(3份试卷汇总)2019-2020学年内蒙古包头市高一数学下学期期末调研试题
2019-2020学年内蒙古包头市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年内蒙古包头市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．与直线3x﹣4y+5＝0关于坐标原点对称的直线方程为（）A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0 2．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＜3．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（）①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形．A．1B．2C．3D．44．点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是（）A．1B．C．2D．25．已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．若a1＝a3，则a1＝a2B．若a2＞a1，则a3＞a2C．a1+a3≥2a2D．a12+a32≥2a226．在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝7：3：5，那么这个三角形的最大角是（）A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图所示，该几何体由平面将正方体截去一部分后所得，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（）A．B．C．D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为线段AB，DD1的中点，则异面直线B1P与CQ所成角的大小为（）A．B．C．D．9．已知点A（﹣4，0），B（3，﹣1），若直线y＝kx+2与线段AB恒有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）10．已知0＜a＜1，0＜b＜1，则+++的最小值为（）A．2B．2C．2D．411．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥A﹣BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝2，BD＝2，且三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（）A．12B．18C．24D．3612．已知函数y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，若数列{a n}满足a n＝f（0）+f（）+f （）+…+f（）+f（1），则数列{a n}的前10项和为（）A．B．33C．D．34二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上对应题的横线上．13．已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为．14．关于x的一元二次方程mx2﹣（1﹣m）x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是．15．《莱因德纸草书》（RhindPapyus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使得每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的1份为．16．设三棱锥S﹣ABC的底面和侧面都是全等的正三角形，P是棱SA的中点．记直线PB 与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则a，β，γ中最大的是，最小的是．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．已知x＞y＞0，z＞0，求证：（1）＜；（2）（x+y）（x+z）（y+z）＞8xyz．18．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝﹣，β是第三象限角．（1）求cos（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2，b＝，B＝2A．（1）求sin A；（2）求△ABC的面积．20．已知A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），试求点D的坐标，使四边形ABCD为等腰梯形．21．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n═2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．22．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，B1E⊥EC．（1）证明：B1E⊥平面EBC；（2）若点E为棱AA1的中点，AB＝2；（i）求四棱锥E﹣BB1C1C的体积；（ii）求直线EC1与平面BB1C1C所成角的正弦值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．与直线3x﹣4y+5＝0关于坐标原点对称的直线方程为（）A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0解：设直线3x﹣4y+5＝0点Q（x1，y1）关于点M（0，0）对称的直线上的点P（x，y），∵所求直线关于点M（0，0）的对称直线为3x﹣4y+5＝0，∴由中点坐标公式得＝0，＝0；解得x1＝﹣x，y1＝﹣y代入直线3x﹣4y+5＝0，得3（﹣x）﹣4（﹣y）+5＝0，整理得：3x﹣4y﹣5＝0，即所求直线方程为：3x﹣4y﹣5＝0．故选：D．2．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＜解：A．c＝0时不成立；B．成立．C．a＜b＜0，则a2＞ab＞b2．因此不成立．D．a＜b＜0，则＞．因此不成立．故选：B．3．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（）①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形．A．1B．2C．3D．4解：用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，变为原来的，所以②错误；对于③，相等的角在直观图中不一定相等，如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45°和135°，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①，共1个．故选：A．4．点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是（）A．1B．C．2D．2解：∵点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，∴|OP|的最小值是点O到直线x+y﹣2＝0的距离，∴则|OP|的最小值是d＝＝．故选：B．5．已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．若a1＝a3，则a1＝a2B．若a2＞a1，则a3＞a2C．a1+a3≥2a2D．a12+a32≥2a22解：根据题意，依次分析选项：对于A，若q＝﹣1，则有a1＝a3，但a1＝﹣a2，A错误；对于B，若a1＜0，且q＝﹣1，则有a2＞0＞a1，但a3＜0＜a2，B错误；对于C，若a1＜0，且q＜0时，a1+a3＜0，a2＞0，则有a1+a3＜2a2，C错误；对于D，由基本不等式的性质可得：a12+a32≥2a1a3＝2a22，D正确；故选：D．6．在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝7：3：5，那么这个三角形的最大角是（）A．B．C．D．解：设三角形的三边长分别为a，b，c，根据正弦定理化简已知的等式得：a：b：c＝7：3：5，设a＝7k，b ＝3k，c＝5k，可得a为最大边，A为三角形最大角，根据余弦定理得cos A＝＝＝﹣，∵A∈（0，π），∴A＝．则这个三角形的最大角为．故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，该几何体由平面将正方体截去一部分后所得，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（）A．B．C．D．解：设正方体的棱长为a，由几何体的三视图得到截去的部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示，∴截去几何体的体积V1＝，剩余几何体的体积为V2＝a3﹣V1＝＝，∴截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为：＝＝．故选：C．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为线段AB，DD1的中点，则异面直线B1P 与CQ所成角的大小为（）A．B．C．D．解：取AA1中点E，AE中点F，连结BE，PF，FC1，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4，∵点P，Q分别为线段AB，DD1的中点，∴PF∥BF∥CQ，∴∠FPB1是异面直线B1P与CQ所成角（或所成角的补角），PF＝＝，PB1＝＝2，FC1＝＝5，∴PF2+B1P2＝FB12，∴异面直线B1P与CQ所成角为．故选：A．9．已知点A（﹣4，0），B（3，﹣1），若直线y＝kx+2与线段AB恒有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）解：直线y＝kx+2经过定点M（0，2），点A（﹣4，0），B（3，﹣1），直线MA的斜率为＝，直线MB的斜率为＝﹣1，∵直线y＝kx+2与线段AB恒有公共点，故k≥，或k≤﹣1，故选：D．10．已知0＜a＜1，0＜b＜1，则+++的最小值为（）A．2B．2C．2D．4解：如图，令O（0，0），C（0，1），A（1，0），B（1，1），可得+++＝|PO|+|PC|+|PA|+|PB|，又|PO|+|PC|+|PA|+|PB|≥|AC|+|OB|＝2．则+++的最小值为2．故选：B．11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥A﹣BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝2，BD＝2，且三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（）A．12B．18C．24D．36解：若三棱锥A﹣BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝2，BD＝2，如图所示：所以CD＝，所以S表面积＝6×2×2＝24．故选：C．12．已知函数y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，若数列{a n}满足a n＝f（0）+f（）+f （）+…+f（）+f（1），则数列{a n}的前10项和为（）A．B．33C．D．34解：∵a n＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），∴a n＝f（1）+f（）+f（）+…+f（）+f（0），又f（x）+f（1﹣x）＝1，∴+…+＝n+1，∴．∴数列{a n}的首项a1＝1，公差为d＝．则数列{a n}的前10项和为．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上对应题的横线上．13．已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为﹣3．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，﹣1）．化z＝x+2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1+2×（﹣1）＝﹣3．故答案为：﹣3．14．关于x的一元二次方程mx2﹣（1﹣m）x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（）．解：由于关于x的一元二次方程mx2﹣（1﹣m）x+m＝0没有实数根，故它的判别式△＝（1﹣m）2﹣4m•m＜0，且m≠0，求得m＞或m＜﹣1，故m的范围为（﹣∞，﹣1）∪（）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（）．15．《莱因德纸草书》（RhindPapyus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使得每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的1份为．解：设每人分得的数量构成等差数列{a n}，d＞0，则a5+a4+a3＝7（a1+a2），S5＝100，所以，解可得，a1＝，d＝，∴a5＝＝．故答案为：16．设三棱锥S﹣ABC的底面和侧面都是全等的正三角形，P是棱SA的中点．记直线PB 与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则a，β，γ中最大的是α，最小的是β．解：如图，取BC中点D，作SO⊥平面ABC于点O，由题意知O在AD上，且AO＝2OD，作PE∥AC，PE∩SC＝E，作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABC，取AC中点M，连结BM，SM，设SM交PE于点H，连结BH，由题意知BH⊥PE，作PG⊥AC于点G，连结FG，由面面垂直的性质定理可得FG⊥AC，作FN⊥BM于点N，由作图知平面PGF∥平面SMB，PH∥FN，∴PH＝FN，∴直线PB与直线AC所成角α＝∠BPE，直线PB与平面ABC所成角β＝∠PBF，二面角P﹣AC﹣B的平面角γ＝∠PGF，cosα＝＝cosβ，∵α，β∈[0，]，∴α＞β，∵tanγ＝＞＝tanβ，且γ∈[0，]，∴γ＞β，设AB＝2，则PH＝，PB＝BH＝SN＝BM＝＝，PG＝＝，GF＝＝＝，BH＝＝，cosα＝＝＜cosγ＝＝＝，∴α＞γ．∴a，β，γ中最大的是α，最小的是β．故答案为：α；β．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．已知x＞y＞0，z＞0，求证：（1）＜；（2）（x+y）（x+z）（y+z）＞8xyz．【解答】证明：（1）因为x＞y＞0，∴，∴，∴，又z＞0，∴＜．（2）∵x＞y＞0，z＞0，∴，∴，当且仅当x＝y＝z时，等号成立，∵x＞y，∴上式中等号不能同时取得，∴（x+y）（x+z）（y+z）＞8xyz．18．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝﹣，β是第三象限角．（1）求cos（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．解：（1）已知sinα＝，α∈（，π），所以，由于cosβ＝﹣，β是第三象限角．所以．故：cos（α+β）＝．（2）由于，，故＝19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2，b＝，B＝2A．（1）求sin A；（2）求△ABC的面积．解：（1）由正弦定理知，＝，因为B＝2A，所以＝，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以sin A＝＝．（2）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以，整理得，2c2﹣5c+2＝0，解得c＝2或．当c＝2＝a时，有A＝C，因为B＝2A，所以A＝C＝，所以sin A＝，与（1）中结论相矛盾，不符合题意，故c＝．所以△ABC的面积＝＝．20．已知A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），试求点D的坐标，使四边形ABCD为等腰梯形．解：∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），设D（x，y），若AB∥DC，则，解得，或（此时，ABCD为平行四边形，故舍去）．若AD∥BC，则，求得，或（此时，ABCD为平行四边形，故舍去）．当AC∥BD时，根据四边形ABCD字母顺序可得，它根本不会是梯形，不满足条件．综上，点D的坐标为（﹣2，3）、（﹣，）．21．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n═2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，整理，得，解得，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（2）由题意，令b n＝，则b n＝＝，则T n＝b1+b2+b3+…+b n＝1+++…+，T n＝++…++，两式相减，可得T n＝1+++…+﹣＝1+（1++…+）﹣＝1+﹣＝3﹣，∴T n＝6﹣．22．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，B1E⊥EC．（1）证明：B1E⊥平面EBC；（2）若点E为棱AA1的中点，AB＝2；（i）求四棱锥E﹣BB1C1C的体积；（ii）求直线EC1与平面BB1C1C所成角的正弦值．解：（1）证明：由长方体的性质可知，BC⊥平面ABB1A1，∵B1E⊂平面ABB1A1，∴BC⊥B1E，∵B1E⊥EC，BC∩EC＝C，BC、EC⊂平面EBC，∴B1E⊥平面EBC．（2）（i）由（1）知，∠BEB1＝90°，由题设可知，Rt△ABE≌Rt△A1B1E，∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝2，AA1＝2AE＝4，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，∴点E到平面BB1C1C的距离d＝AB＝2，∴四棱锥E﹣BB1C1C的体积V＝•d•＝＝．（ii）取棱BB1的中点F，连接EF、C1F，则EF∥AB，EF＝AB＝2，∵AB⊥平面BB1C1C，∴EF⊥平面BB1C1C，则∠EC1F为直线EC1与平面BB1C1C所成的角．在Rt△FB1C1中，FC1＝＝＝，∴tan∠EC1F＝＝＝，∴sin∠EC1F＝．故直线EC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为．。
2019-2020学年内蒙古包头市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年内蒙古包头市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．与直线3450x y -+=关于坐标原点对称的直线方程为（ ） A ．3450x y +-= B ．3450x y ++= C ．3450x y -+= D ．3450x y --=【答案】D【解析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设所求对称直线上任意一点的坐标为(),x y ，则关于原点对称点的坐标为(),x y --，该点在已知的直线上，则3450x y -++=，即3450x y --=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题. 2．下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b >>，则22a b > C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0a b <<，则11a b< 【答案】B【解析】取特殊值判断,,A C D 选项，根据不等式的性质判断B 选项. 【详解】解：A 中，2c =0时，22ac bc =； B 中，0a b >>，由性质7可得22a b >；C 中，令2,1a b =-=-，则224,2,1a ab b ===，显然22a ab b >>；D 中，令2,1a b =-=-，则111,12a b =-=-，显然11a b>. 故选：B 【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，属于基础题.3．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（ ） ①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等； ③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据斜二侧画法的基本概念和作图原则，对每一个选项进行判断，即可得到结果． 【详解】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于x 轴的线段，长度不变，平行于y 轴的线段，变为原来的12，所以②错误； 对于③，相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45︒和135︒，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误； 综上，正确的命题序号是①，共1个． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了斜二侧画法的基本概念和作图原则，是基础题．4．点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是（ ） A ．1 BC ．2D．【答案】B【解析】利用点到直线的距离公式，求出原点到直线20x y +-=的距离，即为OP 的最小值. 【详解】原点到直线20x y +-===. 故选：B. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 5．已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A ．若13a a =，则12a a =B ．若21a a >，则32a a >C ．1322a a a +≥D ．2221322a a a +≥【答案】D【解析】利用等比数列的通项公式和性质，结合基本不等式，逐项进行判断即可． 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，若13a a =，则211a a q =，∴21q =，∴1q =±，∴12a a =或12a a =-，故A 不正确； 若21a a >，则11a q a >，所以2111321()q q a a a a a q q a --==-，当0q >时，32a a >；当0q <时，32a a <，故B 不成立.若130,0a a >>，则1232a a a +≥==，当且仅当13a a =，即1q =±时取等号；若130,0a a <<，则[]13132()()2a a a a a =+-+-≤==-，当且仅当13a a -=-，即1q =±时取等号，故C 不正确； 因为2222221322((2))a a a a q a q +=+≥，当且仅当2222()()aa q q=，即1q =±时取等号，故D 正确. 故选：D ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质、基本不等式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用基本不等式和等比数列的性质．6．在△ABC 中，sin :sin :sin 7:3:5A B C =，那么这个三角形的最大角是（ ） A ．π2B ．2π3C ．4π5D ．5π6【答案】B【解析】由正弦定理，可得::7:3:5a b c =，设()7,3,50a k b k c k k ===>，易知该三角形的最大角是角A ，由余弦定理，可求出cos A ，进而可求出角A . 【详解】由正弦定理，::sin :sin :sin 7:3:5a b c A B C ==， 设()7,3,50a k b k c k k ===>， 显然该三角形的最大角是角A ，由余弦定理，可得222222925491cos 22352b c a k k k A bc k k +-+-===-⨯⨯，因为()0,πA ∈，所以2π3A =. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 7．某几何体的三视图如图所示，该几何体由一平面将正方体截去一部分后所得，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【解析】如图，正方体截去三棱锥D ABC -后，所得图形为三视图所对应的几何体，设正方体的棱长为()0a a >，求出正方体的体积为V ，及三棱锥D ABC -的体积，从而可求出截去几何体的体积与剩余几何体的体积的比值. 【详解】如下图，正方体截去三棱锥D ABC -后，所得图形为三视图所对应的几何体，设正方体的棱长为()0a a >，则正方体的体积为3V a =， 三棱锥D ABC -的体积为3111326V a a a a '=⨯⨯⨯=，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为333116156aV V V a a '=='--. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图，考查几何体的体积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.8．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，,P Q 分别为111,A B CC 的中点，则异面直线1B C和PQ 所成的角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角. 【详解】解：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则()0,2,0C ，()12,2,2B ，()2,1,2P ，()0,2,1Q()2,1,1PQ ∴=--，()12,0,2CB =设异面直线1B C 和PQ 所成的角为θ，则(11cos 2PQ CB PQ CB θ⋅===⋅- 0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6πθ∴=故选：A【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.9．已知点(4,0)A -，(3,1)B -，若直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．1(,1],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】作出图形，直线2y kx =+恒过定点()0,2C ，求出AC 、BC 的斜率，由直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，可求出k 的取值范围. 【详解】直线2y kx =+恒过定点()0,2C ， 直线AC 的斜率()1201042k -==--，直线BC 的斜率()221103k --==--，当12k ≥或1k ≤-时，直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点.故选：D. 【点睛】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中等题． 10．已知01a <<，01b <<，则22222222(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++-+-++-+-的最小值为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．4【答案】B【解析】根据两点之间的距离公式，令()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,(,)P A B a C b O ，可得22222222(1)(1)(1)(1),,,a b PO a b PC a b PA a b PB+=+-=-+=-+-=，做出草图，再根据三角形的性质，即可求出结果． 【详解】如图，令()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,(,)P A B a C b O ，则22222222(1)(1)(1)(1)a b PO a b PC a b PA a b PB +=+-=-+=-+-=可得22222222(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++--+-+-PO PC PA PB =+++，又在PAC 中，PA PC AC +>，在POB 中，PO PB OB +>22PO PC PA PB AC OB +++>+=当P 是AC 与OB 的交点时，=22PO PC PA PB AC OB ++++= 所以22PO PC PA PB AC OB +++≥+=22222222(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++--+-+-2 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式的应用，函数最值得几何意义，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥A BCD -为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，2AB BC ==，22BD =，且三棱锥A BCD -的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（ ） A ．12 B ．18C ．24D ．36【答案】C【解析】根据题意作出四个面都为直角三角形的三棱锥A BCD -，并根据该三棱锥的特点，作出满足题意的正方体，由此可知DC 为该正方体的一条棱，再根据题中所给数据，即可求出结果. 【详解】由于在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且四个面都为直角三角形，作出三棱锥A BCD -，如下图所示：其中DC BC ⊥，DC AC ⊥，又AC BC C =，所以DC ⊥平面ABC ；又因为三棱锥A BCD -四个面都为直角三角形且四个顶点都在一个正方体的顶点上， 所以该正方体如下图所示，可知DC 为正方体的一条棱；又2AB BC ==，22BD =， 所以在Rt BCD 中，22842DC BD BC =-+=-=;该正方体的表面积为26224⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线面垂直关系，同时考查了对三棱锥的认识和空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的前10项和为（ ） A ．652 B ．33C ．672D ．34【答案】A【解析】根据()(1)1f x f x +-=，并结合倒序相加法可求出12n n a +=，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，121(1)(0)n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，由①+②可得21n a n =+，12n n a +∴=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前10项和为10110165222+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.故选：A. 【点睛】本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足101x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值为________.【答案】3-【解析】画出不等式组所对应的可行域，当目标函数2z x y =+过点P 时，z 取得最小值，求解即可.【详解】画出不等式组所对应的可行域，如下图阴影部分，当目标函数2z x y =+过点P 时，z 取得最小值， 联立01x y y -=⎧⎨=-⎩，解得1x y ==-，即()1,1P --，所以2z x y =+的最小值为()1213-+-=-. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14．若关于x 的方程2(1)0mx m x m +-+=没有实数根，则实数m 的取值范围是 .【答案】1(,1)(,)3-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：若,则,有实数根,故,由题设,即,解之得或,故应填1(,1)(,)3-∞-⋃+∞.【考点】二次不等式及解法．15．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使得每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最大的1份为________. 【答案】1153【解析】设每个人所得由少到多为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，公差为d ，从而可得()1134512754551010021a d a d a a a a a ⨯⎧+=+=⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩，进而求出5a 即可. 【详解】设每个人所得由少到多为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，公差为d ， 由题意，()1134512754551010021a d a d a a a a a ⨯⎧+=+=⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩，即()1111112204723d d a d a a a a d a d +=⎧⎨++=+++++⎩， 整理得11220112a d a d +=⎧⎨=⎩，解得153556a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以最大的1份为5155511544363a a d =+=+⨯=. 故答案为：1153. 【点睛】 本题考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、双空题16．设三棱锥S ABC -的底面和侧面都是全等的正三角形，P 是棱SA 的中点.记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则α，β，γ中最大的是_________，最小的是________.【答案】α β【解析】作出线线角α，线面角β，二面角γ，根据它们的正弦值，比较出它们的大小关系.【详解】作//PD CA 交SC 于D ，由于AB BC CA ==，SA SB SC ==，所以S ABC -为正三棱锥，由对称性知BD PB =，取PD 中点E ，连接BE ，作EH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接BH ， 作PF ⊥平面ABC ，交平面ABC 于F ，连接BF ，作PG AC ⊥，交AC 于G ，连接GF ，所以BE PD ⊥，由于//PD AC ，所以BPD α=∠，由于PF ⊥平面ABC ，所以PBF β=∠，由于PG AC ⊥，PF ⊥平面ABC ，所以PGF γ=∠，222sin BE EH BH EH EH BP BP BP BPα+==>=， 因为//PD CA ，E 在PD 上，EH ⊥平面ABC 于H ，PF ⊥平面ABC 于F ， 所以EH PF =.所以sin PF EH BP BPβ==.所以sin sin αβ>， 由于,αβ都是锐角，所以αβ>，由于P 在SA 上，由对称性PB CP =，而CP PG >，则sin sin PF PF PF PG CP BPγβ=>==，由于γ也是锐角，所以γβ>， 由PB BG <,222sin BE EH BH EH EH PF BP BP BP BP BP α+==>==sin PF PG γ>=，所以αγ 综上所述，三个角中的最小角是β，最大角是α.故答案为：①α；②β.【点睛】本小题主要考查线线角、线面角、二面角的概念，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.四、解答题17．已知0x y >>，0z >，求证：（1）z z x y<； （2）()()()8x y x z y z xyz +++>.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由0x y >>，可得11y x >，结合0z >，可得z z x y<；（2）由0x >，0y >，0z >，利用基本不等式可得x y +≥，x z +≥，y z +≥，三个式子相乘，进而可证明结论成立.【详解】证明：（1）因为0x y >>，所以0xy >，10xy>， 于是11x y xy xy ⋅>⋅，即11y x>， 由0z >，得z z x y <.（2）因为0x >，0y >，0z >，所以x y +≥x z +≥，y z +≥，所以()()()8x y x z y z xyz +++≥=，当且仅当x y z ==时，等号同时成立，因为x y >，所以上式中等号不能同时取得. 所以()()()8x y x z y z xyz +++>.【点睛】本题考查不等式的证明，考查不等式的性质、基本不等式的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.18．已知4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 5β=-，β是第三象限角. （1）求cos()αβ+的值；（2）求tan()αβ-的值.【答案】（1）25；（2）2 【解析】（1）求出cos α及sin β，进而利用cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，可求出答案；（2）由sin tan cos ααα=，sin tan cos βββ=，并结合tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+，可求出答案.【详解】 由4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3cos 5α===-，由cos β=，β是第三象限角，得sin β===. （1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-34555525⎛⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由sin tan s 43co ααα==-，sin tan 2cos βββ==， 得42tan tan 3tan()241tan tan 123αβαβαβ----===+⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的运用，考查两角和与差的余弦、正切公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2a =，b =2B A =. （1）求sin A ；（2）求△ABC 的面积.【答案】（1（2【解析】（1）由正弦定理可得2sin A ==cos A ，进而可求出sin A ； （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可求出c ，进而由△ABC 的面积1sin 2ABC S bc A =，可求出答案. 【详解】（1）由正弦定理，sin sin a b A B=，即2sin A ==因为0πA <<，所以sin 0A >，所以22cos A =，即cos A =.所以sin 4A ===.（2）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，即2222c c =+-， 整理得22520c c -+=，解得2c =或12c =. 当2c =时，a c =，得A C =，又2B A =，故π4A C ==，π2B =，所以b ==b = 当12c =时，经检验符合题意.所以△ABC 的面积111sin 222416ABC Sbc A ==⨯=. 【点睛】 本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20．已知(3,0)A -，(1,0)B ，(0,3)C ，试求点D 的坐标，使四边形ABCD 为等腰梯形.【答案】(2,3)-或163,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设所求点D 坐标为(,)x y ，若//AB CD ，则||||BC AD =，可求出,x y ；若//AD BC ，则|||AB CD=∣，可求出,x y ，即可得出点D 坐标. 【详解】设所求点D 坐标为(,)x y .①若//AB CD ，||||BC AD =，则3y =⎧= 解得23x y =-⎧⎨=⎩或43x y =-⎧⎨=⎩， 当23x y =-⎧⎨=⎩时，经验证AB CD ≠，符合题意； 当43x y =-⎧⎨=⎩时，4AB ==，4CD ==，AB CD =，不符合题意，舍去；②若//AD BC ，|||AB CD =∣，则030301y x --⎧=⎪+-=，解得16535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或43x y =-⎧⎨=⎩， 当16535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，经验证AD BC ≠，符合题意； 当43x y =-⎧⎨=⎩时，AD ==BC ==AD BC =，不符合题意，舍去. 综上，所求点D 的坐标为(2,3)-，或163,55⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查等腰梯形的性质，考查平行线的性质，考查两点间距离公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列12-⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n a 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）12362n n n T -+=- 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由424S S =，221n n a a =+，可得()1111143442(21)22(1)1d a a a d a n d a n d ⨯⎧+=++⎪⎨⎪+-=+-+⎩，即可求出1a ，d ，进而可求出{}n a 的通项公式； （2）由112122n n n a n ---=，进而可利用错位相减法求出该数列的前n 项和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =，221n n a a =+， 则()1111143442(21)22(1)1d a a a d a n d a n d ⨯⎧+=++⎪⎨⎪+-=+-+⎩，即1121d a a d =⎧⎨=-⎩， 解得11a =，2d =.所以21n a n =-.（2）由112122n n n a n ---=， 则2313572112222n n n T --=+++++①， 23111352321222222n n n n n T ---=+++++②， ①-②得，2221111111212123222231222222212n n n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=++++-=+-=--. 故12362n n n T -+=-. 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查利用错位相减法求数列的前n 项和，考查学生的计算求解能力，属于中档题.22．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1B E EC ⊥.（1）证明：1B E ⊥平面EBC ；（2）若点E 为棱1AA 的中点，2AB =.①求四棱锥11E BB C C -的体积；②求直线1EC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）①163；②33. 【解析】（1）由BC ⊥平面11ABB A ，可得1BC B E ⊥，结合1B E EC ⊥，可证明1B E ⊥平面EBC ；（2）①由1B E ⊥平面EBC ，可得1B E BE ⊥，进而可证明11ABE A B E ≌，可知11A B E ABE ∠=∠，从而111145A B E A EB ︒∠=∠=，由AB ⊥平面11BB C C ，可知E 到平面11BB C C 的距离d AB =，进而可求出四棱锥11E BB C C -的体积;②先证明EF ⊥平面11BB C C ，从而可得1EF FC ⊥，即1EC F ∠为直线1EC 与平面11BB C C 所成的角，求解即可.【详解】（1）证明：由长方体1111ABCD A B C D -，可知BC ⊥平面11ABB A .∵1B E ⊂平面11ABB A ，∴1BC B E ⊥.∵1B E EC ⊥，BC EC C =，且,BC EC ⊂平面EBC ，∴1B E ⊥平面EBC .（2）①∵1B E ⊥平面EBC ，且BE ⊂平面EBC ，∴1B E BE ⊥，即190BEB ︒∠=，∵1190AEB A EB AEB ABE ︒∠+∠=∠+∠=，∴11A EB ABE ∠=∠，又111111AE EA AB A B BAE B A E =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴11ABE A B E ≌， ∴11A B E ABE ∠=∠，则111145A B E A EB ︒∠=∠=，∴1112A E A B ==.在长方体1111ABCD A B C D -中，1//AA 平面11BB C C ，1E AA ∈，AB ⊥平面11BB C C . ∴E 到平面11BB C C 的距离2d AB ==，∴四棱锥11E BB C C -的体积11624233V =⨯⨯⨯=. ②取F 为棱1BB 的中点，连接EF 、1C F ，则//EF AB .由题意知AB ⊥平面11BB C C ，所以EF ⊥平面11BB C C ，∵1FC ⊂平面11BB C C ，∴1EF FC ⊥，∴1EC F ∠为直线1EC 与平面11BB C C 所成的角.在11Rt A B E中，112B E A E =， 在11Rt EB C中，1EC ===于是11sin 3EF EC F EC ∠===. 所以直线1EC 与平面11BB C C所成的角的正弦值为3.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查线面角的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.。
2021-2022学年内蒙古包头市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若实数 ， 满足约束条件 则 的最小值是．
〖解析〗依题意，画出可行域（如图示），
则对于目标函数 ，
当直线经过 时， 取到最小值， ．
〖答案〗1
14．已知直线 平面 ，直线 平面 ，则下列四个命题：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中正确命题的序号是．
所以直线 的方程为 ，即 ，
（2）当直线 斜率存在时，设 方程为 ，即 ，
由 ，解得 ，直线 方程为 ，
当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，原点到 的距离为2，
C． D． 或
〖解析〗当直线过原点时，斜率等于 ，故直线的方程为 ，即 ，
当直线不过原点时，设直线的方程为： ，把 代入直线的方程得： ，
故求得的直线方程为： ，
综上，满足条件的直线方程为 或 ．
〖答案〗
9．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列说法中错误的
是
A．若 ，则 一定是等边三角形
则 ， ， ，故选项 不成立．
，
，
故 ．
〖答案〗
11．圆锥顶点为 ， 和 是两条互相垂直的母线， 与底面所成的角大小为 ，若 ，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
〖解析〗如图所示：
由已知得 为等腰直角三角形，又 ，所以 ，
又 与底面所成的角大小为 ，所以圆锥的高为 ，
圆锥的底面半径为 ，
所以该圆锥的体积为 ．
〖答案〗
12．若一个三角形三边长成公差为2的等差数列，且最大角为 ，则这个三角形的面积为
A．24B． C． D．
〖解析〗由题意可设，三条边长分别为 ， ， ，
内蒙古包头市2020年新高考高一数学下学期期末调研试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =,点O 为AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且90EOF ∠=︒，则EF 的最大值是( )A ．433B ．5C ．322D ．72．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，满足6210·a a a =，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若972b a =，则17S =（ ）A ．34B ．39C ．51D ．68 3．函数cos tan y x x =⋅ ()22x ππ-<<的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<5．记复数z 的虚部为Im()z ，已知z 满足12iz i =+，则Im()z 为（ ） A ．1-B ．i -C ．2D ．2i6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4540,a a a <>，则使0n S >成立的最小正整数n 为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．97．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别为圆12,C C 上的点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为( )A B 1 C ．6-D ．48．已知等差数列{}n a 中，若261,5a a =-=-，则7S =（ ） A ．-21B ．-15C ．-12D ．-179．已知数列{}n a 满足11a =，()*1(1)2n n n a a n +=-⨯∈N ，则4a =（ ）A ．4B ．-4C ．8D ．-810．150-︒的弧度数是（ ） A ．3π-B ．56π-C ．23π-D ．6π-11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC 是（ ） A ．纯角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形12．曲线13y =与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题13．已知直线l ：30mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与y轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________． 14．数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则5a =__________. 15．若关于x 的方程20x ax b ++=（,a b ∈R ）在区间[]13，有实根，则22(2)a b +-最小值是____． 16．若3x π=是方程2cos()1x α+=的解，其中(0,2)απ∈，则α=______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
内蒙古包头市2019-2020学年数学高一第一学期期末调研模拟试题
高一数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯： A.281盏B.9盏C.6盏D.3盏2．已知1a =，3b =，()3,1a b +=，则a b +与a b -的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 3．已知向量a 是单位向量，b ＝(3，4)，且b 在a 方向上的投影为74-，則2a b -= A.36B.21C.9D.64．执行如图所示的程序框图，若输人的n 值为2019，则S ＝A ．1-B ．12-C ．12D ．15．若函数y=f （x ）图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B]是函数y=f （x ）的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B]与[B ，A]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f （x ）=222040412324x x x x x x x x ，＜，，＞⎧⎪-+≤≤⎨⎪-+⎩，则此函数的“黄金点对“有（ ） A.0对B.1对C.2对D.3对6．平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=-，点M 满足3DM MC =，则(MA MB ⋅= )A ．1B ．1-C ．4D ．4-7．已知3220()()x x x f x g x x ⎧-≤=⎨>⎩为奇函数，则()g x =（ ） A ．322x x -- B ．322x x -+ C ．322x x -D ．322x x +8．设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是( )A.15-B.9-C.1D.99．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）A.51296π-B.296C.51224π-D.51210．已知2tan θ＝ ，则222sin sin cos cos θθθθ＋－ 等于( ) A ．－43B ．－65C ．45D ．9511．AQI 是表示空气质量的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据,图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201,则下列叙述不正确的是( )A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是4月9日C.这12天的AQI 指数值的中位数是90D.从4日到9日,空气质量越来越好12．一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 A ．B ．C ．D ．13．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色。
内蒙古包头市高一下学期数学期末考试试卷
内蒙古包头市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知函数 f(x)的定义域是(0，1)，那么 f(2x)的定义域是（）A . (0，1)B . ( ， 1)C . (－∞，0)D . (0，＋∞)2. （2 分） (2019 高二上·龙潭期中) 为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将 这 5 天中 14 时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月 14 时的平均气温低于 乙地该月 14 时的平均气温；②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；③甲地该月 14 时的平均 气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差；④甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气 温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④3. （2 分） (2016 高二上·河北期中) 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为 m 甲 ， m 乙 ，则（ ）第 1 页 共 13 页A.，m 甲＞m 乙B.，m 甲＜m 乙C.，m 甲＞m 乙D.，m 甲＜m 乙4. （2 分） (2017 高一上·深圳期末) 2001 年至 2013 年北京市电影放映场次的情况如图所示．下列函数模型 中，最不合适近似描述这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A . y=ax2+bx+cB . y=aex+bC . y=aax+bD . y=alnx+b5. （2 分） 已知 为两条不同直线， 为两个不同平面，则下列命题中不正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则第 2 页 共 13 页D.若，则6. （ 2 分 ） (2018· 广 东 模 拟 ) 在 ，则中，内角所对的边分别是，若（）A.B.C.D. 7. （2 分） 若， 则直线 ax+by+c=0 被圆所截得的弦长为（ ）A. B.１C.D. 8. （2 分） 平行于直线 2x＋y＋1＝0 且与圆 x2＋y2＝5 相切的直线的方程是（ ） A . 2x＋y＋5＝0 或 2x＋y－5＝0B . 2x＋y＋ ＝0 或 2x＋y－ ＝0 C . 2x－y＋5＝0 或 2x－y－5＝0D . 2x－y＋ ＝0 或 2x－y－ ＝09. （2 分） (2019 高二上·宁波期中) 长方体点，则异面直线与 所成角为（ ）第 3 页 共 13 页中，,为中A.B.C.D.10. （2 分） (2018·台州模拟) 已知圆 ：圆 引两条切线，为切点，则直线，点 为直线 经过定点（ ）A.B. C.D.上一动点，过点 向11. （2 分） 设正方体的棱长为 ,则它的外接球的表面积为（ ） A. B. C.D. 12. （ 2 分 ） (2019 高 三 上 · 湖 南 月 考 ) 已 知，若 分别是线段 的中点，则是圆 （）A.B. C . 12第 4 页 共 13 页的两个动点，D.4二、 填空题 (共 4 题；共 6 分)13. （1 分） (2016 高二上·温州期中) 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆，则圆锥的高是________，圆 锥的轴截面面积是________．14. （1 分） (2019 高二下·临海期中) 曲线 程为________．在点处的切线的斜率是________ ；切线方15. （2 分） (2019 高二上·宜昌月考) 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是________.16. （2 分） (2019 高三上·泰州月考) 已知向量 满足与 的夹角的正切为，，则的值为________.且 与 的夹角的正切为，三、 解答题 (共 6 题；共 28 分)17. （2 分） (2019 高一下·普宁期末) 某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类 工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该工厂的 工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）（1） A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人？（2） 从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2：表 1：生产能力分组人数48x53表 2：生产能力分组人数6y3618①先确定 x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与 B第 5 页 共 13 页类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）②分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据 用该区间的中点值作代表）图 1A 类工人生产能力的频率分布直方图图 2B 类工人生产能力的频率分布直方图18. （2 分） (2017·宝鸡模拟) 某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款为 2 万元，贷款期限 有 6 个月、12 个月、18 个月、24 个月、36 个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助 200 元、300 元、300 元、 400 元，从 2016 年享受此项政策的困难户中抽取了 100 户进行了调查，选取贷款期限的频数如表：贷款期限 频数6 个月 2012 个月 4018 个月 2024 个月 1036 个月 10以上表各种贷款期限频率作为 2017 年贫困家庭选择各种贷款期限的概率．（1） 某小区 2017 年共有 3 户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为 12 个月的概率；（2） 设给享受此项政策的某困难户补贴为 ξ 元，写出 ξ 的分布列，若预计 2017 年全市有 3.6 万户享受此 项政策，估计 2017 年该市共需要补贴多少万元．19. （2 分） (2015 高二上·承德期末) 已知点 P（0，2）和圆 C：x2+y2﹣8x+11=0．（1） 求过点 P，点 C 和原点三点圆的方程；（2） 求以点 P 为圆心且与圆 C 外切的圆的方程．20. （10 分） 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，bcosC+ bsinC﹣a﹣c=0．求证：A，B， C 成等差数列．21. （2 分） (2019 高二上·汇川期中) 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是平行四边形，PD⊥AB，O 是 AD 的中点，第 6 页 共 13 页BO＝CO.（1） 求证：AB⊥平面 PAD；（2） 若 AD＝2AB＝4， PA＝PD，点 M 在侧棱 PD 上，且 PD＝3MD，二面角 P－BC－D 的大小为 与平面 MAC 所成角的正弦值.，求直线 BP22. （10 分） (2020 高一下·潮州期中) 已知圆 C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线 3x﹣2y=0 对称， 且与直线 3x﹣4y+1=0 相切．（1） 求圆 C 的方程；（2） 若直线 l：y=kx+2 与圆 C 交于 M，N 两点，是否存在直线 l，使得 在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由．（O 为坐标原点）若存第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 6 分)参考答案13-1、 14-1、第 8 页 共 13 页15-1、16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 28 分)17-1、17-2、18-1、第 9 页 共 13 页18-2、 19-1、19-2、第 10 页 共 13 页20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2019-2020学年内蒙古包头市高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年内蒙古包头市高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.对任意的实数m，直线y=mx+n−1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n的取值范围是()A. [12,32] B. (12,32) C. [−√33,√33] D. (−√33,√33)2.设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则S5a2=()A. 2B. 4C. 152D. 3123.已知D是△ABC中AC边上一点，且ADDC =2+2√3，∠C=45°，∠ADB=60°，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 2B. 0C. √3D. 14.等腰三角形ABC中，AB=AC，其直观图可能是图中的()A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD=6cm，AD：DB=1：2，则AD的值是()A. 6cmB. 3√2cmC. 18cmD. 3√6cm6.一个几何体的三视图为下列图形，则这个几何体为()A. 圆锥B. 圆柱C. 棱锥D. 棱柱7.正△ABC中，过其中心G作边BC的平行线，分别交AB，AC于点B1，C1，将△AB1C1沿B1C1折起到△A1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M，则二面角A1−B1C1−M的平面角大小是()A. π6B. π4C. π3D. π28.设，则，，，中最大的一个是()A. B. C. D.9.已知约束条件对应的平面区域如图所示，其中对应的直线方程分别为：，若目标函数仅在点处取到最大值，则有A.B.C.D. 或10.正四棱锥则的底面边长为，高，则过点的球的半径为()A. 3B. 4C. 5D. 611.已知直线，若直线与关于直线对称，则的斜率为()A. −2B. −C.D. 212.德国数学家洛萨⋅科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1(出现1后运算结束).现在请你研究：如果对正整数5(首项)，按照上述规则实施变换，所得到的数组成一个数列(末项为1)，则这个数列的各项之和为多少()A. 34B. 35C. 36D. 37二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若tanα=12，tanβ=−13，则tan(α+β)=______．14.当x，y满足条件{y≥1x−y≥0x+2y−6≤0时，目标函数z=2x−y最小值是______．15.在等差数列{a n}中，若a4=4，a3+a5+a7=15，则前10项和S10=______．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，给出以下结论：①DB1⊥平面ACD1；②AD1//平面BCC1；③AD⊥平面D1DB；④平面ACD1⊥平面B1D1D；⑤AB与DB1所成的角为45°．其中所有正确结论的序号为______ (请把正确结论的序号都填上)．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.(1)求证：n∈N∗时，(√5+2)2n+1−(√5−2)2n+1为正整数；(2)设(√5+2)2n+1=m+α(m,n∈N∗,0<α<1)，求证：α(m+α)=1．18.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．其中A(2π3,2)，B(−7π3,0)．(Ⅰ)求ω、φ的值；(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅲ)求函数f(x)在[π,3π]上的值域．19.已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)+m，(m∈R)，在区间[0,π4]内最大值为√2，(1)求实数m的值；(2)在△ABC中，三内角A、B、C所对边分别为a，b，c，且f(34B)=1,a+c=2，求b的取值范围．20.在数列{a n}与{b n}中，数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+2n，数列{b n}的前n项和T n满足3T n=nb n+1，且b1=1，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅲ)设c n=b n(a n−1)n+1cos2nπ3，求数列{c n}的前n项和R n．21.求满足下列条件的直线的方程．(1)经过点A(3,2)，且与直线4x+y−2=0平行；(2)经过点B(3,0)，且与直线2x+y−5=0垂直．22.如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B−ACD，点M是棱BC的中点，DM=3√2.求证：(1)OM//平面ABD；(2)平面ABC⊥平面MDO．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了直线与椭圆的位置关系、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．直线方程与椭圆方程联立化为(1+4m 2)x 2+8m(n −1)x +4(n −1)2−1=0，由于直线y =mx +n −1与椭圆x 2+4y 2=1恒有公共点，可得△≥0，解出即可．解：联立{y =mx +n −1x 2+4y 2=1，化为(1+4m 2)x 2+8m(n −1)x +4(n −1)2−1=0， ∵直线y =mx +n −1与椭圆x 2+4y 2=1恒有公共点， ∴△=64m 2(n −1)2−4(1+4m 2)[4(n −1)2−1]≥0， 化为：4n 2−8n +3≤4m 2， 由于对于任意的实数m 上式恒成立， ∴4n 2−8n +3≤0， 解得12≤n ≤32． ∴n 的取值范围是[12,32]． 故选：A ．2.答案：D解析：解：S 5=a 1(1−25)1−2=31a 1，a 2=2a 1，则S5a 2=31a 12a 1=312．故选：D ．由公比q 的值，利用等比数列的前n 项和公式表示出S 5，利用通项公式表示出a 2，求出比值即可． 此题考查学生灵活等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．3.答案：B解析：解：令CD =t ，则AD =2(1+√3)t ， 在△BCD 中，由正弦定理CDsin15°=BDsin45°=BCsin120°， 可得BD =CD⋅sin45°sin15°=√22√6−√24t =(1+√3)t ，在△ABC 中，由余弦定理可得， AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BD ⋅cos60° =4(1+√3)2t 2+(1+√3)2t 2−4(1+√3)2t 2⋅12 =3(1+√3)2t 2， 则AB =√3(1+√3)t ， 由于AB 2+DB 2=AD 2， 则AB ⊥DB ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 故选：B ．令CD =t ，则AD =2(1+√3)t ，由正弦定理和余弦定理即可求得BD ，AB ，再由勾股定理可得AB ⊥DB ，则由向量垂直的条件即可得到所求值．本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．4.答案：D解析：解：由直观图的画法可知，当∠x′O′y′=45°时，等腰三角形ABC 的直观图是④； 当∠x′O′y′=135°时，等腰三角形ABC 的直观图是③； 综上所述，等腰三角形ABC 的直观图可能是③④． 故选：D ．根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，逐项进行判断，即可得到答案．本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：∵AD ：DB =1：2， ∴DB =2AD ，由射影定理知CD 2=AD ⋅DB ， ∴AD ⋅2AD =36， ∴AD =3√2． 故选：B ．先根据AD 和BD 的比例关系，求得用AD 表示DB ，进而利用射影定理建立等式求得AD ． 本题主要考查了解三角形问题．在直角三角形问题中，射影定理是常用公式，应熟练掌握．解析：解：由题意可知几何体是圆锥，故选：A．利用三视图，判断几何体的形状即可．本题考查三视图求解几何体的形状，是基本知识的考查．7.答案：C解析：解：连接A1G，MG，∵G是正三角形ABC的中心，B1C1//BC，∴B1C1⊥A1G，GM⊥B1C1，∴∠A1GM为二面角A1−B1C1−M的平面角，∵G是正三角形ABC的中心，∴A1G=2GM，又A1M⊥平面BB1C1C，∴cos∠A1GM=GMA1G =12，∴∠A1GM=π3．故选：C．连接A1G，MG，由G为三角形ABC的中心可得B1C1⊥A1G，GM⊥B1C1，故而∠A1GM为二面角A1−B1C1−M的平面角，在Rt△A1GM中，根据A1G和GM的数量关系得出∠A1GM．本题考查了二面角的计算，作出二面角的平面角是关键，属于中档题．8.答案：C解析：试题分析：含限定条件的不等式比较大小的问题，最有效的方法为特殊值法，取，得c 大，故选C．考点：本题考查了不等式的性质点评：特殊值法是处理含参式子大小比较的常用方法，要熟练运用9.答案：B解析：试题分析：是与的交点，目标函数仅在点处取到最大值，所以直线的倾斜角比的要大，比的要小，即有考点：线性规划和最优解解析：试题分析：由正四棱锥及其外接球的对称性，球心O在在正四棱锥的高线SE上，如图，球半径，。
2019-2020学年包头市高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年包头市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.如果直线y =ax +2与直线y =3x +b 关于直线y =x 对称，那么a ，b 的值分别是( )A. 13，6B. 13，−6C. 3，−2D. 3，62.已知a >b ，c >d ，则下列不等式：(1)a +c >b +d ；(2)a −c >b −d ；(3)ac >bd ；(4)ac >bd 中恒成立的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 43.对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形(如图)，则原图形的面积是( )A.B. 2C.D. 44.点(1,−1)到直线x +y −1=0的距离是( )A. 12B. √22C. √2D. √325.等比数列{a n }中，a 3=−3，则前5项之积是( )A. 35B. −35C. 36D. −366.在△ABC 中，A =120°，AB =5，BC =7，则的值为( )．A.B.C.D.7.将一块边长为10的正方形铁片按图1所示的阴影部分裁下，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个底面边长为x 的正四棱锥形容器(如图2)，则函数f(x)=V E−ABCDx的最大值为( )A. 25√36B. 503C. 253D. 125√368.如图，正方体中，两条异面直线BC1与CD1所成的角是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.已知直线l1的斜率为1，且l1⊥l2，则l2的倾斜角为()A. 0°B. 135°C. 90°D. 180°10.设点，，如果直线与线段有一个公共点，那么()A. 最小值为B. 最小值为C. 最大值为D. 最大值为11.已知表面积为24π的球外接于三棱锥S−ABC，且，则三棱锥S—ABC的体积最大值为()A. 8√23B. 16√23C. 163D. 32312.已知数列的前n项和，则的值为()A. 80B. 40C. 20D. 10二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.设x，y满足{x≥0x−2y≥0x−y≤1，并设满足该条件的点(x,y)所形成的区域为Ω，则(1)Z=x2+y2−2y的最小值为______ ；(2)包含Ω的面积最小的圆的方程为______ ．14.若直线ax+by+1=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2+8x+2y+1=0，则+的最小值为________．15.给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q成等比数列，p，b，c，q成等差数列，则一元二次程bx2−2ax+c=0______实数根(填“有”或“无”之一)三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.设三棱锥S−ABC的底面和侧面都是全等的正三角形，P是棱SA的中点．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P−AC−B的平面角为γ，则a，β，γ中最大的是(1)，最小的是(2)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知a，b，c∈(0,+∞)，且a+b+c=1，求证：(1)(1a −1)⋅(1b−1)⋅(1c−1)≥8；(2)√a+√b+√c≤√3．18.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(α+π3)=√105，且α∈(0,π)，求tanα的值．19.在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=θ，AB=6(1)求△ABC面积的最大值．(2)若△ABC的周长为6√3+6，求θ的值．20.一直线被两直线l1：4x+y+6=0，l2：3x−5y−6=0截得线段的中点是P点，当P点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程．21.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=5，S3=21．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(a n−n−4)⋅2n，求数列{b n}的前n项和T n．22.已知四棱锥S−ABCD中，∠SAD=∠ABC=∠BAD=90°，SA=AD=12BC=√33AB=1，SC=2√2．(1)求证：SA⊥BD；(2)若P为线段SC的中点，求三棱锥A−SBP的体积．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵直线y=ax+2与直线y=3x+b关于直线y=x对称，∴函数y=ax+2与y=3x+b互为反函数，又y=3x+b的反函数为y=13x−13b，∴a=13，b=−6，故选：B．由题意可得函数y=ax+2与y=3x+b互为反函数，可求a和b的值，可得方程．本题考查直线的斜截式方程，涉及反函数，属基础题．2.答案：A解析：解：∵a>b，c>d，∴a+c>b+d；(根据不等式同向可加性)，故(1)恒成立．若a=1，b=−2，c=3，d=−2，∵1−3<−2−(−2)，故(2)a−c>b−d不成立，对于(3)a=6，b=4，c=−1，d=−1.2不成立；(4)a=4，b=3，c=2，d=1不成立．故选：A利用不等式的基本性质即可得到结果．本小题主要考查不等关系与不等式应用、不等式的基本性质、实数的性质等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．3.答案：C解析：试题分析：由题意，得，且．考点：平面图形的直观图．4.答案：B解析：解：点(1,−1)到直线x+y−1=0的距离：d=√2=√22．故选：B．利用点到直线的距离公式直接求解．本题考查点到直线的距离的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.答案：B解析：解：设{a n}是等比数列的公比为q，则前5项之积是(a1)5q1+2+3+4=(a3)5=−35，故选：B．设{a n}是等比数列的公比为q，则前5项之积是(a1)5q1+2+3+4=(a3)5，即可得出结论．本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．6.答案：D解析：由余弦定理，得BC2=AB2+AC2−2AB·AC·cosA，即72=52+AC2−10AC·cos120°，∴AC=3.由正弦定理，得==．7.答案：C解析：解：由图可知EF=5，OF=x2，∴四棱锥的高OE=√25−x24，∴V E−ABCD=13S△ABC⋅OE=13x2√25−x24．∴f(x)=13x√25−x24=13√x2(25−x24)=23√x24(25−x24)，∵√x24(25−x24)≤x24+25−x242=252，当且仅当x24=25−x24即x=5√2时取等号．∴f max(x)=23×252=253．故选C．用x表示出棱锥的高，得出f(x)的解析式，利用基本不等式得出f(x)的最大值．本题考查了棱锥的体积计算，基本不等式的应用，属于中档题．8.答案：C解析：解：如图将BC1平移至AD1处，∠AD1C就是所求的角，又△AD1C为正三角形．∴∠AD1C=60°．故答案为60°．故选：C．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点D 1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用特殊三角板求出此角即可．本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：直线l 1的斜率为1，且l 1⊥l 2， 则l 2的斜率是−1， 故直线l 2的倾斜角是135°， 故选：B ．根据直线的垂直关系求出直线l 2的斜率，从而求出l 2的倾斜角即可．本题考查了直线的位置关系，考查直线的斜率和倾斜角问题，是一道基础题．10.答案：A解析：解：∵直线ax +by =1与线段AB 有一个公共点， ∴点A(1,0)，B(2,1)在直线ax +by =1的两侧， ∴(a −1)(2a +b −1)≤0，即{a −1≤02a +b −1≥0或{a −1≥02a +b −1≤0； 画出它们表示的平面区域，如图所示．a 2+b 2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O 到直线2x +y −1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值， ∵d =√4+1，那么a2+b2的最小值为：d2=15．故选A．11.答案：B解析：本题考查球的半径，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离是关键，属于一般题．解：设△ABC的外接圆的半径为r，则设AB=c，AC=b，三棱锥S—ABC的体积为V，∴S到平面ABC的最大距离为4，∴三棱锥S—ABC的体积最大值为：V S−ABC=16√23.故答案选：B．12.答案：C解析：试题分析：由数列前项和的定义有，所以正确答案选C．考点：数列前项和概念．13.答案：−15；x2+y2−3x+y=0解析：解：x，y满足的平面区域如图：(1)Z=x2+y2−2y=x2+(y−1)2−1的最小值为(0,1)到直线x−2y=0的距离的平方减去1，为|√5|2−1=−15；(2)包含Ω的面积最小的圆的方程即为三角形区域的外接圆方程，则此时过点O，B(2,1)，A(0,−1)三点的圆，设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，得到{F=05+2D+E+F=01−E+F=0，解得{D=−3E=1F=0，所以包含Ω的面积最小的圆的方程为x2+y2−3x+y=0．故答案为：−1；x2+y2−3x+y=0．5作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用以及圆的方程的求解．利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决本题的关键．14.答案：16解析：直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(−4,−1)，∴−4a−b+1=0，∴4a+b=1，∴+=(4a+b)=4+++4≥16，当且仅当b=4a，即a=，b=时等号成立，∴+的最小值为16．15.答案：无解析：解：∵p，a，q成等比数列，∴a2=pq，又p，b，c，q成等差数列，设公差为x(x≠0)，∴b=p+x，c=p+2x，q=p+3x，一元二次程bx2−2ax+c=0根的判别式为：∵△=(−2a)2−4bc=4a2−4bc=4p(p+3x)−4(p+x)(p+2x)=−8x2<0，则此一元二次方程无实数根．故答案为：无由p，a，q成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式a2=pq，再由p，b，c，q成等差数列，设公差为x，x不为0，用p表示出b，c及q，然后列出一元二次方程的根的判别式，将a2=pq代入，并将表示出的p，q，b，c代入，整理后得到结果为−8x2，根据x不为0及完全平方式大于0，得到−8x2恒小于0，即可判断出方程无实数根．此题考查了等比数列的性质，等差数列的性质，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系，熟练掌握性质是解本题的关键．16.答案：αβ解析：解：如图，取BC中点D，作SO⊥平面ABC于点O，由题意知O在AD上，且AO=2OD，作PE//AC，PE∩SC=E，作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABC，取AC中点M，连结BM，SM，设SM交PE于点H，连结BH，由题意知BH⊥PE，作PG⊥AC于点G，连结FG，由面面垂直的性质定理可得FG⊥AC，作FN⊥BM于点N，由作图知平面PGF//平面SMB，PH//FN，∴PH=FN，∴直线PB与直线AC所成角α=∠BPE，直线PB与平面ABC所成角β=∠PBF，二面角P−AC−B的平面角γ=∠PGF，cosα=PHPB =FNPB<BEPB=cosβ，∵α，β∈[0,π2]，∴α>β，∵tanγ=PFGF >PFBF=tanβ，且γ∈[0,π2]，∴γ>β，设AB=2，则PH=12，PB=BH=SN=BM=√22−12=√3，PG=12SM=√32，GF=12MO=16BM=√36，BH=√(√3)2−(12)2=√112，cosα=PHPB =√36<cosγ=GFPG=√36√32=13，∴α>γ．∴a，β，γ中最大的是α，最小的是β．故答案为：α；β．取BC中点D，作SO⊥平面ABC于点O，作PE//AC，PE∩SC=E，作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABC，取AC中点M，连结BM，SM，设SM交PE于点H，连结BH，作PG⊥AC于点G，连结FG，作FN⊥BM于点N，推导出直线PB与直线AC所成角α=∠BPE，直线PB与平面ABC所成角β=∠PBF，二面角P−AC−B的平面角γ=∠PGF，由此能求出结果．本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：证明：(1)∵a，b，c∈(0,+∞)，∴a+b≥2√ab，b+c≥2√bc，c+a≥2√ca，(1 a −1)⋅(1b−1)⋅(1c−1)=b+ca⋅a+cb⋅a+bc≥2√bc⋅2√ac⋅2√ababc=8.…(5分)(2)∵a，b，c∈(0,+∞)，∴a+b≥2√ab，b+c≥2√bc，c+a≥2√ca，2(a+b+c)≥2√ab+2√bc+2√ca，两边同加a+b+c得3(a+b+c)≥a+b+c+2√ab+2√bc+2√ca=(√a+√b+√c)2．又a+b+c=1，∴(√a+√b+√c)2≤3，∴√a+√b+√c≤√3.…(10分)解析：利用基本不等式，即可证明结论．本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键．18.答案：解：(1)由图可知：A=2．∵T4=4π3−π3=π，∴T=4π．∵ω>0，∴ω=2πT =2π4π=12．∵图象过点(π3,2)，则2=2sin(12×π3+φ)，即sin(π6+φ)=1．∵0<φ<π2，∴φ=π3．故f(x)=2sin(12x+π3)；(2)由f(α+π3)=√105，得2sin[12(α+π3)+π3]=√105，∴sin(12α+π2)=√1010，∴cosα2=√1010，∴cosα=2cos2α2−1=−45，∵α∈(0,π)，∴sinα=√1−cos2α=35，∴tanα=sinαcosα=−34．解析：(1)由函数图象直接得到A和四分之一周期，进一步得到周期，由周期公式求得ω，再由(π3,2)在函数图象上代入求解φ的值，则函数解析式可求；(2)把f(α+π3)=√105代入(1)中求得的函数解析式，求出cos α2的值，由倍角公式求出cosα，结合α的范围进一步求得sinα，则tanα的值可求．本题考查利用y =Asin(ωx +φ)的部分图象求函数解析式，考查了三角函数值得求法，是中档题． 19.答案：解：(1)∵c =6，cos∠ACB =cos60°，∴由余弦定理得：36=c 2=a 2+b 2−2abcos60°=a 2+b 2−ab ≥2ab −ab =ab ，即ab ≤36，∴S =12absin60°≤9√3，则S 的最大值为9√3；(2)在△ABC 中，利用正弦定理得：6sin60°=b sinq =a sin(120°−q)，∴b =4√3sinq ，a =4√3sin(120°−q)，∴三角形周长为6√3+6=a +b +c =4√3sinq +4√3sin(120°−q)+6，整理得：sinq +sin(120°−q)=32，即sin(q +30°)=√32， ∴q +30°=60°或q +30°=120°，则θ=q =30°或90°．解析：(1)利用余弦定理列出关系式，将cos∠ACB 与c 的值代入，利用基本不等式变形求出ab 的最大值，最后利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积的最大值；(2)在三角形ABC 中，利用正弦定理列出关系式，表示出b 与a 的值，进而表示出三角形周长，整理后即可求出θ的度数．此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键． 20.答案：解：当P 点为(0,0)时，设直线方程为y =kx ，设该直线与直线l 1交点横坐标为a ，则交点坐标为(a,ka)，代入直线l 1得：4a +ka +6=0①，由该直线被两直线l 1：4x +y +6=0，l 2：3x −5y −6=0截得线段的中点是(0,0)，根据中点坐标公式得另一交点为(−a,−ka)，代入直线l 2得：3(−a)−5(−ka)−6=0②， 联立①②，解得k =−16，所以直线方程为：y =−16x 即x +6y =0；当P 点为(0,1)时，设直线方程为y =mx +1，设该直线与直线l1交点横坐标为b，则交点坐标为(b,mb+1)，代入直线l1得：4b+mb+7=0③，由该直线被两直线l1：4x+y+6=0，l2：3x−5y−6=0截得线段的中点是(0,1)，根据中点坐标公式得另一交点为(−b,1−mb)，代入直线l2得：3(−b)−5(1−mb)−6=0④，，联立③④，解得m=−12x+1即x+2y−2=0．所以直线方程为：y=−12综上，当P点分别为(0,0)，(0,1)时，所求直线方程分别为x+6y=0，x+2y−2=0．解析：当P点坐标为(0,0)时，设所求直线的方程为y=kx，又设该直线直线l1交点横坐标为a，代入直线方程可得纵坐标为ka，把交点坐标代入直线l1得到关于a与k的方程，记作①，然后由P和刚才的交点坐标，利用中点坐标公式表示出另一交点的坐标，把另一交点坐标代入直线l2得到关于a 与k的另一方程，记作②，联立①②，即可求出k的值，得到所求直线的方程；当P坐标为(0,1)时，同理可得所求直线的方程．此题考查学生灵活运用中点坐标公式化简求值，理解两直线交点的意义，会利用待定系数法求直线的解析式，是一道中档题．21.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=5，S3=21．×d=21，解得d=2．∴3×5+3×22∴a n=5+2(n−1)=2n+3．(2)b n=(a n−n−4)⋅2n=(n−1)⋅2n．∴数列{b n}的前n项和T n=0+22+2×23+⋯+(n−1)⋅2n．2T n=23+2×24+⋯+(n−2)⋅2n+(n−1)⋅2n+1，−(n−1)⋅2n+1，∴−T n=22+23+⋯+2n−(n−1)⋅2n+1=4(2n−1−1)2−1可得T n=(n−2)⋅2n+1+4．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a1=5，S3=21.利用求和公式即可得出d，再利用通项公式即可得出．(2)b n=(a n−n−4)⋅2n=(n−1)⋅2n.利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力属于中档题．22.答案：(1)证明：连接AC，在△ABC中，因为∠ABC=90°，故AC=√AB2+BC2=√7，故SA2+AC2=SC2=8，故SA⊥AC；而∠SAD=90°，故SA⊥AD，而AC∩AD=A，AC⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，故SA⊥平面ABCD；因为BD⊂平面ABCD，故SA⊥BD；(2)解：因为BC⊥BA所以S△BAC=12BC⋅BA=12×2×√3=√3，因为P为SC的中点，所以三棱锥A−SBP的体积V A−SBP=12V S−BAC=12(13⋅S△BAC⋅AS)=12×(13×√3×1)=√36．解析：(1)连接AC；利用勾股定理证明SA⊥AC；结合SA⊥AD，证明SA⊥平面ABCD；即可证明SA⊥BD；(2)利用V A−SBP=12V S−BAC转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．。
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一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ） A ．不共线 B ．长度不相等 C ．不都是单位向量 D ．不都是零向量2．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数是( )．A ．7B ．8C ．9D ．63．函数()cos 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数 B ．非奇非偶函数 C ．偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 4．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积为1V ，E 为棱1CC 上的点,且113CE CC =，三棱锥E －BCD 的体积为2V ，则21V V =（ ）A ．13B ．16C ．19D ．1185．已知点()4,3P -在角ϕ的终边上，函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象上与y 轴最近的两个对称中心间的距离为2π，则8f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．7210 B ．210- C ．210 D ．210- 6．正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足11a b =，77a b =，17 a a ≠，则44a b ，的大小关系为（ ）A ．44a b =B ．44<a bC ．44a b >D ．不确定7．已知向量(4,2)a =-，向量(,5)b x =，且//a b ，那么x 等于( )A ．10B ．5C ．52-D ．10-8．直线l 过点(1,0)P ，且与以(2,1),3)A B 为端点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞- B ．[1,)+∞ C ．(,3][1,)-∞⋃+∞ D ．[3,1]9．设集合A={x|x≥–3}，B={x|–3<x<1}，则A ∪B=( )A ．{x|x>–3}B ．{x|x<1} C ．{x|x≥–3}D ．{x|–3≤x<1} 10．在ABC ∆中，0120B =，2AB =，角A 的平分线3AD =，则BC 长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．611．已知随机事件A 和B 互斥，且()0.5P AUB =,()0.3P B =.则()P A =（ ）A ．0.5B ．0.2C ．0.7D ．0.8 12．已知圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：（x ﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O 1与圆O 2的位置关系为（ ） A ．外切 B ．内切 C ．相交 D ．相离二、填空题：本题共4小题13．已知0a >，0b >，182+1a b +=，则2a b +的最小值为__________． 14．若数列{}n a 是等差数列，则数列()*1n n m n a a b m N m ++++=∈也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{}n c 是等比数列，则数列n d = _________也是等比数列.15．若实数,x y 满足不等式组2,24,0.x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23z x y =+的最小值是_____. 16．某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示(试卷满分为100分)(1)试计算这12份成绩的中位数；(2)用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平,哪个班更稳定一些?18．学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求： ()1A 同学被选中的概率；()2至少有1名女同学被选中的概率.19．（6分）数列{}n a 满足：11232n n a a a +==+，．（1）求证：{}1n a +为等比数列； （2）求{}n a 的通项公式．20．（6分）在ABC ∆中，,,A B C 成等差数列，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，并且2sin ?sin cos A C B =，43ABC S =，求,,a b c .21．（6分）某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是1．（1）求出x ，y 的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？ （2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．22．（8分）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，且满足n mS n =，,()m nS m m n =≠. （1）证明4m n S +>；（2）若()222222333312sin cos cos cos sin sin sin 0p p p p p p p p a a a a a a a a ++++++-+-=+≠，()0,1d ∈，当且仅当9n =时，n S 取得最小值，求首项a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D【解析】【分析】由方向相同且模相等的向量为相等向量，再逐一判断即可得解.【详解】解：向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了相等向量的定义，属基础题.2．B【解析】【分析】根据辗转相除法计算最大公约数.【详解】因为26456440,564016,401628,1682=⨯+=+=⨯+=⨯所以最大公约数是8，选B.【点睛】本题考查辗转相除法，考查基本求解能力.3．C【解析】【分析】利用诱导公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用定义判断出函数()y f x =的奇偶性.【详解】由诱导公式得()cos sin 2f x x x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，该函数的定义域为R ，关于原点对称， 且()()()()()sin sin sin f x x x x x x x f x -=--=-⋅-==，因此，函数()y f x =为偶函数，故选C.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，解题时要将函数解析式进行简化，然后利用奇偶性的定义进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4．D【解析】【分析】分别求出长方体1111ABCD A B C D -和三棱锥E －BCD 的体积，即可求出答案.【详解】由题意，11ABCD V S CC =⋅，21111113321318BCD ABCD ABCD V S CE S CC S CC ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则21118V V =. 故选D.【点睛】本题考查了长方体与三棱锥的体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基础题.5．C【解析】 由题意22T π=，则T π=，即22πωπ==，则()sin(2)f x x ϕ=+；又由三角函数的定义可得34sin ,cos 55ϕϕ=-=，则()sin cos cos sin 844f πππϕϕ=+=C ． 6．B【解析】【分析】利用17442b b a b +==分析44a b ，的关系即可. 【详解】因为正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b ,故4a =又17442b b b a +=≥=,当且仅当17b b =时“=”成立,又17 a a ≠即17b b ≠,故44<a b , 故选：B【点睛】本题主要考查等差等比数列的性质与基本不等式的“一正二定三相等”.若{}n a 是等比数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a =若{}n a 是等差数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+7．D【解析】【分析】由两向量平行，其向量坐标交叉相乘相等，得到452x ⨯=-.【详解】因为//a b ，所以452x ⨯=-，解得：10x =-.【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查基本运算，注意符号的正负.8．C 【解析】 【分析】求出AP BP k k 、 ,判断当斜率不存在时是否满足题意，满足两数之外；不满足两数之间．【详解】==3AP BP k k -1、，当斜率不存在时满足题意，即(,3][1,)k ∈-∞-+∞ 【点睛】本题主要考查斜率公式的应用，属于基础题.9．C【解析】【分析】根据并集的运算律可计算出集合.【详解】，，由并集的运算律可得， 故选：C. 【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键就是并集运算律的应用，考查计算能力，属于基础题.10．B【解析】【分析】在ABD ∆中利用正弦定理可求sin BDA ∠，从而可求BDA ∠，再根据内角和为180︒ 可得BAD ∠，从而得到ABC ∆为等腰三角形，故可求BC 的长.【详解】 在ABD ∆中，由正弦定理有sin sin AD AB ABD ADB =∠∠32sin 3ADB =∠， 所以2sin 2ADB ∠=，因为03ADB π<∠<，故4ADB π∠=，故12BAD π∠=， 所以6BAC π∠=，故6BCA π∠=，ABC ∆为等腰三角形，故2BC AB ==故选B.【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．11．D【解析】【分析】根据互斥事件的概率公式可求得()P A ，利用对立事件概率公式求得结果.【详解】A 与B 互斥 ()()()P A B P A P B ∴=+()0.50.30.2P A ∴=-= ()()110.20.8P A P A ∴=-=-=本题正确选项：D【点睛】本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.12．A【解析】【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切.【详解】圆1O 的圆心为()0,0，半径等于1，圆2O 的圆心为()3,4-，半径等于4， ()()2203045-++=，等于半径之和，∴两个圆相外切.故选A.【点睛】判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．二、填空题：本题共4小题13．8【解析】由题意可得：()2111821211161102111029,a b a b a b a b b a ++⎛⎫⎡⎤=++⨯+ ⎪⎣⎦+⎝⎭+⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭⎛≥+ ⎝= 则2a b +的最小值为918-=. 当且仅当3,52a b ==时等号成立. 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14【解析】【分析】利用类比推理分析，若数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，则当n d 数列{}n d 也是等比数列．【详解】由数列{}n c 是等差数列，则当()*1n n m n a a b m N m ++++=∈时，数列{}nb 也是等差数列．类比上述性质，若数列{}n a是各项均为正数的等比数列，则当n d={}n d 也是等比数列．【点睛】 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．15．4【解析】试题分析：由于根据题意x,y 满足的2,{24,0,x y x y x y +≥-≤-≥关系式，作出可行域，当目标函数z=2x+3y 在边界点（2，0）处取到最小值z=2×2+3×0=4，故答案为4.考点：本试题主要考查了线性规划的最优解的运用．点评：解决该试题的关键是解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解.16．6【解析】【分析】利用分层抽样的定义求解.【详解】设从高一年级的学生中抽取x 名，由分层抽样的知识可知83040x =，解得x ＝6. 故答案为6.【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。