2021届河北省保定市高三第一次模拟考试理科数学试题Word版含答案
河北省保定市2021届高三上学期摸底考试数学(理)试题
河北省保定市2018届高三上学期摸底考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知命题 p ：∀x ∈R ，cosx≤1，则（ ） A ．￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0≥1 B ．￢p ：∀x ∈R ，cosx≥1 C ．￢p ：∀x ∈R ，cosx ＞1 D ．￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞12．在复平面内，52ii+对应的点的坐标为（ ）. A ．(1,2)iB ．(1,2)C ．(2,1)D ．(1,2)-3．已知集合{||1|2}M x Z x =∈-≤，{}2|log 2N x Z x =∈<，则M N ⋂的真子集的个数为（ ）. A ．7B ．8C ．6D ．94．若定义域为R 的函数()f x 不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是（ ）. A ．x R ∀∈，()()f x f x -≠- B ．x R ∀∈，()()f x f x -= C ．0x R ∃∈，()()00f x f x -=D ．0x R ∃∈，()()00f x f x -≠-5．数列{}n a 中，若11a =，()*123n n a a n N +=-∈，则1210a a a +++=（ ）.A ．2018B ．2017C ．2016D ．20156．已知1OA =，3OB =，56AOB π∠=，若OB OC ⊥且OC mOA nOB =+，则mn（ ）. A ．5B ．4C ．2D ．17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若281130a a a ++=，则13S 的值是（ ）. A ．130B ．65C ．70D ．758．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2+B 1C ．2D 19．已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数()1fx +的图象大致是（ ）.A ．B ．C ．D ．10．已知2tan()5αβ+=，1tan 3β=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）.A ．12 BC ．98D ．7911．设ABC a b c ，，分别是内角A B C ，，的对边，若A B C ，，依次成等差数列，则a c +的最大值是（ ）.A ．6B ．8C ．9D ．1112．本学期开学前后，国务院下发了《新一代人工智能发展规划》，要求从小学教育，中学教育，到大学院校，逐步新增人工智能课程，建设全国人才梯队，凸显了我国抢占人工智能新高地的决心和信心.如图，三台机器人1M 、2M 、3M 和检测台J （位置待定）（J 与1M 、2M 、3M 共线但互不重合），三台机器人需把各自生产的零件送交J 处进行检测，送检程序如下：当1M 把零件送达J 处时，2M 即刻自动出发送检；当2M 把零件送达J 处时，3M 即刻自动出发送检.设2M 、3M 的送检速度的大小为2，1M 的送检速度大小为1.则三台机器人1M 、2M 、3M 送检时间之和的最小值为（ ）.A ．8B ．6C ．5D ．4二、填空题13．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点()()11f ，处的切线方程为_______． 14．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.假设一艘船从长江南岸A 点出发，以5/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2/km h .若这一段江面的宽度为25km ，则该船航行到对岸实际航行的距离为____________.15．设x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则x yx +的取值范围是____________.16．若定义()f n 为21n +的各位数字之和（*n N ∈），如2131170+=，则()013178f =++=，则20181((((9))))i i ff f f f ==∑个____________.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，312S =.（1）若数列{}n a 中存在连续三项的和为54，求这三项的中间项对应的项数； （2）若3a ，1k a +，k S 成等比数列，求该数列的公比q .18．已知3122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(sin cos )b x x ππ=，，()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的周期，并说明其图象可由sin y x =的图象经过怎样的变换而得到；（2）设函数()f x 在[11]-，上的图象与x 轴的交点分别为M 、N ，图象的最高点为P ，求PM PN ⋅的值.19．已知数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*12nn nS a n N a +=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求12n n na a a ++的最小值及其对应的n 的值.20．如图，ABC 中，已知点D 在BC 边上，且0AD AC ⋅=，AD AC ==30BAD ∠=︒.（1）求AB 的长；（2）设过点D 的直线交AB 延长线于E ，交AC 于F ，求112AE AF+的值. 21．某市欲在滨海公路l 的右侧修建一个休闲广场，如图所示.圆形广场的圆心为O ，半径80m ，并与公路l 相切于点M ，设A 为圆上一个动点，过A 做l 的垂线，垂足为B ，设ABM 的面积为S .（1）在图中，选取一个合适的角θ，并将S 表示为θ的函数； （2）求S 的最大值.22．已知函数()ln f x x =，()322x x xg a-=. （1）求函数()()2F x f x x =-+在[4)x ∈+∞，上的最大值； （2）若函数()()()2ln H x f x g x =-⎡⎤⎣⎦在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点，求a 的取值范围； （3）求证：()()()()2017*14034ln 222114035k f k f k f k k N =<+-+-<∈⎡⎤⎣⎦∑.参考答案1．D 【分析】对于全称命题的否命题，首先要将全称量词“∀”改为特称量词“∃”，然后否定原命题的结论，据此可得答案. 【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p ：∀x ∈R ，cosx≤1，￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞1． 故选D ． 【点睛】本题考查了命题中全称量词和存在量词，解题的关键是要知晓全称命题的否定形式是特称命题. 2．B 【分析】由复数的乘除运算化简52ii+，再由复数的几何性质得到其点的坐标即可. 【详解】由题意，()()()525510122225i i i i i i i i -+===+++-， 所以52ii+对应的点的坐标为1,2. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的乘除运算和复数的几何性质，属于基础题. 3．A 【分析】根据题意先求解出集合M 和集合N 的元素，再求出M N ⋂，利用求集合真子集个数的公式求解即可. 【详解】对集合M ，由|1|2x -≤，解得，13x -≤≤， 又x ∈Z ，所以集合{}1,0,1,2,3M =-，对集合N ，由2log 2x <，解得，04x <<， 又x ∈Z ，所以集合{}1,2,3N =，所以{}1,2,3M N ⋂=，M N ⋂有3个元素， 所以M N ⋂真子集的个数为3217-= 故选：A 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的计算、对数不等式的计算、交集的计算和真子集的求法，属于基础题. 4．D 【分析】对选项逐一分析，能举出反例即可. 【详解】对选项A ，可能存在()()f x f x -=-，例如1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩， 对于任意0x ≠，都有()()f x f x -=-，故错误； 对选项B ，()f x 不是奇函数，也不一定是偶函数，故错误； 对选项C ，()1f x x =+，不存在()()00f x f x -=，故错误；对选项D ，因为()f x 不是奇函数，必然存在0x R ∈，()()00f x f x -≠-，故正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查判断命题的真假和函数奇偶性的应用，考查学生理解分析能力，属于基础题. 5．C 【分析】由递推关系，构造等比数列{}3n a -，求得3n a -的表达式，即可求出n a ，利用分组求和的方法求出10S ，最后求得1210a a a +++，即10S 的值即可.【详解】由题，11a =，123n n a a +=-，可得()1233n n a a +=--，所以数列{}3n a -是以2-为首项，2为公比的等比数列，所以13222n nn a --=-⨯=-，23n n a =-+，所以数列{}n a 的前n 项和()212312n nS n -⨯-=+-，当10n =时，()1010212310201612S -⨯-=+⨯=--，所以1210102016a a a S +++==.故选：C 【点睛】本题主要考查利用构造法求数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式以及分组求和的应用，属于中档题，常见求数列通项公式的方法：公式法，累加法，累乘法，构造法，取倒数法等. 6．C 【分析】由a b ⊥，0a b ⋅=，将OC 由mOA nOB +表示，利用0OB OC ⋅=，找出m 和n 的关系即可. 【详解】由OB OC ⊥和OC mOA nOB =+，()2OB OC OB mOA nOB mOB OA nOB ⋅=⋅+=⋅+25cos 1cos 36m OB OA AOB n OB m n π=∠+=⨯+⨯ 3302m n =-+=，所以332m n =，2m n= 故选：C 【点睛】本题主要考查向量垂直的应用和向量的数量积公式，属于基础题. 7．A【分析】由等差数列的通项公式化简281130a a a ++=，得到710a =，再由前n 项和公式表示出13S ，利用下标性质得到13713S a =，得到最后答案. 【详解】由题意，2811111171031830a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=， 即17610a d a +==，由等差数列前n 项和公式和等差数列的下标性质，()1137137132********2a a a S a+⨯⨯====故选：A 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式，等差数列下标性质的应用，还考查学生的转化能力，属于基础题. 8．B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式． 9．B 【分析】利用代特殊点和对数函数的图像性质排除选项即可. 【详解】 由题意，1a >，()()1log 1afx x +=+，()()11f x f x -+=+，所以函数()1f x +是偶函数，当0x =时，()()01log 010a f +=+=，故排除选项C 、D ，当0x >时，由对数函数的单调性，对数函数增长越来越慢，可排除选项A. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数的奇偶性和带入特殊值排除法是解题的关键，属于基础题. 10．C 【分析】由两角差的正切公式先求出tan α，再由两角和的正切公式求出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可. 【详解】由题意，()()()21tan tan 153tan tan 211tan tan 17153αββααββαββ-+-=+-===⎡⎤⎣⎦+++⨯， 11tan tan9174tan 1481tan tan 11417παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--⨯. 故选：C 【点睛】本题主要考查两角和差的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题. 11．A 【分析】由A ，B ，C 依次成等差数列求得3B π=，再根据ABC 的外接圆半径和正弦定理分别表示出a 和c ，利用辅助角公式表示出a c +，求出最大值即可.【详解】由A ，B ，C 依次成等差数列得2B A C =+， 所以3A B C B π++==,即3B π=，由正弦定理得，2sin a R A A ==，2sin c R C C ==， 又3B π=，所以222sin cos cos sin 3cos 333C A A A A A πππ⎛⎫⎫=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎭，所以3cos 3cos 6sin 6a c A A A A A A π⎛⎫+=++=+=+⎪⎝⎭， 因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当3A π=时，6sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值6，即a c +的最大值是6 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、两角差的正弦公式、辅助角公式和三角函数的最值问题，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题. 12．D 【分析】设J 所在位置为x ，分别表示出1M 、2M 、3M 的送检时间，再利用绝对值的三角不等式求解即可. 【详解】由题意，设J 所在位置为x ，1M 的送检时间1121M Jt x ==+， 2M 的送检时间221112222M J x t x -===-， 3M 的送检时间333312222M J x t x -===-，所以送检时间之和123113122222t t t t x x x =++=++-+-， 由绝对值的三角不等式，1131113122422222222x x x x x x ++-+-≥++-+-=， 当且仅当()1131202222x x x ⎛⎫⎛⎫+--≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即[][]2,13,x ∈-⋃+∞时，等号成立.故选：D 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查学生的分析转化能力，属于中档题. 13．1y x =- 【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义可知，在该点处的切线的斜率即为该点处的导函数值.再求出切点的纵坐标，根据点斜式写出直线方程. 【详解】由321y x x =-+，得232y x '=-，∴在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，又(1)0f =，所以所求切线方程为：01y x -=-， 即1y x =-. 故答案为：1y x =-. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义和导数的计算，属于基础题.14． 【分析】根据江面宽和船垂直对岸方向的速度求出船航行时间，再求出船实际航行的速度，即可求解. 【详解】由题意，船垂直于对岸方向的速度为5/km h ，江面宽25km ， 则船航行所需时间2555t h ==，又江水的速度为2/km h /h =，所以轮渡实际航行的距离为.故答案为： 【点睛】本题主要考查向量在物理中的应用和向量的加法法则，属于基础题. 15．14,75⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】将问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得. 【详解】作出x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩的可行域如图阴影部分所示，其中目标函数1x y y x x +=+，yx表示区域内的点与原点连线的斜率， 联立方程组2070x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得点59,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，联立方程组170x x y =⎧⎨+-=⎩，解得点()1,6B ，当直线经过点A 时，y x取得最小值：992552=，x y x +的最小值为145， 当直线经过点B 时，yx 取得最大值：661=，x y x +的最大值为7，所以x y x +的取值范围：14,75⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：14,75⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了斜率型线性规划问题，解释目标函数的几何意义是解题的关键，考查了学生数形结合的思想，属于基础题. 16．16140 【分析】根据题意依次计算20181((((9))))i i ff f f f =∑个中的项，找到规律，然后求解即可.【详解】由题意，29182+=，所以(9)2810f =+=，2101101+=，所以(10)1012f =++=，2215+=，所以(2)5f =，25126+=，所以(5)268f =+=，28165+=，所以(8)6511f =+=，2111122+=，所以(11)1225f =++=，所以20181((((9))))i i ff f f f =∑个从第四项开始，以周期为3开始重复，2018367123-=⋅⋅⋅，所以一共包含671个周期以及(5)f 和(8)f ， (5)(8)(11)811524f f f ++=++=，所以20181((((9))))10252467181116140i i ff f f f ==+++⨯++=∑个.故答案为：16140 【点睛】本题主要考查函数求值以及归纳推理，考查学生理解分析能力和计算能力，属于中档题. 17．（1）9 （2）1q = 【分析】（1）由12a =和312S =求出等差数列的通项公式，再利用等差中项的性质即可得到答案； （2）由等差数列的通项公式和前n 项和公式分别表示出3a 、1k a +和k S ，再由等比中项的性质求出参数k ，再求出公比即可. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知2310a a +=，即12310a d +=， 由12a =，解得2d =. 所以22(1)2na n n =+-=，即2n a n =，*n N ∈.设满足条件的连续三项的中间项为m a ，由等差中项的性质，得354m a =，所以18m a =，9m =， 故所求的中间项对应的项数为9. （2）由（1）可得2(22)2n n nS n n +==+， 所以2k S k k =+.又3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，由已知可得213k k a a S +=，即()()22226k k k +=+，整理得220--=k k ，*k N ∈. 解得1k =-（舍去）或2k =.此时3a ，1k a +，k S 分别为为6，6，6，故公比1q =. 【点睛】本题主要考查求等差数列通项公式、等差数列前n 项和公式、等差中项等比中项的应用，属于基础题.18．（1）2，说明见解析 （2）34【分析】（1）由向量积的坐标公式和辅助角公式化简得到()sin 6x x f ππ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，利用2T πω=求出周期，再由先伸缩后平移说明即可；（2）由0f x求出点M 和点N 的坐标，再由1f x 求出点P 的坐标，用坐标分别表示出向量PM 和PN ，再计算PM PN ⋅即可. 【详解】解：（1）31,2a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(sin ,cos )b x x ππ=，()f x a b =⋅()1cos sin 26x f x x x ππππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴， 所以其周期为22ππ=，sin y x =图象上纵坐标不变，横坐标缩小为原来的1π倍得到sin y x =π的图象， 再把sin y x =π的图象向左平移16个单位得到sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.（2）令()sin 06f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得6x k πππ+=，k Z ∈． [1,1]x ∈-，16x ∴=-或56x =，记1,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,06N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由sin 16x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，262x k ππππ+=+，k Z ∈， 又[1,1]x ∈-，∴13x =，1,13P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 1,12PM ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，1,12PN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13144PM PN ⋅=-+=. 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标表示、辅助角公式的应用、正弦函数图像的性质和三角函数的平移变换，属于基础题.19．（1）n a n = （2）1,2n =时，12n n na a a ++的最小值为6（1）由题意，当1n =时，求出22a =，2n ≥时，由n S 和n a 的关系得到112n n a a +--=，分别表示出21n a -和2n a ，从而得到数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式表示出12n n n a a a ++并化简得到23n n ++，利用基本不等式和*n N ∈求出12n n na a a ++的最小值及对应的项即可. 【详解】（1）由已知得112n n n S a a +=，于是由1n =得，11212a a a =，22a ∴=. 2n ≥时，1111122n n n n n n S S a a a a -+--=-，()1112n n n n a a a a +-∴=-，0n a ≠，112(2)n n a a n +-∴-=≥.又211(1)2n a a n -=+-⨯=1(1)221n n +-⨯=-22(1)2n a a n =+-⨯2(1)22n n =+-⨯=即n a n =（2）212(1)(2)32n n n a a n n n n a n n ++++++==233n n=++>+1,2n ∴=，236n n++= 3n ≥时，236n n ++>1,2n ∴=时，12nn na a a ++的最小值为6. 【点睛】本题主要考查由n S 和n a 的关系求通项公式和基本不等式的应用，属于基础题. 20．（1）3AB =+ （2）12（1）利用角的关系，求出135ADB ∠=︒和15ABD ∠=︒，在ABD △中由正弦定理求出AB ； （2）由题可得AED ADF AEF S S S +=△△△，再利用三角形面积公式，可求得112AE AF+的值. 【详解】 （1）0AD AC ⋅=，AD AC ∴⊥AD AC =，45ADC ∴∠=︒，135ADB ∠=︒又30BAD ∠=︒，所以15ABD ∠=︒，在ABD △中，由正弦定理，()sin135sin15sin 4530AB AD AD==︒︒︒-︒解得3AB =+（2）AED ADF AEF S S S +=△△△所以111sin 30sin120222AE AD AD AF AE AF ⋅+⋅=⋅︒︒ 等式两边同时除以AE AD AF ⋅⋅，得sin 301sin120AF AE AD+=︒︒， 所以11sin120122AE AF AD ︒+==. 【点睛】本题主要考查正弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于基础题.21．（1）3200sin (1cos )S θθ=+，(0,)θπ∈ （2）2max S = 【分析】（1）可设AON θ∠=，由圆的半径和θ的正弦值和余弦值分别表示出BM 和AB ，即可将S 表示为θ的函数；（2）对S 求导，判断S 的单调性即可求出S 的最大值. 【详解】（1）如图，设AON θ∠=，则sin 80sin BM AO θθ==，cos 8080cos AB MO AO θθ=+=+，(0,)θπ∈．则12S MB AB =⋅=180sin (8080cos )2θθ⨯⨯+ 3200sin (1cos )θθ=+，(0,)θπ∈．（2）由（1）知，3200sin (1cos )S θθ=+，(0,)θπ∈， 所以()232002cos cos 1S θθ'=+-3200(2cos 1)(cos 1)θθ=-+．令0S '=，得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍去）， 此时3πθ=.当θ变化时，,S S '的变化情况如下表：所以，当3πθ=时，S 取得极大值，即最大值，2max 3200sin(1cos )33S ππ+==. 【点睛】本题主要考查三角函数的应用和利用导数求函数的最值问题，考查学生的分析转化能力，属于基础题.22．（1）()max 2ln 22F x =- （2）1,22a ⎡∈⎢⎣⎦（3）证明见解析 【分析】（1）对()F x 求导得()11F x x'=-，判断()F x '在[4,)+∞上的单调性即可求得()F x 在[4,)+∞上的最大值；（2）将()()()2ln H x f x g x =-⎡⎤⎣⎦在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点转化为()()2ln f x g x =⎡⎤⎣⎦有解，分离参数后构造新的函数()332x h x x =-，利用导数求得()h x 的范围，再结合()0g x >，确定a 的范围；（3）由（1）知，ln 2x x <-，利用对数的运算性质将()()()2211f k f k f k +-+-化成2441()ln (1)k k p k k k ⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦，而24414(1)k k k k ++>+，原不等式右侧可利用放缩和裂项相消求得，又2441()ln ln 4(1)k k p k k k ⎡⎤++=>⎢⎥+⎣⎦，原不等式左侧也可得证，从而证明不等式成立. 【详解】（1）()ln 2F x x x =-+(4)x ≥，()11F x x '=-， ()F x '在[4,)+∞上单调递减，()1310444F =-=-<'，当4x ≥时，()110F x x-'=<，()F x ∴在[4,)+∞上单调递减，()()max 4ln 422ln 22F x F ==-=-．（2）函数()()()2ln H x f x g x =-⎡⎤⎣⎦在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点()()2ln f x g x ⇔=⎡⎤⎣⎦有解332a x x ⇔=-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解且()0g x >．令()332x h x x =-，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为()22313322h x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭， 令()0h x '>，解得122x <<， ()h x ∴在1,22x ⎡∈⎢⎣⎦上单调递增，2x ⎤∈⎥⎣⎦上单调递减， 又()1151228h h ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，()()12h h x h ⎛∴≤≤ ⎝⎭， 即()122h x ≤≤，故12a ⎡∈⎢⎣⎦．又()3202x a g x x-=>，得34a <，综上可得，1,22a ⎡∈⎢⎣⎦.（3）证明：由（1）知，()max ln 422(ln 21)0F x =-=-<， 所以4x ≥时，ln 2x x <-．设()2(21)p k f k =+(1)()f k f k -+-，则2441()ln (1)k k p k k k ⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦，2441144(1)(1)k k k k k k ++=+>++，所以22441441()ln 2(1)(1)k k k k p k k k k k ⎡⎤++++=<-⎢⎥++⎣⎦11122(1)1k k k k =+=+-++ 所以()()()()20172017112211k k f k f k f k p k ==+-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑1111122017122320172018⎛⎫=⨯+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭12201712018<⨯+- 2201714035<⨯+=又因为2441()ln (1)k k p k k k ⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦22(21)ln ln 4212k k +>=+⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()()()201720171122112017ln 44034ln 2k k f k f k f k p k ==+-+-=>=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑故结论成立.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、零点问题的转化、分离参数的应用、放缩和裂项相消法求和的应用，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于难题.。
2021年高三数学第一次诊断性考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
河北省保定市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
河北省保定市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积. 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则2222(2)4228R R ==+=，那么248S R ππ==外接球.故选：B 【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.2．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣12【答案】D 【解析】 【分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k =+，然后计算，可得结果.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，联立()2222212404y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩（） 则212222442k x x k k++==+， 因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以12244x x k A p B =++=+. 同理可得228MN k=+， 所以41612λ=-=- 故选：D. 【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
河北省2021-2022学年高考数学一模试卷(理科)(I)卷
河北省2021-2022学年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·泰安开学考) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二下·广州期末) 复数z满足，则（）A .B .C .D .3. （2分）下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·梧州模拟) 执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝2，则输出的T＝（）A . 8B . ﹣8C . ﹣56D . ﹣725. （2分）已知A，B是双曲线的两个顶点，P为双曲线上（除顶点外）的一点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则双曲线的离心率e＝（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·驻马店期末) 已知实数a，b均不为零，=tanβ，且β﹣2= ，则 =（）A . ﹣B . ﹣C .D .7. （2分）设数列是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2017高一上·邢台期末) 甲乙两位同学进行乒乓球比赛，甲获胜的概率为0.4，现采用随机模拟的方法估计这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，制定1，2，3，4表示甲获胜，用5，6，7，8，9，0表示乙获胜，再以每三个随机数为一组，代表3局比赛的结果，经随机模拟产生了30组随机数102 231 146 027 590 763 245 207 310 386 350 481337 286 139579 684 487 370 175 772 235 246 487 569 047 008341 287 114据此估计，这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积F（a）取得最大值时a的值为（）A . 1B .C .D .10. （2分） (2019高二下·牡丹江月考) 在二项式的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·宁县模拟) 已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则）A . 2B . 4C . 6D . 812. （2分）已知f（x）= ，若方程f（x）﹣4ax=a（a≠0）有唯一解，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分）已知命题p：∃x0∈R，，则￢p为________．14. （2分） (2019高二上·温州期中) 已知向量 , , 是同一平面内的三个向量,其中．若,且 ,则向量的坐标________.若 ,且 ,则 ________．15. （1分）设α∈（0，π），若cos（π﹣α）= ，则tan（α+π）=________．16. （2分） (2019高一下·宁波期中) 已知函数 .若不等式对一切恒成立，则实数a的最小值为________；若的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是________.三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2016高二上·银川期中) 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a（Sn﹣an+1）（a为常数，且a ＞0），且a3是6a1与a2的等差中项．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=anlog2an ，求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （15分）(2017·郎溪模拟) 由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：组别候车时间（单位：min）人数一[0，5）1二[5，10）5三[10，15）3四[15，20）1（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．19. （5分）(2018·宁德模拟) 如图，矩形中，，，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）试求的长，使得二面角的大小为．20. （5分）(2016·韶关模拟) 设椭圆C： =1（a＞b＞0），椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x2+y2= 相切，且抛物线y2=﹣4 x的准线恰好过椭圆C的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过圆O上任意一点P作圆的切线l与椭圆C交于A，B两点，连接PO并延长交圆O于点Q，求△ABQ面积的取值范围．21. （15分） (2018高二下·如东月考) 已知函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上有1个零点，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．22. （15分） (2019高二下·佛山月考) 在直角坐标系中，椭圆的方程为 ( 为参数)；以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求椭圆的极坐标方程，及圆的直角坐标方程；（2）若动点在椭圆上，动点在圆上，求的最大值；（3）若射线分别与椭圆交于点，求证：为定值.23. （10分） (2018高二下·西宁期末) 设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式有解，求的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共6分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共75分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：考点：解析：考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
2020-2021学年度河北省保定市高考第一次模拟考试数学(理)试题含解析
高三第一次模拟考试 理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B I 的子集个数为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．42. 设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（ ）A ． -1B ． -2C ． -3D ．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =L L ，回归直线方程为1ˆ2yx a =+，若()1186,2OA OA OA +++=u u u r u u u r u u u u r L L ，（O 为原点），则a = （ ） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14- 4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-r r ，则0x <或4x >是向量a r 与b r夹角为锐角的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A BC 、、三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ． 8 B ．7 C. 6D ．56.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A 433+B 433- C. 433-+ D 433--7.如图所示的程序框图中，输出的S 为 （ ）A．99223-B．100223-C.101223-D．102223-8. 已知函数()f x既是二次函数又是幂函数，函数()g x是R上的奇函数，函数()()()11g xh xf x=++，则()()()()()()()()() 201820172016101201620172018h h h h h h h h h++++++-+-+-+-=L L（）A．0 B．2018 C. 4036 D．40379. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．24πB．36π C. 40πD．400π10. 已知向量44sin,cos22x xa⎛⎫= ⎪⎝⎭r，向量()1,1b=r，函数()f x a b=r rg，则下列说法正确的是（）A．()f x是奇函数B．()f x的一条对称轴为直线4xπ=C.()f x的最小正周期为2πD．()f x在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数11.已知双曲线()222109x ybb-=>的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且Fe与双曲线的渐近线相切，若过点A作Fe的两条切线，切点分别为,M N，则MN=（）A．8 B．42 C. 23D．4312. 令11t x dx -=⎰，函数()()122413321log 2x x f x x t x ⎧⎛⎫+≤- ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+>- ⎪⎪⎝⎭⎩，()()()2142212xx ax a x g x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪->⎩满足以下两个条件：①当0x ≤时，()0f x <或()0g x <；②(){}|0A f x x =>，(){}|0B g x x =>，A B R =U ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.()()511ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a =．14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后， 甲说：我做错了； 乙说：丙做对了； 丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.” 请问他们三个人中做对了的是．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，6b =，且22cosB a 4ac b =-+，O 为ABC ∆内一点，且满足00,30OA OB OC BAO ++=∠=u u u r u u u r u u u r r ，则OA =u u u r ．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈g g ，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .18.某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球（小球除编号外其它都相同），顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数（如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折）.要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知A B C 、、三位顾客各买了一件衣服. （1）求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；（2）A B 、两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设X 为打折后两位顾客的消费总额，求X 的分布列和数学期望.19. 如图，四棱台1111A B C D ABCD -中，1A A ⊥底面111,3,23,2ABCD A B A A AB AC ====，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点.（1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求二面角111B CC D --的正弦值.20. 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，A B 、是椭圆的左、右顶点，点P '满足()4,0PP x '=-u u u r.①证明：PP PF'u u u r u u u r 为定值；②设Q 是直线4x =上的任一点，直线AQ BQ 、分别另交椭圆C 于M N 、两点，求MF NF +的最小值. 21. 已知函数()()ln 1axf x x a R x =-∈+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明:()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=-e 相交于A B 、两点，且090AOB ∠=. （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N g （2C 为圆心）为定值. 23. 已知函数()1f x x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB 二、填空题13. -1 14. 甲 15. 9 16. 3 三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =； （2）∵()121n n nb n b +=+， ∴()11112n n b b n n n +=≥+g ，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列， 112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n n b -=， 01221123122222n n n n n T ---=+++++L ，23111231222222n n nn n T --=+++++L ， ∴2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--L ，所以1242n n n T -+=-. 18.解：打5，6，7，8折的概率分别为112111,,,32632336==⨯⨯， （1）事件A 为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，所以()223122339P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭g ；（2）X 的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，()11120006636P X ==⨯=，()11122002639P X ==⨯⨯=，()111122400263339P X ==⨯⨯+⨯=，()111110526002233663618P X ==⨯⨯+⨯⨯==，()111122800233369P X ==⨯+⨯⨯= ，()11130002639P X ==⨯⨯=，()11132006636P X ==⨯=，所以X 的分布列为()200022002400260028003000320026003699189936E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. 19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A B C D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D :四边形ABCD ， ∴111112A B ACAB AC==，由2AC =得，111AC =， 又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =， 又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥； （2）解：在ABC ∆中，03,2,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，()()()(1330,0,0,23,0,0,0,2,0,3,0,,22A B C C M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，由于AM ⊥平面11C CDD ，所以平面11C CDD 的法向量为330,,22AM ⎛= ⎝⎭u u u u r ，设平面11B BCC 的法向量为(),,m x y z =u r ，()23,2,0BC =-u u u r ，(10,3CC =-u u u u r，102320030BC m x y CC m y z ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩u u u r u r g u u uu r u r g 设3y =()3,1m =u r ， 3332522cos ,553m AM m AM m AM===⨯u r u u u u r u r u u u u r g u r u u u u r g ， ∴5sin ,m AM =即二面角111B CC D --520.解：（1）由12c a =得2234a b =， 把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a+=得24a =， ∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）由（1）知221,143x y c +==，142PF x====-u u u r，而4PP x'=-u u u r，∴2PPPF'=u u u ru u u r为定值；②设()4,Q m若0m=，则4MF NF+=，若0m≠，因为()()2,0,2,0A B-，直线():26mQA y x=+，直线():y22mQB x=-，由()2226143my xx y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()222227441080m x m x m+++-=，∴()224108227Mmxm--=+，得2225427mxm-+=+，由()2222143my xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222344120m x m x m+-+-=，∴2241223Nmxm-=+g，得22263Nmxm-=+，由①知()()114,422M NMF x NF x=-=-，∴2222242221254264848 44448122273308130 M Nx x m m mMF NFm m m m mm⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+-+-+=-=-+=-=- ⎪⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ⎪++⎝⎭，∵228118mm+≥=（当且仅当29m=即3m=±时取等号）∴224818130mm≤++，即MF NF+的最小值为3.21.解：（1）()()()()()()222121111a x ax x a xf x xx x x x+-+-+'=-=>++，令()()221p x x a x=+-+，①20a -≥即2a ≤时，()1p x >，故()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当()2240a ∆=--≤即04a ≤≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；③当4a >时，由于()0f x '=的两根为202a x -±=>， 所以()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为增函数，在2222a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，综上：4a ≤时，函数()f x 在()0,+∞为增函数；4a >时，函数()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为增函数，在2222a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭为减函数；（2）由（1）知4a >，且12122,1x x a x x +=-=， ∴()()()()()()122112121212121211ln ln ln 1111ax x ax x ax ax f x f x x x x x a x x x x ++++=-+-=-=-++++， 而()1222222ln ln 22222212a a x x a a a f f a a -+---⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+g， ∴()()121222ln 2ln 2222222f x f x x x a a a a f a ++--⎛⎫-=-++=-+⎪⎝⎭， 设()()2ln2422a ah a a -=-+>，则()()2114022222a h a a a -'=-=<--g ， 所以()h a 在()4,+∞上为减函数，又()40h =，所以()0h a <， 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C x ay a =>，可知直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C得214022t t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立， 设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t ==g， 所以22128C M C N t t ==g g 为定值.23.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-， ①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩， 所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+， 当且仅当()()10x x m -++≥g 时取等号，∴110m ++=， 得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。
河北省保定市2021届高三上学期摸底考试数学答案
2020高三摸底数学试题参考答案一、单选题1-4 CBAC 5--8 CBBA二、选择题9.AD 10.BCD 11.AD 12.BCD 三、填空题13. 43-； 14. 3； 15. 1 16. -12 四、解答题17.解：（1）1tan ,0cos sin =∴=-=⋅∴⊥x x x n m nm ， ……………（3分）由⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，所以4π=x…………（4分） （2）=⨯-==12cos sin cos xx α)4sin(π-x ………………………（6分）)22,22(cos ,44420-∈∴<-<-∴<<αππππx x ………………………（8分） ()πα,0∈ ，由于余弦函数图象得⎪⎭⎫⎝⎛∈43,4ππα………………………（10分）18.（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q选①；0)1)(2(,6)1(223213=-+∴=++=++=q q q q a a a S ，()122,2,1--=∴-=∴≠n n a q q()n n n a 211⋅-=∴-…………………（5分）选②；711)1)(1(1111,133333636-=+=--+=----=∴≠q qq q qq q q S S q ， ()122,2--=∴-=∴n n a q ,()n n n a 211⋅-=∴-……………………（5分）选③；042,42,42341121523=+-∴+=∴+=q q q a q a q a a a a ，0)22)(2(2=+-+∴q q q ，()122,2--=∴-=∴n n a q()n n n a 211⋅-=∴-………（5分）（2）()n n n n n na b 211⋅=-=-……………………………………（6分）13232122)1(222122232221+⋅+⋅-++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅+⋅=∴n nn n n n n T n T ………………………（9分）两式相减得，22)1(22222222111132+⋅-=∴⋅--=⋅-++++=-++++n n n n n n n n T n n T ………（12分）19. 解：（1） 0sin sin sin cos cos 222=++-C B C B A ， 0sin sin sin )sin 1()sin 1(222=++---∴C B C B A0sin sin sin sin sin 222=++-∴C B C A B ，……………（2分） 0222=++-∴bc c a b ，……………（4分）212cos 222-=-+=∴bc a c b A32π=∴A ……………………………………（6分） （2）,3432sin 22,2,32==∴==ππR a A分）9（………………)3sin(34)cos 23sin 21(34)sin 21cos 23(sin 34))3sin((sin 34)sin (sin 2ππ+=+=-+=-+=+=+∴B B B B B B B B C B R c b1)3sin(23,3233,30≤+<∴<+<∴<<πππππB B B ，3342≤+<∴c b 33424+≤++<∴c b a ，即ABC ∆周长的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛+33424，。
河北省保定市高三第一次模拟考试(数学理)扫描版.pdf
浅析语文教学中美感教育的培养 随着基础教育改革的不断深入发展，为了全面提高学生的整体素质，曾经一度被忽视的美育日益受到重视。
在全国教育会议中，美育的“不可替代的作用”多次得到强调。
“语文课程丰富的人文内涵对学生精神领域的影响是深广的,学生对语文材料的反应又往往是多元的,因此,应该重视语文的熏陶感染作用,注意教学内容的价值取向,同时也应尊重学生在学习过程中的独特体验。
”蔡元培也曾经说过:“凡是学校所有的课程,都没有与美育无关的。
”因此,我们就需充分利用这一美育资源,培养学生的审美情趣。
近年来，本人在语文教学中，注重发现语文教材中美的因素，对学生进行美的教育，做了一些有益的探索，并收到了较好的效果。
一、就美的存在形式而言,初中语文教材中涉及到自然美、社会美、艺术美和科学美。
自然美是指自然界中一切使人赏心悦目的事物具有的审美特征和审美价值。
自然美是非常广泛的,教材中写景状物的文章往往表现出多姿多彩的自然美。
如:朱自清的《春》写了春草、春花、春风、春雨等自然景物,从而表现出春到江南的艳丽、柔和、温馨、生机勃发的美。
《苏州园林》则使读者感知到园林的图画美。
社会美是指社会生活中各种事物、现象的美和人的美,它包括人物美、社会斗争美、劳动美等。
其中人物美在社会美中占据中心地位,而高尚的道德情操、进步的人生观又是人物美的核心。
艺术美是指艺术作品的内容与形式相统一,从艺术形象的整体表现出来的审美特征。
在初中语文教学中接触最多的艺术美的形式即是文学美。
“文学是语言的艺术。
”,因而文学美又主要表现为语言美。
科学美是一种客观存在的美,在科技性说明文中显得尤为突出。
如:《中国石拱桥》科学而准确地介绍了石拱桥结构特点、兴建历史及价值。
二、立足文本，激发情感，鼓励学生欣赏美 （一）以美得的画面感染学生 朱自清的《春》，所描绘的景物充盈着跃动的活力与生命的灵气，绘画春草图、春花图、春风图、春雨图、迎春图，一幅幅美妙的春景图，把我们带到了春天，感受到了春天的气息，我们会为那美丽的春光所陶醉，会为那洋溢的热情所感染，会为那盎然的生机所激励。
河北省保定市2021届新高考数学模拟试题(1)含解析
河北省保定市2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ uuu r（O 为坐标原点），设OZ r =u u u r，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i rn i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A ．B ．4C ．D ．16【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nn r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可. 【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫==+=+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16z ==.故选：D 【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.2．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21()cos g'x a x=-， 当1a ≤，(,)22x ππ∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减， ∴(,0)2x π∈-时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()()>0f x xg'x g x '=+，∴()0f 'x >，即()f x 在(,0)2π-上单调递增，(0,)2x π∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()+()<0f 'x =xg'x g x ，∴()0f 'x <，即()f x 在(0,)2π上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题意；当1a >时，存在(0,)2t π∈使得cos t =，即'()0g t =，又21()cos g'x a x =-在(0,)2π上单调递减，∴,()0x t ∈时，()(0)0g x g >=，所以()()0f x x g x =⋅>， 这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾． 综上，1a ≤．故选B ．方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，须在0x =的左侧附近，()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax =与tan y x =相切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤，故选B ． 3．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，可得1551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与11,2对比，即可求出结论.【详解】由题知105441551,1log log 22a b =>=>=>=，51log 2log 2c =<=，则a b c >>. 故选:A. 【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.. 4．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )．A ．12B ．CD ．5【解析】试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－12，b ＝－1 所以|a ＋bi|＝2215()(1)2-+-=，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模5．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．4【答案】B 【解析】 【分析】因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！6．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．7．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A ．3()3x f x x=-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出． 【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x xf x x--=为偶函数，不符合题意，排除B ；其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||e ()xf x x=在()0,∞+上无零点, 不符合题意，排除D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2()f x x x=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题． 8．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22- D ．22+ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模与除法运算即可得到结果. 【详解】解: )()())1111111222ii i z i i i i ---=====-+++-， 故选：C 【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.9．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称， 又58f π=（），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题 10．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.11．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =IA ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.12．函数22cos x x y x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫=⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除; 故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021届河北省保定市高三第一次模拟考试理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B 的子集个数为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ．42. 设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（ ）A ． -1B ． -2C ． -3D ．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =，回归直线方程为1ˆ2yx a =+，若()1186,2OA OA OA +++=，（O 为原点），则a = （ ） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14- 4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-，则0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A BC 、、三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ． 8 B ．7 C. 6D ．56.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A 433+B 433-433-+ D 433--7.如图所示的程序框图中，输出的S 为 （ ）A ．99223-B ．100223- C. 101223- D ．102223-8. 已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=（ ）A ．0B ． 2018 C. 4036 D ．40379. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．36π C. 40π D ．400π 10. 已知向量44sin,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量()1,1b =，函数()f x a b =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C. ()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 11.已知双曲线()222109x y b b -=>的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作F 的两条切线，切点分别为,M N ，则MN = （ ）A ．8 B．．12. 令11t x dx -=⎰，函数()()122413321log 2x x f x x t x ⎧⎛⎫+≤- ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+>- ⎪⎪⎝⎭⎩，()()()2142212x x ax a x g x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪->⎩满足以下两个条件：①当0x ≤时，()0f x <或()0g x <；②(){}|0A f x x =>，(){}|0B g x x =>，A B R =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. ()()511ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a = ．14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后， 甲说：我做错了； 乙说：丙做对了； 丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.” 请问他们三个人中做对了的是 ．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为 ． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，6b =，且22cosB a ac b =-+，O 为ABC ∆内一点，且满足00,30OA OB OC BAO ++=∠=，则OA = ．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .18.某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球（小球除编号外其它都相同），顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数（如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折）.要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知A B C 、、三位顾客各买了一件衣服. （1）求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；（2）A B 、两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设X 为打折后两位顾客的消费总额，求X 的分布列和数学期望.19. 如图，四棱台1111A B C D ABCD -中，1A A ⊥底面111,3,23,2ABCD A B A A AB AC ====，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点.（1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求二面角111B CC D --的正弦值.20. 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，A B 、是椭圆的左、右顶点，点P '满足()4,0PP x '=-. ①证明：PP PF'为定值；②设Q 是直线4x =上的任一点，直线AQ BQ 、分别另交椭圆C 于M N 、两点，求MF NF +的最小值. 21. 已知函数()()ln 1axf x x a R x =-∈+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明: ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=-相交于A B 、两点，且090AOB ∠=. （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N （2C 为圆心）为定值. 23. 已知函数()1f x x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.2021届河北省保定市高三第一次模拟考试理科数学试题参考答案一、选择题1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB二、填空题13. -1 14. 甲 15. 9 16. 3三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =； （2）∵()121n n nb n b +=+， ∴()11112n n b b n n n +=≥+，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列， 112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n nb -=， 01221123122222n n n n n T ---=+++++，23111231222222nn nn nT --=+++++， ∴2111111122121222222212nn n n n nn n n T --+=++++-=-=--， 所以1242n n n T -+=-. 18.解：打5，6，7，8折的概率分别为112111,,,32632336==⨯⨯， （1）事件A 为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，所以()223122339P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2）X 的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，()11120006636P X ==⨯=，()11122002639P X ==⨯⨯=，()111122400263339P X ==⨯⨯+⨯=，()111110526002233663618P X ==⨯⨯+⨯⨯==，()111122800233369P X ==⨯+⨯⨯= ，()11130002639P X ==⨯⨯=，()11132006636P X ==⨯=， 所以X 的分布列为()200022002400260028003000320026003699189936E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元.19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A B C D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D 四边形ABCD ，∴111112A B ACAB AC==，由2AC =得，111AC =， 又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =， 又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥； （2）解：在ABC ∆中，03,2,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，()()()(1330,0,0,23,0,0,0,2,0,3,0,2A B C C M ⎛ ⎝⎭， 由于AM ⊥平面11C CDD ，所以平面11C CDD 的法向量为330,2AM ⎛= ⎝⎭，设平面11B BCC 的法向量为(),,m x y z =，()23,2,0BC =-，(10,3CC =-，102320030BC m x y CC m y z ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩设3y =()1,3,1m =， 3332522cos ,53m AM m AM m AM+===⨯， ∴5sin ,5m AM =， 即二面角111B CC D --520.解：（1）由12c a =得2234a b =， 把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a+=得24a =， ∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由（1）知221,143x y c +==，(142PF x x ====-，而4PP x '=-，∴2PP PF'=为定值；②设()4,Q m 若0m =，则4MF NF +=， 若0m ≠，因为()()2,0,2,0A B -， 直线():26m QA y x =+，直线():y 22mQB x =-， 由()2226143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()222227441080m x m x m +++-=， ∴()224108227M m x m --=+，得2225427m x m -+=+，由()2222143m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222344120m x m x m +-+-=， ∴2241223N m x m -=+，得22263N m x m -=+，由①知()()114,422M N MF x NF x =-=-， ∴222224222125426484844448122273308130M N x x m m m MF NF m m m m m m ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+-+-+=-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ⎪++⎝⎭， ∵228118m m+≥=（当且仅当29m =即3m =±时取等号）∴224818130m m≤++，即MF NF +的最小值为3.21.解：（1）()()()()()()2221211011a x ax x a x f x x x x x x +-+-+'=-=>++， 令()()221p x x a x =+-+，①20a -≥即2a ≤时，()1p x >，故()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当()2240a ∆=--≤即04a ≤≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；③当4a >时，由于()0f x '=的两根为202a x -=>， 所以()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为增函数，在2222a a ⎛--+ ⎪⎝⎭为减函数，综上：4a ≤时，函数()f x 在()0,+∞为增函数；4a >时，函数()f x在220,,,22a a ⎛⎫⎛⎫--++∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为增函数，在2222a a ⎛--+ ⎪⎝⎭为减函数；（2）由（1）知4a >，且12122,1x x a x x +=-=，∴()()()()()()122112121212121211ln ln ln 1111ax x ax x ax ax f x f x x x x x a x x x x ++++=-+-=-=-++++，而()1222222ln ln 22222212a ax x a a a f f a a -+---⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+， ∴()()121222ln 2ln 2222222f x f x x x a a a a f a ++--⎛⎫-=-++=-+⎪⎝⎭， 设()()2ln2422a ah a a -=-+>，则()()2114022222a h a a a -'=-=<--，所以()h a 在()4,+∞上为减函数，又()40h =，所以()0h a <， 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭. 22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C x ay a =>，可知直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C得21402t t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立， 设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t ==， 所以22128C M C N t t ==为定值.23.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-， ①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩， 所以，不等式的解集为{}|12x x -<<； （2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+， 当且仅当()()10x x m -++≥时取等号，∴110m ++=， 得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。