所围图形，绕x轴及y轴。
21（2）y?x2和y2?8x,绕x及y轴。
2（3）x??y?5??16,绕x轴。
2（4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，绕。
（5）摆线x=a?t-sint?,y?a?1?cost?的一拱,y?0，绕x轴。
??482413（1,;(2)?,?;(3)160?2;(4)?;(5)5?2a3. 525568．由y?x3? x?2? y?0所围成的图形? 分别绕x轴及y轴旋转? 计算所得两个旋转体的体积?128?? 764? Vy?5 Vx?9．把星形线x2/3?y2/3?a2/3所围成的图形? 绕x轴旋转? 计算所得旋转体的体积?10．（1）证明由平面图形0?a?x?b? 0?y?f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为V?2?32?a3 105?xf(x)dx? 证明略。
a 2b （2）利用题（1）结论? 计算曲线y?sin x(0?x??)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积? 2?11．计算底面是半径为R的圆? 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积?3R? 22312．计算曲线y?x2上相应于3?x?8的一段弧的弧长。
12 33213．计算曲线y?ln(1?x)上相应于0?x?11的一段弧的弧长。
数学史习题及答案
第六讲思考题解析几何产生的时代背景是什么解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。
文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。
机械的广泛使用，促使人们对机械性能进行研究，这需要运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题，这些问题的合理解决需要正确的数学计算；航海事业的发展向天文学，实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法，望远镜与显微镜的发明，提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题。
在数学上就需要研究求曲线的切线问题。
所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决，于是，人们就试图创设变量数学。
作为代数与几何相结合的产物――解析几何，也就在这种背景下问世了。
解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。
从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。
生产实践积累了大量的新经验，并提出了大量的新问题。
可是，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题的新数学方法。
第七讲思考题谈谈您对于“读读欧拉，他是我们大家的老师”（拉普拉斯语）的看法莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家。
他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。
欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。
他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。
他的全部创造在整个物理学和许多工程领域里都有着广泛的应用。
欧拉的数学和科学成果简直多得令人难以相信。
他写了三十二部足本著作，其中有几部不止一卷，还写下了许许多多富有创造性的数学和科学论文。
数学史朱家生习题答案
数学史朱家生习题答案数学史朱家生习题答案数学作为一门古老而又重要的学科，其历史可以追溯到古代文明的起源。
在数学的发展过程中，许多数学家都做出了重要的贡献，其中朱家生是中国数学史上的一位重要人物。
本文将通过回答一些与朱家生相关的习题，来探讨他的数学思想和贡献。
1. 朱家生是谁？他的数学成就有哪些？朱家生（1916-2004）是中国著名的数学家，他在数学教育和研究领域做出了重要的贡献。
他曾任教于北京大学，并担任中国数学会主席。
朱家生的数学成就包括但不限于：在数论和代数几何方面作出了重要的研究，提出了朱家生猜想，并在数学教育改革中起到了重要的推动作用。
2. 朱家生猜想是什么？它为数学界带来了什么影响？朱家生猜想是一个关于数论中的整数分拆问题的猜想。
具体来说，它猜测了任何一个正整数都可以表示为不同奇素数的和。
这个猜想在数论领域引起了广泛的关注，并且至今尚未被证明或者推翻。
朱家生猜想的提出激发了许多数学家对整数分拆问题的研究，推动了相关领域的发展。
3. 朱家生如何影响了数学教育改革？朱家生在中国的数学教育改革中起到了重要的推动作用。
他提倡“数学思维”的培养，强调数学教育应该注重培养学生的创造力和解决问题的能力。
他主张通过培养学生的数学素养来提高整个国家的科学技术水平。
朱家生的观点对中国的数学教育产生了深远的影响，推动了数学教育的改革和发展。
4. 朱家生的数学思想有哪些特点？朱家生的数学思想具有以下几个特点：首先，他注重数学的实际应用。
他认为数学应该与实际问题相结合，通过解决实际问题来推动数学的发展。
其次，他强调数学的创造性思维。
他认为数学不仅仅是一种工具，更是一种思维方式，通过培养学生的创造力和解决问题的能力来推动数学的发展。
最后，他重视数学教育的普及。
他认为数学是一门普及的学科，应该为更多的人所了解和掌握，通过数学的普及来提高整个社会的科学素养。
5. 朱家生对中国数学界的影响是什么？朱家生对中国数学界的影响是深远的。
高等数学第六章习题及答案
微分方程习题课基本概念基本概念一阶方程一阶方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.线性方程类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.线性方程7.伯努利方程7.伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性方程解的结构二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式f(x)的形式及其特解形式高阶方程高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非全微分方程非变量可分离非全微分方程非变量可分离幂级数解法幂级数解法降阶作变换作变换积分因子1、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．dxx f dy y g )()(=形如(1) 可分离变量的微分方程解法∫∫=dx x f dy y g )()(分离变量法2、一阶微分方程的解法)(x yf dx dy =形如(2) 齐次方程解法xyu =作变量代换)(111c y b x a c by ax f dxdy++++=形如齐次方程．,01时当==c c ，令k Y y h X x +=+=,（其中h 和k 是待定的常数）否则为非齐次方程．(3) 可化为齐次的方程解法化为齐次方程．)()(x Q y x P dxdy=+形如(4) 一阶线性微分方程,0)(≡x Q 当上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.,0)(≡x Q 当齐次方程的通解为.)(∫=−dxx P Cey （使用分离变量法）解法非齐次微分方程的通解为∫+∫=−∫dx x P dx x P eC dx e x Q y )()(])([（常数变易法）(5) 伯努利(Bernoulli)方程nyx Q y x P dxdy )()(=+形如)1,0(≠n 方程为线性微分方程.时，当1,0=n 方程为非线性微分方程.时，当1,0≠n解法需经过变量代换化为线性微分方程．,1nyz −=令.))1)((()()1()()1(1∫+∫−∫==−−−−c dx e n x Q ez ydxx P n dxx P n n),(),(=+dy y x Q dx y x P 其中dyy x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=形如(6) 全微分方程xQ y P ∂∂=∂∂⇔全微分方程注意：解法¦应用曲线积分与路径无关.∫∫+=yy xx dyy x Q x d y x P y x u 0),(),(),(0,),(),(00x d y x P dy y x Q xx yy ∫∫+=.),(c y x u =§用直接凑全微分的方法.通解为3、可降阶的高阶微分方程的解法解法),(x P y =′令特点.y 不显含未知函数),()2(y x f y ′=′′型)()1()(x f yn =接连积分n 次，得通解．型解法代入原方程, 得)).(,(x P x f P =′,P y ′=′′),(x P y =′令特点.x 不显含自变量),()3(y y f y ′=′′型解法代入原方程, 得).,(P y f dydpP =,dydp P y =′′４、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:)1(0)()(=+′+′′y x Q y x P y 形如定理1 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解,那末2211y C y C y +=也是(1)的解.（21,C C 是常数）定理2：如果)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解, 那么2211y C y C y +=就是方程(1)的通解.（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:)2()()()(x f y x Q y x P y =+′+′′形如定理 3 设*y 是)2(的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么*y Y y +=是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.定理4 设非齐次方程(2)的右端)(x f 是几个函数之和, 如)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+′+′′而*1y 与*2y 分别是方程,)()()(1x f y x Q y x P y =+′+′′ )()()(2x f y x Q y x P y =+′+′′的特解, 那么*2*1y y +就是原方程的特解.５、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(x f y P y P yP yn n n n =+′+++−−L 形如n 阶常系数线性微分方程=+′+′′qy y p y 二阶常系数齐次线性方程)(x f qy y p y =+′+′′二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.2=++q pr r 0=+′+′′qy y p y 特征根的情况通解的表达式实根21r r ≠实根21r r =复根βαi r±=2,1xr x r eC e C y 2121+=xr ex C C y 2)(21+=)sin cos (21x C x C e y xββα+=特征方程为1)1(1)(=+′+++−−y P y P yP yn n n n L 特征方程为0111=++++−−n n n nP r P r P r L 特征方程的根通解中的对应项rk 重根若是rxk k exC x C C )(1110−−+++L β±αj k 复根重共轭若是xk k k k ex xD x D D x xC x C C α−−−−β++++β+++]sin )(cos )[(11101110L L 推广：阶常系数齐次线性方程解法n６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(x f qy y p y =+′+′′二阶常系数非齐次线性方程型)()()1(x P e x f m xλ=解法待定系数法.,)(x Q e x y m xkλ=设⎪⎩⎪⎨⎧=是重根是单根不是根λλλ2,10k型]sin )(cos )([)()2(x x P x x P e x f n l xωωλ+=],sin )(cos )([)2()1(x x R x x R e x y mmxkωωλ+=设次多项式，是其中m x R x R mm)(),()2()1({}n l m ,max =⎩⎨⎧±±=.1;0是特征方程的单根时不是特征方程的根时ωλωλj j k7、欧拉方程欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.x t e x tln ==或)(1)1(11)(x f y p y x p yxp yx n n n n n n =+′+++−−−L 的方程(其中n p p p L 21,形如叫欧拉方程.为常数)，二、典型例题.)cos sin ()sin cos (dy x yx x y y x dx x y y x y x y −=+求通解例1解原方程可化为),cos sin sin cos (xyx y x y x yx y x y x y dx dy −+=,xyu =令.,u x u y ux y ′+=′=代入原方程得),cos sin sin cos (uu u uu u u u x u −+=′+,cos 2cos sin x dx du u u uu u =−分离变量两边积分,ln ln )cos ln(2C x u u +=−,cos 2xCu u =∴,cos 2x C x y x y =∴所求通解为.cos C xy xy =.32343y x y y x =+′求通解例2解原式可化为,32342y x y xy =+′,3223134x y x y y =+′−−即,31−=y z 令原式变为,3232x z xz =+′−,322x z x z −=−′即对应齐方通解为,32Cx z =一阶线性非齐方程伯努利方程,)(32x x C z =设代入非齐方程得,)(232x x x C −=′,73)(37C x x C ′+−=∴原方程的通解为.73323731x C x y ′+−=−利用常数变易法.212yy y ′+=′′求通解例3解.x 方程不显含,,dy dPP y P y =′′=′令代入方程，得,212y P dydP P +=,112y C P =+解得，,11−±=∴y C P ,11−±=y C dxdy即故方程的通解为.12211C x y C C +±=−.1)1()1(,2=′=−=+′−′′y y e xe y y y xx 求特解例4解特征方程,0122=+−r r 特征根,121==r r 对应的齐次方程的通解为.)(21xe x C C Y +=设原方程的特解为,)(2*xe b ax x y +=,]2)3([)(23*xe bx x b a ax y +++=′则,]2)46()6([)(23*xe b x b a x b a ax y +++++=′′代入原方程比较系数得将)(,)(,***′′′y y y ,21,61−==b a 原方程的一个特解为,2623*xx e x e x y −=故原方程的通解为.26)(2321x x xe x e x e x C C y −++=,1)1(=y Q ,1)31(21=−+∴e C C ,]6)1()([3221xe x x C C C y +−++=′,1)1(=′y Q ,1)652(21=−+∴e C C ,31121+=+e C C ,651221+=+e C C 由解得⎪⎩⎪⎨⎧−=−=,121,61221e C e C 所以原方程满足初始条件的特解为.26])121(612[23x x xe x e x e x e e y −+−+−=).cos (x x y y 2214+=+′′求解方程例5解特征方程,042=+r 特征根,22,1i r ±=对应的齐方的通解为.2sin 2cos 21x C x C Y +=设原方程的特解为.*2*1*y y y +=,)1(*1b ax y +=设,)(*1a y =′则,0)(*1=′′y ，得代入x y y 214=+′′，x b ax 2144=+由，04=b ，214=a 解得，0=b ，81=a ;81*1x y =∴),2sin 2cos ()2(*2x d x c x y +=设,2sin )2(2cos )2()(*2x cx d x dx c y −++=′则,2sin )44(2cos )44()(*2x dx c x cx d y +−−=′′，得代入x y y 2cos 214=+′′故原方程的通解为.2sin 81812sin 2cos 21x x x x C x C y +++=,2cos 212sin 42cos 4x x c x d =−由，04=−c ，214=d 即，81=d ，0=c ;2sin 81*2x x y =∴.)(),(1)()(2此方程的通解（２）的表达式；（１），试求：的齐次方程有一特解为，对应有一特解为设x f x p x xx f y x p y =′+′′例6解（１）由题设可得：⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+),()1)((2,02)(223x f xx p x x x p 解此方程组，得.)(,)(331x x f xx p =−=（２）原方程为.313x y x y =′−′′，的两个线性无关的特解程是原方程对应的齐次方显见221,1x y y ==是原方程的一个特解，又xy 1*=由解的结构定理得方程的通解为.1221xx C C y ++=例7求微分方程()423d d 0y x y xy x −+=解原方程变形为23d 3,d x x x y y y−=−即223d 62,d x x y y y−=−此是关于函数的一阶线性非齐次微分方程,()2x f y =的通解.由求解公式得66d d 23e 2ed y y y yx y y C −⎛⎞∫∫=−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠∫6463d 2.y y C y Cy y ⎛⎞=−+=+⎜⎟⎝⎠∫再作变换则有方程1,z u −=例8求解方程2d cos cos sin sin .d y y x y y x−=解令则原式为sin ,u y =2d cos .d u u x u x−=⋅此方程为伯努利方程,d cos .d zz x x+=−由积分公式, 得该方程的通解为()1sin cos e .2xz x x C −=−++从而得到原方程的通解()11sin sin cos e .2x y x x C −⎡⎤=−++⎢⎥⎣⎦⑵证明当时满足不等式例9设在时所定义的可微函数满足条件1x>−()g x ()()()()01d 0,011xg x g x g t t g x ′+−==+∫⑴求(),g x ′()e1.xg x −≤≤证⑴原方程变形为()()()()01d .xx g x g x g t t ′++=⎡⎤⎣⎦∫两端求导, 得()g x 0x ≥()()()()()()1,x g x g x g x g x g x ′′′′++++=⎡⎤⎣⎦令则原方程化为(),g x p ′=()()d 120,d px x p x +++=由条件所设即方程⑴()()001,g g ′=−=−01,x p ==−即2d ,1dp x x p x +=−+⑴()1e .1xg x p x −′==−+两端积分, 并由初始条件, 得⑵函数在上满足拉格郎日中值定理的条件, ()g x []0,x ()()()()()e 000,0,1g x g g x x x x ξξξξ−′−=−=−><<+从而有故当时, 又当()()01,g x g <=() 1.g x ≤0x ≥()()1ee e 0,1x x xf xg x x −−−′′=+=−≥+所以当时单调增加, 于是()f x 0x ≥因此时, 令则()()e ,xf xg x −=−()()()()e0010,x f x g x f g −=−≥=−=即综合以上得, 当时有,()e .x g x −≥0x ≥()e 1.x g x −≤≤例12 设()()()0sin d ,x f x x x t f t t =−−∫().f x 解因()()()00sin d d ,x xf x x xf t t tf t t =−+∫∫两边求导, 得()()()()0cos d xf x x f t t xf x xf x ′=−−+∫()0cos d ,xx f t t =−∫再次求导, 得()f x 其中为连续函数, 求()()sin ,f x x f x ′′=−−即()()sin .f x f x x ′′+=−并有初始条件对应的齐次方程的通()()00,0 1.f f ′==12sin cos .y C x C x =+设非齐次方程的特解是()*sin cos ,y x a x b x =+解是由待定系数法得10,.2a b ==121sin cos cos .2y C x C x x x =++由初始条件, 得121,0,2C C ==()11sin cos .22f x x x x =+即即原方程的通解为。
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1.解析几何产生的背景是什么?在那个时期哪些问题导致了人们对运用代数方法处理几何问题的兴趣?
解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求．文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代．机械的广泛使用，促使人们对机械性能进行研究，这需要运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和
流体力学的问题，这些问题的合理解决需要正确的数学计算；航海事业的发展向天文学，实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法，望远镜与显微镜的发明，提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题．在数学上就需要研究求曲线的切线问题．所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决，于是，人们就试图创设变量数学．作为代数与几何相结合的产物――解析几何，也就在这种背景下问世了．2、笛卡尔研究解析几何的出发点是什么？他又是怎么得到解析几何思想的？
答：笛卡儿对数学方法的深入研究，是他断定数学可以有效地应用到其他科学上去。
他分析了古代已有的几何学和当时已经定型的代数学的优缺点，批评希腊几何过于抽象，并且过多地依靠图形，而代数则使人受到某些规则和公式的约束。
他提出“寻求另外一种包含这两门科学的好处而没有他们的缺点的方法。
”当他看到代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力，便着手把代数用到几何上去。
在《几何学》一书中，他仿造韦达的方法，用代数来解决几何作图的问题，比希腊人有了明显进展。
（在变量的理解和应用上。
希腊人无法处理三个以上变量的乘积。
而笛卡儿是从纯数学方面考虑，所以可以处理三个以上的变量的乘积。
）笛卡儿之所以能创立解析几何，主要是他勇于探索，勤于思考。
运用科学方法的必然结果。
3.阐述费马的主要数学成就.
(1)对解析几何的贡献
费马独立于勒奈·笛卡儿发现了解析几何的基本原理。
1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。
他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。
并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。
费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的数学工作略有言及。
但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费马的工作却是开创性的。
(2)对微积分的贡献
16、17世纪，微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠。
人所共知，牛顿和莱布尼茨是微积分的缔造者，并且在其之前，至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作。
但在诸多先驱者当中，费马仍然值得一提。
曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。
这项工作较为古老，最早可追溯到古希腊时期。
阿基米德为求出一条曲线所包任意图形的面积，曾借助于穷竭法。
由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘、直到16世纪才又被重视。
由于约翰尼斯开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。
尽管这种方法并不完善，但却为自卡瓦列里到费马以来的数学家开辟厂一个十分广阔的思考空间。
费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。
(3)对概率论的贡献
早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论，但是对其有数学的描述和处理却是15世纪以后的事。
l6世纪早期，意大利出现了卡尔达诺等数学家研究骰子中的博弈机会，在博弈的点中探求赌金的划分问题。
到了17世纪，法国的帕斯卡和费马研究了意大利的帕乔里的著作《摘要》，建立了通信联系，从而建立了概率学的基础。
(4)对数论的贡献
17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家丢番图所写的《算术》一书。
l621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。
费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。
费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有：
费马大定理：n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。
这个是不定方程，它已经由英国数学家怀尔斯证明了(1995年)，证明的过程是相当艰深的！
费马小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一个素数，a是正整数，它的证明比较简单。
事实上它是Euler定理的一个特殊情况，Euler 定理是说：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整数，φ(n)是Euler 函数，表示和n互素的小于n的正整数的个数.
(5)对光学的贡献
费马在光学中突出的贡献是提出最小作用原理，也叫最短时间作用原理。
这个原理的提出源远流长。
早在古希腊时期，欧几里得就提出了光的直线传播定律相反射定律。
后由海伦揭示了这两个定律的理论实质——光线取最短路径。
经过若干年后，这个定律逐渐被扩展成自然法则，并进而成为一种哲学观念。
—个更为一般的“大自然以最短捷的可能途径行动”的结论最终得出来，并影响了费马。
费马的高明之
处则在于变这种的哲学的观念为科学理论。
费马同时讨论了光在逐点变化的介质中行径时，其路径取极小的曲线的情形。
并用最小作用原理解释了一些问题。
这给许多数学家以很大的鼓舞。
尤其是莱昂哈德·欧拉，竟用变分法技巧把这个原理用于求函数的极值。
这直接导致了拉格朗日的成就，给出了最小作用原理的具体形式：对一个质点而言，其质量、速度和两个固定点之间的距离的乘积之积分是一个极大值和极小值；即对该质点所取的实际路径来说，必须是极大或极小。
4、试比较笛卡尔和费马的思想方法与现代解析几何的异同。
答：在解析几何的研究过程中费马的工作与笛卡儿工作的共同之处是都没有负坐标，但是，两人研究坐标几何的方法大不相同。
笛卡儿批评了希腊的传统，而且主张同这些传统决裂；费马则着眼于继承希腊人的思想，认为他自己的工作是重新表达了阿波罗尼斯的工作。
真正的发现—代数方法的威力—是属于笛卡儿的，他知道自己是在改造古代的方法。
因此，和费马的方法相比，笛卡儿的方法具有普遍性，而且就潜力而论也适用于更一般的曲线。
随着解析几何自身的产生和发展，“曲线”概念得到进一步深化。
解析几何把“曲线”概括为任意的几何图形，开辟了用代数方法研究几何问题的新思路。
其次，笛卡儿和费马发明的解析几何，把二维平面上的点和有序实数对（x，y）之间对应起来，以此类推，提出了高维空间的理论，这是现代数学极其重要的思想。
19世纪以后，经典
解析几何已经发展的相当完备，但解析几何依然充满活力。
事实上，现代数学中的两个很有生命的分支—泛函分析和代数几何，在很大程度上都是解析几何的直接延续。