2017版中考数学总复习第一篇考点聚焦第二章方程与不等式自我测试
《第二章一元二次函数、方程和不等式》章节复习及单元检测试卷
《第二章一元二次函数、方程和不等式》章节复习及单元测试卷第二章一元二次函数、方程和不等式（知识梳理）1. 知识系统整合2. 规律方法收藏1．比较数(式)的大小依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．2．利用基本不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．4．解一元二次不等式的步骤当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；(3)由图象写出不等式的解集．特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解．5．一元二次不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题．(2)简化假设：精选问题中的关键变量．(3)列出关系式：建立变量间的不等关系式．(4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．3 学科思想培优一、常数代换法【典例1】已知正数x ，y 满足x +y ＝1，则1x +41+y 的最小值为（ ） A ．5 B ．143C ．92D ．2【答案】C【解析】∵x +y ＝1，所以，x +（1+y ）＝2， 则2(1x +41+y )=[x +(1+y)](1x +41+y )=4x1+y +1+y x+5≥2√4x 1+y ⋅1+y x+5=9，所以，1x +41+y ≥92，当且仅当{4x1+y=1+yx x +y =1，即当{x =23y =13时，等号成立，因此，1x +41+y 的最小值为92，故选：C ． 二、消元法【典例2】设x ，y ，z 为正实数，满足x ﹣2y +3z ＝0，则y 2xz 的最小值是 ． 【答案】3【解析】∵x ﹣2y +3z ＝0，∴y =x+3z 2，∴y 2xz =x 2+9z 2+6xz4xz≥6xz+6xz 4xz=3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．故答案为3． 三、配凑法1．从和或积为定值的角度入手配凑某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．【典例3】设x >0，y >0，x 2＋22y ＝1，求21y x 的最大值．【解析】∵x >0，y >0，x 2与22y 的和为定值，∴21y x +＝)1(22y x +＝42322122122222=++⋅≤+⋅y x y x ，当且仅当2122y x +=，即22,23==y x 时取等号，即21y x +的最大值为423.【典例4】已知x ，y ，z 为正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，求(x ＋y )(y ＋z )的最小值．【解析】由条件得x ＋y ＋z ＝xyz1，则(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝y (x ＋y ＋z )＋xz ＝y ·xyz 1＋xz ＝xz 1＋xz ≥2，当且仅当xz1＝xz ，即xz ＝1时取等号，故(x ＋y )(y ＋z )的最小值为2.【典例5】设a 1，a 2，a 3，…，a n 均为正实数，求证：1221322221a a a a a aa a nn n ++++- ≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .【解析】为了约去12+k k a a 中的分母，可考虑配上一项a k ＋1，于是有221a a＋a 2≥2a 1，322a a ＋a 3≥2a 2，…n n a a 21-＋a n ≥2a n －1，12a a n ＋a 1≥2a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取等号．以上不等式相加，化简，可得原不等式成立．2．从取等号的条件入手配凑在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑．【典例6】设a ，b ，c ＞0，a ＋b ＋c ＝1，求131313+++++c b a 的最大值．【解析】2332132132+=++≤+⋅a a a ，233132,233132+≤+⋅+≤+⋅c c b b . 以上三式相加，并利用a ＋b ＋c ＝1，得2(131313+++++c b a )≤6，故131313+++++c b a 的最大值为32.四、判别式法在“三个二次”问题中的应用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．1．求变量的取值范围【典例7】不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． ①若m 2－2m －3＝0，则m ＝－1或m ＝3.当m ＝－1时，不符合题意；当m ＝3时，符合题意．②若m 2－2m －3≠0，设y ＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立．则m 2－2m －3<0，Δ＝b 2－4ac ＝5m 2－14m －3<0，解得－51<m <3.故实数m 的取值范围是－51<m <3.2．求最值【典例8】已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＋ab ＝30，试求实数a ，b 为何值时，ab 取得最大值．【解析】构造关于a 的二次方程，应用“判别式法”． 设ab ＝y ， ①由已知得a ＋2b ＋y ＝30. ②由①②消去b ，整理得a 2＋(y －30)a ＋2y ＝0， ③对于③，由Δ＝(y －30)2－4×2y ≥0，即y 2－68y ＋900≥0，解得y ≤18或y ≥50，又y ＝ab ＜30，故舍去y ≥50，得y ≤18.把y ＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a 2－12a ＋36＝0，即a ＝6，从而b ＝3.故当a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值18.3．证明不等式【典例9】已知x ，y ∈R ，证明：2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．【解析】不等式可变形为y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5>0，将不等式左边看作关于y 的二次函数，令z ＝y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5，则关于y 的一元二次方程y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5＝0的根的判别式Δ＝4x 2－4(2x 2－4x ＋5)＝－4(x －2)2－4<0，即Δ<0.则对于二次函数z ＝y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5，其图象开口向上，且在x 轴上方，所以z >0恒成立，即2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．五、含变量的不等式恒成立问题【典例10】对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3恒成立，试求x 的取值范围．【解析】原不等式可化为x 2＋px －4x －p ＋3＞0， 令y ＝x 2＋px －4x －p ＋3 ＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)．题设得⎪⎩⎪⎨⎧=>+-+-=>+-)4(034)1(4)0(03422p x x x p x x 解得x ＞3或x ＜－1. 故x 的取值范围是x <－1或x >3.《第二章 一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷（一）基础测评卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{－1，0，1，2，3}，集合B ＝{x ∈Z|－2<x ≤2}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0，1}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，1}D ．{－1，1，2}【答案】B【解析】∵集合A ＝{－1，0，1，2，3}，集合B ＝{x ∈Z|－2<x ≤2}＝{－1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{－1，0，1，2}，故选B.2．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <B 或A >BD ．A >B【答案】B【解析】∵A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝043)2(22≥+-b b a ，∴A ≥B .3．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件．4．已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题綈p 是真命题 B ．命题p 是存在量词命题 C ．命题p 是全称量词命题D ．命题p 既不是全称量词命题也不是存在量词命题 【答案】C【解析】命题p ：实数的平方是非负数，是全称量词命题，且是真命题，故綈p 是假命题．5．不等式(x －1)2+x ≥0的解集是( ) A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1}【答案】C【解析】当x ＝－2时，0≥0成立；当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1.∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}． 6．下列选项中，使不等式x ＜x1＜x 2成立的x 的取值范围是( ) A ．{x |x ＜－1} B ．{x |－1＜x ＜0} C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}【答案】A【解析】法一：取x ＝－2，知符合x ＜x1＜x 2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B 、C 、D.法二：由题知，不等式等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-01012x x xx ，解得x ＜－1，选A.7．已知x >1，则122-+x x 的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2【答案】A【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0.∴13)1(2)1(122212222-+-+-=-++-=-+x x x x x x x x x ＝2322131+≥+-+-x x （当且仅当131-=-x x ，即13+=x 时等号成立） 8．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【答案】A【解析】 由题意：A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，则A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，故a ＋b ＝－3.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )<0 【答案】ABD【解析】由c <b <a 且ac <0，知a >0，c <0，而b 的取值不确定，当b ＝0时，C 不成立．根据不等式的性质可知A 、B 、D 均正确．10．若正实数a ，b 满足a +b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A ．ab 有最大值14 B ．√a +√b 有最大值√2 C ．3a−b ＞13 D ．2a +1b 有最小值92【答案】ABC【解析】对于选项A ：∵ab ≤（a+b 2）2=14（当且仅当a ＝b =12时取“＝“），故选项A 正确；对于选项B ：∵（√a +√b ）2＝a +b +2√ab ≤a +b +a +b ＝2，∴√a +√b ≤√2（当且仅当a ＝b =12时取“＝“），故选项B 正确；对于选项C ：∵正实数a ，b 满足a +b ＝1，∴a ﹣b ＝1﹣2b ＞﹣1，∴3a ﹣b ＞3﹣1=13，故选项C 正确；对于选项D ：∵a +b ＝1，∴2a +1b =（2a +1b ）（a +b ）＝3+2b a+ab ≥3+2√2（当且仅当{a +b =12b a =a b时取“＝“），故选项D 错误．故选：ABC ．11．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋3>0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是( )A ．不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集可以是{x |x >3}B ．不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集可以是RC ．不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集可以是∅D ．不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集可以是{x |－1<x <3} 【答案】ABD【解析】在A 中，依题意得a ＝0，得bx ＋3>0，当x >3时，b >－x3>－1.即当b >－1时，x >3可使bx ＋3>0成立，故A 正确；在B 中，取a ＝1，b ＝2，得x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2>0，解集为R ，故B 正确；在C 中，当x ＝0时，ax 2＋bx ＋3＝3>0，知其解集不为∅，当a <0，Δ>0，知其解集也不为∅，故C 错误；在D中，依题意得a <0，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-a ab 33131解得⎩⎨⎧=-=21b a ，符合题意，故D 正确．12．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0，下列结论正确的是( ) A ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是m ∈{m |m <1或m >9} B ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0} C ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1} D ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1} 【答案】BCD【解析】在A 中，由Δ＝(m －3)2－4m ≥0得m ≤1或m ≥9，故A 错误；在B 中，当x ＝0时，函数y ＝x 2＋(m －3)x ＋m 的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0}，故B 正确；在C 中，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥--=∆00304)3(2m m m m ，解得0<m ≤1，故C 正确；在D 中，由Δ＝(m －3)2－4m <0得1<m <9，又{m |1<m <9}⊆{m |m >1}，故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．命题“∀k >0，方程x 2＋x －k ＝0有实根”的否定为________________． 【答案】∃k >0，方程x 2＋x －k ＝0没有实根14．(一题两空)已知12<a <60，15<b ＜36，则a －b 的取值范围为________，ba的取值范围为________． 【答案】－24<a －b <45431<<ba【解析】由15<b <36得－36<－b <－15. 又因为12<a <60，所以－24<a －b <45. 由15<b <36得1511361<<b . 又因为12<a <60，所以431<<ba15．若正数a，b满足a+b＝1，则13a+2+13b+2的最小值为．【答案】47【解析】∵正数a，b满足a+b＝1，∴（3a+2）+（3b+2）＝7．∴13a+2+13b+2=17[(3a+2)+(3b+2)](13a+2+13b+2)=17(2+3b+23a+2+3a+23b+2)≥17(2+2√3b+23a+2⋅3a+23b+2)=47，当且仅当a＝b=12时取等号．∴13a+2+13b+2的最小值为47．16．若命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m＋2<0”为假命题，则m的取值范围是________．【答案】{m|－1≤m≤2}【解析】命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m＋2<0”为假命题，则命题“∀x∈R，使得x2＋2mx＋m＋2≥0”是真命题．故4m2－4(m＋2)≤0，解得－1≤m≤2.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2＋2x＋c的图象经过原点．(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)<0.【解析】(1)∵f(x)＝x2＋2x＋c的图象经过原点，∴f(0)＝0，即c＝0.从而f(x)＝x2＋2x.(2)f(x)<0即x2＋2x<0，x(x＋2)<0，解得－2<x<0，即不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0}．18．(本小题满分12分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，试比较代数式(px ＋qy)2与px2＋qy2的大小．【解析】(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p，所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.因为p ，q 都为正数，所以－pq (x －y )2≤0，因此(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2，当且仅当x ＝y 时等号成立． 19．(本小题满分12分)已知集合A ＝}122{<-x xx ，集合B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0}．(1)求集合A ，B ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)22,022122<<-<-+⇔<-x x x x x ，所以A ＝{x |－2<x <2}．x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0⇔(x －m )[x －(m ＋1)]<0⇔m <x <m ＋1，所以B ＝{x |m <x <m ＋1}．(2)B ⊆A ⇒⎩⎨⎧≤+-≥212m m ⇒－2≤m ≤1.故实数m 的取值范围为{m |－2≤m ≤1}．20．(本小题满分12分)已知二次函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣6． （1）当m ＝1时，解不等式f （x ）＞0；（2）若不等式f （x ）＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围．【解析】（1）当m ＝1时，不等式为x 2﹣x ﹣6＞0，即（x +2）（x ﹣3）＞0， 解得x ＜﹣2或x ＞3，所以不等式的解集为{x |x ＜﹣2或x ＞3}； （2）若不等式f （x ）＜0的解集为R ，则应满足{m ＜0△＜0，即{m ＜0m 2+24m ＜0，解得﹣24＜m ＜0；所以m 的取值范围是﹣24＜m ＜0．21．(本小题满分12分)已知a ＞0，b ＞0且1a +2b =1， （1）求ab 最小值； （2）求a +b 的最小值．【解析】（1）∵a ＞0，b ＞0且1a +2b =1， ∴1a +2b ≥2√1a ⋅2b =2√2ab ，则2√2ab ≤1，即ab≥8，当且仅当1a =2b时取等号，∴ab的最小值是8；（2）∵a＞0，b＞0且1a +2b=1，∴a+b＝（1a +2b）（a+b）＝3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+2√2，当且仅当ba =2ab时取等号，∴a+b的最小值是3+2√2．22．(本小题满分12分)某镇计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【解析】设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积为S m2，则ab＝800.所以S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)≤808－4ab2＝648，当且仅当a＝2b，即a＝40，b＝20时等号成立，则S最大值＝648.故当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.《第二章一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷（二）能力测评卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝( ) A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}【答案】B【解析】∵全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，∴∁U B＝{x|x≤1}，∴A ∩(∁U B)＝{x|0<x≤1}，故选B.2．四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．3．下列四个命题中的真命题为( )A．∃x∈Z，1<4x<3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2>0【答案】D【解析】选项A中，14<x<34且x∈Z，不成立；选项B中，x＝－15，与x∈Z矛盾；选项C中，x＝±1，与∀x∈R矛盾；选项D中，由Δ＝1－8＝－7<0可知D正确．4．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是( )A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}【答案】B【解析】方程(m－x)(n＋x)＝0的两个根为m，－n.因为m＋n>0，所以m>－n，结合二次函数y＝(m－x)·(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n<x<m}．故选B.5．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是( )A．{x|x<5a或x>－a} B．{x|x>5a或x<－a}C．{x|－a<x<5a} D．{x|5a<x<－a}【答案】A【解析】方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a ，5a .因为2a ＋1<0，所以a <－12，所以－a >5a .结合二次函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }，故选A.6．若－4<x <1，则22222-+-x x x ( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1【答案】D【解析】]11)1[(2122222-+-=-+-x x x x x 又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0.∴1])1(1)1([21-≤--+---x x ≤－1.当且仅当x －1＝11-x ，即x ＝0时等号成立．7．关于x 的方程11-=-x xx x 的解集为( ) A ．{0} B ．{x |x ≤0或x >1} C ．{x |0≤x <1} D ．{x |x ≠1}【答案】B【解析】由题意知，1-x x≥0，所以x ≤0或x >1， 所以方程11-=-x xx x 的解集为{x |x ≤0或x >1}． 8．设p ：0＜x ＜1，q ：（x ﹣a ）[x ﹣（a +2）]≤0，若p 是q 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，0]B ．（﹣1，0）C ．（﹣∞，0]∪[1+∞，）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，）【答案】A【解析】命题q ：：（x ﹣a ）[x ﹣（a +2）]≤0，即a ≤x ≤2+a ．由题意得，命题p 成立时，命题q 一定成立，但当命题q 成立时，命题p不一定成立．∴a ≤0，且2+a ≥1，解得﹣1≤a ≤0，故选：A ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1．已知b 克糖水中有a 克糖()0b a >>，若再添加m 克糖()0m >，则糖水变得更甜.对于0b a >>，0m >，下列不等式正确的有：( )A ．a a mb b m+<+ B ．a a mb b m ->- C ．a a bmb b am+<+ D ．a a bmb b am-<- 【答案】AC【解析】由题意可知，可以得到不等式，若0b a >>，0m >，则有a a mb b m+<+，因此选项A 是正确的；由该不等式反应的性质可得：a a am a bmb b am b am++<<++，因此选项C 是正确的；对于选项B ：假设a a mb b m->-成立，例如：当3,1,4b a m ===时，显然1143334->=-不成立，故选项B 不是正确的； 对于选项D ：假设a a bmb b am-<-成立，例如：当3,1,1b a m ===时，显然113113311-⨯<=--⨯不成立，故选项D 不是正确的.故选：AC 2．如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（ ）A ．11a b<B ．22ac bc <C ．11a b b a+<+ D ．22a ab b >>【答案】CD【解析】0,0,0,0a b b a a b ab <<∴->-<>A. 110b aa b ab--=>，故错误；B. ()222ac bc c a b -=-，当0c 时，220ac bc -=，故错误；C. ()11110a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确； D. 2()0a ab a a b -=->，2()0=->-b a b ab b ，故正确. 故选CD.11．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为)2,21(-，则下列结论正确的是( )A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a ＋b ＋c >0【答案】BCD【解析】因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为)2,21(-，故相应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a <0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－b a ＝32>0，又a <0，故b >0，c >0，故B 、C 正确；由二次函数的图象可知f (1)＝a ＋b ＋c >0，故D 正确．故选B 、C 、D.12．已知关于x 的不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b ，下列结论正确的是( ) A ．当a ＜b ＜1时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为∅ B ．当a ＝1，b ＝4时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |0≤x ≤4} C ．当a ＝2时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集可以为{x |c ≤x ≤d }的形式D ．不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好为{x |a ≤x ≤b }，那么b ＝34 【答案】AB 【解析】由43x 2－3x ＋4≤b 得3x 2－12x ＋16－4b ≤0，又b ＜1，所以Δ＝48(b －1)＜0.从而不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为∅，故A 正确；当a ＝1时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4就是x 2－4x ＋4≥0，解集为R ，当b ＝4时，不等式43x 2－3x ＋4≤b 就是x 2－4x ≤0，解集为{x |0≤x ≤4}，故B 正确；在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝43x 2－3x ＋4＝43(x －2)2＋1的图象及直线y ＝a 和y ＝b ，如图所示．由图知，当a ＝2时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |x A ≤x ≤x C }∪{x |x D ≤x ≤x B }的形式，故C 错误；由a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |a ≤x ≤b }， 知a ≤y min ，即a ≤1，因此当x ＝a ，x ＝b 时函数值都是b .由当x ＝b 时函数值是b ，得43b 2－3b ＋4＝b ，解得b ＝34或b ＝4.当b ＝34时，由43a 2－3a ＋4＝b ＝34，解得a ＝34或a ＝38，不满足a ≤1，不符合题意，故D 错误． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________． 【答案】∅【解析】原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅. 14．若不等式x 2－4x ＋m <0的解集为空集，则不等式x 2－(m ＋3)x ＋3m <0的解集是________．【答案】{x |3<x <m }【解析】由题意，知方程x 2－4x ＋m ＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m ≤0，解得m ≥4，又x 2－(m ＋3)x ＋3m <0等价于(x －3)(x －m )<0，所以3<x <m .15．若∃x >0，使得x1＋x －a ≤0，则实数a 的取值范围是________． 【答案】a ≥2【解析】∃x >0，使得x 1＋x －a ≤0，等价于a 大于等于x1＋x 的最小值， ∵x ＋x1≥2 x x 1⋅＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)，故a ≥2.16．(一题两空)某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：今制订计划欲使总产值最高，则A 类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．【答案】20 330【解析】设总产值为y 万元，应开发A 类电子器件x 件，则应开发B 类电子器件(50－x )件．根据题意，得2x ＋350x-≤20，解得x ≤20. 由题意，得y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.所以欲使总产值最高，A 类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤2a ＋3}，B ＝{x |－2≤x ≤4}，全集U ＝R.(1)当a ＝2时，求A ∪B 和(∁R A )∩B ； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝2时，A ＝{x |1≤x ≤7}，则A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}，∁R A ＝{x |x <1或x >7}，(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}．(2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .若A ＝∅，则a －1>2a ＋3，解得a <－4；若A ≠∅，由A ⊆B ，得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-43221321a a a a ，解得－1≤a ≤21综上，a 的取值范围是}2114{≤≤--<a a a 或.18．(本小题满分12分)）若正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，求： （1）3x +4y 的最小值； （2）求xy 的最小值．【解析】（1）正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，∴1y +3x =5． ∴3x +4y =15(3x +1y )（3x +4y ）=15（13+12y x+3x y≥15(13+3×2√4y x ⋅xy )=5，当且仅当x ＝1，y =12时取等号．∴3x +4y 的最小值为5．（2）∵正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，∴5xy ≥2√3xy ， 解得：xy ≥1225，当且仅当x ＝3y =65时取等号． ∴xy 的最小值为1225．19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0. 【解析】原不等式可化为()()780x a x a +-<，即078a a x x ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，①当78a a -<即0a >时，78a a x -<<； ②当78a a-=时，即0a =时，原不等式的解集为∅；③当78a a ->即0a <时，87a a x <<-，综上知：当0a >时，原不等式的解集为78a a x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a =时，原不等式的解集为∅；当0a <时，原不等式的解集为87a a x x ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭. 20．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c 【解析】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥3max{,,}4a b c .21．(本小题满分12分)已知命题：“∃x ∈{x |﹣1＜x ＜1}，使等式x 2﹣x ﹣m ＝0成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式（x ﹣a ）（x +a ﹣2）＜0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．【解析】（1）由x 2﹣x ﹣m ＝0可得m ＝x 2﹣x =(x −12)2−14 ∵﹣1＜x ＜1 ∴−14≤m ＜2M ＝{m |−14≤m ＜2}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N＝{x|2﹣a＜x＜a}，则{2−a＜−14a≥2a＞1即a＞94②当a＜2﹣a即a＜1时，N＝{x|a＜x＜2﹣a}，则{a＜1a＜−142−a≥2即a＜−14③当a＝2﹣a即a＝1时，N＝φ，此时不满足条件综上可得a＞94或a＜−1422．(本小题满分12分)某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x+1；g（x）={10x+1x+1(0≤x≤3)−x2+9x−12(3＜x≤5)．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．【解析】设投入B商品的资金为x万元（0≤x≤5），则投入A商品的资金为5﹣x万元，设收入为S（x）万元，①当0≤x≤3时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）=10x+1x+1，则S（x）＝6﹣x+10x+1x+1=17﹣[（x+1）+9x+1]≤17﹣2√(x+1)⋅9x+1=17﹣6＝11，当且仅当x+1=9x+1，解得x＝2时，取等号．②当3＜x≤5时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）＝﹣x2+9x﹣12，则S（x）＝6﹣x﹣x2+9x﹣12＝﹣（x﹣4）2+10≤10，此时x＝4．∵10＜11，∴最大收益为11万元，答：投入A商品的资金为3万元，投入B商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．《第二章一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷（三）提高测试卷1．若1a ≥1b＞0，有下列四个不等式：①a3＜b3；②loga+23＞log b+13；③√b−√a＜√b−a；④a3+b3＞2ab2．则下列组合中全部正确的为（）A．①②B．①③C．①④D．②③【答案】B【解析】根据1a ≥1b＞0，不妨取a＝2，b＝3，则②④不成立，故ACD不正确．故选：B．2．若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，﹣∞）C．（﹣∞，1] D．[1，﹣∞）【答案】A【解析】由基本不等式可得，若4x+4y＝1，有1＝4x+4y≥2√4x⋅4y=2√4x+y，即4x+y≤14=4﹣1，根据指数函数y＝4x是单调递增函数可得，x+y≤﹣1，故x+y的取值范围是（﹣∞，﹣1]，故选：A．3．若圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5关于直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）对称，则2a +1b的最小值为（）A．4 B．4√2C．9 D．9√2【答案】C【解析】由题意可知，圆心（2，1）在直线ax+by﹣1＝0，则2a+b＝1，又因为a＞0，b＞0，所以2a+1b=（2a+1b）（2a+b）＝5+2ba+2ab≥5+4＝9，当且仅当2ba=2ab且2a+b＝1即a=13，b=13时取等号，此时取得最小值9．故选：C．4．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．a+b 2≥√ab(a ＞b ＞0) B ．a 2+b 2≥2ab （a ＞b ＞0）C ．2aba+b ≤√ab(a ＞b ＞0) D ．a+b 2≤√a 2+b 22（a ＞b ＞0）【答案】D【解析】由图形可知：OF =12AB =12(a +b)，OC =12(a +b)−b =12(a −b)， 在Rt △OCF 中，由勾股定理可得：CF =√(a+b 2)2+(a−b 2)2=√12(a 2+b 2)，∵CF ≥OF ，∴√12(a 2+b 2)≥12(a +b)，（a ，b ＞0）．故选：D ．5．若0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝b b ，则x 、y 、z 的大小关系为（ ） A ．x ＜z ＜y B ．y ＜x ＜z C ．y ＜z ＜x D ．z ＜y ＜x【答案】A【解析】因为0＜a ＜b ＜1，故f （x ）＝b x 单调递减；故：y ＝b a ＞z ＝b b ，g （x ）＝x b 单调递增；故x ＝a b ＜z ＝b b ，则x 、y 、z 的大小关系为：x ＜z ＜y ；故选：A ． 6．已知区间（a ，b ）是关于x 的一元二次不等式mx 2﹣2x +1＜0的解集，则3a +2b 的最小值是（ ）A ．3+2√22 B ．5+2√6C ．52+√6D ．3【答案】C【解析】∵（a ，b ）是不等式mx 2﹣2x +1＜0的解集，∴a ，b 是方程mx 2﹣2x +1＝0的两个实数根且m ＞0，∴a +b =2m ，ab =1m ， ∴a+bab =1a +1b =2；且a ＞0，b ＞0； ∴3a +2b =12•（3a +2b ）•（1a +1b ）=12•（5+2b a+3ab）≥12（5+2√2b a ⋅3ab）=12（5+2√6）， 当且仅当√2b =√3a 时“＝”成立；∴3a +2b 的最小值为12（5+2√6）=52+√6．故选：C ． 7．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1，则（ ） A ．a 2+b 2≥12B ．2a ﹣b ＞12C ．log 2a +log 2b ≥﹣2D ．√a +√b ≤√2【答案】ABD【解析】①已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1，所以（a +b ）2≤2a 2+2b 2，则a 2+b 2≥12，故A 正确．②利用分析法：要证2a−b ＞12，只需证明a ﹣b ＞﹣1即可，即a ＞b ﹣1，由于a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1，所以：a ＞0，b ﹣1＜0，故B 正确．③log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=−2，故C 错误．④由于a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1，利用分析法：要证√a +√b ≤√2成立，只需对关系式进行平方，整理得a +b +2√ab ≤2，即2√ab ≤1，故√ab ≤12=a+b 2，当且仅当a ＝b =12时，等号成立．故D 正确．故选：ABD ．8．已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a +12b +8a+b 的最小值为 4 ． 【答案】4【解析】a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a +12b +8a+b =a+b2ab+8a+b =a+b 2+8a+b≥2√a+b 2⋅8a+b =4，当且仅当a+b 2=8a+b，即a ＝2+√3，b ＝2−√3或a ＝2−√3，b ＝2+√3 取等号，故答案为：49．已知5x 2y 2+y 4＝1（x ，y ∈R ），则x 2+y 2的最小值是 45 ． 【答案】45【解析】方法一、由5x 2y 2+y 4＝1，可得x 2=1−y 45y 2，由x 2≥0，可得y 2∈（0，1]， 则x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=1+4y 45y 2=15（4y 2+1y 2）≥15•2√4y 2⋅1y 2=45，当且仅当y 2=12，x 2=310，可得x 2+y 2的最小值为45； 方法二、4＝（5x 2+y 2）•4y 2≤（5x 2+y 2+4y 22）2=254（x 2+y 2）2，故x 2+y 2≥45， 当且仅当5x 2+y 2＝4y 2＝2，即y 2=12，x 2=310时取得等号，可得x 2+y 2的最小值为45．故答案为：45．10．设x ∈R ，使不等式3x 2+x ﹣2＜0成立的x 的取值范围为 （﹣1，23） ．【答案】（﹣1，23）【解析】3x 2+x ﹣2＜0，将3x 2+x ﹣2分解因式即有：（x +1）（3x ﹣2）＜0；（x +1）（x −23）＜0；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：﹣1＜x ＜23； 即：{x |﹣1＜x ＜23}；或（﹣1，23）；故答案为：（﹣1，23）； 11．设x ＞0，y ＞0，x +2y ＝4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 92 ．【答案】92【解析】x ＞0，y ＞0，x +2y ＝4， 则(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy ；x ＞0，y ＞0，x +2y ＝4，由基本不等式有：4＝x +2y ≥2√2xy ，∴0＜xy ≤2，5xy ≥52，故：2+5xy ≥2+52=92；（当且仅当x ＝2y ＝2时，即：x ＝2，y ＝1时，等号成立），故(x+1)(2y+1)xy 的最小值为92；故答案为：92．。
中考数学知识点复习 第二章 方程(组)与不等式(组)
中考数学知识点复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第5讲 一次方程(组)及其应用(时间60分钟 满分95分)一、选择题(本大题共8小题 ，每小题4分，共32分)1．(2017·杭州)设x ，y ，c 是实数，(B )A ．若x ＝y ，则x ＋c ＝y －cB ．若x ＝y ，则xc ＝ycC ．若x ＝y ，则x c ＝y cD ．若x 2c ＝y3c，则2x ＝3y 2．(2017·深圳)一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x 双，列出方程(D )A ．10%x ＝330B ．(1－10%)x ＝330C ．(1－10%)2x ＝330D ．(1＋10%)x ＝3303．若关于x 的方程2x －m ＝x －2的解为x ＝3，则m 的值为(B )A ．－5B ．5C ．－7D ．7 4．(2017·天津)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，3x ＋y ＝15的解是(D ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝8D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝65．设某数是x ，若比它的2倍大3的数是8，可列方程为(B )A ．2x －3＝8B ．2x ＋3＝8C.12x －3＝8D.12x ＋3＝8 6．(2017·随州)小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20支铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x 元，每本笔记本y 元，则可列方程组(B )A.⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ＝11010x ＋5y ＝85B.⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ＝11030x ＋5y ＝85C.⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋5y ＝11030x ＋10y ＝85D.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋20y ＝11010x ＋30y ＝85 7．已知方程|x |＝2，那么方程的解是(C )A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x ＝48．已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝3m －5，x －y ＝m －1，若x ＋y ＞3，则m 的取值范围是(D )A ．m ＞1B ．m ＜2C ．m ＞3D ．m ＞5二、填空题(本大题共7小题 ，每小题3分，共21分)9．(2017·金华)若a b ＝23，则a ＋b b ＝__53__． 10．(2017·南宁)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝5的解，则3a －b ＝__5__．11．我们规定一种运算：a *b ＝2a －3b ，则方程x *2＝3*x 的解为__x ＝125__． 12．(2017·宁夏)某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为__4__元．13．若(a －1)x 2－|a |－3＝0是关于x 的一元一次方程，则a 的值为__－1__．14．若x ，y 互为相反数，且(x ＋y ＋3)(x －y －2)＝6，则x ＝__2__．15．(2017·荆门)已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，则派派的年龄为__12__岁．三、解答题(本大题共6小题 ，共42分)16．(5分)(2017·武汉)解方程：4x －3＝2(x －1)．解：4x －3＝2(x －1)，4x －3 ＝2x －2，4x －2x ＝－2＋3，2x ＝1，x ＝12.17．(5分)解方程：6x ＋1＝3(x ＋1)＋4.解：去括号得：6x ＋1＝3x ＋3＋4，移项合并得：3x ＝6，解得：x ＝2.18．(6分)(2017·广州)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x ＋3y ＝11.解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5 ①，2x ＋3y ＝11 ②，①×3－②得：x ＝4，把x ＝4代入①得：y ＝1，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.19．(7分)已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝14，－3x ＋2y ＝21的解为x ＝a ，y ＝b ，求a ＋b 的值． 解：∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝14，－3x ＋2y ＝21，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12， ∴a ＝1，b ＝12，∴a ＋b ＝13.20．(9分)某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？解：该店有客房8间，房客63人．21．(10分)(2018·原创)一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？(3)若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．(可用(1)(2)问的条件及结论)解：(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元；(2)单独请甲组需要的费用：300×12＝3600元，单独请乙组需要的费用：24×140＝3360元，答：单独请乙组需要的费用少；(3)请两组同时装修，理由：甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12＝2400元，相当于损失6000元；乙单独做，需费用3360元，少赢利200×24＝4800元，相当于损失8160元；甲、乙合作，需费用3520元，少赢利200×8＝1600元，相当于损失5120元；∵5120＜6000＜8160，∴甲、乙合作损失费用最少．答：甲、乙合作施工更有利于商店．第6讲 一元二次方程(时间60分钟 满分95分)一、选择题(本大题共8小题 ，每小题4分，共32分)1．(2017·嘉兴)用配方法解方程x 2＋2x －1＝0时，配方结果正确的是(B )A ．(x ＋2)2＝2B ．(x ＋1)2＝2C ．(x ＋2)2＝3D ．(x ＋1)2＝32．(2017·广东)如果2是方程x 2－3x ＋k ＝0的一个根，则常数k 的值为(B )A ．1B ．2C ．－1D ．－23．(2017·苏州)关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为(A )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．(2017·绵阳)关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m 的值为(C )A ．－8B ．8C ．16D ．－165．(2017·江西)已知一元二次方程2x 2－5x ＋1＝0的两个根为x 1，x 2，下列结论正确的是(D )A ．x 1＋x 2＝－52B ．x 1·x 2＝1C ．x 1，x 2都是有理数D ．x 1，x 2都是正数6．某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图)，并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的12，设人行通道的宽度为x 千米，则下列方程正确的是(A )A ．(2－3x )(1－2x )＝1B.12(2－3x )(1－2x )＝1 C.14(2－3x )(1－2x )＝1 D.14(2－3x )(1－2x )＝2 7．下列关于x 的一元二次方程中，有两个相等实数根的是(D )A ．x 2＋1＝0B ．x 2＋x －1＝0C ．x 2＋2x －3＝0D ．4x 2－4x ＋1＝08．(2017·烟台)若x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1＝0的两个根，且x 1＋x 2＝1－x 1x 2，则m 的值为(D )A ．－1或2B ．1或－2C ．－2D ．1二、填空题(本大题共5小题 ，每小题3分，共15分)9．方程(x －2)2＝3x (x －2)的解为__x ＝2或x ＝－1__．10．(2017·大连)关于x 的方程x 2＋2x ＋c ＝0有两个不相等的实数根，则c 的取值范围为__c <1__．11．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__k ＞－1且k ≠0__．12．(2017·菏泽)关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋6x ＋k 2－k ＝0的一个根是0，则k 的值是__0__．13．(2017·成都)已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 12－x 22＝10，则a ＝__214__． 三、解答题(本大题共7小题 ，共48分)14．(5分)(2017·丽水)解方程：(x －3)(x －1)＝3.解：方程化为x 2－4x ＝0，x (x －4)＝0，∴x 1＝0，x 2＝4.15．(5分)解方程：3x 2＋5(2x ＋1)＝0.解：3x 2＋5(2x ＋1)＝0，整理得：3x 2＋10x ＋5＝0，∵a ＝3，b ＝10，c ＝5，∴b 2－4ac ＝100－60＝40>0，∴x ＝－10±2106＝－5±103， 则原方程的解为x 1＝－5＋103，x 2＝－5－103. 16．(5分)解方程：x 2－6x －4＝0.解：移项得x2－6x＝4，配方得x2－6x＋9＝4＋9，即(x－3)2＝13，开方得x－3＝±13，∴x1＝3＋13，x2＝3－13.17．(7分)(2017·玉林)已知关于x的一元二次方程：x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．(1)证明：在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，b2－4ac＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根；(2)解：设方程的两根分别为m、n，∵方程的两个根互为相反数，∴m＋n＝t－1＝0，解得t＝1.∴当t＝1时，方程的两个根互为相反数．18．(8分)(2017·绥化)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0.(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．解：(1)∵方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－4＝0有两个不相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝(2m ＋1)2－4(m 2－4)＝4m ＋17＞0， 解得m ＞－174.∴当m ＞－174时，方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为a 、b ，根据题意得：a ＋b ＝－2m －1，ab ＝m 2－4. ∵2a 、2b 为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(－2m －1)2－2(m 2－4)＝2m 2＋4m ＋9＝52＝25， 解得m ＝－4或m ＝2.∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＝－2m －1＞0， ∴m ＝－4.∴若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m 的值为－4.19．(9分 )新兴商场经营某种儿童益智玩具．已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？解：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．20．(9分)(2017·襄阳)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？解：(1)这两年该企业年利润平均增长率为20%；(2)该企业2017年的利润能超过3.4亿元．第7讲分式方程(时间50分钟满分80分)一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)1．(2017·哈尔滨)方程2x＋3＝1x－1的解为(C)A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝－52．解分式方程2x－1＋x＋21－x＝3时，去分母后变形正确的是(D)A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1)B ．2－x ＋2＝3(x －1)C ．2－(x ＋2)＝3D ．2－(x ＋2)＝3(x －1)3．(2017·成都)已知x ＝3是分式方程kxx －1－2k －1x ＝2的解，那么实数k 的值为(D )A ．－1B ．0C ．1D ．24．某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x 元，则可列出方程为(B )A.420x －420x －0.5＝20B.420x －0.5－420x ＝20C.420x －420x －20＝0.5D.420x －20－420x ＝0.55．(2017·聊城)如果解关于x 的分式方程mx －2－2x 2－x＝1时出现增根，那么m 的值为(D )A ．－2B ．2C ．4D ．－4 6．(2016·十堰)用换元法解方程x 2－12x－4xx 2－12＝3时，设x 2－12x＝y ，则原方程可化为(B )A ．y －1y －3＝0B ．y －4y－3＝0C ．y －1y ＋3＝0D ．y －4y＋3＝07．(2017·龙东地区)若关于x 的分式方程2x －a x －2＝12的解为非负数，则a 的取值范围是(C )A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥1且a ≠4D ．a ＞1且a ≠4二、填空题(本大题共4小题 ，每小题3分，共12分) 8．(2017·南京)方程2x ＋2－1x ＝0的解是__x ＝2__.9．(2017·泸州)若关于x 的分式方程x ＋mx －2＋2m2－x＝3的解为正实数，则实数m 的取值范围是__m ＜6且m ≠2__.10．(2017·温州)甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x 米，根据题意可列出方程：__160x ＝200x ＋5__．11．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小琼步行12000步与小博步行9000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小博多10步，则小博每消耗1千卡能量需要行走__30__步．三、解答题(本大题共6小题 ，共40分) 12．(5分)解方程：x －3x －2＋1＝32－x.解：方程两边同乘以(x －2)， 得：x －3＋(x －2)＝－3， 解得x ＝1，检验：x ＝1时，x －2≠0， ∴x ＝1是原分式方程的解．13．(5分)(2017·宁夏)解方程：x ＋3x －3－4x ＋3＝1.解：去分母得(x ＋3)2－4(x －3)＝(x －3)(x ＋3)， 去括号得x 2＋6x ＋9－4x ＋12＝x 2－9， 合并同类项得2x ＝－30， 系数化为1得x ＝－15， 当x ＝－15时，(x －3)(x ＋3)≠0， ∴原分式方程的解为x ＝－15.14．(5分)(2017·上海)解方程：3x 2－3x －1x －3＝1.解：方程两边同乘x (x －3)得3－x ＝x 2－3x ， ∴x 2－2x －3＝0， ∴(x －3)(x ＋1)＝0， 解得x ＝3或x ＝－1， 经检验x ＝3是原方程的增根， ∴原方程的解为x ＝－1.15．(7分)(2017·广州)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的43倍，甲队比乙队多筑路20天．(1)求乙队筑路的总公里数；(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5∶8，求乙队平均每天筑路多少公里． 解：(1)60×43＝80(公里)．答：乙队筑路的总公里数为80公里；(2)设乙队平均每天筑路8x 公里，则甲队平均每天筑路5x 公里， 根据题意得：605x －808x ＝20，解得：x ＝0.1，经检验，x ＝0.1是原方程的解， ∴8x ＝8×0.1＝0.8.答：乙队平均每天筑路0.8公里.16．(8分)(2017·通化)一汽车从甲地出发开往相距240 km 的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24 min 到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．解：汽车出发后第1小时内的行驶速度是80千米/小时．17．(10分)某公司计划对面积为1800 m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成的绿化面积是乙队每天能完成的绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天时间．(1)求甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积；(2)若公司每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，付给乙队的绿化费用为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，则至少应安排甲队工作多少天？解：(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m2、50 m2；(2)至少应安排甲队工作10天．第8讲不等式(组)及其应用(时间60分钟满分100分)A卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1．(2017·杭州)若x＋5＞0，则(D)A．x＋1＜0 B．x－1＜0C.x5<－1 D．－2x＜122．一元一次不等式x＋1≥2的解在数轴上表示为(A)3．(2017·株洲)已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的为(D) A．a＞b B．a＋2＞b＋2C．－a＜－b D．2a＞3b4．(2017·西宁)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1<3，x ≤1的解集在数轴上表示正确的是(B )5．(2017·齐齐哈尔)为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买(A )A ．16个B ．17个C ．33个D ．34个6．(2017·恩施州)关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －m <0，3x －1>2（x －1）无解，那么m 的取值范围为(A )A ．m ≤－1B ．m ＜－1C ．－1＜m ≤0D ．－1≤m ＜07．(2017·大庆)若实数3是不等式2x －a －2＜0的一个解，则a 可取的最小正整数为(D )A ．2B ．3C ．4D ．58．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋2）>2x ＋5，x －12≤x 3的最小整数解是(B )A ．－1B ．0C ．1D ．29．已知x ＞y ，若对任意实数a ，以下结论：甲：ax ＞ay ；乙：a 2－x ＞a 2－y ；丙：a 2＋x ≤a 2＋y ；丁：a 2x ≥a 2y .其中正确的是(D )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．(2017·金华)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>3（x －2），x <m 的解是x ＜5，则m 的取值范围是(A )A ．m ≥5B ．m ＞5C ．m ≤5D ．m ＜5二、填空题(本大题共7小题 ，每小题3分，共21分) 11．(2016·陕西)不等式－12x ＋3<0的解集是__x >6__.12．(2017·哈尔滨)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－2x ≤1，x －3<0的解集是__2≤x ＜3__.13．已知关于x 的不等式(1－a )x ＞3的解集为x ＜31－a ，则a 的取值范围是__a >1__．14．(2017·台州)商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为__10__元/千克．15．(2017·烟台)运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是__x <8__．16．(2017·宜宾)若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2m ＋1x ＋3y ＝3的解满足x ＋y ＞0，则m 的取值范围是__m ＞－2__．17．定义一种法则“⊕”如下：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >b ），b （a ≤b ），例如：1⊕2＝2，若(－2m －5)⊕3＝3，则m 的取值范围是__m ≥－4__．三、解答题(本大题共3小题，共19分)18．(6分)(2017·北京)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）>5x －7，x ＋103>2x .解：⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）>5x －7①，x ＋103>2x ②，由①式得x <3，由②式得x <2， ∴不等式组的解集是x <2.19．(6分)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，3（x －1）＋2≥2x ，并判断－1，3这两个数是否为该不等式组的解．解：解不等式x ＋2＞0，得x ＞－2， 解不等式3(x －1)＋2≥2x ，得x ≥1， ∴不等式组的解集为x ≥1， ∵－1＜1，3＞1，∴3是该不等式组的解．20．(7分)(2017·常州)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．(1)求每个篮球和每个足球的售价；(2)如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？解：(1)每个篮球和每个足球的售价分别为100元，120元； (2)最多可购买25个足球．B 卷1．(3分)(2017·百色)关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，2x ＋3a >0的解集中至少有5个整数解，则正数a 的最小值是(B )A ．3B ．2C ．1 D.232．(3分)已知，关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a >0，2－x >0的整数解共有两个，那么a 的取值范围是__－1≤a ＜0__．3．(5分)(2017·天津)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥2 ①，5x ≤4x ＋3②，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__x ≥1__； (2)解不等式②，得__x ≤3__；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为__1≤x≤3__．解：(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：4．(9分)(2017·聊城)在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中，A 乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元；B乡镇中学更新学生用电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元．(1)求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元？(2)经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的15少90台，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？解：(1)该型号的学生用电脑的单价为0.19万元，教师用笔记本电脑的单价为0.3万元； (2)设能购进的学生用电脑m 台，则能购进的教师用笔记本电脑为(15m －90)台，依题意得：0.19m ＋0.3×(15m －90)≤438，解得m ≤1860.∴15m －90＝15×1860－90＝282(台)． 答：至多能购进的学生用电脑1860台，教师用笔记本电脑为282台．第二章 方程(组)与不等式(组)自我测试(时间60分钟 满分105分)一、选择题(本大题共10小题 ，每小题4分，共40分) 1．(2017·常州)若3x ＞－3y ，则下列不等式中一定成立的是(A ) A ．x ＋y ＞0 B ．x －y ＞0 C ．x ＋y ＜0 D ．x －y ＜02．(2017·安徽)不等式4－2x ＞0的解集在数轴上表示为(D )3．(2017·泰安)一元二次方程x 2－6x －6＝0配方后化为(A ) A ．(x －3)2＝15 B ．(x －3)2＝3 C ．(x ＋3)2＝15 D ．(x ＋3)2＝34．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，13（x －2）<x ＋1的解集在数轴上表示正确的是(A )5．(2017·岳阳)解分式方程2x －1－2xx －1＝1，可知方程的解为(D )A ．x ＝1B ．x ＝3C ．x ＝12D ．无解6．(2017·宜宾)一元二次方程4x 2－2x ＋14＝0的根的情况是(B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断7．(2017·安徽)一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x ，则x 满足(D )A ．16(1＋2x )＝25B ．25(1－2x )＝16C ．16(1＋x )2＝25D ．25(1－x )2＝168．(2017·内江)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋7≥2，2x －9<1的非负整数解的个数是(B )A ．4B ．5C ．6D ．79．(2017·娄底)“珍爱生命，拒绝毒品”，学校举行的2017年禁毒知识竞赛共有60道题，曾浩同学答对了x 道题，答错了y 道题(不答视为答错)，且答对题数比答错题数的7倍还多4道，那么下面列出的方程组中正确的是(A )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝60x －7y ＝4B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝60y －7x ＝4C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60－y x ＝7y －4D.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝60－x y ＝7x －4 10．(2017·凉山州)若关于x 的方程x 2＋2x －3＝0与2x ＋3＝1x －a有一个解相同，则a的值为(B )A ．0B ．－1C ．2D ．－3二、填空题(本大题共7小题 ，每小题3分，共21分) 11．方程(2a －1)x 2＋3x ＋1＝4是一元一次方程，则a ＝__12__．12．(2017·襄阳)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>x ＋1，x ＋8≥4x －1的解集为__2＜x ≤3__．13．(2017·乌鲁木齐)一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价是__100__元．(导学号 35694137)14．(2017·枣庄)已知关于x 的一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是__a ＞－1且a ≠0__．15．(2017·包头)若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －ay ＝5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b ，y ＝1，则a b 的值为__1__．16．(2017·北京)某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为__⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝34x ＋5y ＝435__．17．(2017·西宁)若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋3x －5＝0的两个根，则x 12x 2＋x 1x 22的值是__15__.三、解答题(本大题共6小题，共44分)18．(6分)(2017·广州)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x ＋3y ＝11.解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5 ①，2x ＋3y ＝11 ②，①×3－②得x ＝4，把x ＝4代入①得y ＝1，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.19．(6分)解方程1－x x －2＋1＝x2x －4.解：方程两边同乘以2(x －2)，得：2(1－x )＋2x －4＝x ， 解得x ＝－2，把x ＝－2代入原分式方程中，方程两边相等， 经检验x ＝－2是分式方程的解．20．(7分)(2017·长沙)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ≥－9－x5x －1>3（x ＋1），并把它的解集在数轴上表示出来．解：解不等式2x≥－9－x，得x≥－3，解不等式5x－1＞3(x＋1)，得x＞2，则不等式组的解集为x＞2，将解集表示在数轴上如解图．21．(7分)(2017·广东)学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．22．(9分)(2017·日照)某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．(1)问实际每年绿化面积多少万平方米？(2)为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？解：(1)实际每年绿化面积为54万平方米；(2)实际平均每年绿化面积至少还要增加45万平方米．23．(9分)(2017·宁波)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？解：(1)甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价为600元；(2)至少销售甲种商品2万件．第31 页共31 页。
浙江新中考2017年中考数学总复习第二章方程(组)与不等式(组)综合测试课件
x＞ 2， 4．已知不等式组 的解中共有 5 个整数，则 a x＜ a
的取值范围为 ( A． 7＜ a≤ 8 C． 7≤ a＜ 8
2
－ 1，即 b2－ 4ac＜ 0，∴方程没有实数根．故选 C． 【答案】 C
6．某运行程序如图所示，规定：从 “输入一个值 x”到 “结果是否＞ 95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三 次才停止，那么 x 的取值范围是 ( )
A． x≥ 11 C． 11＜ x≤ 23
B． 11≤ x＜ 23 D． x≤ 23
5.4 8.4
4.8 7.6
请解答下列问题： (1)第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共 300 kg，用去了 1 520 元钱，这两种蔬菜当天全部售完后一 共能赚多少元钱？
解： 设批发西红柿 x kg，西兰花 y kg，由题意，得
x＋ y＝ 300， x＝ 200， 解得 3.6x＋ 8y＝ 1 520， y＝ 100.
解在数轴上表示出来．
解：
1 由①得 ， x≤ . 由②得， x＞ － 1.∴不 等式组的解是 2 1 － 1＜ x≤ . 把不等式组的解表示在数轴上如图所示． 2
17． (7 分 )(2016· 温州外国语中学调研 )若关于 x，y 的
2x＋ y＝－ 3m＋ 2， 二元一次方程组 的解满足 x ＋ y＞ x＋ 2y＝ 4
x＋ y＝ 100， 故选 C． 1 3x＋ y＝ 100. 3
【答案】 C
10． 对于两个不相等的实数 a， b， 我们规定符号 Max{a， b}表示 a， b 中的较大值，如 Max{2， 4}＝ 4，按照这个规 2x＋ 1 定，方程 Max{x，－ x}＝ 的解为( x A． x＝ 1－ 2 B． x＝ 2－ 2 C． x＝ 1＋ 2或 1－ 2 D． x＝ 1＋ 2或－ 1 )
中考数学总复习 第二章 方程与不等式综合测试题(含答案)
方程与不等式一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程中，解为x ＝2的方程是(B )A. 3x －2＝3B. －x ＋6＝2xC. 4－2(x －1)＝1D. 3x ＋1＝02．下列各项中，是二元一次方程的是(B )A. y ＋12x B. x ＋y 3－2y ＝0 C. x ＝2y ＋1 D. x 2＋y ＝03．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝5，x ＋3y ＝5，则x ＋y 的值为(D ) A. －1B. 0C. 2D. 3 4．分式方程 x x －2－1x＝0的根是(D ) A. x ＝1 B. x ＝－1C. x ＝2D. x ＝－2 5．分式方程x 2x －1＋x1－x ＝0的解为(C ) A. x ＝1 B. x ＝－1C. x ＝0D. x ＝0或x ＝16．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15 min.他骑自行车的平均速度是250 m/min ，步行的平均速度是80 m/min.他家离学校的距离是2900 m ．如果他骑车和步行的时间分别为x (min)，y (min)，列出的方程是(D )A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝14，250x ＋80y ＝2900B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝15，80x ＋250y ＝2900C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝14，80x ＋250y ＝2900D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝15，250x ＋80y ＝2900 7．若不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a －1>0，2x －a －1<0的解集为0＜x ＜1，则a 的值为(A ) A. 1B. 2C. 3D. 4 8．以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1的解为坐标的点(x ，y )在平面直角坐标系中的位置是(A ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三角限D. 第四象限解：解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.5，y ＝0.5.∴点(1.5，0.5)在第一象限． 9．关于x 的分式方程a x ＋3＝1，下列说法正确的是(B )A. 方程的解是x ＝a －3B. 当a ＞3时，方程的解是正数C. 当a ＜3时，方程的解为负数D. 以上答案都正确 10．小华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x ＋1x(x ＞0)的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x ，矩形的周长是2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ；当矩形成为正方形时，就有x ＝1x(0＞0)，解得x ＝1，这时矩形的周长2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝4最小，因此x ＋1x(x ＞0)的最小值是2.模仿小华的推导，你求得式子x 2＋9x(x ＞0)的最小值是(C )(第10题图)A. 2B. 1C. 6D. 10解：∵x ＞0，∴x 2＋9x ＝x ＋9x ≥2x ·9x ＝6， 则原式的最小值为6.二、填空题(每小题4分，共24分)11．已知关于x 的一元二次方程x 2－23x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为__3__．12．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有__22__只，兔有__11__只．13．如图，将一条长为60 cm 的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1∶2∶3，则折痕对应的刻度有__4__种可能．(第13题图)14．已知a ＝6，且(5tan 45°－b )2＋2b －5－c ＝0，以a ，b ，c 为边组成的三角形面积等于__12__．15．若分式3x ＋5x －1无意义，当53m －2x －12m －x ＝0时，m ＝__37__． 16．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套．三、解答题(本题有8小题，共66分)17．(本题8分)解下列方程(组)．(1)解方程：x x ＋1－4x 2－1＝1. 解：去分母，得x (x －1)－4＝x 2－1.去括号，得x 2－x －4＝x 2－1.解得x ＝－3.经检验，x ＝－3是分式方程的解．(2)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3，x 2－y 3＝1.解：方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3，①3x －2y ＝6.② ②－①，得3y ＝3，∴y ＝1.将y ＝1代入①，得x ＝83. ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝1.18．(本题6分)解方程：16x －2＝12－21－3x . 设13x －1＝y ，则原方程化为12y ＝12＋2y ，解方程求得y 的值，再代入13x －1＝y 求值即可．结果需检验．请按此思路完成解答． 解：设13x －1＝y ，则原方程化为12y ＝12＋2y ， 解得y ＝－13.当y ＝－13时，有13x －1＝－13，解得x ＝－23. 经检验，x ＝－23是原方程的根． ∴原方程的根是x ＝－23. 19．(本题8分)设m 是满足1≤m ≤50的正整数，关于x 的二次方程(x －2)2＋(a －m )2＝2mx＋a 2－2am 的两根都是正整数，求m 的值．解：将方程整理，得x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＋4＝0，∴x ＝2（m ＋2）±4m 2＝2＋m ±2m . ∵x ，m 均是正整数且1≤m ≤50，2＋m ±2m ＝(m ±1)2＋1＞0，∴m 为完全平方数即可，∴m ＝1，4，9，16，25，36，49.20．(本题8分)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－5都是关于x ，y 的方程y ＝kx ＋b 的解． (1)求k ，b 的值．(2)若不等式3＋2x ＞m ＋3x 的最大整数解是k ，求m 的取值范围．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－5代入y ＝kx ＋b ，得∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，－2k ＋b ＝－5 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1.∴k 的值是2，b 的值是－1.(2)∵3＋2x ＞m ＋3x ，∴x ＜3－m .∵不等式3＋2x ＞m ＋3x 的最大整数解是k ＝2，∴2<3－m ≤3，∴0≤m <1，即m 的取值范围是0≤m <1.21．(本题8分)解方程：|x －1|＋|x ＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或－2的左边，若x 对应点在1的右边，由图可以看出x ＝2；同理，若x 对应点在－2的左边，可得x ＝－3，故原方程的解是x ＝2或x ＝－3.(第21题图)参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x ＋3|＝4的解为x ＝1或x ＝－7．(2)解不等式|x －3|＋|x ＋4|≥9.(3)若|x －3|－|x ＋4|≤a 对任意的x 都成立，求a 的取值范围．解：(1)x ＝1或x ＝－7.(2)∵3和－4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点在3与－4的两侧．当x 在3的右边时，如解图，易知x ≥4.当x 在－4的左边时，如解图，易知x ≤－5.∴原不等式的解为x ≥4或x ≤－5.(第21题图解)(3)原问题转化为： a 大于或等于|x －3|－|x ＋4|的最大值．当x ≥3时，|x －3|－|x ＋4|＝－7≤0；当－4<x <3时，|x －3|－|x ＋4|＝－2x －1随x 的增大而减小；当x ≤－4时，|x －3|－|x ＋4|＝7，即|x －3|－|x ＋4|的最大值为7.故a ≥7.22．(本题8分)如图，长青化工厂与A ，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B 地．已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求：(第22题图)(1)该工厂从A 地购买了多少吨原料？制成运往B 地的产品多少吨？(2)这批产品的销售额比原料费与运输费的和多多少元？解：(1)设工厂从A 地购买了x (t)原料，制成运往B 地的产品y (t)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1.5（10x ＋20y ）＝15000，1.2（120x ＋110y ）＝97200.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝400，y ＝300. 答：工厂从A 地购买了400 t 原料，制成运往B 地的产品为300 t.(2)300×8000－400×1000－15000－97200＝1887800(元)．答：这批产品的销售额比原料费与运输费的和多1887800元．23．(本题10分)兴发服装店老板用4500元购进一批某款T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．(1)第一批该款式T 恤衫每件进价是多少元？(2)老板以每件120元的价格销售该款式T 恤衫，当第二批T 恤衫售出 45时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元(利润＝售价－进价)?解：(1)设第一批T 恤衫每件进价是x 元，由题意，得4500x ＝4950x ＋9， 解得x ＝90.经检验，x ＝90是分式方程的解且符合题意．答：第一批T 恤衫每件的进价是90元．(2)设剩余的T 恤衫每件售价y 元．由(1)知，第二批购进495099＝50(件)． 由题意，得120×50×45＋y ×50×15－4950≥650， 解得y ≥80.答：剩余的T 恤衫每件售价至少要80元．24．(本题10分)2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，桥梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．(1)求甲、乙两种货车每辆车各可装多少件帐蓬．(2)如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种货车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其他装满，求甲、乙两种货车各有多少辆．解：(1)设甲种货车每辆车可装x 件帐蓬，则乙种货车每辆车可装(x －20)件帐蓬．由题意，得1000x ＝800x -20，解得x ＝100. 经检验，x ＝100是原方程组的解且符合题意．∴x －20＝100－20＝80.答：甲种货车每辆车可装100件帐蓬，乙种货车每辆车可装80件帐蓬．(2)设甲种货车有z 辆，乙种货车有(16－z )辆．由题意，得100z ＋80(16－z －1)＋50＝1490，解得z ＝12，∴16－z ＝16－12＝4.答：甲种货车有12辆，乙种货车有4辆．。
聚焦中考陕西地区2017年中考数学总复习第二章方程与不等式自我测试
第二章自我测试 方程与不等式一、选择题1．若m ＞n ，下列不等式不一定成立的是( D )A ．m ＋2＞n ＋2B ．2m ＞2nC.m 2＞n 2D ．m 2＞n 22．下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是( D )A ．5B ．4C ．3D ．23．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1是二元一次方程组的解，则这个方程组是( C ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝5，2x ＋y ＝5 B.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y －2x ＝5 C.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，x ＋y ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，x ＝3y ＋1 4．(2016·长沙)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥5，8－4x ＜0的解集在数轴上表示为( C )5．(2016·新疆)一元二次方程x 2－6x －5＝0配方可变形为( A )A ．(x －3)2＝14B ．(x －3)2＝4C ．(x ＋3)2＝14D ．(x ＋3)2＝4 6．(2016·乐山)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，2x －1≤0的所有整数解是( A ) A ．－1，0 B ．－2，－1C ．0，1D ．－2，－1，07．(2016·绵阳)若关于x 的方程x 2－2x ＋c ＝0有一根为－1，则方程的另一根为( D )A ．－1B ．－3C ．1D ．38.(2016·河北)在求3x 的倒数的值时，嘉淇同学误将3x 看成了8x ，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是( B )A.13x ＝18x －5 B.13x ＝18x ＋5 C.13x ＝8x －5 D.13x＝8x ＋59．已知关于x 的分式方程x ＋k x ＋1－k x －1＝1的解为负数，则k 的取值范围是( B ) A ．k ＞12或k ≠1 B ．k ＞12且k ≠1 C ．k ＜12且k ≠1 D ．k ＜12或k ≠1 10.(导学号 30042146)△ABC 的一边长为5，另两边分别是方程x 2－6x ＋m ＝0的两根，则m 的取值范围是( B )A ．m ＞114 B.114＜m ≤9 C.114≤m ≤9 D ．m ≤114点拨：设三角形另两边分别为a ，b (a≥b )，根据题意得Δ＝(－6)2－4m≥0，解得m≤9，a ＋b ＝6，ab ＝m ，∵a ＜b ＋5，即a －b ＜5，∴(a －b )2＜25，∴(a ＋b )2－4ab ＜25，即36－4m ＜25，∴m ＞114，∴m 的取值范围是114＜m≤9.故选B 二、填空题11．(2016·鄂州)方程x 2－3＝0的根是．12．(2016·黑龙江)一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是__180__元．13.某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对__12__道题，成绩才能在60分以上．14．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7是方程kx －2y －1＝0的解，则k 的值为__3__． 15.(导学号 30042147)关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＞0，1－x ＞0的整数解共有3个，则a 的取值范围是__－3≤a ＜－2__．三、解答题16．(2016·台州)解方程：x x －7－17－x＝2. 解：x ＝15，经检验x ＝15是分式方程的解17．(2016·新疆)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，①x －3y ＝8.② 解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－118.解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6＞1－x ，3（x －1）≤x＋5，并把解集在数轴上表示出来． 解：解集为－1＜x ≤4，数轴略19．如图，某农场有一块长40 m ，宽32 m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m 2，求小路的宽．解：设小路的宽为x m ，依题意有(40－x )(32－x )＝1140，整理，得x 2－72x ＋140＝0.解得x 1＝2，x 2＝70(不合题意，舍去)．答：小路的宽应是2 m20.(导学号 30042148)某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个排球和篮球(每个排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同)．经洽谈，购买1个排球和2个篮球共需210元；购买2个排球和3个篮球共需340元．(1)每个排球和每个篮球的价格各是多少元？(2)该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？解：(1)设每个排球的价格是x 元，每个篮球的价格是y 元．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝210，2x ＋3y ＝340，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝80，所以每个排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元 (2)设购买排球z 个，则购买篮球(50－z )个．根据题意得50z ＋80(50－z )≤3200，解得z≥2623，又∵排球的个数少于30个，∴排球的个数可以为27，28，29，∵排球比较便宜，则购买排球越多，总费用越低，∴当购买排球29个，篮球21个时，费用最低．最低费用为29×50＋21×80＝1450＋1680＝3130(元)。
安徽省2017年中考数学总复习 第一轮 中考考点系统复习 第二单元 方程与不等式 第5讲 一次方程(组)试题
第二单元 方程与不等式1．(2016·大连)方程2x ＋3＝7的解是( D )A ．x ＝5B ．x ＝4C ．x ＝3.5D ．x ＝22．(2014·泸州)若x ＝2是关于x 的方程2x ＋3m －1＝0的解，则m 的值为( A )A ．－1B ．0C ．1 D.133．(2015·河北)利用消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－10，①5x －3y ＝6，② 下列做法正确的是( D ) A ．要消去y ，可以将①×5＋②×2B ．要消去x ，可以将①×3＋②×(－5)C ．要消去y ，可以将①×5＋②×3D ．要消去x ，可以将①×(－5)＋②×24．(2016·芜湖一模)若x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝7，3x ＋y ＝5， 则x －y 的值等于( A ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．35．(2016·温州)已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x ，乙数为y ，根据题意，列方程组正确的是( A )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x ＝2yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7y ＝2xC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7x ＝2yD.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7y ＝2x 6．(2016·毕节)已知关于x ，y 的方程x 2m －n －2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为( A )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝－43D ．m ＝－13，n ＝437．(2016·哈尔滨)某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1 000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x 名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是( C )A ．2×1 000(26－x)＝800xB ．1 000(13－x)＝800xC ．1 000(26－x)＝2·800xD ．1 000(26－x)＝800x8．(2016·龙东)为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5 m 长的彩绳截成2 m 或1 m 长的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法( C )A ．1B ．2C ．3D ．49．(2016·温州)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，3x －2y ＝7的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1． 10．(2016·龙东)一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是180元．11．(2016·襄阳)王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋，分给朋友们品尝．如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋，那么王经理带回孔明菜33袋．12．(2016·贺州)解方程：x 6－30－x 4＝5. 解：去分母，得2x －3(30－x)＝60.去括号，得2x －90＋3x ＝60.移项、合并同类项，得5x ＝150.13．(2016·江西)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，①x －y ＝y ＋1.② 解：把①代入②，得2＝y ＋1.解得y ＝1.把y ＝1代入①，得x ＝3.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.14．一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成．现在两队合作3天，余下的由乙单独完成．问开始到完工共用了多少天时间？解：设余下的由乙单独完成用了x 天，由题意，得(110＋130)×3＋130x ＝1. 解得x ＝18.18＋3＝21.答：开始到完工共用了21天时间．15．(2016·邵阳)为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A 品牌的足球和3个B 品牌的足球共需380元；购买4个A 品牌的足球和2个B 品牌的足球共需360元．(1)求A ，B 两种品牌的足球的单价；(2)求该校购买20个A 品牌的足球和2个B 品牌的足球的总费用．解：(1)设A 品牌的足球的单价为x 元，B 品牌的足球的单价为y 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝380，4x ＋2y ＝360. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝100. 答：A ，B 两种品牌的足球的单价分别为40元，100元．(2)20×40＋2×100＝1 000(元)．答：该校购买20个A 品牌的足球和2个B 品牌的足球的总费用是1 000元．16．若－2a m b 4与5a n ＋2b 2m ＋n 可以合并成一项，则m n 的值是( D )A ．2B ．0C ．－1D ．117．(2015·南充)已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝k ，x ＋2y ＝－1的解互为相反数，则k 的值是－1． 18．A ，B 两地相距25千米，甲、乙两人同时从A 地去B 地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到达B 地停留40分钟，然后从B 地返回A 地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3小时，问甲、乙两人的速度各是多少？解：设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为3x 千米/时．依题意得(3－4060)×3x＋3x ＝25×2.解得x ＝5.答：甲的速度为15千米/时，乙的速度为5千米/时．19．(2016·阜阳二模)如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2 016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，求能连续搭建正三角形的个数．解：设连续搭建正三角形x 个，连续搭建正六边形y 个．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＋5y ＋1＝2 016，x －y ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝292，y ＝286. 答：能连续搭建正三角形292个．。
【山西省】2017版中考数学总复习：第2章《方程》自我测试
第二章 方程(组)与不等式(组)自我测试一、选择题1．(2016·株洲)在解方程x －13＋x ＝3x ＋12时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是( ) A ．2x －1＋6x ＝3(3x ＋1)B ．2(x －1)＋6x ＝3(3x ＋1)C ．2(x －1)＋x ＝3(3x ＋1)D ．(x －1)＋x ＝3(x ＋1)(导学号 02052152)2．(2016·包头)若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( )A ．－52B .12C ．－52或12D ．1 3．(2016·临夏州)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( )A .800x ＋50＝600xB .800x －50＝600xC .800x ＝600x ＋50D .800x ＝600x －50(导学号 02052153)4．(2016·临沂)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x<2x ＋43－x 3≥2的解集在数轴上表示正确的是( )(导学号 02052154)5．(2016·乐山)若t 为实数，关于x 的方程x 2－4x ＋t －2＝0的两个非负实数根为a 、b ，则代数式(a 2－1)(b 2－1)的最小值是( )A ．－15B ．－16C ．15D ．16(导学号 02052155)二、填空题6．(2016·黄石)关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是 .(导学号 02052156)7．分式方程2x x －1－11－x＝1的解是 ． 8．(2016·苏州)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>12x －1≤8－x 的最大整数解是 ．(导学号 02052157) 9．红星市场某种高端品牌的家用电器，若按标价八折销售该电器1件，则获利润500元，其利润率为20%，现若按同一标价九折销售该电器1件，则获得的纯利润为 元．10．已知α、β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是_ _．(导学号 02052158) 三、解答题11．解方程：x 2＋2x －5＝0.12．解方程：3x(x －1)＝2x －2.13．(2016·徐州)解方程：x －3x －2＋1＝32－x(导学号 02052159)14．(2016·黔南州)解方程：x x －2－8x 2－4＝1x ＋2. (导学号 02052160)15．(2016·南通)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －1<3x ＋33x ＋15>x ＋7，并写出它的所有整数解．(导学号 02052161)16．(2016·北京)关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根．(导学号 02052162)17．(2016·邵阳)为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A 品牌的足球和3个B 品牌的足球共需380元；购买4个A 品牌的足球和2个B 品牌的足球共需360元.(1)求A ，B 两种品牌的足球的单价；(2)求该校购买20个A 品牌的足球和2个B 品牌的足球的总费用．(导学号 02052163)18．(2016·宁夏)某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶纯用电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元.(1)求每行驶1千米纯用电的费用；(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？(导学号02052164)19．(2016·贵港)为了经济发展的需要，某市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720万元.(1)求2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率；(2)根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划2017年投入的科研经费为a万元，请求出a的取值范围．(导学号02052165)20．(2016·山西百校联考三)山西历史悠久、人文荟萃，拥有丰厚的历史文化遗产，是全国唯一一个拥有五岳、五镇和四大佛教名山的省份．今年四月份，光明旅行社将五台山一日游的费用，在原来门市报价的基础上每人降价60元，这样某旅行团原定13500元的旅游费用，只花费了10800元．(1)求该旅行社五台山一日游的原来门市报价是每人多少元；(2)为迎接“五·一”小长假，该旅行社将五台山一日游的费用，在原来门市报价的基础上连续两次降价，降价后每人的费用为192元．求平均每次的降价率．(导学号02052166)。
广东省2017中考数学复习 第1部分 基础过关 第二单元 方程与不等式检测卷
单元检测卷二 方程与不等式限时：____________分钟 总分：100分一、选择题(共大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．方程3x ＋6＝0的解是( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－32．下列方程的变形中正确的是( ) A ．由x ＋5＝6x －7得x －6x ＝7－5 B ．由－2(x －1)＝3得－2x －2＝3 C ．由x －30.7＝1得10x －307＝10 D ．由12x ＋9＝－32x －3得2x ＝－123．(2016·武威)在数轴上表示不等式x －1＜0的解集，正确的是( )4．若x >y ，则下列式子中错误的是( ) A ．x －3>y －3 B ．x ＋3>y ＋3 C ．－3x >－3yD ．x 3>y35．(2016·南宁)超市店庆促销，某种书包原价每个x 元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程( )A ．0.8x －10＝90B ．0.08x －10＝90C ．90－0.8x ＝10D ．x －0.8x －10＝906．(2016·衡阳)关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个相等的实根，则k 的值为( )A ．k ＝－4B ．k ＝4C ．k ≥－4D ．k ≥47．(2016·临沂)为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x 人，女生有y 人．根据题意，所列方程组正确的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝78，3x ＋2y ＝30B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝78，2x ＋3y ＝30C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，2x ＋3y ＝78D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，3x ＋2y ＝788．(2016·青岛)A ，B 两地相距180 km ，新修的高速公路开通后，在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1 h ．若设原来的平均车速为x km/h ，则根据题意可列方程为( )A.180x －180＋x ＝1 B ．180＋x －180x ＝1C.180x－180－x＝1D ．180－x－180x＝19．(2016·攀枝花)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a的值为( )A ．－1或4B ．－1或－4C ．1或－4D ．1或410．(2016·凉山州)关于x 的方程 3x －2x ＋1＝2＋mx ＋1无解，则m 的值为( )A ．－5B ．－8C ．－2D ．5二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11．(2016·金华)不等式3x ＋1＜－2的解集是____________． 12．(2016·吉林)若x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋m ，则m ＝____________.13．(2016·丹东)某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x ，则可列方程为____________．14．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋x －1－2x ＋53>x －2的解集是____________．15．已知x ＝2是关于x 的方程a (x ＋1)＝12a ＋x 的解，则a 的值是____________．16．定义一种新的运算“※”，x ※y ＝ax ＋by (其中a ，b 为常数)，已知3※5＝15,4※7＝28，则4※2＝____________.三、解答题(本大题共7小题，共46分)17．(6分)解方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，①x －3y ＝8；②(2)2x 2－7x ＋3＝0.18．(6分)解方程：(1)xx ＋1－4x 2－1＝1; (2)2x 2x －1＋xx －2＝2. 19．(6分)(2016·广州)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x <5，x ＋x ＋4并在数轴上表示解集．20．(6分)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2kx ＋k 2－k ＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k 的取值范围；(2)0可能是方程的一个根吗？若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 21．(7分)(2016·毕节)为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6 000万元.2016年投入教育经费8 640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．22．(7分)(2016·沈阳)倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A ，B 两种型号的健身器材若干套，A ，B 两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．(1)若购买A ，B 两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20 000元，求A ，B 两种型号健身器材各购买多少套？(2)若购买A ，B 两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18 000元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？23．(8分)(2016·宁夏)某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶纯电费用26元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．(1)求每行驶1千米纯用电的费用；(2)若要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？参考答案：一、选择题1．B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.B 7.D 8.A 9.C 10.A 二、填空题11．x <－1 12.1 13.60(1＋x )2＝100 14.－52≤x ＜4515.45 16.－92 三、解答题17．解：(1)①＋②得，3x ＝15，解得x ＝5. 把x ＝5代入①得，10＋3y ＝7，解得y ＝－1.故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1.(2)原方程可变形为(2x －1)(x －3)＝0，所以2x －1＝0或x －3＝0， 所以x 1＝12，x 2＝3.18．解：(1)去分母，得x (x －1)－4＝x 2－1， 去括号，得x 2－x －4＝x 2－1，解得x ＝－3. 经检验，x ＝－3是分式方程的解．(2)去分母，得2x (x －2)＋x (2x －1)＝2(2x －1)(x －2)， 整理，得5x ＝4，解得x ＝45.经检验，x ＝45是原方程的根．19．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x <5，①x ＋x ＋4，②解①，得x <52.解②，得x ≥－1.在数轴上表示为：20．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2＋2kx ＋k 2－k ＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(2k )2－4(k 2－k )＝4k ＞0.∴k ＞0. ∴实数k 的取值范围是k ＞0.(2)把x ＝0代入方程得：k 2－k ＝0，解得k ＝0或k ＝1， ∵k ＞0，∴k ＝1.即0是方程的一个根，把k ＝1代入方程得：x 2＋2x ＝0， 解得x ＝0或x ＝－2， 即方程的另一个根为x ＝－2.21．解：(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x .则有： 6 000(1＋x )2＝8 640，解得x ＝0.2或x ＝－2.2(舍去)． 答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%.(2)因为2016年该县投入教育经费为8 640万元，且增长率为20%，所以2017年该县投入教育经费y ＝8 640×(1＋0.2)＝10 368(万元)．答：预算2017年该县投入教育经费10 368万元．22．解：(1)设购买A 种型号健身器材x 套，B 种型号健身器材y 套，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，310x ＋460y ＝20 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝30.答：购买A 种型号健身器材20套，B 种型号健身器材30套． (2)设购买A 型号健身器材m 套，根据题意，得310m ＋460(50－m )≤18 000，解得m ≥1003.∵m 为整数，∴m 的最小值为34. 答：A 种型号健身器材至少要购买34套．23．解：(1)设每行驶1千米纯用电的费用为x 元， 76x ＋0.5＝26x，解得x ＝0.26. 经检验，x ＝0.26是原分式方程的解，即每行驶1千米纯用电的费用为0.26元． (2)从A 地到B 地油电混合行驶，用电行驶y 千米，0．26y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫260.26－y ×(0.26＋0.5)≤39，解得y ≥74，即至少用电行驶74千米．。
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第二章 方程与不等式自我测试
一、选择题
1．(2016·包头)不等式x 2－x －1
3≤1的解集是( A )
A ．x ≤4
B ．x ≥4
C ．x ≤－1
D ．x ≥－1 2．(2016·安徽)方程2x ＋1
x －1＝3的解是( D )
A ．－45 B.4
5
C ．－4
D ．4
3．(2016·温州)已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x ，乙数为y ，
根据题意，列方程组正确的是( A )
A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，x ＝2y
B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，y ＝2x
C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7，x ＝2y
D.⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，y ＝2x 4．(2016·聊城)不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋5＜5x ＋1，x －m ＞1的解集是x ＞1，则m 的取值范围是( D )
A ．m ≥1
B ．m ≤1
C ．m ≥0
D ．m ≤0
5．(2016·泰安)一元二次方程(x ＋1)2－2(x －1)2
＝7的根的情况是( C ) A ．无实数根 B ．有一正根一负根 C ．有两个正根 D ．有两个负根 二、填空题
6．(2016·温州)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x －2y ＝7 的解是__⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，
y ＝1__.
7．(2016·咸宁)关于x 的一元二次方程x 2
＋bx ＋2＝0有两个不相等的实数根，写出一
个满足条件的实数b 的值：b ＝__3(答案不唯一)__．
8．(2016·广东)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －1≤2－2x ，
2x 3>x －1
2
的解集是__－3＜x ≤1__.
9．(2016·荆门)为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的1
4
还少5台，则购置的笔记本电脑有__16__台．
10．(2016·德州)方程2x 2
－3x －1＝0的两根为x 1，x 2，则x 2
1＋x 2
2＝__13
4
__． 三、解答题
11．解下列方程(组)：
(1)(2016·金华)⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5①，
x ＋y ＝2②；
解：由①－②，得y ＝3，把y ＝3代入②，得x ＋3＝2，解得：x ＝－1，则原方程组的
解是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3
(2)(2016·安徽)x 2
－2x ＝4；
解：配方x 2
－2x ＋1＝4＋1，∴(x －1)2
＝5，∴x ＝1±5∴x 1＝1＋5，x 2＝1－5
(3)(2016·贵港)x －3x －2＋1＝3
x －2
.
解：去分母得：x －3＋x －2＝3，解得：x ＝4，经检验x ＝4是分式方程的解，∴x ＝4
12．(2016·潍坊)关于x 的方程3x 2
＋mx －8＝0有一个根是23，求另一个根及m 的值．
解：设方程的另一根为t.依题意得：3×(23
)2
＋23m －8＝0，解得m ＝10.又23t ＝－83
，所以t ＝－4.综上所述，另一个根是－4，m 的值为10
13．(2016·宁夏)某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶纯用电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．
(1)求每行驶1千米纯用电的费用；
(2)若要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？
解：(1)设每行驶1千米纯用电的费用为x 元，
76x ＋0.5＝26
x
，解得x ＝0.26，经检验x ＝0.26是原分式方程的解，即每行驶1千米纯用电的费用为0.26元
(2)设从A 地到B 地油电混合行驶，用电行驶y 千米，0.26y ＋(
26
0.26
－y )×(0.26＋0.50)≤39，解得y ≥74，即至少用电行驶74千米
14．(2016·西宁)青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2 205辆公共自行车．
(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
(2)请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
解：(1)设每个站点造价x 万元，自行车单价为y 万元．根据题意可得
⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋720y ＝112，120x ＋2 205y ＝340.5， 解得 ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.1，答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1
万元
(2)设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a.根据题意可得
720(1＋a )2＝2 205，解此方程(1＋a )2＝441144，即a 1＝34＝75%，a 2＝－11
4
(不符合题意，舍
去)．答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%
15．(2016·重庆)近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
(1)从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%.某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
(2)5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a%，求a 的值．
解：(1)设今年年初猪肉价格为每千克x 元；根据题意得2.5×(1＋60%)x ≥100，解得x
≥25.答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元
(2)设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意得40(1－a%)× 34(1＋a%)＋40×14
(1＋
a%)＝40(1＋110a%)，令a%＝y ，原方程化为40(1－y )×34(1＋y )＋40×14(1＋y )＝40(1＋1
10
y )，
整理得5y 2
－y ＝0，解得y ＝0.2或y ＝0(舍去)，则a%＝0.2，∴a ＝20.答：a 的值为20。