江苏省连云港市2020学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
2020-2021学年江苏省连云港市高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. “∀x ∈R ，x 2+x +1>0“的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1>0B. ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0C. ∀x ∈R ，x 2+x +1>0D. ∀x ∈R ，x 2+x +1≤02. 函数y =x +16x+2，x ∈(−2,+∞)的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 163. “x 2>1”是“x >2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置(信号装置安装在抛物线的焦点处).已知接收天线的口径(直径)为5 m ，深度为1 m ，则信号装置与卫星接收天线中心O 的距离为( )A. 2516mB.258mC.254mD. 54m5. 已知空间三点A(0,2，3)，B(−2,1，6)，C(1,−1,5)，向量a⃗ =(m,−1,n)，且向量a ⃗ 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，则|a ⃗ |=( ) A. 4 B. 2√2 C. 2 D. √36. 某港口在一天24 ℎ内潮水的高度S(单位：m)随时间t(单位：h ；0≤t ≤24)的变化近似满足关系式S(t)=3sin(π12t +56π)，则17点时潮水起落的速度是( )A. π8m/ℎB. √2π8m/ℎC. √3π8m/ℎD. π4m/ℎ7. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最大的一份为( )A.1153B.1183C.1213D.12438. 已知函数f(x)=lnx x−a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,e)B. (−∞,e)C. (0,1e )D. (−∞,1e )二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知曲线C ：mx 2+ny 2=1(m,n ∈R)，则下列说法正确的是( )A. 若m >0，n >0，则曲线C 是椭圆B. 若m >n >0，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆C. 若m >0>n ，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D. 曲线C 可以是抛物线10. 已知正数a ，b 满足a +2b =1，则下列说法正确的是( )A. 2a +4b 的最小值是2√2B. ab 的最小值是18 C. a 2+4b 2的最小值是12D. 1a +1b 的最小值是4√211. 据美国学者詹姆斯⋅马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度.因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习.已知2000年底，人类知识总量为a ，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年(按365天计算)是每73天翻一番，则下列说法正确的是( )A. 2006年底人类知识总量是2aB. 2009年底人类知识总量是8aC. 2019年底人类知识总量是213aD. 2020年底人类知识总量是218a12. 下列曲线中，与直线l ：2x −y +3=0相切的是( )A. 曲线C 1：y 2=24xB. 曲线C 2：y =ln2x +4C. 曲线C 3：x 2−y 24=1D. 曲线C 4：y =2x 3−5x 2+6x +2三、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 函数y =(x +1)e x 的最小值是______ 14. 以椭圆x 28+y 25=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为______．15. 已知数列{a n }满足a 1=1，且a n+1−a n =n +1，则数列{1a n}的前100项和为______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别是AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 各棱的中点，则直线A 1C 与平面EFGHKL 所成角的大小为 ；若P ，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sinθ的值为．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①S8=72，②S5=6a2，③S6=S4+a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=6，______，若数列{b n}满足b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知m，n，a∈R，函数f(x)=x3−3x2的单调递减区间A=[m,n]，区间B=[2a−1,a+3]．(1)求m和n的值；(2)“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围．19.已知直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点．(1)若直线l的斜率为−1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；(2)若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．20.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值；(2)求平面PBC1与平面AQC1所形成的锐二面角的余弦值．21.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(−1,0)，且椭圆M过点T(1,32)．(1)求椭圆M的方程；(2)过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为P，Q，求△FPQ 面积的最大值．22.已知函数f(x)=x2+bx+c，g(x)=lnx．(1)令ℎ(x)=f(x)+g(x)，求函数ℎ(x)的单调递增区间；(2)当b=−1，c>0时，求证：与函数f(x)，g(x)图象都相切的直线l有两条．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴“∀x∈R，x2+x+1>0“的否定是：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故选：B．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握全称命题和特称命题的否定形式，比较基础．2.【答案】B【解析】解：函数y=x+16x+2=x+2+16x+2−2≥2√(x+2)16x+2−2=6，当且仅当x+2=4，即x=2时，取等号；故选：B．利用基本不等式即可求解最小值．本题主要考查函数最值的求解，利用基本不等式的性质即可求解，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由x2>1，得x<−1或x>1，由x>2，得x2>4>1．∴“x2>1”是“x>2”的必要不充分条件．故选：B．由x2>1，得x<−1或x>1，不一定有x>2；反之，由x>2，可得x2>1，可知“x2>1”是“x>2”的必要不充分条件．本题考查充分条件，必要条件及其判定方法，是基础题．4.【答案】A【解析】解：如图建立直角坐标系：所以A(1,52)设抛物线的方程为y 2=2px(p >0)， 由点A 在抛物线上，得254=2p ， 解得p =258，即p2=2516，所以信号装置与卫星接收天线中心O 的距离为2516m ， 故选：A ．先设出抛物线的方程，将点(1,52)代入抛物线的方程求得p ，即可得出结果． 本题考查抛物线在实际中的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：因为空间三点A(0,2，3)，B(−2,1，6)，C(1,−1,5)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3,2)， 因为向量a ⃗ =(m,−1,n)，且向量a ⃗ 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直， 所以{a⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m +1+3n =0a ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m +3+2n =0，解得m =−1，n =−1， 所以a ⃗ =(−1,−1,−1)， 故|a ⃗ |=√3． 故选：D ．利用空间中点的坐标，分求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用向量a ⃗ 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，列出关于m ，n 的方程组，求出m ，n ，得到a⃗ 的坐标，利用模的计算公式，即可得到答案．本题考查了空间向量的坐标运算、空间向量垂直的充要条件、空间向量模的求解，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，S(t)=3sin(π12t+56π)，则其导数S′(t)=π12×3×cos(π12t+5 6π)=π4cos(π12t+56π)，则有S′(17)=π4cos(17π12+56π)=√2π8，故17点时潮水起落的速度是√2π8m/ℎ，故选：B．根据题意，求出函数的导数，计算S′(17)的值，由导数的定义即可得答案．本题考查导数的定义以及计算，关键是掌握导数的定义，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设最大的一份为x，从大到小排列的等差数列的公差为d，则由题意可得x+(x+d)+(x+2d)+(x+3d)+(x+4d)=100，且17[x+(x+d)+(x+2d)]=(x+3d)+(x+4d)，所以x=1153，故选：A．设最大的一份为x，由题意利用等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式，求出它的最大项．本题主要考查等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：若函数f(x)=lnxx−a有两个不同的零点，则y=a和g(x)=lnxx的图象有2个不同交点，由g′(x)=1−lnxx2>0，解得：0<x<e，令g′(x)<0，解得：x>e，故g(x)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，故g(x)max=g(e)=1e，x→0时，g(x)→−∞，x→+∞时，g(x)→0，故a的取值范围是(0,1e)，故选：C．问题转化为y=a和g(x)=lnxx的图象有2个不同交点，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．9.【答案】BC【解析】解：曲线C：mx2+ny2=1(m,n∈R)，当m=n>0时，曲线C是圆，故A错误；若m>n>0，则曲线mx2+ny2=1化为x 21 m +y21n=1，1n>1m>0，是焦点在y轴上的椭圆，故B正确；若m>0>n，则曲线mx2+ny2=1化为x 21 m −y2−1n=1，是焦点在x轴上的双曲线，故C正确；曲线方程中不会含有一次项，不可能是抛物线，故D错误．故选：BC．由椭圆、双曲线及抛物线的方程逐一分析四个选项得答案．本题考查圆锥曲线的方程及特征，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：选项A：2a+4b=2a+22b≥2√2a⋅22b=2√2a+2b=2√2，当且仅当2a=22b，即a=12,b=14时取等号，此时2a+4b的最小值为2√2；故A正确，选项B：因为a+2b=1≥2√a⋅2b=2√2ab，解得ab≤18，当且仅当a=2b，即a=1 2,b=14时取等号，此时ab 的最大值为18，故B 错误，选项C ：因为a +2b =1，所以a 2+4b 2+4ab =1， 所以ab =1−(a 2+4b 2)4≤18，解得a 2+4b 2≥12，当且仅当a =2b ，即a =12,b =14时取等号，故C 正确，选项D ：1a +1b =(1a +1b )(a +2b)=3+ab+2b a≥3+2√a b ⋅2b a=3+2√2，当且仅当a =√2b 时取等号，此时1a +1b 的最小值为3+2√2，故D 错误， 故选：AC ．利用基本不等式的性质对应各个选项逐个求解即可．本题考查了基本不等式的性质以及应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：选项A ：2006年底人类知识总量为a ×2×2=4a ，故A 错误， 选项B ：2009年底人类知识总量为a ×2×2×2=8a ，故B 正确， 选项C ：2019年底人类知识总量为8a ×210=213a ，故C 正确， 选项D ：2020年底人类知识总量为213a ×25=218a ，故D 正确， 故选：BCD ．根据题干中给的条件对应各个选项逐个进行求解即可．本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了学生对题干的理解能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A ，{2x −y +3=0y 2=24x ，消去y 得：4x 2−12x +9=0，则△=(−12)2−4×4×9=0， 则直线与曲线相切，故选项A 正确；对于B ，y =ln2x +4，则y′=1x ，令1x =2，解得x =12， 代入直线方程可得切点为(12,4)，满足在y =ln2x +4上，故直线与曲线相切，故选项B 正确； 对于C ，曲线C 3：x 2−y 24=1的一条渐近线为：y =2x 与直线l ：2x −y +3=0平行，所以直线l 与曲线相交于一点，故不相切，故选项C 不正确； 对于D ，曲线C 4：y =2x 3−5x 2+6x +2，则y′=6x 2−10x +6， 令6x 2−10x +6=2，解得x =23或1，当x =23时，代入直线可得切点为(23,133)，不满足在曲线上，当x =1时，代入直线可得切点为(1,5)，满足在曲线上，故直线与曲线相切，故选项D 正确． 故选：ABD ．对于A ，联立直线与曲线方程，利用判别式可判断；对于B ，求出曲线的导数，令导数等于2，求出切点，再验证切点是否满足；对于C ，根据直线与渐近线平行可判断；对于D ，求出曲线的导数，令导数等于2，求出切点，再验证切点是否满足．本题考查判定直线与曲线是否相切，一般采用的方法是：若曲线是椭圆、双曲线或抛物线，可联立直线与曲线的方程，利用判别式判断，若曲线是函数曲线，可通过求导进行判断，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由y =(x +1)e x ，得y′=(x +2)e x ； 当x <−2时，y′<0， 当x >−2时，y′>0，所以函数y =(x +1)e x 在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增； 所以当x =−2时，函数y =(x +1)e x 有最小值−1e 2； 故答案为：−1e 2．求出函数y =(x +1)e x 的导数，进一步求出函数y =(x +1)e x 的单调区间，得到函数y =(x +1)e x 的最小值；本题考查函数最值，考查利用函数导数分析函数单调性从而得到函数最值，属于基础题．14.【答案】x 23−y 25=1【解析】解：∵椭圆方程为：x 28+y 25=1，∴其焦点坐标为：(−√3,0)、(√3,0)，顶点坐标为：(−2√2,0)、(2√2,0)，∴双曲线的焦点坐标为：(−2√2,0)、(2√2,0)，顶点坐标为：(−√3,0)、(√3,0)，∴双曲线方程：x2a2−y2b2=1中a=√3、c=2√2，∴b2=c2−a2=8−3=5，∴双曲线方程：x23−y25=1，故答案为：x23−y25=1．通过椭圆的焦点、顶点坐标可知双曲线的a=√3、c=2√2，进而计算可得结论．本题考查双曲线方程，注意解题方法的积累，属于中档题．15.【答案】200101【解析】解：由题意，可得a1=1，a2−a1=2，a3−a2=3，…，a n−a n−1=n，各项相加，可得a n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，∴1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，∴1a1+1a2+⋯+1a100=2×(1−12)+2×(12−13)+⋯+2×(1100−1101) =2×(1−12+12−13+⋯+1100−1101)=2×(1−1101)=200101．故答案为：200101．本题先运用累加法计算出数列{a n}的通项公式，进一步计算出数列{1an}的通项公式，最后运用裂项相消法计算出数列{1an}的前100项和．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．16.【答案】π213【解析】 【分析】本题考查了空间角的求解，对于空间角问题，经常会选用空间向量法求解，即建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量之间的关系进行研究，属于中档题． 以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，分别求出所需点的坐标，证明A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得到直线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，即可得到线面角；利用待定系数法求出平面EFGHKL 的法向量，求出直线D 1B 的方向向量，利用线面角的计算公式求出线面角，分析可得直线D 1B 与直线PQ 所成的角最小时即为直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角，从而得到答案． 【解答】解：如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为2，则A 1(2,0，2)，E(2,1，0)，C(0,2，0)，G(1,2，2)，所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,−2),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2−2=0，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2+2−4=0， 则A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 1C ⊥EF ，A 1C ⊥EG ，又EF ∩EG =E ，EF ，EG ⊂平面EFGHKL ， 所以A 1C ⊥平面EFGHKL ，故直线A 1C 与平面EFGHKL 所成角的大小为π2； D 1(0,0，2)，B(2,2，0)，所以D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)， 设平面EFGHKL 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{y +z =0−x +y +2z =0，令y =1，则x =−1，z =−1，所以n⃗ =(−1,1,−1)， 设直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角为α，则sinα=|cos <D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ ||D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√12×√3=13， 因为直线PQ ⊂平面EFGHKL ，所以直线D 1B 与直线PQ 所成的角最小时即为直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角， 所以sinθ=13． 故答案为：π2；13．17.【答案】解：方案一：选条件①由题意，设等差数列{a n }的公比为q ， 则{a 1+2d =68a 1+28d =72， 解得{a 1=2d =2，∴a n =2+2(n −1)=2n ，n ∈N ∗， ∴b n =2a n =22n =4n ，n ∈N ∗，∴数列{b n }是以4为首项，4为公比的等比数列， ∴T n =4−4n+11−4=43(4n −1)．方案二：选条件②由题意，设等差数列{a n }的公比为q ， 则{a 1+2d =65a 1+10d =6(a 1+d)， 即{a 1+2d =6a 1+d =5， 解得{a 1=4d =1，∴a n =4+1×(n −1)=n +3，n ∈N ∗， ∴b n =2a n =2n+3=16×2n−1，n ∈N ∗， ∴数列{b n }是以16为首项，2为公比的等比数列， ∴T n =16×(1−2n )1−2=16×(2n −1)．方案三：选条件③由题意，设等差数列{a n }的公比为q ， ∵S 6=S 4+a 5，∴S 6−S 4=a 5，即a 6+a 5=a 5， ∴a 6=0，联立{a 1+2d =6a 1+5d =0，解得{a 1=10d =−2，∴a n =10−2(n −1)=12−2n ，n ∈N ∗， ∴b n =2a n =212−2n =212×14n ，n ∈N ∗，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =212×141+212×142+⋯+212×14n=212×(141+142+⋯+14n ) =212×14−14n+11−14=2123×[1−(14)n ].【解析】本题先设等差数列{a n }的公比为q ，然后根据题干已知条件及三个条件列出关于首项a 1与公差d 的方程组，解出a 1与d 的值，即可计算出数列{a n }的通项公式，进一步计算出数列{b n }的通项公式，然后根据等比数列的求和公式即可计算出数列{b n }的前n 项和T n ．本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算．考查了方程思想，转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−6x ，由f′(x)≤0，有3x 2−6x ≤0，得0≤x ≤2， 又f(x)=x 3−3x 2的单调递减区间为A =[m,n]， 所以m =0，n =2；(2)B =[2a −1,a +3]，则2a −1<a +3，解得a <4． 又x ∈A 是x ∈B 的充分条件，可知A ⊆B ， 有{a <4a +3≥22a −1≤0，得−1≤a ≤12， 故实数a 的取值范围为[−1,12]．【解析】(1)求出函数的导函数，令导函数小于等于0，求出函数的单调减区间，从而得到答案；(2)利用区间的定义，得到a <4，然后将x ∈A 是x ∈B 的充分条件转化为A ⊆B ，利用集合的包含关系求解即可．本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数单调性、充分条件与必要条件的应用、集合包含关系的应用，考查了学生分析问题的能力，属于中档题．19.【答案】(1)解：抛物线为y 2=4x ，所以焦点坐标为(1,0)，直线AB 斜率为−1，则直线AB 方程为：y =−x +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =−x +1y 2=4x 得：x 2−6x +1=0，(2分)可得x 1+x 2=6(4分)由抛物线定义可得|AB|=x 1+x 2+2，所以|AB|=8(6分)(2)证明：设直线AB 方程为：x =my +n ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为OA ⊥OB ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以x 1x 2+y 1y 2=0，由{x =my +ny 2=4x 得：y 2−4my −4n =0(8分) 所以，y 1y 2=−4n ；x 1x 2=n 2；所以n 2−4n =0，解得n =0，或n =4(10分) 当n =0时，直线AB 过原点，不满足题意；当n =4时，直线AB 过点(4,0) 故当OA ⊥OB 时，直线AB 过定点(4,0)(12分)【解析】(1)求出直线AB 方程为：y =−x +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =−x +1y 2=4x得：x 2−6x +1=0，利用韦达定理，结合抛物线的性质，求解|AB|．(2)设直线AB 方程为：x =my +n ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，通过OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以x 1x 2+y 1y 2=0，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，转化求解直线系方程，推出结果． 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1， 则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，故以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ， ∵AB =AA 1=2，A(0,−1,0)，B(√3,0,0)，C(0,1，0)， A 1(0,−1,2)，B 1(√3,0,2)，C 1(0,1，2)．(1)∵Q 为BC 的中点，∴Q(√32,12,0)，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，(2分)设平面AQC 1的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√32x +32y =0AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ =2y +2z =0，可取n ⃗ =(√3,−1,1)，(4分) 设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ， sinθ=|cos <CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n⃗ >|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=√5×2=√55， ∴直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为√55.(6分)(2)B(√3,1,0)，P(√32,12,2)，C 1(0,2，2)， 设平面PBC 1的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)则可得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,−12,2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(−√32,32,0)， 由n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 得：{−√32x 1−12y 1+2z 1=0√32x 1+32y 1=0，令y 1=1，可得x 1=√3，z 1=1，故n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,1)，(9分) 由(1)得平面AQC 1的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)，cos(n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ )=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅√5=35，故平面PBC 1与平面AQC 1所成的锐二面角的余弦值为35. (12分)【解析】以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ，(1)求出平面AQC 1的一个法向量，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，利用空间向量的数量积求解直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．(2)求出平面PBC 1的法向量，平面AQC 1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．本题考查直线与平面所成角的求法，二面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题，21.【答案】解：(1)由题意可得{a 2−b 2=11a 2+94b 2=1，解得：a 2=4，b 2=3，故椭圆M 的方程x 24+y 23=1.(3分)(2)由题意可得直线AB ，CD 斜率均存在，设AB 的斜率为k ，CD 斜率为−1k ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =k(x +1)，由{y =k(x +1)x 24+y 23=1得：(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0，则x 1+x 2=−8k 23+4k 2，可得点P 的横坐标为−4k 23+4k 2，代入y =k(x +1)，得点P 的纵坐标为3k3+4k 2， 故点P 坐标为(−4k 23+4k2,3k3+4k 2)，(6分)则|PF|=√(−4k 23+4k 2+1)2+(3k 3+4k 2−0)2=3√1+k 23+4k 2，将k 换为−1k ，得|QF|=3√1+1k 23+41k2，(8分)故△FPQ 面积S =12×3√1+k 23+4k 2×3√1+1k 23+41k2=92⋅√2+k 2+1k 225+12k 2+121k 2，(10分)令u =√2+k 2+1k 2，u ≥2，故S =92×u12u 2+1，S′=92×u(12u 2+1)2=92×1−24u 2(12u 2+1)2，当u ≥2时，S′<0，故S(u)在[2,+∞)单调递减，故u =2，S max =949， 所以△FPQ 面积的最大值949.(12分)【解析】(1)利用椭圆的焦点坐标，结合椭圆结果的点，列出方程求解a ，b ，得到椭圆方程．(2)设AB 的斜率为k ，CD 斜率为−1k ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)直线AB 的方程为y =k(x +1)，利用直线方程与椭圆方程，求出P 坐标为(−4k 23+4k 2,3k3+4k 2)，求出|PF|，|QK|，推出三角形的面积，利用换元法以及函数的导数，求解函数的最大值即可．本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)由ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 2+bx +c +lnx(x >0)，得ℎ′(x)=2x +b +1x=2x 2+bx+1x，若△≤0，−2√2≤b ≤2√2，ℎ′(x)≥0恒成立，ℎ(x)为(0,+∞)上的单调增函数， 若△>0，b >2√2时，ℎ′(x)>0恒成立，ℎ(x)为(0,+∞)上的单调增函数， b <−2√2时，由ℎ′(x)>0，得x ∈(0,−b−√b 2−84)和x ∈(−b+√b2−84,+∞)，综上，b ≥−2√2时，ℎ(x)的单调增区间为(0,+∞)，b <−2√2时，ℎ(x)的单调增区间为(0,−b−√b2−84)和(−b+√b 2−84,+∞)．(2)证明：记直线l 分别切f(x)，g(x)的图象于点(x 1,x 12−x 1+c)，(x 2,lnx 2)， 由f′(x)=2x −1，得l 的方程为y −(x 12−x 1+c)=(2x 1−1)(x −x 1)， 即：l ：y =(2x 1−1)x −x 12+c ，由g′(x)=1x ，得l 的方程为y −lnx 2=1x 2(x −x 2)，即l ：y =1x 2⋅x +lnx 2−1，所以{2x 1−1=1x2−x 12+c =lnx 2−1(∗)，消去x 1得lnx 2+(1+x 2)24x 22−(c +1)=0(∗∗)，令F(x)=lnx +(1+x)24x 2−(c +1)，则F′(x)=1x −1+x2x 3=2x 2−x−12x 3=(2x+1)(x−1)2x 3，x >0，由F′(x)=0，解得：x =1，当0<x <1时，F′(x)<0，当x >1时，F′(x)>0， 所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 且F(x)min =F(1)=−c ，由c >0，F(1)<0， 下面验证F(x)=0存在两个不等的正数解： 取x =e c+1，F(e c+1)>ln(e c+1)−(c +1)=0， 故方程(∗∗)在(1,+∞)上存在唯一解，令k(x)=lnx +1x −1(x ≤1)，由于k′(x)=1x −1x 2=x−1x 2≤0，故k(x)在(0,1]上单调递减，故当0<x <1时，k(x)>k(1)=0，即lnx >1−1x ， 从而F(x)=lnx +(1+x)24x 2−(c +1)>(12x −12)2−c ，取x=2√c+1∈(0,1)，则F(2√c+1)>0，故方程(∗∗)在(0,1)上存在唯一解，综上，c>0时，方程(∗∗)有两个不同的正数解，方程组(∗)有两组解，即与函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线有且只有两条．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；(2)代入b的值，记直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1,x12−x1+c)，(x2,lnx2)，求出直线方程，得到lnx2+(1+x2)24x22−(c+1)=0(∗∗)，令F(x)=lnx+(1+x)24x2−(c+1)，判断出函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线的条数即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是综合题．。
江苏省连云港市数学高二上学期理数期末考试试卷
江苏省连云港市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设，则 是 的A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2 分） (2020 高一下·深圳月考) 设向量，（）A . 2 或－4B.2，若，则实数C.或D . －43. （2 分） 语句甲：动点 P 到两定点 A，B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0 ，且 a 为常数)；语句乙：P 点的轨 迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件4. （2 分） 下列说法中不正确的个数是（）①命题“ x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“ ∈R，>0”；第 1 页 共 10 页②若“p q”为假命题，则 p、q 均为假命题；③“三个数 a，b，c 成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件 A.O B.1 C.2 D.35. （2 分） (2019 高三上·河北月考) 已知点是抛物线： ，且，，，，，上的点，是抛物线的焦点，若，则抛物线 的方程为（ ）A.B. C. D.6. （2 分） (2020 高二上·辽源期末) 已知双曲线 线的距离为 ，则该双曲线的方程为（ ）的离心率为，且它的一个焦点到渐近A. B. C. D. 7. （2 分） 已知向量若第 2 页 共 10 页， 则实数 k 的取值为（ ）A.B.C . -3D . 3．8. （2 分） (2016 高三下·习水期中) 已知△ABC 的外接圆半径为 1，圆心为 O，且 3，则△ABC 的面积为（ ）A.B.C.D.9. （2 分） 已知正方体的棱长为 ，， 点 N 为 的中点，则=（ ）A.B.C.D. 10. （2 分） (2017·新课标Ⅲ卷文) 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则（ ）A . A1E⊥DC1B . A1E⊥BDC . A1E⊥BC1D . A1E⊥AC第 3 页 共 10 页11. （2 分） 已知 面积是（ ）A.7是椭圆B.C.的两个焦点，A 为椭圆上的一点，且，则的D.12. （2 分） (2017·临川模拟) 已知圆（x﹣1）2+y2= 的一条切线 y=kx 与双曲线 C： ﹣ =1（a ＞0，b＞0）有两个交点，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ）A . （1， ） B . （1，2）C . （ ，+∞）D . （2，+∞）二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)13. （1 分） (2019 高一上·上海月考) 设 x、y 都是实数，命题“若且，则价命题是“________”．”的等14. （1 分） (2018 高二上·巴彦期中) 以为渐近线且经过点的双曲线方程为________．15.（1 分）(2018 高二上·唐县期中) 过定点任作互相垂直的两条直线和，分别与 轴轴交于两点，线段 中点为 ，则的最小值为________.16. （1 分） (2019 高二上·襄阳期中) 椭圆，则________.的左右焦点分别为，点 在椭圆上，若17. （1 分） (2017 高一上·张掖期末) 命题“∀ x＞0，x2﹣3x+2＜0”的否定是________．第 4 页 共 10 页18. （1 分） (2020 高二上·丽水月考) 椭圆三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)的半焦距是________，离心率是________.19. （10 分） (2019 高二上·吉安月考) 设顶点在原点，焦点在 x 轴上的拋物线过点 线的动弦 ， ，并设它们的斜率分别为 ， .，过 作抛物(Ⅰ)求拋物线的方程；(Ⅱ)若，求证：直线 的斜率为定值，并求出其值；（III）若，求证：直线 恒过定点，并求出其坐标.20. （5 分） (2019 高二下·鹤岗月考) 设命题 :实数 满足，其中，命题 :实数 满足．（1） 若且为真，求实数 的取值范围；（2） 若是的必要不充分条件，求实数 的取值范围．21. （10 分） (2017·襄阳模拟) 已知在四棱锥 C﹣ABDE 中，DB⊥平面 ABC，AE∥DB，△ABC 是边长为 2 的等 边三角形，AE=1，M 为 AB 的中点．（1） 求证：CM⊥EM； （2） 若直线 DM 与平面 ABC 所成角的正切值为 2，求二面角 B﹣CD﹣E 的大小． 22. （10 分） (2016·桂林模拟) 如图，在四边形 ABCD 中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．第 5 页 共 10 页（1） 求 sin∠ABD 的值； （2） 求△BCD 的面积．23. （5 分） (2019 高二上·沈阳月考) 已知递增的等差数列前 项和为 ，若，.（1） 求数列的通项公式.（2） 若，且数列前 项和为 ，求 .第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)13-1、参考答案14-1、 15-1、第 7 页 共 10 页16-1、 17-1、18-1、三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)19-1、20-1、 20-2、第 8 页 共 10 页21-1、21-2、22-1、第 9 页 共 10 页22-2、 23-1、 23-2、第 10 页 共 10 页。
2022-2023学年江苏省连云港市高二年级上册学期期末调研(七)数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（七）数学试题一、单选题 1．若经过两点,6A m 和1,3B m 的直线的斜率是12，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D【分析】由两点间连线的斜率公式即可求解． 【详解】解：因为直线经过两点,6A m 、1,3B m 且直线的斜率是12，所以63121mm ，解得2m =- 故选：D ．2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数的和为（ ） A ．28 B ．26C ．24D ．20【答案】A【分析】根据题意利用等差等比中项公式得到方程组，解之即可； 【详解】依题意，设这四个数分别为,,12,16x y y x --，则2(12)2(16)(12)x y y y x y +-=⎧⎨-=-⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或159x y =⎧⎨=⎩， 所以这四个数为0、4、8、16或15、9、3、1，则这四个数的和为28． 故选：A ．3．已知直线l 过点()1,2且与抛物线24y x =只有一个公共点，则直线l 的方程是（ ） A ．2y = B ．10x y -+= C ．1x = D ．2y =或10x y -+=【答案】D【分析】先判断点()1,2在抛物线上，再分直线的斜率不存在，直线的斜率为0和直线的斜率存在且不为0，三种情况讨论求解即可.【详解】将点（1，2）的坐标代入抛物线方程得2241=⨯，即该点在抛物线上．①若直线的斜率不存在，直线l 的方程为:1l x =，当直线l 与抛物线有两个交点，不合题意； ②若直线的斜率为0，则直线:2l y =平行于x 轴，则满足题意；③若直线的斜率存在且不为0，设()():210l y k x k -=-≠，联立方程组22(1)4y k x y x -=-⎧⎨=⎩，将21y x k k =-+代入24y x =化简得24840y y k k-+-=， 则248Δ()4(4)01k kk=---=⇒=， 此时:2110l y x x y -=-⇒-+=． 综上，直线l 的方程为2y =或10x y -+=． 故选：D ．4．如图，圆228x y +=内有一点()012P -,，AB 为过点0P 的弦，若弦AB 被点0P 平分时，则直线AB 的方程是（ ）A ．250x y ++=B ．250x y -+=C ．250x y --=D ．2150x y +-=【答案】B【分析】根据题意得到直线AB 与直线0OP 垂直,求出直线0OP 的斜率,可得直线AB 的斜率,点斜式即可确定AB 的方程.【详解】当弦AB 被点0P 平分时，直线AB 与直线0OP 垂直， 因为020210OP k -==---，所以12AB k =，则直线AB 的方程为()1212y x -=+，即250x y -+=． 故选:B .5．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是 （ ）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=【答案】A【分析】根据椭圆22185x y +=方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程.【详解】在椭圆22185x y +=中，c，椭圆的焦点坐标为，(，左右顶点坐标分别为，()-，则双曲线的顶点坐标为，(，焦点坐标为，()-，且双曲线的焦点在x 轴上，所以a =c =222835b c a =-=-=， 所以双曲线的方程为：22135x y -=． 故选：A.6．已知f (x )＝x ln x ，若0()2f x '=，则x 0＝（ ） A ．e 2 B ．e C ．ln 22D ．ln2【答案】B【分析】对函数进行求导，然后代入求值即可. 【详解】因为f (x )＝x ln x ，所以()ln 1f x x '=+， 由00()ln 12f x x '=+=，解得0x e =. 故选：B.7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，则第5节的容积为( ) A ．2升 B ．6766升 C ．3升 D【答案】D【详解】现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列， 上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，∴2111678111··3··9a a q a q a q a q a q ⎧=⎨=⎩，解得1a q =3q =∴第5节的容积为：433611333a q a q q ===．故选：D ．8．已知函数2(1)1ax y x x =>-有最大值4-，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-【答案】B【解析】根据函数2(1)1ax y x x =>-，求导211(1)y a x ⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦'，然后根据开区间上唯一的极值点为最值点，结合函数在区间(1,)+∞上的最大值为4-求解. 【详解】因为函数2(1)1ax y x x =>-， 所以2222222(1)2111(1)(1)(1)ax ax x ax ax ax y a x x x x '⎛⎫⎡⎤---====- ⎪⎢⎥----⎣'⎦⎝⎭，令0y '=，解得2x =或0x =（舍去）.若函数在区间(1,)+∞上有最大值4-，则最大值必然在2x =处取得，所以441a=-，解得1a =-， 此时2(2)(1)x x y x '--=-，当12x <<时，0'>y ，当2x >时，0'<y ， 所以当2x =时y 取得最大值4-， 故选：B.二、多选题9．若圆C 23100x y +-=与圆C 相切于点()2,2P ，则圆的方程是（ ） A ．()22113x y +-= B ．()22113x y ++= C ．()()224513x y ++-= D ．()()224513x y -+-=【答案】BD【分析】由直线与圆相切及点在圆上，结合待定系数法得到方程组，解之即可. 【详解】根据题意，设圆的标准方程为()22()13x a y b -+-=，圆心坐标为(),a b ，过圆心且过切点的直线与直线23100x y +-=垂直，得22123b a -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，即322a b -=①， 由点()2,2P 在圆上得()()222213a b -+-=②，将①②联立得()()223222213a b a b -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩或45a b =⎧⎨=⎩， 故所求圆的方程为()22113x y ++=或()()224513x y -+-=． 故选：BD ．10．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（ ） A ．d ＜0 B ．a 10＝0 C ．S 18＜0 D ．S 8＜S 9【答案】BC【分析】由91011S S S =<，得100,0d a >= ，判断出A,B 选项，再结合90a <，11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项，再根据等式性质判断D 选项 【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-= ，所以B 正确 又1011S S < ,111110100a S S a d ∴=-=+> ,0d ∴> ,所以A 错误 1090,0,0a d a =>∴<11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确 9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC11．已知方程22121x y m m -=++，下列说法错误的是（ ）A ．当21m -<<-时，此方程表示椭圆B ．此方程不可能表示圆C ．若此方程表示双曲线，则2m <-D ．当2m <-时，此方程表示双曲线【答案】ABC【分析】分别列出方程22121x y m m -=++表示椭圆，圆，双曲线的条件，推出 m 的范围与取值，判断选项的正误即可.【详解】若该方程表示椭圆，则201021m m m m +>⎧⎪+<⎨⎪+≠--⎩，33(2,)(,1)22m ∴∈--⋃--，故A 错误;若该方程表示是圆，则21m m +=--，32m ∴=-，即当32m =-时，此方程表示圆，故B 错误;若该方程表示是双曲线，则(2)(1)0m m ++>，1m ∴>-或2m <-，故C 错误；当2m <-时，20,10m m +<+<，方程22121x y m m -=++表示焦点在y 轴上的双曲线，故D 正确；故选：ABC.12．下列说法正确的是（ ）A ．截距相等的直线都可以用方程1x ya a+=表示B ．方程()20x my m R +-=∈能表示平行y 轴的直线C ．经过点()11P ，，倾斜角为θ的直线方程为()1tan 1y x θ-=-D ．经过两点()111P x y ，，()222P x y ，的直线方程()()()()2112110y y x x x x y y -----= 【答案】BD【分析】A ．当直线过原点时，无法表示；B ．当0m =时，满足条件；C ．当倾斜角为90︒时，无法表示；D ．结合两点式方程进行判断即可.【详解】解：对于A ，截距相等为0的直线都不可以用方程1x ya a+=表示，故错误；对于B ，当0m =时，方程()20x my m R +-=∈能表示平行y 轴的直线2x =，故正确；对于C ，经过点()11P ，，倾斜角为90θ=︒的直线方程不能写成()1tan 1y x θ-=-，故错； 对于D ，经过两点()111P x y ，，()222P x y ，的直线均可写成()()()()2112110y y x x x x y y -----=，故正确． 故选：BD ．三、填空题13．设k 为实数，若直线:13l yk x 不经过第四象限，则k 的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【分析】根据直线不经过第四象限，得到不等关系，求出k 的取值范围.【详解】直线:13l yk x 经过定点)，当0k =时，此时直线:1l y =，符合要求；当0k ≠时，直线:13l ykx k ，要想不经过第四象限，则满足010k >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：0k <≤，综上：0k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦14．方程22121x y k k +=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是________.【答案】{1k k <或}2k >【分析】根据方程22121x y k k +=--表示双曲线，可知()()210k k --<，从而可求实数k 的取值范围【详解】∵方程22121x y k k +=--表示双曲线，∴()()210k k --<，解得1k <或2k >， ∴实数k 的取值范围是{1k k <或}2k >， 故答案为：{1k k <或}2k >15．我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？通过计算可知，塔顶的灯数为_____________． 【答案】3【分析】设第n 层塔的红灯盏数为n a ，由题意知{}n a 为公比为12的等比数列，根据7381S =求出首项得通项公式，再计算7a 可得答案.【详解】设第n 层塔的红灯盏数为n a ，由题意知，{}n a 为公比为12的等比数列，且7381S =，则()71711a q S q -=-，即71112381112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =， 则6671119232a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，从而可知塔顶有3盏灯． 故答案为：3.16．对于函数()f x ，若()02f x '=，则000()()limh f x h f x h h→+--=_____．【答案】4【分析】由导数定义构造计算可以得到结果. 【详解】[][]000000()()()()()()f x h f x h f x h f x f x f x h +--=+-+--又0000()()lim()h f x h f x f x h →+-'=，()()()()()0000000lim lim h h f x f x h f x h f x f x h h→-→---=-'-∴=0000()()lim2()4h f x h f x h f x h→+--'∴==故答案为:4.四、解答题17．已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ； （2）记12111n nT S S S =++⋯+，求n T 【答案】（1）21n a n =+，(2)n S n n =+；（2）32342(1)(2)n n n +-++. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合3577,26a a a =+=，可以得到两个关于首项和公差的二元一次方程，解这个方程组即可求出首项和公差，最后利用等差数列的通项公式 和前n 项和公式求出n a 及n S ；（2）利用裂项相消法可以求出n T . 【详解】1）设等差数列{}n a 的公差为d ，311571273210262a a d a a a a d d =+==⎧⎧∴∴⎨⎨+=+==⎩⎩ ()121,(2)2n n n n a a a n S n n +∴=+==+ （2）由（1）知：11111(2)22n n n n n S ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭123111111*********2n n T S S S S n n ⎛⎫∴=+++=-+-++- ⎪+⎝⎭11113231221242(1)(2)n n n n n +⎛⎫=+--=-⎪++++⎝⎭ 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了裂项相消法求数列前n 项和，考查了数学运算能力.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(A ，且a =.直线 :l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N两点.（1）当1k =时，求实数m 的取值范围；（2）当2m k =-时，AMN 的面积为4，求直线l 的方程. 【答案】（1）m -<（2）直线l 的方程为0y =.【解析】（1）先根据题中已知条件求出椭圆的方程，再与:l y kx m =+联立，令0∆>即可求解； （2）椭圆方程与直线:l y kx m =+联立，由根与系数的关系求出12x x +和12x x ，利用弦长公式求出MN，利用点到直线的距离公式求出点(A 到直线:2l y kx k =-距离，将面积表示出，解方程即可得k 得值，进而得出直线l 的方程.【详解】由题意可得22222421a abc a b ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得：22a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆22:184x y C +=，设()11,M x y ，()22,N x y由22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()222214280k x kmx m +++-=， （1）当1k =时，2234280x mx m ++-=，若直线与椭圆有2个交点，则()221612280m m ∆=-->，解得：m -< 所以实数m的取值范围为m -<（2）当2m k =-时，()222214280k x kmx m +++-=即()2222218880kx k x k +-+-=2122821k x x k +=+，21228821k x x k -=+，12MN x =-)22121k k +==+， 点(A 到直线:2l y kx k =-距离为d ==，所以AMN的面积为)2211142221k MN d k +⨯⨯=⨯=+，即(22121k k +=+221k =+，两边同时平方得42430k k +=，解得0k =，所以0m =，且0k =时，()2222218880k x k x k +-+-=即为280x -=满足直线与椭圆有2个交点，所以直线l 的方程为：0y =.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正确求出椭圆的标准方程，直线与椭圆交于两点等价于直线与椭圆方程联立消元后的一元二次方程判别式0∆>，关键是正确求出弦长MN和点(A 到直线:2l y kx k =-距离，化简运算得过程要仔细认真，属于中档题. 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且52254S S =，221n n a a =+，N n *∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3n n b =，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.n T【答案】(1)21n a n =-，()*N n ∈(2)()1133n n T n +=-⋅+【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可； （2）由错位相减法求解即可【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 则由52254S S =，221n n a a =+，*N n ∈， 可得()()()11112551024212211a d a d a n d a n d ⎧+=+⎪⎨⎪+-=+-+⎩解得112a d =⎧⎨=⎩因此21n a n =-，()*N n ∈；（2）由（1）知()213nn c n =-，()23133353213n T n n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅，①()23413133353...213n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⋅，②①-②得()231213232323213n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅()()23132333213n n n +=+⨯+++--⋅()()()211131332213622313n n n n n -++-=+⨯--⋅=---⋅-，()1133n n T n +∴=-⋅+20．已知函数()1n )l (f x x a x a x=--∈R（1）若函数()f x 在(2,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，12x x >不等式()12f x mx <恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[)0,+∞. 【分析】（1）由题意得出21()10a f x x x '=+-≥对2x >恒成立，即1a x x≤+对2x >恒成立，求出1x x +的最大值，得出a 的取值范围； （2）根据一元二次方程根的分布求出2a >，111a x x =+，结合()12f x mx <得出22111(1)ln 1m x x x >-+-，构造函数22()(1)ln 1,1g x x x x x =-+->，利用导数得出()(1)0g x g <=，从而得出实数m 的取值范围.【详解】解（1）21()10a f x x x '=+-≥对2x >恒成立，即1a x x≤+对2x >恒成立， 令1(),2h x x x x=+>，2(1)(1)()0x x h x x -+'=>，即()h x 在2,上递增，15222a ∴≤+=， 故a 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦； （2）2221(1)1a f x x x x ax x '=-+=+- 若()f x 有两极值点，即210x ax -+=在0,上有两根1x ，2x ，12x x >，则212124001a x x a x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=⎩. 2a ∴>，111a x x =+， 12x x >，11x ∴>，201x <<，12()f x mx <，22211111111()ln 1(1)ln 1m x f x x ax x x x x ∴>=--=-+-，令22()(1)ln 1,1g x x x x x =-+->，1()2ln g x x x x x'=--， 令1()2ln h x x x x x =--，21()2ln 1h x x x '=--， 1x >，2110x ∴-<，()0h x '∴<， ()(1)0h x h ∴<=，即()0,g x '<()g x ∴在1,递减，()(1)0g x g <=，0m ∴≥，故m 的取值范围为[)0,+∞.21．已知抛物线)(2:20C y px p =>上的点M 到焦点F 的距离为5，点M 到x 轴的距离为6p ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线l 与x 轴交于点Q ，过点Q 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FB 的斜率分别为1k ，2k ．求12k k +的值．【答案】(1)28y x =(2)0【分析】（1）由焦半径公式求C 的方程；（2）设直线AB 方程，与抛物线方程联立，由韦达定理表示出12x x +，12x x ，代入12k k +中化简求值即可.【详解】（1）设点)(00,M x y ，则06y p =(2062p px =，解得03x =． 因为03522p p MF x =+=+=，所以4p =．所以抛物线C 的方程为28y x =． （2）由题知，)(2,0F ，)(2,0Q -，直线AB 的斜率必存在，且不为零．设)(11,A x y ，)(22,B x y ，直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为2y kx k =+，由228y kx k y x =+⎧⎨=⎩，得)(22224840k x k x k +-+=． 所以212284k x x k -+=，124x x =， 且)()(2242Δ48166410k k k =--=->，即21k <． 所以)()()()()()()()(1212211212121212222222222222k x k x x x x x y y k k k x x x x x x +++-++-+=+=+=------)(12121228024x x k x x x x -==-++ 所以12k k +的值为0．22．已知函数()e x f x ax =+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，不等式()sin 1f x mx x ≥-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(,3]-∞【分析】(1)求出()f x 的导数()'f x ，分当0a ≥，当a<0的情况讨论，可得()f x 的单调性；(2)可构造函数()e sin 1x g x x mx x =+-+-，利用(0)0g =，判断()g x 单调性，即可得出m 的取值范围.【详解】解：（1）()'x f x e a =+，当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当a<0时，由()'0x f x e a =+>得，ln()x a >-，则函数()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，在(,ln())a -∞-上单调递减.综上所述，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，在(,ln())a -∞-上单调递减.（2）设()e sin 1x g x x mx x =+-+-，()1cos x g x e m x '=+-+，设()()h x g x '=，()[)sin 0,0,x h x e x x >'=-∈+∞上恒成立，所以()g x '在[0,)+∞为增函数，(0)3g m '=-，若3,()(0)0,()m g x g g x ''≤≥≥在[0,)+∞上单调递增，所以()0g x ≥恒成立，即()sin 1f x mx x ≥-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立；若3,(0)30m g m '>=-<，()()()ln2'ln 21cos ln 21cos ln 20m g m e m m m m =+--=+->，存在0(0,ln 2)x m ∈，使得000()0,(0,),()0g x x x g x ''=∈<，()g x 单调递减，所以0(0,),()(0)0x x g x g ∈<=，此时不等式()sin 1f x mx x ≥-+不成立，不合题意，所以实数m 取值范围是(,3]-∞.【点睛】证明不等式恒成立要注意端点函数值，尤其是端点取等号时的端点效应，经常作为解题的突破口.。
江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测(9月)数学试题含答案
2024-2025学年第一学期高二年级第一次阶段检测数学试卷（答案在最后）一、单选题(每题5分，共40分）1.已知直线1l的斜率为0，且直线12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为A.0︒B.45︒C.90︒D.180︒【答案】C 【解析】【分析】由斜率定义可判断直线1l 与x 轴平行，再由直线12l l ⊥得解．【详解】因为直线1l 的斜率为0，所以直线1l 与x 轴平行，又直线12l l ⊥，故直线2l 的倾斜角为90 ．【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角的定义．2.已知直线3230x y +-=和6410x y ++=之间的距离是（）A.4B.13C.26D.26【答案】D 【解析】【分析】由平行线间距离公式即可求解.【详解】直线6410x y ++=可以转化为13202x y ++=，由两条平行直线间的距离公式可得7713226d ===.故选：D3.圆()2249x y -+=和圆()2234x y +-=的位置关系是（）A.外离B.相交C.外切D.内含【答案】C 【解析】【分析】计算两圆的圆心之间的距离和半径比较，即得答案.【详解】圆()2249x y -+=的圆心为()4,0，半径为3，圆()2234x y +-=的圆心为0,3，半径为2，523==+，所以两圆外切.故选：C4.已知圆()22420x y mx my m m ++-+=∈R 与x 轴相切，则m =（）A.1B.0或14C.0或1D.14【答案】D 【解析】【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得r m ==求解.【详解】将()22420x y mx my m m ++-+=∈R 化为标准式为：()()22225x m y m m m ++-=-，故圆心为()2,m m -半径为r =15m >或0m <，由于()22420x y mx my m m ++-+=∈R 与x轴相切，故r m ==，解得14m =，或0m =（舍去），故选：D5.已知点()0,1P -关于直线10x y -+=对称的点Q 的坐标是（）A.(2,1)B.(2,1)- C.(1,2)D.(2,1)--【答案】B 【解析】【分析】设(),Q a b ，根据,P Q 中点在对称直线上及PQ 与对称直线垂直列方程求解.【详解】设(),Q a b ，则110011022b a a b +⎧=-⎪⎪-⎨+-⎪-+=⎪⎩，解得2a =-，1b =.故选：B6.已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF △的周长的最小值为（）A.8B.6+C.10D.8+【答案】C【解析】【分析】根据题意结合椭圆定义可得2ABF △的周长为2a AB +，结合椭圆的性质分析求解.【详解】椭圆的方程为22194x y +=，则3a =，2b =，c ==，连接1AF ，1BF ，则由椭圆的中心对称性可知12OA OB OF OF ==，，可知12AF BF 为平行四边形，则21BF AF =，可得2ABF △的周长为22122AF BF AB AF AF AB a AB ++=++=+，当AB 位于短轴的端点时，A 取最小值，最小值为24b =，所以周长为26410a AB +≥+=．故选：C.7.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】首先求出直线PA 、PB 的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】解：记()1,1为点P ，直线PA 的斜率31421PA k --==--，直线PB 的斜率213314PB k --==--，因为直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，结合图象，可得直线l 的斜率k 的取值范围是(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭．故选：B ．8.已知直线(2)y k x =+与曲线21y x =-有公共点，则实数k 的取值范围是（）A.33,33⎡-⎢⎣⎦B.30,3⎡⎢⎣⎦C.3,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[3,3]-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到直线(2)y k x =+过定点(2,0)P -，以及曲线221(0)x y y +=≥，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.【详解】由直线(2)y k x =+过定点(2,0)P -，又由曲线21y x =-221(0)x y y +=≥，作出曲线21y x =-(2)y k x =+的图象，如图所示，因为直线(2)y k x =+，可得20kx y k -+=，2221(1)kk =+-，解得33k =±，若直线(2)y k x =+与曲线21y x =-303k ≤≤，即实数k 的取值范围为30,3⎡⎢⎣⎦.故选：B.二、多选题(每小题6分，本题18分)9.以下四个命题叙述正确的是（）A.直线210x y -+=在x 轴上的截距是1B.直线0x ky +=和2380x y ++=的交点为P ，且P 在直线10x y --=上，则k 的值是12-C.设点(,)M x y 是直线20x y +-=上的动点，O 为原点，则OM 的最小值是2D.直线()12:310:2110L ax y L x a y ++=+++=，，若12//L L ，则3a =-或2【答案】BC 【解析】【分析】求出直线的横截距判断A ；解方程组求出k 判断B ；求出点到直线的距离判断C ；验证判断D.【详解】对于A ，直线210x y -+=在x 轴上的截距是12-，A 错误；对于B ，由238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,2)P --，则120k --=，解得12k =-，B 正确；对于C ，依题意，min222211OM-==+C 正确；对于D ，当2a =时，直线12:2310,:2310L x y L x y ++=++=重合，D 错误.故选：BC10.已知M 是圆22:414450C x y x y +--+=上任一点，()2,3Q -，则下列说法正确的是（）A.圆心C 的坐标为()2,7B.点Q 在圆C 内C.MQ 的最大值为62D.过()3,5P 的最短弦长是23【答案】ACD 【解析】【分析】由圆的标准方程可判断A ，由点和圆的位置关系可判断B ，由圆外一点到圆的距离的最值可判断C ，由圆的几何性质可判断D.【详解】将圆C 的方程化为标准方程()()22278x y -+-=，圆心()2,7,C r =对于A ：圆心C 的坐标为()2,7，故A 正确；对于B ：因为()()2222378--+->，所以点Q 在圆C 外，故B 错误；对于C ：因为CQ ==，r =所以MQ ≤≤，即MQ ≤≤，故C 正确；对于D ：因为()()22325758CP =-+-=<，所以点()3,5P 在圆内，当弦垂直于CP 时弦长最短，又CP =，最短弦长为=D 正确.故选：ACD.11.已知椭圆22:416C x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的任意一点，则（）A.C 的离心率为12B.128PF PF +=C.1PF 的最大值为4+D.使12F PF ∠为直角的点P 有4个【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出,,a b c ，由离心率定义判断A ，由椭圆定义判断B ，由椭圆的几何性质判断C ，根据以线段12F F 为直径的圆与椭圆交点个数判断D.【详解】由原方程可得椭圆标准方程为221164x y +=，4,2a b c ∴==⇒=，2c e a ∴==，故A 错误；由椭圆定义可知1228PF PF a +==，故B 正确；由椭圆的性质知1max ||4PF a c =+=+C 正确；易知以线段12F F 为直径的圆（因为b c a <<）与C 有4个交点，故满足12F PF ∠为直角的点P 有4个，故D 正确.故选：BCD三、填空题(每小题5分，本题15分)12.已知三点A (1,1)-，B (,3)a ，C (4,5)在同一直线上，则实数a 的值是________.【答案】3【解析】【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式.【详解】 三点A (1,1)-，B (,3)a ，C (4,5)在同一直线上，AB AC k k ∴=，∴4613a =-，解得3a =.故答案为：3.13.已知椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若ABF △为等腰三角形，则C 的离心率为______．【答案】12-+【解析】【分析】利用椭圆的性质计算即可.【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为()2,2,20,0,0a b c a b c >>>，则222a b c =+，且根据椭圆的性质易知()()(),0,,0,0,F c A a B b -，所以,AB AF a c BF a ==+=，显然若ABF △为等腰三角形，则只能有AB AF =，即()22222220a b a c a ac c +=+⇒--=，则21312202c c c e a a a -+⎛⎫--=⇒== ⎪⎝⎭.故答案为：132-+14.如果实数,x y 满足等式224240x y x y --++=，那么22x y +的最大值是________；2x y -的最大值是________．【答案】①.1465+6514②.355##535-+【解析】【分析】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可.【详解】由224240x y x y --++=，得2222(2)(1)9,x y x y ++-=+的几何意义为圆22(2)(1)9x y ++-=上的动点到原点距离的平方．因为圆心()2,1-553+，则22x y +的最大值是253)1465=+令2x y t -=，则t -是直线2x y t -=在y 轴上的截距，当直线与圆相切时，直线2x y t -=在y 轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，此时，圆心()2,1-到直线2x y t -=的距离4135td ---==，解得535t =-±，所以2x y -的最大值为355-．故答案为：1465+；355.四、解答题15.已知点(2,1)P -和直线:250l x y +-=.（1）若直线1l 经过点P ，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过点P ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线2l 的方程.【答案】（1）250x y --=（2）20x y +=和10x y +-=【解析】【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解，（2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解.【小问1详解】由直线l 的方程可知它的斜率为12-，因为1l l ⊥，所以直线1l 的斜率为2.又直线1l 经过点(2,1)P -，所以直线1l 的方程为：12(2)y x +=-，即250x y --=；【小问2详解】若直线2l 经过原点，设直线方程为y kx =，代入(2,1)P -可得20x y +=，若直线2l 不经过原点，设直线方程为1x ya a+=，代入(2,1)P -可得1a =，故直线2l 方程为10x y +-=.综上，直线2l 的方程为20x y +=和10x y +-=.16.（1）椭圆C 与椭圆C 1:2212x y +=有相同的焦点，且经过点M 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求椭圆C 的标准方程；（2）已知椭圆22126x y +=的焦点分别是1F ，2F ，点M 在椭圆上，且120F M F M ⋅= ，求点M 到x 轴的距离.【答案】（1）22143x y +=；（2【解析】【分析】（1）确定椭圆焦点坐标，根据椭圆定义求得,a b ，即得答案；（2）设(,)M x y ，可得1(,2)F M x y =+ ，2(,2)F M x y =-；由120F M F M ⋅= 得2240x y +-=，结合椭圆方程求出||y =，即得答案.【详解】（1）椭圆C 1：2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，所以椭圆C 的焦点坐标也为(1,0)±，即得焦距为22c =，∵椭圆C 过点M 3(1,2，∴24a =+=，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）由椭圆方程得，1(0,2)-F ，2(0,2)F ，设(,)M x y ，则1(,2)F M x y =+ ，2(,2)F M x y =-；由120F M F M ⋅=得：2240x y +-=（1）；又点M 在椭圆上，可得22126x y +=（2）；（1）（2）联立消去2x 得，23y =，即||y =；故点M 到x 17.（1）已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是34-，求点M 的轨迹方程；（2）如图，已知圆22:1O x y +=和定点()4,0A ，P 为圆O 外一点，直线PQ 与圆O 相切于点Q ，若PQ =，求点P 的轨迹方程．【答案】（1）()221243x y x +=≠±；（2）221633x y x +-+=0.【解析】【分析】设动点坐标为(),x y ，用坐标表示动点满足的条件，列出方程，化简即可.【详解】（1）设s ，则2AM y k x =+，2BM y k x =-，()32224AM BM y y k k x x x ∴⋅=⋅=-≠±+-，化简整理得，()2234122x y x +=≠±，所以点M 的轨迹方程为：()221243x y x +=≠±.（2）设s ，依题意2PQ =，则222PQ PA =，即2222OP OQ PA -=，即()2222124x y x y ⎡⎤+-=-+⎣⎦，整理得2216330x y x +-+=.18.（1）求圆心在直线1:2l y x =-上，与直线2:1l x y +=相切于点(2,1)A -的圆C 的方程.（2）若过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)2D x y -++=的切线，求切线的斜率.【答案】（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）23-±【解析】【分析】（1）由圆的切线性质求出直线CA 的方程，进而求出圆心C 的坐标及圆半径即可得解.（2）按切线斜率存在与否分类讨论，借助点到直线距离公式列式计算即得.【详解】（1）依题意，2CA l ⊥，则直线CA 的斜率为1，方程为12y x +=-，即3y x =-，由23y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，则圆C 的圆心(1,2)C -，22(21)(12)2||CA -=-++=所以所求圆的方程为：22(1)(2)2x y -++=.（2）圆22:(1)(2)2D x y -++=的圆心(1,2)D -，半径r =当切线l 的斜率不存在时，:1l x =-，点D 到切线l 的距离为2，不等于半径，不满足题意；当切线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =+，即0kx y k -+=，=，解得2k =-±，所以切线的斜率为2-±19.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,1P ，焦距为，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.（1）求椭圆C 的方程；（2）若MN =，求MN 的方程；（3）记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明:12k k 为定值.【答案】（1）221124x y +=（2）123y x =--（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；（2）设直线l 的方程为13y x m =-+，与椭圆联立，由弦长公式求得MN 的方程；（3）将韦达定理代入12k k 中计算结果为定值.【小问1详解】由题意得222229112a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为13y x m =-+，()()1122,,,M x y N x y 由22131124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22469360x mx m -+-=，由()22Δ(6)14440m m =-->，得434333m -<<，则212123936,24m m x x x x -+==.2MN ===解得2m =或2m =-当2m =时，直线1:23l y x =-+经过点()3,1P ，不符合题意，舍去；当2m =-时，直线l 的方程为123y x =--.【小问3详解】直线PM ，PN 均不与x 轴垂直，所以123,3x x ≠≠，则0m ≠且2m ≠，所以()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()212121212111(1)9339x x m x x m x x x x --++-=-++()222221936131(1)3619432936391833942m m m m m m m m m m -⋅--⋅+--===---⋅+为定值.。
江苏省连云港市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
11.已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则( ）
A。p是q的既不充分也不必要条件B。p是s的充分条件
C。r是q的必要不充分条件D.s是q的充要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】
逐项列出每个条件，然后根据充分条件和必要条件的概念判断即可。
联立 和 消去 得 ，化简得
所以 , .故 .
故答案为：(1) ; （2)
【点睛】本题考查椭圆的基本概念还有直线和圆锥曲线的相交弦，属于中档题。
16.已知数列 的前n项和为 ， ， ( ），则 ＝_______．
【答案】2020
【解析】
【分析】
可以通过给出的递推公式做差来求出此数列相邻两项和,最后凑出前n项和的形式,
根据椭圆定义和向量的数量积运算，逐一推导，将每个选项验证一下.
【详解】椭圆长轴长为 ,根据椭圆定义 ，故选A； 设P是椭圆C的任意一点,则 ,所以 ，B错误；
,而 ，所以 ,C正确； ,又根据椭圆性质有 ，所以 ，D正确。故选:ACD.
【点睛】本题考查椭圆定义和向量的数量积运算，是一道不错的综合题。
【答案】112
【解析】
【分析】
由“毎天走的路程为前一天的一半"可知,这个人每天走的路程满足等比数列的特点，且 ，公比 ，由此可解出 ，根据 得出 。
【详解】设第 天走了 步，又因为毎天走的路程为前一天的一半,所以 ，根据题意 ，故 ,解得 ，所以 。
故答案为:112
【点睛】此题考查了等比数列的应用，根据实际问题建立数学模型，然后再用等比数列求和公式求解,属于中档题。
【解析】
【分析】
连云港高二数学理第一学期期末检测答案
参考答案二、解答题(本大题共8小题，共120分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解：(1)由已知：sin c sin sinsin ,a A CC b B +-=以及正弦定理得：ac c a b 2222-+=，…………………………3分由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，故cosB =22 ，又B ()π,0∈ ∴B=45°…………………6分 （2）Bb Cc sin sin =，∴c =6 ……………………10分解法一：由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-即2220a a --= ∴13+=a .……………………14分 解法二：由正弦定理得：∴Bb Aasin sin =即45sin 275sin =a∴13+=a. ………………14分18．解：（1）()f x '=……………………3分= ……………………5分所以013()0x f x -'==，则013x =……………………7分（2）当1(1,)3x ∈-时，()0f x '>，()f x 是增函数；……………………9分当11(,)32x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数；………………11分(1)f -=，1()39f =1()02f =所以函数()f x 在区间1[1,]2-的值域为[9 (14)分19. 解：（1）因为12k k ->-，所以221,2a k b k =-=-………………………2分所以21c =，且焦点在y 轴上………………………4分 所以双曲线的焦点坐标为(0,1)±………………………6分 （2）命题:p (2)(1)0k k --<，12k <<………………………8分命题:q 244(1)0k ∆=--<，k <k >10分 因为命题“p 且q”为真命题，所以12k k k <<⎧⎪⎨<>⎪⎩2k <<………………14分（注：若第（1）问分类讨论答案对也算对）20．（1）设动点(,)M x y，则|1|1x +=………………………3分 化简得：2622|1|x x y -++=当1x ≥-时，28y x =………………………5分 当1x <-时，2448y x =-<-，不合题意所以点M 的轨迹方程为：28y x =………………………7分 （注：本题也用定义法得到抛物线方程） （2）抛物线的准线方程为2x =-，过点A 作准线的垂线A M ，垂足为M ，A M 交y 轴于点E ，过点B 作准线的垂线B N ，垂足为N ，由抛物线的定义知：8A F A M ==因为2M E O F ==，所以6A E =，4FH =在R t A H F 中，8A F =，4FH =，所以60AFH ∠=…………………10分解法1：直线A B的方程为2)y x =-由22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得：2(6,(,)33A B -，所以28233B F B N ==+=．…………………………14分解法2：过点B 作BG AM ⊥于点G ，在R t G A B ∆中，60GAB ∠=，则2AB AG =令BF t =，则8,8AG t AB t =-=+，所以82(8)t t +=-，则83t =．即83B F =．…14分21．解：（1）11()22tan603A DBC x AD B C x B C=+=+⨯=+，……2分所以1(2)233B C x x B C xx=+=-，解得…………………4分设外周长为l则22sin603xl AB BC xx=+=+-…………………7分x=+≥x=3x=时等号成立，外周长的最小值为此时大棚高x为3米；………………………10分（2）129) 2.x x xx x+=+<≤，设21212112999()(1)0x x x xx x x x+--=-->，l是x在2]的减函数，所以m in222l=+=（米），（当x=2时取得最小值）．……………16分（本题也可利用导数求最值和判断在2]上单调递递减）22.解：（1）解：由e2ca==，得2234a c=，再由222c a b=-，得2a b=………3分由题意可知，1224,22a b ab⨯⨯==即…………………5分解方程组22a bab=⎧⎨=⎩得2,1a b==，所以椭圆的方程为2214xy+=…………………8分（2）A O B∆中，1OA OB==，11sin22A O BS O A O B A O B∆=⨯⨯⨯∠≤当且仅当90AOB︒∠=时，AOBS∆有最大值12，…………………10分90AOB︒∠=时，点O到直线A B的距离为2d=22222d m n=⇔=⇔+=…………………12分又因为2244m n+=，所以2242,33m n==，此时点(,)33M±±………16分23.解：（1）当2=a 时，()2()()f x h xg x +=，(2)2(2)5(2)f hg +==2()()[()2]()()()f xg x f x g xh x g x ''++'=2(2)(2)[(2)2](2)7(2)(2)2f g f g h g ''-+'==…………………3分曲线()h x 在点(2,(2))h 处的切线方程75(2)2y x -=-，即722y x =-…………………4分（2）①当2=a 时，22()h x x x=+所以322222()20x f x x xx-'=-=<…………………6分解得10x x <≠且，所以函数)(x f 的单调递减区间为(,0),(0,1)-∞…………………8分 ②2()2a f x x x'=-，由题意得：24(2)a x x ax xx-<+即242a x ax xx-<+，即214()2a x x xx+>-…………………10分因为)3,1(∈x ，所以10x x+>，所以232422411x x x a x x x-->=++…………………12分令3224()1x h x x -=+，则2234222226(1)(24)(2)268()(1)(1)x x x xx x xh x x x +--++'==++…………14分 因为)3,1(∈x ，所以()0h x '>，所以函数3224()1x h x x -=+在)3,1(∈x 为单调递增函数所以(3)5a h ≥=…………………16分24.解：（1）2nn a =………………………2分当1n =时，111b S ==；当2n ≥时，151n n n b S S n -=-=-；1b 也满足51n b n =- 综上，51n b n =-………………………4分（2）由题意得：251n n c ≥-+对一切*∈N n 都成立， 所以，251n c n ≤-+对一切*∈N n 都成立，令251n n c n =-+，则1125(1)1n n c n ++=-++所以1125(1)1251n n n n c c n n ++-=-++-+-25n =-………………………7分 当2n ≤时，1n n c c +<，{}n c 为递减数列，即123c c c >>当3n ≥时，1n n c c +>，{}n c 为递增数列，即345c c c <<< ………………………9分 所以n c 最小值为36c =-所以6c ≤-，即c 的最大值为6-.………………………11分 (3) 234561234562,2,2,2,2,2,a a a a a a ======1234564,9,14,19,24,29,b b b b b b ======数列}{n a 与}{n b 中相同的项按从小到大的顺序排成一列为数列}{n c261014123442,642,2,2,c c c c ====== ………………………14分342012,2012c c <>所以满足2012>n c 的最小正整数n 的值为4.………………………16分。
江苏省连云港市2020学年高二数学上学期期末调研考试试题(扫描版)
1232019～2020学年度第一学期期末考试高二数学参考答案及评分标准一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．1.A2.B3.C4.C5.D6.C7.C8.D二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．9.BC 10.AC 11.BD 12.ACD三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．28y x =-； 14．112； 15．22132x y +=；125； 16．2020.17．解：（1）因为方程22122x y m m -=+表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线，所以20,+20,m m >⎧⎨>⎩解得0m >，所以命题p 为真时实数m 的取值范围为(0,)+∞．……………………5分（2）因为p 是q 的必要条件，所以q p ⇒，所以[](),20,a a +⊆+∞，故0a >． 综上，实数a 的取值范围为(0,)+∞． ……………………10分18．解：（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A ，B ，以AB 垂直平分线为y 轴，拱圈最高点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则(12,8)A --，(12,8)B -， 设拱桥所在的抛物线方程为22(0)x py p =->，............3因点(12,8)A --在抛物线上，代入解得9p =， 故拱桥所在的抛物线方程是218x y =-． (6)4 （2）因218x y =-，故当3x =时，0.5y =-，故当水位暴涨1.54m 后，船身至少应降低6.5 1.54(80.5)0.54+--=， ………………….11分因精确到0.1m ，故船身应降低0.6m ．答：船身应降低0.6m ，才能安全通过桥洞．………………12分19．解：不妨设正方体的棱长为1，以{}1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r为单位正交基底，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则各点坐标为(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1C 1(1,0,1)A ，1(1,1,1)B ，1(0,0,1)D ，1(,1,0)2E ，1(0,,0)2F ．………2（1）因为1(1,0,1)A D =--u u u u r ，11(,,0)22EF =--u u u r ，所以1A D =u u u u r EF =u u u r ，1110022A D EF ⋅=++=u u u u r u u u r ， ………4分由1111cos ,2A D EF A D EF A D EF ⋅==uu u u r u u u ru u uu r u u u r u u u u r u u u r 〈〉，因1,A D EF u u u u r u u u r〈〉[]0,π∈故向量1A D u u u u r 与EF u u u r 夹角为3π，因此，1A D 与EF 所成角的大小为3π． …………………………6分（2）11(1,,1)2A F =--u u u u r ，1(1,1,1)AC =-u u u u r ，11(1,1,0)D B =u u u u r ，1(0,1,1)D C =-u u u u r ，因为11111+11+10=0AC D B ⋅=-⨯⨯⨯u u u u r u u u u r ，1110+11+1(1)=0AC D C ⋅=-⨯⨯⨯-u u u u r u u u u r，所以111AC D B ⊥u u u u r u u u u r ，11AC D C ⊥u u u u r u u u u r ，5又1111D C D C D =I ，所以1AC ⊥u u u u r 平面11D B C ，因此1AC u u u u r是平面11D B C 的法向量；………………8分因为132A F ==u u u u r，1AC ==u u u u r11111(1)1(1)12A F AC ⋅=-⨯-+⨯+-⨯=u u u u r u u u u r ， ……………………………10分所以，111111cos ,A F AC A F AC A F AC ⋅<>=u u u u r u u u ur u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ……………………………11分综上，1A F 与平面11D B C ． ……………………………12分20．解：（1）因为32n n S a =+，所以当1n =时，1132S a =+，解得13a =-．当n ≥2时，11(32)(32)n n n n n a S S a a --=-=+-+，化简得12n n a a -=．又130a =-≠，所以0n a ≠，因此12nn a a -=，所以{}n a 是首项为3-公比为2的等比数列，即132n n a -=-⋅；..……………..3分 又111a b +=-，2348a b =-，即131b -+=-，3648b -=-，所以12b =，38b =， 因为数列{}n b 为等差数列，所以公差311()32d b b =-=，故31n b n =-；……………..5分（2）由（1）知{}n a 是首项为3-公比为2的等比数列，所以1(1)3321n n n a q S q -==-⋅-，所以1113n n n S S S ++-⋅=1113332(332)(332)n n n ++--⋅-⋅⋅-⋅11113(12)3(12)(12)n n n ++=---⋅- 11121111()3(12)(12)32121n n n n n ++--==---⋅---， ………………8分6故n T =1223341111111111()()())32121212121212121n n +⎡⎤--+-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥--------⎣⎦111(1)321n +=---． ………………10分 若10102332n T ->⨯，即110111023(1)32132n +--->-⨯，即1101112110242n +>=-，可得110212n +-<，所以9n ≤， 综上，使得10102332n T >-⨯的最大的n 的值为9． ………………12分21．解：（1）在ABP ∆中作BD AP ⊥，垂足为D ，因为PB PC ==2AB AC ==，AP 为公共边，所以ABP ∆≌ACP ∆，又BD AP ⊥，所以CD AP ⊥，所以BDC ∠为二面角B AP C --的平面角； ………..……………..2分 又222PB AB PA +=，所以90PBA ∠=o ，故ABP ∆的面积1122ABP S AB PB PA BD ∆=⋅=⋅，所以AB PB BD PA ⋅==CD = 在BCD ∆中，2221cos 210BD CD BC BDC BD CD +-∠==-⋅，……….………..4分 所以，二面角B AP C --大小的余弦值为110-． ………..……………..5分（2）（法一）取BC 中点E ，连结AE ，PE ，在平面PAE 中作PO AE ⊥，垂足为O ． 因为AB AC =，所以AE BC ⊥．同理PE BC ⊥．又AE PE E =I ，AE ⊂平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ． 因为PO ⊂平面PAE ，所以PO BC ⊥．又PO AE ⊥，BC AE E =I ，BC ⊂平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，P AB CDEO7 所以PO ⊥平面ABC ，因此，点P 到底面ABC 的距离即为PO 的长； ………..……………..8分 在Rt ABE ∆中，53AE ==，在Rt PBE ∆中，PE ===，在PAE ∆中，2224cos 25PA AE PE PAE PA AE +-∠==⋅， ……..……………..10分所以，3sin 5PAE ∠=，在Rt PAO ∆中，9sin 5PO PA PAE =⋅∠=， ………..……………..11分综上，点P 到底面ABC 的距离为95． ………..……………..12分（法二）由（1）知BD AP ⊥，CD AP ⊥，又BD BCD ⊂面，CD BCD ⊂面，BD CD D ⋂= 所以AP BCD ⊥面，则13P ABC P BCD A BCD BCD V V V PA S ---∆=+=⋅，在BCD ∆中，BD CD ==，1cos 10BDC ∠=-， 故1sin 2BCD S DB DC BDC ∆=⋅∠2123=⨯=⎝⎭则133P ABC BCD V PA S -∆=⋅=.在ABC ∆中，2AB AC ==，3BC =，则9ABC S ∆=设点P 到底面ABC 的距离为h，则133P ABC ABC V hS -∆==95h =.8 22．解：（1）由(P 在椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>上得222312a b +=； ①如图，由A 为C 的右顶点B 为C 的上顶点可知(,0)A a ，(0,)B b ．因OP ∥AB ，所以OP AB k k =，则ba =-； ② ……………………2分联立①②得方程组22231,2,a b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨⎪⎩故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．……………4分 （2）（法一）因椭圆C 的方程为22143x y +=，所以(1,0)F -，(2,0)A ．因直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为1x ky =-，设11(,)D x y ，22(,)E x y ， 联立方程组221,431,x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得22(34)690k y ky +--=， ……………………6分解得1,2y =，故122634k y y k +=+，122934y y k -=+，12y y -=． 因2AD AE k k -=-，则1212222y y x x -=---，则1212233y y ky ky -=---，即21212123()23()9y y k y y k y y -=--++，2=，故k = ……………………10分 所以直线l的方程为1x =-，即10x +=. ……………………12分 （法二）因椭圆C 的方程为22143x y +=，所以(1,0)F -，(2,0)A ．当直线l 的斜率不存在时1AD AE k k -=-． ……………………6分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为(1)y k x =+，设11(,)D x y ，22(,)E x y ，9 联立方程组221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +++-=，解得21,2282(43)k x k -±=+2122843k x x k -+=+，212241243k x x k -=+，12x x -=． 因2AD AE k k -=-，则1212222y y x x -=---，由(1)y k x =+得1212(1)(1)222k x k x x x ++-=---，即21123()2(2)(2)k x x x x -=---， ……………………8分 2112123()22()4k x x x x x x -=--++，22223(4341216443k k k k k k ⨯+-++++2=-，化简得2k -，解得k =所以直线l 的方程为1)y x =+，即10x ±+=． ……………………12分。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
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2020～2020学年度第一学期期末考试试题高二数学（选修物理）一、填空题．请把答案填写在答题纸相应位置上．1.双曲线的渐近线方程是（用一般式表示）【答案】【解析】由题意得在双曲线中，，所以双曲线的准线方程为。
答案：2.焦点为的抛物线标准方程是_____.【答案】【解析】【分析】设抛物线标准方程为x2＝﹣2py，由焦点坐标公式可得p值，将p值代入抛物线方程即可得答案．【详解】抛物线的焦点为（0，-5）在y轴上，设抛物线的标准方程为x2＝﹣2py，则有＝5，解可得p＝10，故抛物线标准方程为x2＝﹣20y；故答案为：x2＝﹣20y．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线焦点的位置，进而设出抛物线的标准方程．3.命题“若，则”的逆否命题为____.【答案】若，则【解析】【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【详解】命题若p则q的逆否命题为若￢q则￢p，则命题“若，则”的逆否命题为：若x2≤0，则x≥0，故答案为：若x2≤0，则x≥0．【点睛】本题考查四种命题之间的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键．4.若，，且，则的最大值是_____.【答案】1【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，当直线z=x-y过点A（1，0）时，z最大值，最大值是1，考点：简单的线性规划，以及利用几何意义求最值．5.已知双曲线与椭圆有公共焦点且离心率为，则其标准方程为_____.【答案】【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，c，得到b，即可求出双曲线方程．【详解】双曲线与椭圆有公共焦点，可得c＝5，双曲线的离心率为，可得a＝3，则b＝4，则该双曲线方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6.已知函数，则_____.【答案】3【解析】【分析】对函数求导，将x=代入即可得到答案.【详解】f’(x)=2cos2x+，则故答案为：3【点睛】本题考查导数公式的应用，考查计算能力.7.函数的极小值是______.【答案】【解析】【分析】求函数的导数，由f’(x)＞0，得增区间，由f’(x)＜0，得减区间，从而可确定极值．【详解】函数，定义域为,则f’(x)＝x-，由f’(x)＞0得x＞1，f（x）单调递增；当x＜0或0＜x＜1时，f’(x)＜0，f（x）单调递减，故x＝1时，f（x）取极小值故答案为：【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，注意判断极值点的条件，考查运算能力，属于基础题．8.已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系进行求解即可．【详解】x2﹣（a+1）x+a≤0即（x﹣1）（x﹣a）≤0，p是q的必要不充分条件，当a＝1时，由（x﹣1）（x﹣1）≤0得x＝1，此时不满足条件，当a＜1时，由（x﹣1）（x﹣a）≤0得a≤x≤1，此时不满足条件．当a＞1时，由（x﹣1）（x﹣a）≤0得1≤x≤a，若p是q的必要不充分条件，则a＞3，即实数a的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为不等式的包含关系是解决本题的关键.9.若直线是曲线的一条切线，则实数的值是_____.【答案】1【解析】【分析】设出切点坐标P（x0，e x0），利用导数的几何意义写出在点P处的切线方程，由直线y＝x+b是曲线y＝e x的切线，根据对应项系数相等可求出实数b的值．【详解】∵y＝e x，∴y′＝e x，设切点为P（x0，e x0），则在点P处的切线方程为y﹣e x0＝e x0（x﹣x0），整理得y＝e x0x﹣e x0•x0+e x0，∵直线是y＝x+b是曲线y＝e x的切线，∴e x0＝1，x0＝0，∴b＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查曲线在某点处的切线方程的求法，属于基础题.10.已知是椭圆上一点，，为椭圆的两个焦点，则的最大值与最小值的差是_____.【答案】1【解析】试题分析：设P（x0，y0），|PF1| =2+x0，|PF2| =2-x0，∴|PF1|•|PF2|=4-x02，，∴|PF1|•|PF2|的最大值是4，最大值是3，的最大值与最小值之差1。
考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。
点评：应用焦半径公式，将最值问题转化成闭区间上二次函数的最值问题。
11.设集合，，若，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】若A∩B≠∅，得x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0在x∈[0，3]有解，分离变量再构造函数g（t），转为求函数最值即可得解.【详解】集合A＝{x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0}，B＝{x|0≤x≤3}，若A∩B≠∅，得x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0在x∈[0，3]有解，即（2x+1）a≥x2+2x+3在x∈[0，3]有解，设t＝2x+1，则t∈[1，7]，则x＝，则a≥＝，设g（t）＝，t∈[1，7]，由对勾函数的性质可得y＝g（t）在（1，3）为减函数，在（3，7）上为增函数，又g（t）的最小值为g(3)＝2，所以实数a的取值范围是[2，+∞），故答案为：[2，+∞）【点睛】本题考查不等式有解问题及集合交集的运算，考查转化与化归思想，考查对勾函数图像的性质，属中档题．12.已知，R+，且，则的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】根据a，b＞0，及a+3b＝4ab即可得出，则，展开根据基本不等式即可得最小值．【详解】∵a，b∈R+，且a+3b＝4ab；∴；∴；∴3a+4b的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查基本不等式在求最值时的应用，注意1的妙用.13.已知椭圆过点，其短轴长的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由椭圆的短轴长的取值范围，结合a，b关系，即可得椭圆的离心率的范围．【详解】根据题意，椭圆过点，则，短轴长2b的取值范围是，可得b2∈,即e＝＝＝＝∈，故答案为：【点睛】本题考查椭圆的几何性质，求解椭圆的离心率的范围，注意短轴长为2b．14.已知，若，，使成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）max≤f′（x）max+a”，利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．【详解】若，，使成立，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）max≤f′（x）max+a”，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，f′（x）＝﹣a+＝﹣（﹣）2+﹣a，f′（x）max+a＝，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）max≤”，①当﹣a≤﹣，即a≥时，f′（x）＝﹣a+＝﹣（﹣）2+﹣a＜0，f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）max＝f（e）＝e﹣ae＝e（1﹣a）≤，∴a≥1﹣＝，②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴∈[，1]，∵f′（x）＝﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）＝0且满足：f（x）在[e，x0）递减，在（x0，e2]递增，f（x）max＝f（e）或f（e2），而f（e2）＝﹣ae2，故﹣ae2≤，解得：a≥﹣，无解舍去；综上，实数a的取值范围为故答案为：．【点睛】本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用．二、解答题．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知：函数在R上是单调增函数，：．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）函数f（x）＝mx﹣2sin x在R上是单调递增函数得x∈R时，f'（x）≥0恒成立，即m ﹣2cos x≥0，即m≥2cos x恒成立，得m范围，取补集即可；（2）解二次不等式m2﹣m﹣6≤0，利用复合命题及其真假列不等式组可得解．【详解】（1）由函数在R上是单调递增函数，得R时，恒成立，且无连续区间上的导数为0，则，恒成立，所以，则．若为真命题，则．（2）由，得，则，所以当为假命题时，或．又为假命题，则，都是假命题，所以实数满足解得．【点睛】本题考查复合命题及其真假、利用导数研究函数的单调性及解二次不等式，属简单题．16.如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求和，利用空间向量的数量积求解即可．（2）求平面PAD1和平面BAD1的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【详解】如图建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系，因为棱长为3，且可得，，，，，．（1）则，．所以（2）依题意，可得．设为平面的法向量，则即不妨令，可得；设为平面的法向量，则即不妨令，可得．因此有，于是．所以，二面角的正弦值为．【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角与异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力17.如图，在等腰直角中，，，点，分别为，边上的动点，且．设，的面积为．（1）试用的代数式表示；（2）当为何值时，的面积最大？求出最大面积．【答案】（1）（2）当时，的面积最大，最大面积为．【解析】【分析】（1）先已知条件得到∽，利用相似成比例化简即可得到EC.(2)利用面积公式表示出面积，然后求导，判断单调性，由单调性即可得到最值.【详解】（1）在中，，又，则．在和中，由得∽，所以．因直角中，，则，所以，代入；（2）的面积为，则，则，得．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．所以当时，．当时，的面积最大，最大面积为．【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查利用导数求函数最值问题，属于基础题.18.已知抛物线经过点，过作直线与抛物线相切．（1）求直线的方程；（2）如图，直线∥，与抛物线交于，两点，与直线交于点，是否存在常数，使．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）将T（2，2）代入y2＝2px，得抛物线方程，设直线l方程与抛物线方程联立，通过△＝0得k＝2，得直线l方程.（2）设直线l'的方程为y＝x+b，联立方程组解得P（2﹣2b，2﹣b），则PT2＝5b2，设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，利用弦长公式，转化求解即可．【详解】（1）将代入，则，所以抛物线方程为．设直线的方程为，联立方程组消得，因相切，由得，所以直线的方程为．设直线的方程为，联立方程组消得，因相切，由得，所以直线的方程为．（2）因，∥，设直线的方程为，联立方程组解得，则．设，，联立方程组得，所以，；，所以存在实数，使．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查设而不求思想方法的应用，考查分析问题解决问题的能力．19.已知椭圆的离心率，且经过点，，，，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴．（1）求该椭圆的标准方程；（2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率和经过的点，列方程组求解即可．（2）设P（2，m），m＞0，得直线PC方程与椭圆联立，利用韦达定理，推出E的坐标，同理求F点横坐标，由S△PCD＝2S△PEF，转化求解即可．【详解】（1）因的离心率，且经过点，所以解得，．所以椭圆标准方程为．（2）由（1）知椭圆方程为，所以直线方程为，，．设，，则直线的方程为，联立方程组消得，所以点的横坐标为；又直线的方程为联立方程组消得，所以点的横坐标为．由得，则有，则，化简得，解得，因为，所以，所以点的坐标为．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力和转化思想的应用.20.已知函数，R．（1）若函数在上单调递减，在上单调递增，求的值；（2）求函数在上的最大值；（3）当时，若有3个零点，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a值即可；（2）求出函数导数，通过讨论a的范围，求出函数最大值即可；（3）求出函数导数，根据函数的单调性求出函数的极值，结合图象判断a的范围即可．【详解】（1）由，则．因函数在上单调递减，在上单调递增，得，当时，显然满足要求，所以．（2）因，，当，即时，，在上单调递增，则；当，即时，，在上单调递减，则；当，即时，当时，；当时，，所以在递减，在递增，则．又，故当时，；当时，；当时，．综上，在上的最大值（3）因得或；又，，，单调递增；，，单调递减；，，单调递增，则，．令，因R，所以R，所以与图像相同．则的零点个数即为方程不同实数解的个数．①当(如图1)，即时，，有唯一负实数解，则存在使，而只有一个实数解，故只有一个实数解．②当（如图2），即时，有两个不同实数解，．因，与各有一个实数解，故有两个不同的实数解．③当时（如图3），即，有三个不同实数解，，，因，有一个实数解，则与只能各有一个实数解．则由（2）可知在单调递减，单调递增，则即由得，当时，，因，故有．综上，时，若有3个零点，则的取值范围是．【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，最值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，数形结合，综合性较强．。