人教A版文科数学课时试题及解析(6)函数的奇偶性与周期性B
高考数学理一轮复习知识点逐个击破专题讲座函数的奇偶性与周期性人教A版
2014届数学一轮知识点讲座：函数的奇偶性与周期性一、考纲目标1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像,理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性；二、知识梳理一函数的奇偶性1.定义：如果对于函数f x 的定义域内的任意一个x,都有fx=f-xf-x=fx,那么这个函数就是偶奇函数；2.性质及一些结论：1定义域关于原点对称；2偶函数的图象关于轴对称,奇函数的图象关于原点对称；3()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=4若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =因此,“fx 为奇函数”是"f0=0"的非充分非必要条件； 5判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响；6断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±- 7设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇8奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反二函数的周期性1.定义：若T 为非零常数,对于定义域内的任一x,使)()(x f T x f =+恒成立,则fx 叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期2.简单理解：一般所说的周期是指函数的最小正周期,周期函数的定义域一定是无限集,但是我们可能只研究定义域的某个子集三、考点逐个突破1．奇偶性辨析例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是fx=0x∈R,其中正确命题的个数是A．1 B.2 C.3 D.4分析：偶函数的图象关于y轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确若y=fx既是奇函数,又是偶函数,由定义可得fx=0,但不一定x∈R,如例1中的3,故④错误,选A 说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性：1fx＝|x|x2＋1；2fx＝错误!＋错误!；3fx＝错误!＋错误!；4fx＝错误!＋错误!；5fx＝x－1错误!.解析 1此函数的定义域为R.∵f－x＝|－x|－x2＋1＝|x|x2＋1＝fx,∴f－x＝f x,即fx是偶函数．2此函数的定义域为x>0,由于定义域关于原点不对称,故fx既不是奇函数也不是偶函数．3此函数的定义域为{2},由于定义域关于原点不对称,故fx既不是奇函数也不是偶函数．4此函数的定义域为{1,－ 1},且fx＝0,可知图像既关于原点对称,又关于y轴对称,故此函数既是奇函数又是偶函数．5定义域：错误!⇒－1≤x<1是关于原点不对称区间,故此函数为非奇非偶函数．2.奇偶性的应用例3.已知函数()f x 对一切,x y R ∈,都有()()()f x y f x f y +=+,1求证：()f x 是奇函数；2若(3)f a -=,用表示(12)f解：1显然()f x 的定义域是,它关于原点对称.在()()()f x y f x f y +=+中,令y x =-,得(0)()()f f x f x =+-,令0x y ==,得(0)(0)(0)f f f =+,∴(0)0f =,∴()()0f x f x +-=,即()()f x f x -=-, ∴()f x 是奇函数2由(3)f a -=,()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数,得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-例4.1已知()f x 是上的奇函数,且当(0,)x ∈+∞时,()(1f x x =,则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ 2已知()f x 是偶函数,x R ∈,当0x >时,()f x 为增函数,若120,0x x <>,且12||||x x <,则 例5设为实数,函数2()||1f x x x a =+-+,x R ∈1讨论()f x 的奇偶性； 2求 ()f x 的最小值解：1当0a =时, 2()()||1()f x x x f x -=-+-+=,此时()f x 为偶函数；当0a ≠时,2()1f a a =+,2()2||1f a a a -=++,∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数2①当x a ≤时,函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++, 若12a ≤,则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减,∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+； 若12a >,函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+,且1()()2f f a ≤②当x a ≥时,函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+, 若12a ≤-,则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-,且1()()2f f a -≤； 若12a >-,则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增,∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+ 综上,当12a ≤-时,函数()f x 的最小值是34a -,当1122a -<≤时,函数()f x 的最小值是21a +, 当12a >,函数()f x 的最小值是34a + 3.函数周期性的应用 例6．设fx 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有fx ＋2＝－fx ．当x ∈0,2时,fx ＝2x －x 2.1求证：fx 是周期函数；2当x ∈2,4时,求fx 的解析式；3计算f0＋f1＋f2＋…＋f2 011．解 1证明：∵fx ＋2＝－fx,∴fx ＋4＝－fx ＋2＝fx ．∴fx 是周期为4的周期函数．2当x ∈－2,0时,－x ∈0,2,由已知得f －x ＝2－x －－x 2＝－2x －x 2,又fx 是奇函数,∴f －x ＝－fx ＝－2x －x 2,∴fx ＝x 2＋2x.又当x ∈2,4时,x －4∈－2,0,∴fx －4＝x －42＋2x －4．又fx 是周期为4的周期函数,∴fx ＝fx －4＝x －42＋2x －4＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈2,4时,fx ＝x 2－6x ＋8.3f0＝0,f2＝0,f1＝1,f3＝－1.又fx 是周期为4的周期函数,∴f0＋f1＋f2＋f3＝f4＋f5＋f6＋f7＝…＝f2 008＋f2 009＋f2 010＋f2 011＝0.∴f0＋f1＋f2＋…＋f2 011＝0.4.单调性与奇偶性的交叉应用例7.已知定义域为R的函数fx＝错误!是奇函数．①求a、b的值；②若对任意的t∈R,不等式ft2－2t＋f2t2－k<0恒成立,求k的取值范围．解：①∵fx是定义在R上的奇函数,∴f0＝0,即错误!＝0,∴b＝1,∴fx＝错误!,又由f1＝－f－1知错误!＝－错误!,解得a＝2.②由①知fx＝错误!＝－错误!＋错误!,易知fx在－∞,＋∞上为减函数．又∵fx是奇函数,从而不等式ft2－2t＋f2t2－k<0等价于ft2－2t<－f2t2－k＝fk－2t2,∵fx为减函数,∴由上式得t2－2t>k－2t2,即对任意的t∈R恒有：3t2－2t－k>0,从而Δ＝4＋12k<0,∴k<－错误!.一、选择题1．2012·高考陕西卷下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝错误!D．y＝x|x|解析：选D.由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排除B、C,由y＝x|x|的图象可知当x＞0时此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选D.2．已知y＝fx＋1是偶函数,则函数y＝fx的图象的对称轴是A．x＝1 B．x＝－1C．x＝错误!D．x＝－错误!解析：选A.∵y＝fx＋1是偶函数,∴f1＋x＝f1－x,故fx关于直线x＝1对称．3．函数fx＝x3＋sin x＋1x∈R,若fa＝2,则f－a的值为A．3 B．0C．－1 D．－2解析：选B.fa＝a3＋sin a＋1,①f－a＝－a3＋sin－a＋1＝－a3－sin a＋1,②①＋②得fa＋f－a＝2,∴f－a＝2－fa＝2－2＝0.4．函数fx＝1－错误!x∈RA．既不是奇函数又不是偶函数B．既是奇函数又是偶函数C．是偶函数但不是奇函数D．是奇函数但不是偶函数解析：选D.∵fx＝1－错误!＝错误!,∴f－x＝错误!＝错误!＝－错误!＝－fx．又其定义域为R,∴fx是奇函数．5．定义在R上的偶函数y＝fx满足fx＋2＝fx,且当x∈0,1时单调递增,则A．f错误!＜f－5＜f错误!B．f错误!＜f错误!＜f－5C．f错误!＜f错误!＜f－5D．f－5＜f错误!＜f错误!解析：选B.∵fx＋2＝fx,∴fx是以2为周期的函数,又fx是偶函数,∴f错误!＝f错误!＝f错误!,f－5＝f5＝f4＋1＝f1,∵函数fx在0,1上单调递增,∴f错误!＜f错误!＜f1,即f错误!＜f错误!＜f－5．二、填空题6．设函数fx＝x e x＋a e－x x∈R是偶函数,则实数a的值为________．解析：因为fx是偶函数,所以恒有f－x＝fx,即－x e－x＋a e x＝x e x＋a e－x,化简得x e－x＋e x a＋1＝0.因为上式对任意实数x都成立,所以a＝－1.答案：－17．函数fx在R上为奇函数,且x＞0时,fx＝错误!＋1,则当x＜0时,fx＝________.解析：∵fx为奇函数,x＞0时,fx＝错误!＋1,∴当x＜0时,－x＞0,fx＝－f－x＝－错误!＋1,即x＜0时,fx＝－错误!＋1＝－错误!－1.答案：－错误!－18．2013·大连质检设fx是定义在－∞,0∪0,＋∞上的奇函数,且fx＋3·fx＝－1,f －4＝2,则f2014＝________.解析：由已知fx＋3＝－错误!,∴fx＋6＝－错误!＝fx,∴fx的周期为6.∴f2014＝f335×6＋4＝f4＝－f－4＝－2.答案：－2三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：1fx＝错误!＋错误!；2fx＝错误!解：1fx的定义域为{－1,1},关于原点对称．又f－1＝f1＝0.∴f－1＝f1且f－1＝－f1,∴fx既是奇函数又是偶函数．2①当x＝0时,－x＝0,fx＝f0＝0,f－x＝f0＝0,∴f－x＝－fx．②当x>0时,－x<0,∴f－x＝－－x2－2－x－3＝－x2－2x＋3＝－fx．③当x<0时,－x>0,∴f－x＝－x2－2－x＋3＝－－x2－2x－3＝－fx．由①②③可知,当x∈R时,都有f－x＝－fx,∴fx为奇函数．10．已知奇函数fx的定义域为－2,2,且在区间－2,0内递减,求满足：f1－m ＋f1－m2<0的实数m的取值范围．解：∵fx的定义域为－2,2,∴有错误!,解得－1≤m≤错误!.①又fx为奇函数,且在－2,0上递减,∴在－2,2上递减,∴f1－m<－f1－m2＝fm2－1⇒1－m>m2－1,即－2<m<1.②综合①②可知,－1≤m<1.一、选择题1．2012·高考天津卷下列函数中,既是偶函数,又在区间1,2内是增函数的为A．y＝cos 2x,x∈R B．y＝log2|x|,x∈R且x≠0C．y＝错误!,x∈R D．y＝x3＋1,x∈R解析：选B.由函数是偶函数可以排除C和D,又函数在区间1,2内为增函数,而此时y＝log2|x|＝log2x为增函数,所以选择B.2．2011·高考山东卷已知fx是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,fx＝x3－x,则函数y＝fx的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为A．6 B．7C．8 D．9解析：选B.令fx＝x3－x＝0,即xx＋1x－1＝0,所以x＝0,1,－1,因为0≤x＜2,所以此时函数的零点有两个,即与x轴的交点个数为2.因为fx是R上最小正周期为2的周期函数,所以2≤x＜4,4≤x＜6上也分别有两个零点,由f6＝f4＝f2＝f0＝0,知x＝6也是函数的零点,所以函数y＝fx的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.二、填空题3．若fx＝错误!＋a是奇函数,则a＝________.解析：∵fx为奇函数,∴f－x＝－fx,即错误!＋a＝错误!－a,得：2a＝1,a＝错误!.答案：错误!4．2013·长春质检设fx是－∞,＋∞上的奇函数,且fx＋2＝－fx,下面关于fx的判定：其中正确命题的序号为________．①f4＝0；②fx是以4为周期的函数；③fx的图象关于x＝1对称；④fx的图象关于x＝2对称．解析：∵fx＋2＝－fx,∴fx＝－fx＋2＝－－fx＋2＋2＝fx＋4,即fx的周期为4,②正确．∵fx为奇函数,∴f4＝f0＝0,即①正确．又∵fx＋2＝－fx＝f－x,∴fx的图象关于x＝1对称,∴③正确,又∵f1＝－f3,当f1≠0时,显然fx的图象不关于x＝2对称,∴④错误．答案：①②③三、解答题5．已知函数fx＝x2＋|x－a|＋1,a∈R.1试判断fx的奇偶性；2若－错误!≤a≤错误!,求fx的最小值．解：1当a＝0时,函数f－x＝－x2＋|－x|＋1＝fx,此时,fx为偶函数．当a≠0时,fa＝a2＋1,f－a＝a2＋2|a|＋1,fa≠f－a,fa≠－f－a,此时,fx既不是奇函数,也不是偶函数．2当x≤a时,fx＝x2－x＋a＋1＝错误!2＋a＋错误!,∵a≤错误!,故函数fx在－∞,a上单调递减,从而函数fx在－∞,a上的最小值为fa＝a2＋1.当x≥a时,函数fx＝x2＋x－a＋1＝错误!2－a＋错误!,∵a≥－错误!,故函数fx在a,＋∞上单调递增,从而函数fx在a,＋∞上的最小值为fa＝a2＋1.综上得,当－错误!≤a≤错误!时,函数fx的最小值为a2＋1.。
高中 函数的奇偶性与周期性知识点+例题+练习 含答案
正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝－2.( )(6)(2014·菏泽模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．( )2．对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a ＞0)的周期函数．( )(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上是周期函数．( )[感悟·提升]1．两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0，如(2)．2．两个结论一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)．二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意x∈D都有f(x＋a)＝±1f x(f(x)≠0)，则f(x)也是以2a为周期的函数，如(7)(8).教学过程【例3】(经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小顺序为________．规律方法关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.【训练3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)．教学效果分析。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版 提优版)：函数的奇偶性、周期性
那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 奇函数 ∀x∈D，都有－x∈D，且_f_(_－__x_)＝__－__f_(x_)_， 关于_原__点__对称
那么函数f(x)就叫做奇函数
知识梳理
2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且__f(_x_＋__T_)＝__f_(_x_) _，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最__小__的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
√A.f(2 023)＝0 √B.f(x)的值域为[－1,2]
C.f(x)在[4,6]上单调递减
D.f(x)在[－6,6]上有8个零点
f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确； 当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 所以当x∈[0,2]时，函数的值域为[－1,2]， 由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1,2]，所以B正确； 当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 又函数的周期是4， 所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C错误；
教材改编题
2.已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝_－__6_.
因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x， 所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.
教材改编题
3.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝ _－__1__.
新教材人教A版高中数学必修一 奇偶性(一)(含解析)
3.2.2奇偶性（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一．单选题1.已知函数y=f(x)是奇函数，其图象与x轴有5个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是()A. 4B. 5C. 1D. 02.函数f(x)=x2+√x的奇偶性为()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数3.下列函数是偶函数的是()A. y=xB. y=3x2D. y=|x|(x∈[0,1])C. y=1x4.已知y=f(x)，x∈(−a,a)，F(x)=f(x)+f(−x)，则f(x)是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数5.函数f(x)=(x−1)⋅√1+x(x∈(−1,1))()1−xA. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 是非奇非偶函数6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)−g(x)=x3+x2+1，则f(1)+g(1)=()A. −3B. −1C. 1D. 37.下列说法正确的是()A. 偶函数的图象一定与y轴相交B. 若奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0C. 奇函数y=f(x)的图象一定过原点D. 图象过原点的奇函数必是单调函数8.已知f(x)=x5−2ax3+3bx+2，且f(−2)=−3，则f(2)的值为()A. 3B. 5C. 7D. −19.下列函数中奇函数的个数为()①f(x)=x3;②f(x)=x5;③f(x)=x+1x ;④f(x)=1x2．A. 1B. 2C. 3D. 410.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(−3)=2，则下列各点中一定在函数f(x)的图像上的是()A. (3,−2)B. (3,2)C. (−3,−2)D. (2,−3)11.下列图象表示的函数具有奇偶性的是()A. B.C. D.12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x，若f(3−2a)>f(a)，则实数a的取值范围是()A.(−∞,−1)B. (−∞,1)C. (−1,+∞)D. (1,+∞)二．多选题13.下列函数中是偶函数的是()A. y=x4−3B. y=x2，x∈(−3,3]C. y=−3x D. y=1x2−114.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，；②∀x1,x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，都有；则下列选项成立的是()A.f(3)>f(−4)B. 若，则C. 若f(x)x>0，则D. ∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≤M三．填空题15.你认为下列说法中正确的是________．①图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数；②图象关于y轴对称的函数一定是偶函数；③奇函数图象一定经过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交；⑤偶函数图象若不经过原点，则它与x轴的交点个数一定是偶数．16.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(−π)，f(3)，f(−4)按从小到大的顺序排列是________．17.若函数f(x)=x2+|x−a|为偶函数，则实数a=________．18.若函数f(x)=x为奇函数，则a=_________．(2x+1)(x−a)19.设f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,1]上的偶函数，则f(x)>0的解集为____.20.已知f(x)=ax3+bx9+2在区间(0,+∞)上有最大值5，那么f(x)在(−∞,0)上的最小值为____.21.设函数若f(x)是奇函数，则g(2)的值是.四．解答题22.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)=x−1．x(2)f(x)=|x|+1．(3)f(x)=2x−1．23.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−4x+3．(1)求f[f(−1)]的值;(2)求函数f(x)的解析式．24.已知函数f(x)对一切x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(−3)=a，试用a表示f(12)．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的对称性，属于基础题．由奇函数的性质得出方程的所有根关于原点对称．【解答】解：因为奇函数定义域关于原点对称，故原点左右各有两个交点，另一个交点必在坐标原点，故所有根之和为0．选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性的判定，属于基础题．先看定义域是否关于原点对称，若对称，再看f(−x)与f(x)的关系;若不对称，则为非奇非偶函数．【解答】解：由函数f(x)=x2+√x可知：定义域为[0,+∞),显然定义域不关于原点对称，所以函数f(x)=x2+√x为非奇非偶函数．故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性的相关知识，试题难度较易【解答】解：对于A，y=x是奇函数，不符合题意；对于B，定义域关于原点对称，且满足f(−x)=f(x)，是偶函数，符合题意；对于C，y=1x是奇函数，不符合题意；对于D，定义域不关于原点对称，不符合偶函数的定义，不符合题意．故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考察了函数奇偶性的判定，属于基础题．由F(−x)=F(x)结合已知条件即可得出结论．【解答】解：∵F(−x)=f(−x)+f(x)=F(x)且x∈(−a,a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．故选B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性的相关知识，试题难度较易【解答】【分析】本题主要考查函数的奇偶性，属基础题．先将原函数化简，再根据奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：f(x)=(x−1)⋅√1+x1−x =−√1+x1−x·(1−x)2=−√(1+x)(1−x)=−√1−x2(x∈(−1,1))f(−x)=−√1−(−x)2=−√1−x2=f(x)，所以函数f(x)为偶函数．故选B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性的相关知识，试题难度较易【解答】解：用“−x”代替“x”，得f(−x)−g(−x)=(−x)3+(−x)2+1，化简得f(x)+g(x)=−x3+x2+1，令x=1，得f(1)+g(1)=1，故选C．7.【答案】B【解析】【分析】本题重点考查了奇偶函数的图象的性质，考查分析理解能力，属于基础题．根据奇函数、偶函数的图象性质解决此题，即偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，而当奇函数在x=0时有定义时，有f(0)=0.据此逐个判断选项．【解答】解：对于选项A，举例函数y=1|x|是偶函数，但不与y轴相交，故A错误；对于选项B，若奇函数f(x)在x=0时有定义，则f(−0)=−f(0)，所以f(0)=0，故B 正确；是奇函数，但不过原点，故C错误；对于选项C，函数y=1x对于选项D，函数y=sinx是奇函数，但不是单调函数，故D错误．故选B．8.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，结合条件构造函数f(x)−2，结合函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键，考查分析与计算能力，属于基础题．根据条件得到f(x)−2是奇函数，结合奇函数的定义和性质进行求解即可．【解答】解：∵f(x)=x5−2ax3+3bx+2，∴f(x)−2=x5−2ax3+3bx为奇函数，则f(−2)−2=−[f(2)−2]，得−3−2=−f(2)+2，得f(2)=2+5=7，故选：C．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，由奇函数的定义即可得出结论．【解答】解：由奇函数的定义可知①②③是奇函数．由偶函数的定义可知④为偶函数，所以奇函数的个数为3，故选C．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．由f(x)是定义在R上的奇函数，f(−3)=2，可得f(3)=−f(−3)=−2，即可求解．【解答】解：因为f(−x)=−f(x)，所以f(3)=−f(−3)=−2，所以点(3,−2)一定在函数f(x)的图像上．故选A．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴轴对称．【解答】解：奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴轴对称，由已知图形可知，选项B中的图象关于y轴轴对称，函数为偶函数。
人教版高中数学必修一《函数的奇偶性》精选习题(含答案)
人教版高中数学必修一《函数的奇偶性》精选习题（含答案）一、选择题1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)<f(1)，则下列不等式中一定成立的是()A．f(－1)<f(－3) B．f(2)<f(3)C．f(－3)<f(5) D．f(0)>f(1)3．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则() A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式f(x)－f(－x)x<0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于()A．0.5B．－0.5C．1.5D．－1.56．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则{x|x·f(x)<0}等于() A．{x|x>3，或－3<x<0}B．{x|0<x<3，或x<－3}C．{x|x>3，或x<－3}D．{x|0<x<3，或－3<x<0}二、填空题7．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x<0时，f(x)＝____________.8．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是____________．9．已知f(x)＝ax7－bx＋2且f(－5)＝17，则f(5)＝____________.三、解答题10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．能力提升12．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数13．若函数y＝f(x)对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)指出y＝f(x)的奇偶性，并给予证明；(2)如果x>0时，f(x)<0，判断f(x)的单调性；(3)在(2)的条件下，若对任意实数x，恒有f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0成立，求k的取值范围．参考答案与解析1．A [∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，又∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴f (2)<f (3)<f (π)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．]2．D [∵f (－3)＝f (3)，∴f (3)<f (1)．∴函数f (x )在x ∈[0,5]上是减函数．∴f (0)>f (1)，故选D.]3．A [f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x 1)＝f (x 1)．又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，x 2>－x 1>0，∴f (－x 2)＝f (x 2)<f (－x 1)．]4．C [∵f (x )为奇函数，∴f x －f －x x <0，即f x x <0，当x ∈(0，＋∞)，∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )<0.由奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上使f x x <0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]5．B [由f (x ＋2)＝－f (x )，则f (7.5)＝f (5.5＋2)＝－f (5.5)＝－f (3.5＋2)＝f (3.5)＝f (1.5＋2)＝－f (1.5)＝－f (－0.5＋2)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5.]6．D [依题意，得x ∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f (x )<0；x ∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f (x )>0.由x ·f (x )<0，知x 与f (x )异号，从而找到满足条件的不等式的解集．]7．－x 2＋x ＋1解析 由题意，当x >0时，f (x )＝x 2＋|x |－1＝x 2＋x －1，当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2＋(－x )－1＝x 2－x －1，又∵f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x 2－x －1，即f (x )＝－x 2＋x ＋1.8．(－∞，0]解析 因为f (x )是偶函数，所以k －1＝0，即k ＝1.∴f (x )＝－x 2＋3，即f (x )的图象是开口向下的抛物线．∴f (x )的递增区间为(－∞，0]．9．－13解析 (整体思想)f (－5)＝a (－5)7－b (－5)＋2＝17⇒(a ·57－5b )＝－15， ∴f (5)＝a ·57－b ·5＋2＝－15＋2＝－13.10．解 由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m )．又∵f (x )在[0,2]上为减函数且f (x )在[－2,2]上为奇函数，∴f (x )在[－2,2]上为减函数．∴⎩⎨⎧ －2≤1－m ≤2－2≤m ≤21－m >m ，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m ≤3－2≤m ≤2m <12，解得－1≤m <12.11．解 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增， 可知f (x )在(0，＋∞)上递减．∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78>0， 2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52>0，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0，解得a >23. 12．C [令x 1＝x 2＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋1，解得f (0)＝－1.令x 2＝－x 1＝x ，得f (0)＝f (－x )＋f (x )＋1，即f (－x )＋1＝－f (x )－1，令g (x )＝f (x )＋1，g (－x )＝f (－x )＋1，－g (x )＝－f (x )－1，即g (－x )＝－g (x )．所以函数f (x )＋1为奇函数．]13．解 (1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，∴f (x )＋f (－x )＝0，即f (x )＝－f (－x )，所以y ＝f (x )是奇函数．(2)令x ＋y ＝x 1，x ＝x 2，则y ＝x 1－x 2， 得f (x 1)＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)．设x 1>x 2，∵x >0时f (x )<0，∴f (x 1－x 2)<0， 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以y ＝f (x )为R 上的减函数．(3)由f (kx 2)＋f (－x 2＋x －2)>0， 得f (kx 2)>－f (－x 2＋x －2)，∵f (x )是奇函数，有f (kx 2)>f (x 2－x ＋2)， 又∵f (x )是R 上的减函数，∴kx 2<x 2－x ＋2，即(k －1)x 2＋x －2<0对于x ∈R 恒成立， 即⎩⎨⎧ k －1<0Δ＝1＋8k －1<0，故k <78.。
2019年高考数学文科一轮复习课时作业 6函数的奇偶性与周期性 含解析 精品
一、选择题
1．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－ x，则f(x)()
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
解析：∵函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝3－x－ －x＝ x－3x＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
又f(x)在R上是增函数，且log 5＞log 4.1＞log 4＝2＞20.8，
∴f(log 5)＞f(log 4.1)＞f(20.8)，∴a＞b＞c.
故选C.
答案：C
12．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝ ，则实数a的取值范围是()
A．(－1,4) B．(－2,1)
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．
答案：D
二、填空题
6．(2017·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
解析：令x>0，则－x<0.
∵函数y＝ x在R上是减函数，
2019高三数学人教A版 文一轮教师用书：第2章 第3节 函
第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真](教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(对应学生用书第11页)[基础知识填充]1．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[知识拓展]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a＞0)．(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a＞0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B．13C．12D．－12B[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝13，则a＋b＝13.]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是() A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos xC．y＝2x＋12x D．y＝x2＋sin xD[A项，定义域为R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意；B项，定义域为R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因为f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．]4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.12[法一：令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]5．(教材改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a ＜b＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上()A．最大值4 B．最小值－4C．最大值－3 D．最小值－3B[法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B．法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，∴－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选B．](对应学生用书第12页)(1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝lg(1＋4x 2－2x )； (3)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.【导学号：79170021】[解] (1)由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数． (2)函数的定义域为R ，且f (－x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋4x 2－2x ＝－lg(1＋4x 2－2x )＝－f (x )． 故原函数为奇函数．(3)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ， 则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1](1)(2018·商丘模拟)已知函数f(x)＝ln(e＋x)＋ln(e－x)，则f(x)是() A．奇函数，且在(0，e)上是增函数B．奇函数，且在(0，e)上是减函数C．偶函数，且在(0，e)上是增函数D．偶函数，且在(0，e)上是减函数(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() 【导学号：79170022】A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数(1)D(2)C[(1)f(x)的定义域为(－e，e)，关于原点对称．f(－x)＝ln(e－x)＋ln(e＋x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．又f(x)＝ln(e2－x2)，所以f(x)在(0，e)上是减函数．(2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|·g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．]a＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(1)1(2)⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立， ∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1. (2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] (1)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2018·青岛模拟)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(1)A (2)－32 [(1)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1，所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.(2)f (－x )＝ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln 1＋e3x e 3x －ax ＝ln(1＋e 3x )－3x －ax ，依题意得，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即ln(1＋e 3x )－3x －ax ＝ln(1＋e 3x )＋ax ，化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，因此2a ＋3＝0，解得a ＝－32.]f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝________.(1)6 (2)1 009 [(1)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6. (2)∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1.∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 016)＋f (2 017)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.][母题探究1] 若将本例(2)中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )．故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.[母题探究2] 若将本例(2)中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝1f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝1f (x )， ∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1f (x ＋1)＝f (x )． 故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．在解决具体问题时，要注意“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．[变式训练3] (2017·长沙模拟(一))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎨⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)D [由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D ．]。
高考数学人教版A版(文科)第一轮复习方案课时作业：第6讲 函数的奇偶性与周期性
课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A ．y ＝－x 3，x ∈RB ．y ＝sin2x ，x ∈RC ．y ＝2x ，x ∈RD ．y ＝－⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈R2．函数f (x )＝a 2x －1a x (a >0，a ≠1)的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称3．[2012·哈尔滨师范大学附中月考] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．能力提升5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－134＝( ) A.32 B ．－32C.12 D ．－126．[2012·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．[2013·保定摸底] 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x 2的图象关于原点对称，则f a 2＝( ) A.33 B ．－33C ．1D ．－1 8．已知定义在R 上的奇函数f (x )是一个减函数，若x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上都有可能9．[2013·银川一中月考] 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．10．[2013·南昌一中、十中联考] 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确结论的序号是________．①f (－x )＋f (x )＝0；②f (－x )－f (x )＝－2f (x )；③f (x )f (－x )≤0；④f （x ）f （－x ）＝－1. 11．[2012·南京三模] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．12．(13分)[2012·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72. (1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．难点突破13．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．课时作业(六)B [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·佛山质检] 下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为( )A ．y ＝|x |B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝－x 32．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1（x >0），－x 2－x －1（x <0），则f (x )为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性4．[2012·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．能力提升5．[2012·郑州模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，0，x ＝0，g （x ），x >0，且f (x )为奇函数，则g (3)＝( )A ．8 B.18 C ．－8 D ．－186．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，如果x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则有( )A ．f (－x 1)＋f (－x 2)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)<0C ．f (－x 1)－f (－x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<07．[2012·石嘴山二联] 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－18．[2013·忻州一中月考] 命题p ：∀x ∈R ，3x >x ；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)成中心对称．以下说法正确的是( )A ．p ∨q 真B ．p ∧q 真C ．綈p 真D ．綈q 假9．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________．10．[2011·广东卷] 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________．11．设定义在[－2，2]上的奇函数f (x )在[0，2]上单调递减，若f (3－m )≤f (2m 2)，则实数m 的取值范围是________．12．(13分)已知函数f (x )＝lg 1＋x 1－x. (1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ； (2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明．难点突破13．(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．课时作业(六)A【基础热身】1．A [解析] y ＝sin2x 在R 上不单调，y ＝－13x 不是奇函数，y ＝2x 为增函数，所以B ，C ，D 均错．故选A.2．A [解析] 因为f (－x )＝a －x －1a－x ＝－(a x －a －x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称．故选A.3．A [解析] 依题意当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－(2x 2＋x )，所以f (1)＝－3.故选A.4．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数． 已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1，∴f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3.【能力提升】5．A [解析] 依题意f －134＝f －54＝f 34＝32.故选A. 6．A [解析] 由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，根据f (x )为R 上的奇函数，得f (0)＝0，所以f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，f (4)＝f (0)＝0，所以f (3)－f (4)＝－1.故选A.7．A [解析] 函数f (x )定义域为{x |－2<x <2}，依题意函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，得a ＝－2，所以f a 2＝f (－1)＝|－1－2|－24－1＝33.故选A. 8．A [解析] 由x 1＋x 2＜0，得x 1＜－x 2.又f (x )为减函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)，又f (x )为R 上的奇函数，所以f (x 1)＞－f (x 2)．所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.同理f (x 2)＋f (x 3)＞0，f (x 1)＋f (x 3)＞0，所以f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0.故选A.9．1.5 [解析] 由f (x ＋1)＋f (x )＝3得f (x )＋f (x －1)＝3，两式相减得f (x ＋1)＝f (x －1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (－2 005.5)＝f (－1.5)＝f (－2＋0.5)＝f (0.5)＝1.5.10．①②③ [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以①正确，由f (－x )＋f (x )＝0，可推得选项②，③正确，④中，要求f (－x )≠0，故④错误．11．(－1－3，＋∞) [解析] 由函数f (x )是奇函数，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ＝－f (x )＝x 2－ax ，所以a ＝－2.当x <0时，f (x )>a 即－x 2－2x >－2⇒x 2＋2x －2<0，解得－1－3<x <0；当x ≥0时，f (x )>－2恒成立．综上，满足f (x )>a 的x 的取值范围是(－1－3，＋∞)．12．解：(1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝72，所以m ＝1. (2)因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，又f (－x )＝－x －2－x ＝－x －2x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)1＋2x 1x 2， 因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，1＋2x 1x 2>0， 所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．(或用求导数的方法)【难点突破】13．解：(1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，所以b ＝1.所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，所以a ＝2. (2)方法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． 又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (－2t 2＋k )． 因f (x )是减函数，所以t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. 方法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得 －2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0， 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0.整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. 课时作业(六)B【基础热身】1．B [解析] 由题中选项可知，y ＝|x |，y ＝e x ＋e －x 为偶函数，排除A ，C ；而y ＝－x 3在R 上递减，故选B.2．B [解析] 因为函数f (x )＝ax 2＋bx 在[a －1，2a ]上为偶函数，所以b ＝0，且a －1＋2a ＝0，即b ＝0，a ＝13.所以a ＋b ＝13. 3．A [解析] 若x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )＋1＝x 2＋x ＋1＝－f (x )．若x >0，则－x <0，所以f (－x )＝－(－x )2－(－x )－1＝－x 2＋x －1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．4.32[解析] 函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )为奇函数，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ，即g (x )＝－2－x ，所以g (3)＝－2－3＝－18.故选D. 6．D [解析] 因为x 1<0，x 2>0，|x 1|<|x 2|，所以0<－x 1<x 2.又f (x )是(0，＋∞)上的增函数，所以f (－x 1)<f (x 2)．又f (x )为定义在R 上的偶函数，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x 1)－f (x 2)<0.选D.7．A [解析] 由已知f (x )是偶函数且是周期为2的周期函数，则f (－2 012)＝f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，f (2 011)＝f (1)＝log 22＝1，所以f (－2 012)＋f (2 011)＝0＋1＝1，故选择A.8．A [解析] 命题p 是真命题．对于命题q ，函数y ＝f (x －1)为奇函数，将其图象向左平移1个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，该图象的对称中心为(－1，0)，而得不到对称中心为(1，0)，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 是真命题．故选A.9．－15[解析] 因为f (x ＋2)f (x )＝1，所以f (x ＋4)f (x ＋2)＝1，于是有f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，f (－5)＝f (－1)＝1f （－1＋2）＝1f （1）＝－15. 10．－9 [解析] 由f (a )＝a 3cos a ＋1＝11得a 3cos a ＝10，所以f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.11．{1} [解析] 因为f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且在[0，2]上单调递减，所以f (x )在[－2，2]上单调递减，所以f (3－m )≤f (2m 2)等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤3－m ≤2，－2≤2m 2≤2，3－m ≥2m 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤5，－1≤m ≤1，－32≤m ≤1，即m ＝1，所以m 的取值范围是{1}． 12．解：函数的定义域为{x |－1<x <1}＝(－1，1)．(1)证明：∀a ，b ∈(－1，1)，f (a )＋f (b )＝lg 1＋a 1－a ＋lg 1＋b 1－b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ）， f a ＋b 1＋ab ＝lg 1＋a ＋b 1＋ab 1－a ＋b 1＋ab＝lg 1＋ab ＋a ＋b 1＋ab －a －b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ）， 所以f (a )＋f (b )＝f a ＋b 1＋ab. (2)∀x ∈(－1，1)，f (－x )＋f (x )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1＋x 1－x ＝lg （1－x ）（1＋x ）（1＋x ）（1－x ）＝lg1＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．【难点突破】13．解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，又f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)．(*)方法一：因为f (x )为偶函数，所以f (|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f (64)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3. 所以x 的取值范围为x ⎪⎪－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5. 方法二：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以(*)等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）>0，（3x ＋1）（2x －6）≤64或⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）<0，－（3x ＋1）（2x －6）≤64，⎩⎨⎧x >3或x <－13，－73≤x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－13<x <3，x ∈R . 所以3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3. 所以x 的取值范围为x⎪⎪⎪ )－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5.。
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高考数学 课时作业(六)B [第6讲 函数的奇偶性与周期性][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1． 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x ) 2．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图象( )A ．关于点(1,0)对称B ．关于点(0,1)对称C ．关于点(－1,0)对称D ．关于点(0，－1)对称3． 设函数f (x )(x ∈R )f (x )的图象可能是( )4． 设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．能力提升5． 下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝ln 2－x 2＋xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x ) D ．f (x )＝sin x 6．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)＞0}＝( )A ．{x |x ＜－2或x ＞4}B ．{x |x ＜0或x ＞4}C ．{x |x ＜0或x ＞6}D ．{x |x ＜－2或x ＞2}7． 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2011)＋f (2013)的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算8．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ∈R ，x ≠0)，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，f (x )是减函数；③函数y ＝f (x )的最小值是lg2；④在区间(－∞，0)上，f (x )是增函数．其中正确的是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．③9． 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝13对称，则f ⎝⎛⎭⎫－23＝( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．210．设a 为常数，f (x )＝x 2－4x ＋3，若函数f (x ＋a )为偶函数，则a ＝________；f [f (a )]＝________.11． 设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．12．(13分)设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a ，b ，c 都是整数)，且f (1)＝2，f (2)<3，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．(1)求a ，b ，c 的值；(2)当x <0时，f (x )的单调性如何？证明你的结论．难点突破13．(12分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①∀x ，y ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )>0，且f (2)＝1.(1)试判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(3)求函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集．课时作业(六)B【基础热身】1．D [解析] 因为函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x .又因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以g (x )＝e x －e －x 2. 2．B [解析] 令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，所以g (x )的图象关于原点(0,0)对称，当x ＝0时，有f (0)－1＝0，此时f (0)＝1，所以对称中心为(0,1)．3．B [解析] 由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.4．－1 [解析] 设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数．又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.【能力提升】5．A [解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选A.6．B [解析] ∵f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴令f (x )＞0，得x ＞2.又f (x )为偶函数且f (x －2)＞0，∴f (|x －2|)＞0，∴|x －2|＞2，解得x ＞4或x ＜0，∴{x |x ＜0或x ＞4}．7．C [解析] 由题意得g (－x )＝f (－x －1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )的周期为4，∴f (2011)＝f (3)＝f (－1)，f (2013)＝f (1)．又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0，∴f (2011)＋f (2013)＝0.8．C [解析] 由函数f (x )的定义域为()－∞，0∪()0，＋∞，且f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1x＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥lg2，函数f (x )在()－∞，－1，()0，1上为减函数，在()－1，0，()1，＋∞上为增函数．故①③正确．9．A [解析] 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又因为y ＝f (x )的图象关于直线x ＝13对称，所以f ⎝⎛⎭⎫23＝0.于是f ⎝⎛⎭⎫－23＝－f ⎝⎛⎭⎫23＝0，故选A. 10．2 8 [解析] 由题意得f (x ＋a )＝(x ＋a )2－4(x ＋a )＋3＝x 2＋(2a －4)x ＋a 2－4a ＋3，因为f (x ＋a )为偶函数，所以2a －4＝0，a ＝2.f [f (a )]＝f [f (2)]＝f (－1)＝8.11．－8 [解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4， 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数，∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4， 即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4， 整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝⎛⎭⎫－92＝－8. 12．[解答] (1)由f (1)＝2，得a ＋1b ＋c ＝2，由f (2)<3，得4a ＋12b ＋c<3.∵函数f (x )是奇函数，∴函数f (x )的定义域关于原点对称．又函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠－c b ， 则－c b ＝0，∴c ＝0，于是得f (x )＝ax b ＋1bx ，且a ＋1b ＝2，4a ＋12b <3，∴8b －32b <3，即0<b <32.又b ∈Z ，∴b ＝1，则a ＝1.a ＝1，b ＝1，c ＝0符合f (x )在(1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知f (x )＝x ＋1x.已知函数f (x )是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称性，可知f (x )在(－∞，－1)上单调递增；以下讨论f (x )在区间[－1,0)上的单调性．当－1≤x 1<x 2<0时，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2，显然x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1,1－1x 1x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴函数f (x )在[－1,0)上为减函数．综上所述，函数f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数．【难点突破】13．[解答] (1)令x ＝y ＝1，则f (1×1)＝f (1)＋f (1)，得f (1)＝0；再令x ＝y ＝－1，则f [(－1)·(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，得f (－1)＝0.对于条件f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )＋f (－1)，所以f (－x )＝f (x )．又函数f (x )的定义域关于原点对称，所以函数f (x )为偶函数．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则有x 2x 1>1.又∵当x >1时，f (x )>0，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0.又f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>f (x 1)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)∵f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，又f (2)＝1，∴f (4)＝2.又由(1)(2)知函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f (4)＝f (－4)＝2.(4)∵f (3x －2)＋f (x )＝f [x (3x －2)]，4＝2＋2＝f (4)＋f (4)＝f (16)，∴原不等式等价于f [x (3x －2)]≥f (16)．又函数f (x )为偶函数，且函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x (3x －2)|≥16，即x (3x －2)≥16或x (3x －2)≤－16，解得x ≤－2或x ≥83，∴不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－2或x ≥83.。