热学第六章课后习题答案

第六章热学答案1． 解 ：由致冷系数2122T T T A Q -==ε ()J T T AT Q 421221025.121102731000⨯=-⨯=-= 2．解：锅炉温度K T 4832732101=+=，暖气系统温度K T 333273602=+=，蓄水池温度K T 288273153=+=。

kg 0.1燃料燃烧放出的热量为1Q热机的工作效率1212111T T Q Q Q A-=-==η，向制冷机做功)1(121T T Q A -=，热机向暖气系统放热分别为11212Q T T A Q Q =-=；设制冷机的制冷系数32343T T T A AQ A Q -=-==ε， A T T T T T T T T T A Q ⋅-⋅-=-+=3221213234)1(暖气系统得到热量为：112322112421Q T T T T T Q T T Q Q Q ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=+=1123231Q T T T T T ⋅-T -= cal 41049.115000483333288333288483⨯=⨯⨯⨯--=3．解：（1）两个循环都工作与相同绝热线，且低温T 不变，故放热相同且都为2Q ，在第一个循环过程中221212111Q A Q Q Q T T +-=-=-=η，2122T T AT Q -=；在第二个循环过程中高温热源温度提高到3T 的循环过程中2223232111Q A Q Q Q T T +-=-=-=η，23222T T T A Q -=；因此23222122T T T A T T AT Q -=-=解得()()K T T A A T T 473173373800106.12733211223=-⨯+=-+=（2）效率增大为：3.424732731132=-=-=T T η ％ 4．解：热机效率1211T T Q A -≤，当取等号时1Q 最小，此时1211T T Q A-=，()J T T AT T T A Q 552111211075.2502732502732502731005.11⨯=--++⨯=-=-=，热力学第一定律A Q Q -=12，当1Q 最小时，2Q 最小，J A Q Q 555121070.11005.11075.2⨯=⨯-⨯=-=J5 ．解：121T T -=η 4674.017273121=-+=-=ηT T 当η增加为 50 ％时，5605.017273'1=-+=T高温热源需要增加的温度为：△934675601'1=-=-=T T T K 6．解：将1Kg25℃的水制成-10℃需要提取的热量为： Q=80+×10+1×25=×105cal/kg 由212T T T -=ε此制冷机的制冷系数为卡诺制冷系数的31，故有()AQT T T 2212133=-==εε∴()21223T T AT Q -=每小时制冰为：()2123T T q AT q Q M -===()8.2226330818.4101.13106.3150026353=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯Kg 7．证明：如图所示：封闭的曲线ABCDA 为任意可逆循环过程这一可逆循环过程经历的最高温度为m T ，最低温度为n T图中还表示出用一连串微小的可逆卡诺循环去代替这一循环。

很容易看出，任意两个相邻的可逆卡诺循环总有一段绝热线是共同的，但进行的方向相反，因而效果完全抵消，所以这一串微小的卡诺循环总效果就是图中的任意循环ABCDA任意微小的卡诺循环的效率为：'1'2'1i i T T -=η工作在m T ，n T 之间的卡诺循环的效率为：m nT T -=1η∵ n i T T >'2 m i T T <'1∴ηη<'设任意小循环从高温热源吸收热量为1i Q ，向低温热源放出的热量为2i Q ，其效率为12'1i i Q Q -=η，由前面的证明知η<-121i i Q Q ∴()121i i Q Q η->，全部小循环吸收和放出的热量的总效果等于整个可逆循环过程吸收和放出的热量，对所有小循环求和()∑∑-=ii ii Q Q121η，ABCD ii iii i QQQ ηη=->∑∑∑121其中ABCD η为任意可逆循环ABCDA 的效率。

由此可知，任意可逆循环过程的效率，不可能大于工作在所经历的高温度与最低温度之间的可逆卡诺循环的效率。

若ABCDA 为不可逆循环过程，则分成的每一微小卡诺循环也不一定可逆，其效率小于与之相当的可逆循环的效率。

结果效率更小。

所以说：注意循环过程的效率，不可能大于工作于它所经历的最高热源和最低温度之间的可逆卡诺循环的效率。

8．证明：假设工作物质为一摩尔气体，其状态方程为：()RT b v p =-，工作物质在等压膨胀中吸收的热量为：bv b v RT b v dvRT pdv Q v v v v --=-==⎰⎰12111ln 2121工作物质在等温压缩中放出的热量为：bv b v RT b v dvRT pdv Q v v v v --=-==⎰⎰43222ln 4343此气体的绝热方程为：()常量=--11γT b v 因状态1，4在同一绝热线上，状态2，3在同一绝热线上则可得：()()'22'11T b v T b v -=-()()'23'12T b v T b v-=-∴b v b v b v b v --=--4312 热机的效率21121422121ln ln 11T T b vb v RT b v b v RT Q Q -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=η 证毕。

9． 证明：p T p T v u vT -⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ （1）()RT v ap b v =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2∴2v a b v RT p --=∴p T p T v u v T -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ∴22v a v a b v RT b v RT p T p T v u vT =+---=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂（2）⎰⎰⎰+=+=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=T T v v v v vT dT c v dv a du dT c dv v a dT T p dv v u du 0022∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎰00110v v a dT c u u T T v (3)设v c 为常数则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=00011v v a T c T c u u v v 令：020'T c v au u v -+=20'vaT c u u v -+= 10． 证明：在准静态过程中：dA du = pdv dA -=利用上题结果dv vadT c du v 2+=∴dv v ab v RT pdv dv v a dTc v ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=+22 dv b v RTdT c v --= dv bv RTdT c v --=积分得：()C b v c R T v +--=ln ln ∴()常数=-v c r b v T11． 证明：把上题结果()常数=-vc r b v T 代入范式公式：()RT v ap b v =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2可得：()常数=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+2v a p b v vv C R c 12． 证明：引用第九题之结果dv v adT c du v 2+=在绝热过程中 dA du =13． 证明：dv v s dT T s ds T v ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂= dv v s T dT T s T Tds Tv ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= T vT v v s T dT c dv v s T dT T s T Tds ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=利用麦氏方程 dv T p dT c Tds T p v s vv v T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂设s,v 分别为：p,T 的函数则 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂dT T v dp p v T p T dT c dT T s dp p s T p T v v p T 把上式应用于等压过程即dp=0 ,dT T v T p T dT c dT T s T pv v p ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ p v v p T v T p T c T Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ pv vp T v T p T c c ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=- 对范式方程： ()RT v a p b v =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2()32b -v RT R v b v a T v p --=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ b v R T p v-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ()R v ap b v T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2()()()323222121RTv b v a R v b v a b v RT R b v R v a p b v R c c v p --=----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-14． 解： 在焦耳实验中气体向真空中膨胀的过程为准静态绝热过程；在此过程中0=dA .......①引用12题的结果：范德尔瓦斯气体进行准静态绝热过程时，气体对外作的功为:()⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=212111v v a T T c A v ……②， 由①②得：()0112121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---v v a T T c v ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-211211v v c aT T v15． 解: 24.30.410.21102.838.36.31122112-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--v v c a T T vK 16． 解：气体的等温膨胀过程为等焓过程21H H = 221121v p v p u u -=-……①引用12题的结果，范德尔瓦斯气体内能变化的为：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-12121211v v a T T c u u v ……②有范式方程： ()RT v ap b v =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2得：b v RTb v a RT pv --=2……③把②③代入①式： ()()12112212121211T T R b v b RT b v b RT v a v a v v a T T c v --⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--- ∴⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-b v b RT b v b RT v a v a R c T T v 11221212221 17． 解：一摩尔气体在节流膨胀前可看作是范式气体，节流膨胀后可看作理想气体，则节流前气体内能变化为：bv b RT v a RT v p -+-=111111……② 由理想气体方程：222RT v p = ……③ 把①②③代入221112v p v p u u -=-，得： ()()bv b RT v a T T R v a T T c v -+---=+-11112112∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=-=∇1111221v a b v b RT R a T T T 当△T=0时1112v a b v b RT =- Ra v Rb a T 21211-= 在左图曲线可以看出当△T=0时v 1的变化范围为∞→b ，1T 的变化为Rba20→，当b v <1时，01<T 无意义 18． 解：从上题左图来看Rb a T 20=为范式气体节流膨胀发生零效应时，气体初态温度的上极限值，=⨯⨯⨯⨯⨯==-6.3910102.11035.12232602Rb a TN 830K =⨯⨯⨯⨯⨯==-4.23101021.810033.02232102Rb a TH 34K 19． 解：因气体经历一准静态绝热过程且系统为孤立系，据热力学第一定律A u u =-12 A=0……①引用12题结论：凡是气体进行准静态过程式气体对外做功为：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1221211v v a T T c A v γγ……②达到新的平衡后，A n 摩尔气体所占的体积为：B A A A n n n v +=γ22 A n 摩尔气体所占的体积为：BA BB n n n v +=γ22把②式应用于两组气体的绝热过程：()()021212221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+=B B A B A B A A B A v vn n n v an vn v v v an T T n n c A ()()()()[]()22122B A B A B B A A B A v n n v a n n n n n n v a T T n n c +-+++=-+ ()[]()22222222B A B A B A n n va n n n n v a --=--+= ∴()()2122B A B A v n n n n ac aT T -+-=-20． 解 ：有第五章第十四题结果看：水蒸汽的凝结热为：KgKJQ 41.2444= 水蒸汽的凝结热为水时熵的变化为：Kg K TTT d s s •⨯-=-=---⎰301023.8θθ 21． 解：设计下列可逆过程进行计算：O H 2（气，24℃，1bar ）−→−∇1s O H 2（汽，24℃，）−→−∇2s O H 2（饱和水，24℃，） K J p p R Tp p RT TQ s 19.295125.331.8029824.01ln 31.8lnln 212111=⨯=====∇引用上题结果：95.1181023.810001832-=⨯⨯-=∇s mol J 22． 解：见图235页6—18，（1）空气由atm p 401= K T 2601=节流膨胀到：atm p 12=是一等焓过程，从图中可查出K T 2502=温度降低10K （2）若等焓过程膨胀到atm p 102= K T 902=温度降低170K 23． 解：１—３中：1313ln 31T T c T dTc Td s s p T T p ===-⎰⎰θ 在３—２中：3223ln 23T T c T dT c T d s s v T T v ===-⎰⎰θ ()32121332133212ln ln ln lnT TR T T c T T c T T c s s s s s s p p v -=+=-+-=- ∵3122T p T p = 1232p p T T = ∴121212ln ln p pR T T c s s p -=-利用６．２１式计算一摩尔理想气体的熵为：∴状态１的熵值：0111ln ln s p R T c s p +-= 状态２的熵值为：0222ln ln s p R T c s p +-=∴121212ln lnp pR T T c s s p -=-结果相同 24．解：两部分液体在定压下达到新的平衡态后其温度为：()1221T T + ()221212ln 122T T T mc T dT c m T d m s p T T T p +===∇⎰⎰+θ()1212112ln 121T T T mc T dTc m Td m s p T T T p +===∇⎰⎰+θ 系统的熵变为： ()2!221121221214ln 2ln 2ln T T T T mc T T T T T T mc s s s p p +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∇+∇=∇ 当21T T ≠时，存在2122212T T T T >+，由此得：()212214T T T T >+则()04ln 21221>+TT T T ∴0〉s ∇熵是增加的25． 解：第五章习题１５的数据为在１０atm 下从K K 1200300→范围内铜的定压摩尔热容量为：b ac p +=4103.2⨯=a92.5=bpc 单位kmol J⋅∴()⎰⎰⎰⎰⎰+=+===∇12003001200300dT b T dT a TdTbT a T dT c T d s p θ()mol K Jb a •⨯=⨯+⨯=-+=441073.390092.5103.230012003001200ln 26． 解：（1）()13121212ln ln ln 21V V c V V c T T c T dTc T Qd s s p p p T T p p =====-⎰⎰ν312123)(23ln ln ln 32V V c T T c T T c T dT c T Q d s s v v v T T v V =====-⎰⎰ν()mol K JR V V R V Vc V V c s s s s s s v p •===+=-+-=-75.52ln ln ln ln133113231213（2）mol K J R V V R V V RT T T Q d s s T •===⨯==-⎰75.52ln ln ln 1131311)(13 （3）014==-⎰TQd s s 414343ln ln 34T T c T T c T Qd c s s p p T T p===-⎰ν ……① 而41-的绝热过程有： γγγγγγγγ11313213214141----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=V V T T p p p p T T代入①式：2ln ln 4.114.127ln 1311343R V V R V V c s s p =⋅-⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--γγ()molK JR s s s s s s •==-+-=-75.52ln 144313故由3条路径计算的值相同27． 解：APB 为等温过程，在此过程中，系统吸收的热量'Q 为：的面积的面积矩形的面积PB N '∇++∇=MCDB AMP Q∴的面积的面积PB N Q '∇-∇=-AMP Q ，这两个微小三角形的面积为两个无穷小量的面积，由此可见为二界无穷小量Q '-Q28． 解：（1）cal 400200600Q Q A 21=-=-= （2）K cal T Q T Q s b 5.02002004006002211=-=-=∇（3）可逆机经一循环后热源和工作物质熵不变（4）可逆机0221'1=-=∇T Q T Q s cal T Q T Q 400200200400221'1=⨯== cal A 200200400=-=29． 解：（1）实际制冷机比可逆机额外需要的功b s T T Q T Q T T Q T Q A ∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∇1221112211 （2）cal A T T 100502005040020011000012=⨯==-=-=η 30． 证明：见图p258(6-30图)以z y x n n n 为坐标轴的三维空间中单位体积内含有一个点对应分子的一种力学状态（1）令2222R n n n z y x =++当e=E 时mE hR 21π=E e ≤的点数<即状态数>完全处于第一象限空间中，以R 为半径的球内立体积内有一点，故可用适当条件的点，所分布的体积来表数,⎪⎭⎫⎝⎛=33481R w π 在E 和E+△E 能量范围内的点，完全处于第一象限空间中半径 厚度为?dR 的薄球壳内：dE L mhL mE dR R dw 2122248112222ηππππ⨯=⨯= ()EdE m h V23322π由此可见每一分子的力学状态数与体积V 成正比。