河北省唐山高三二模理科数学试题及答案
河北省唐山市高三数学第二次模拟考试试题 理
唐山市2014-2015学年度高三年级第二次模拟考试理 科 数 学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（1）设集合A ={－1，0，1，2，3}， B ={x |x 2－2x ＞0}，则 A ∩B =（ ）A ．{3}B ．{2，3}C ．{－1，3}D ．{0，1，2} （2）在复平面内，复数z 与52i －的对应点关于虚轴对称，则z = A ．2＋i B ．－2－i C ．－2+i D ．－2－i（3）在等差数列{a n }中，a 7＝8，前7项和S 7＝42，则其公差d ＝A ．－13B ．13 C ．－32 D ．32（4）执行如图所示的程序框图，如果输入的a =209，b =76，则输出的a 是 A ．19 B ．3 C ．57 D ．76 （5）设3log ,log 3,cos3a b c ππ===，则A 、b ＞a ＞cB 、c ＞b ＞aC 、a ＞c ＞bD 、a ＞b ＞c（6）函数y =4sin(ωx +φ) (ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图，其中A （2π3，0），B （8π3，0），则A ．ω= 1 2，φ=－2π3B ．ω=1，φ=－2π3C ．ω= 1 2，φ=－π3D ．ω=1，φ=－π3（7）设实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-02033012y x y x y x ，则z ＝1+x y的取值范围是A ．[51，1 ] B ．[51，45] C ．[61，32 ] D ．[61，45]（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．34 B ．25 C ．37D ．3（9）一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分。
已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有 （A ）7种 （B ）13种 （C ）18种 （D ）19种（10）在△ABC 中，AB =2BC ，以A ，B 为焦点，经过C 的椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则A ．2111e e -=1 B ．2111e e -=2 C ．222111e e -=1 D ．222111e e -=2 （11）已知函数(),()cos sin 2f x g x x x x xπ=-=-，当[3,3[x ππ∈-时，方程f （x ）＝g （x ）根的个数是（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）2（12）已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点M （t ，2），若C 上存在两点A ，B 满足=，则t 的取值范围是A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－5，5]D ．[－5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）（13）已知|a|=3，|b|=2，若（a +b ）⊥a ，则a 与b 的夹角是 ． （14）设S n 为数列{a n }的前n 项和，a n =4S n －3，则S 4= ．（15）在三棱锥P ―ABC 中，△ABC 与△PBC 都是等边三角形，侧面PBC ⊥底面ABC ，AB =23，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． （161与两坐标轴所围成图形的面积是三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2（a 2－b 2）c sin B =2ac cos B +bc ．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)D 为边BC 上一点，BD =3DC ，∠DAB=π2，求tan C ．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ―ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，侧面PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是棱PC ，AB 的中点，且MN ⊥CD ． （Ⅰ）求证：AD ⊥CD ；（Ⅱ）若AB ＝AD ，求直线MN 与平面PBD 所成角的正弦值。
河北省唐山市高三数学第二次模拟考试参考答案 理
理科数学参考答案一、选择题A 卷：BDCAB CBABD CA B 卷：DABCC ABDAD BD 二、填空题（13）54 （14）6 （15）100π （16）100 三、解答题 （17）解：由余弦定理得，a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，将已知条件代入上式，得ac ＝3bc －c 2，则3b －c ＝a ，再由正弦定理，3sin B －sin C ＝sin π6．…4分又sin C ＝sin (5π6－B )＝ 1 2cos B ＋32sin B ，所以32sin B － 1 2cos B ＝ 1 2，即sin (B － π 6)＝ 1 2． (10)分因为－ π 6＜B － π 6＜5π6，所以B － π 6＝ π 6，即B ＝ π3． (12)分（18）解：因为K 2＝800(160×640×200×600≈16.667＞10.828，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系． …5分（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 38．则X ～B (3， 3 8)，P (X ＝k )＝C k 8( 3 8)k ( 58)8－k，k ＝0，1，2，3．X 的分布列为…10分 E (X )＝3× 3 8＝ 98． (12)分（19）解：（Ⅰ）连接B 1C 交BC 1于点P ，连接PQ ．因为直线AB 1∥平面BC 1Q ，AB 1⊂平面AB 1C ，平面BC 1Q ∩平面AB 1C ＝PQ ， 所以AB 1∥PQ ．因为P 为B 1C 的中点，且AB 1∥PQ ， 所以，Q 为AC 的中点． …4分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝a ，BB 1＝b ，则 面BC 1C 的法向量为m ＝(1，0，0)．B (0，0，0)，C 1(0，a ，b )，Q (34a ， 14a ，0)， BC 1→＝(0，a ，b )，QC 1→＝(－34a ， 3 4a ，b )． 因QC 1与面BC 1C 所成角的正弦值为24， 故|m ·QC 1→|___________|m |·|QC 1→|＝34a ___________√________ 3 4a 2＋b 2＝24，解得b ＝3 2a .…8分设平面C 1BQ 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·QC 1→＝0，n ·BC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3 4ax ＋ 3 4ay ＋32az ＝0，ay ＋32az ＝0，取n ＝(1，－3，2)． (10)分所以有cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝24．故二面角Q -BC 1-C 的余弦值为24．…12分（20）解：（Ⅰ）f '(x )＝ln x ＋1－ax ．f (x )单调递减当且仅当f '(x )≤0，即∀x ∈(0，＋∞)， a ≥ln x ＋1x．①设g (x )＝ln x ＋1x ，则g '(x )＝－ln x x2．当x ∈(0，1)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减．所以g (x )≤g (1)＝1，故a 的最小值为1． …5分 （Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f (x )没有极值点．（2）当a ≤0时，f '(x )单调递增，f '(x )至多有一个零点，f (x )不可能有两个极值点．A…7分（3）当0＜a ＜1时，设h (x )＝ln x ＋1－ax ，则h '(x )＝ 1x－a ．当x ∈(0， 1a)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增；当x ∈( 1a，＋∞)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减．…9分因为f '( 1 a )＝h ( 1 a )＝ln 1 a ＞0，f '( 1 e )＝h ( 1 e )＝－ ae＜0，所以f (x )在区间( 1 e ， 1a )有一极小值点x 1． (10)分由（Ⅰ）中的①式，有1≥ln x ＋1x ，即ln x ≤x －1，则ln 1 a ≤ 1a－1，故f '( 2 a 2)＝h ( 2 a 2)＝ln 2＋2ln 1 a ＋1－ 2 a ≤l n 2＋2( 1 a －1)＋1－ 2a＝ln 2－1＜0．所以f (x )在区间( 1 a ， 2a2)有一极大值点x 2．综上所述，a 的取值范围是(0，1)． (12)分（21）解：（Ⅰ）依题意，曲线E 是以(0，m )为焦点，以y ＝－m 为准线的抛物线．曲线E 的方程为x 2＝4my ． …2分设动圆圆心为A (a ，a 24m )，则圆C 方程为(x －a )2＋(y －a 24m )2＝(a 24m ＋m )2，令y ＝0，得(x －a )2＝a 22＋m 2．当a ＝0时，圆C 被x 轴截得弦长取得最小值2m ，于是m ＝ 12，故曲线E 的方程为x 2＝2y ． …5分（Ⅱ）假设存在题设的公共点B (b ， 1 2b 2)．圆C 方程为(x －a )2＋(y － 1 2a 2)2＝( 1 2a 2＋ 1 2)2，将点B 坐标代入上式，并整理，得(b －a )2[1＋ 1 4(a ＋b )2]＝ 1 4(a 2＋1)2．① (7)分对y ＝ 1 2x 2求导，得y '＝x ，则曲线E 在点B 处的切线斜率为b ．又直线AB 的斜率k ＝ 1 2b 2－ 1 2a 2b －a ＝ 12(a ＋b )．由圆切线的性质，有 12(a ＋b )b ＝－1．② (8)分由①和②得b 2(b 2－8)＝0．显然b ≠0，则b ＝±22． …9分 所以存在题设的公共点B ，其坐标为(±22，4)，公切线方程为y ＝22(x －22)＋4或y ＝－22(x ＋22)＋4，即y ＝±22x －4． …12分（22）证明：（Ⅰ）连接BD ，因为D 为BC ︵的中点，所以BD ＝DC ． 因为E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC ． 因为AC 为圆的直径，所以∠ABC ＝90︒，所以AB ∥DE ． …5分（Ⅱ）因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ， 又∠BAD ＝∠DCB ，则∠DAC ＝∠DCB ．又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ，所以△DAC ∽△ECD ．所以AC CD ＝ADCE，AD ·CD ＝AC ·CE ，2AD ·CD ＝AC ·2CE ， 因此2AD ·CD ＝AC ·BC ．…10分（23）解：（Ⅰ）将椭圆C 的参数方程化为普通方程，得x 24＋y 23＝1．a ＝2，b ＝3，c ＝1，则点F 坐标为(－1，0)．l 是经过点(m ，0)的直线，故m ＝－1． …4分（Ⅱ）将l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理，得(3cos 2α＋4sin 2α)t 2－6t cos α－9＝0．设点A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2，则|FA |·|FB |＝|t 1t 2|＝93cos 2α＋4sin 2α＝93＋sin 2α． 当sin α＝0时，|FA |·|FB |取最大值3；当sin α＝±1时，|FA |·|FB |取最小值 94． (10)分（24）解：（Ⅰ）当a ＝2时，f (x )＝2(|x －2|－|x ＋4|)＝⎩⎪⎨⎪⎧12，x ＜－4，－4x －4，－4≤x ≤2，－12，x ＞2．当x ＜－4时，不等式不成立；当－4≤x ≤2时，由－4x －4＜2，得－ 32＜x ≤2；当x ＞2时，不等式必成立．综上，不等式f (x )＜2的解集为{x |x ＞－ 32}．…6分（Ⅱ）因为f (x )＝|ax －4|－|ax ＋8|≤|(ax －4)－(ax ＋8)|＝12， 当且仅当ax ≤－8时取等号． 所以f (x )的最大值为12．故k 的取值范围是[12，＋∞)．…10分。
2022河北省唐山二模数学试题含答案
唐山市2022年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学参考答案一．选择题：1~4．BCDD 5~8．BACB9．AD 10．BCD 11．CD 12．ABD二．填空题：（16题第一空2分，第二问3分） 13．－4；14．10； 15．8；16．－12e ，2－2ln 2． 17．解： （1）设数列{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝20，a 1q 2－a 1＝60，解得⎩⎨⎧q ＝4，a 1＝4，故a n ＝4n ，n ∈N *.（2）b n ＝log 2a n ＝log 24n ＝2n ，c n ＝b n ＋1b n ＋b n b n ＋1＝n ＋1n ＋n n ＋1＝2＋ 1 n －1n ＋1， 所以T n ＝2n ＋(1－ 1 2)＋( 1 2－ 1 3)＋( 1 3－ 1 4)＋…＋( 1 n －1n ＋1)＝2n ＋1－1n ＋1． 18．解：（1）由正弦定理得sin A cos C ＋33sin A sin C ＝sin B ， 在△ABC 中，sin B ＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ， 化简为33sin A sin C ＝sin C cos A ，又sin C ≠0，两边同时除以sin C ， 得tan A ＝3，又A ∈(0，π)，所以A ＝ π 3． （2）由题意得S △ABC ＝ 1 2bc sin A ＝ 1 2AD ·c sin ∠BAD ＋ 1 2AD ·b sin ∠CAD ， 即3bc ＝2 3(b ＋c )， ① 由余弦定理得4＝b 2＋c 2－bc ， ②由①②得(b+c )2－23(b ＋c )＝4， 解得b ＋c ＝6，所以△ABC 的周长为6＋2．（1）连接BF ，由△ABC 为等边三角形，F 为AC 的中点，得BF ⊥AC ； 由PG ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，则PG ⊥AC ；又PG ∩BF ＝G ，则AC ⊥平面PBF ，又PB ⊂平面PBF ，则PB ⊥AC ．（2）由题意得PF ＝23，GF ＝2，在Rt △PFG 中， PG ＝22．以F 为坐标原点，以FB →为x 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系F -xyz ，则A (0，－23，0)，C (0，23，0)，B (6，0，0)，E (3，－3，0)，P (2，0，22)， FP →＝(2，0，22)，FE →＝(3，－3，0)．由（1）可知，AC →＝(0，43，0)是平面PBF的一个法向量设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧FP →·n ＝0，FE →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋22z ＝0，3x －3y ＝0， 取n ＝(2，6，－1)． 因为cos 〈AC →，n 〉＝AC →·n |AC →||n |＝63， 所以平面PEF 与平面PBF 所成二面角的正弦值为33． 20．解：（1）“选择物理”记作事件A ，“选择化学”为事件B ，则P (A )＝C 25C 36＝ 1 2，P (AB )＝C 14C 36＝ 1 5，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝ 2 5． （2）①“选择物理”记作事件C ，“选择化学”记作事件D ，则 P (C )＝1C 12＝12，P (D )＝C 13C 24＝12， 事件C 与D 相互独立，则P (CD )＝P (C )P (D )＝ 1 4． ②随机变量X 可以取0，1，2，3．P (X ＝0)＝C 36C 310＝ 1 6，P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝ 1 2， P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130随机变量XE (X )＝0× 1 6＋1× 1 2＋2×310＋3×130＝ 6 5. BF C EG P（1）椭圆Γ的标准方程为x 22λ＋y 2λ＝1， 则椭圆Γ的离心率为2λ－λ2λ＝22 （2）①设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，B (x 3，y 3)，C (x 4，y 4)，直线l ：x ＝my －1与x 22＋y 2＝λ联立整理得 (2＋m 2)y 2－2my ＋1－2λ＝0y 1＋y 2＝2m 2＋m 2，y 1y 2＝1－2λ2＋m 2， 则AD 的中点坐标(－22＋m 2，m 2＋m 2)． 同理可知BC 的中点坐标(－22＋m 2，m 2＋m 2)． 所以AD 与BC 中点重合，故|AB |＝|CD |．（2）②由①可知，直线l 被椭圆截得弦长为1＋m 2|y 2－y 1|＝21＋m 22λm 2＋4λ－22＋m 2， 把λ＝5代入得，|AD |＝21＋m 210m 2＋182＋m 2把λ＝1代入得，|BC |＝21＋m 22m 2＋22＋m 2， F (1，0)到l 的距离为d ＝21＋m 2， 于是△ABF 面积为S ＝ 1 2×[ 1 2×(|AD |－|BC |)]×d ＝10m 2＋18－2＋2m 22＋m 2＝810m 2＋18＋2＋2m 2所以当m ＝0时，△ABF 的面积取最大值2．（1）依题意f'(x)＝9(x＋3)2，g'(x)＝b cos x．则f'(0)＝g'(0)＝b＝1，于是b＝1，l：y＝x．（2）当x≥π2时，3xx＋3＝3－9x＋3≥3－9π2＋3＞1≥sin x，此时h(x)＞0，所以h(x)无零点．当0＜x＜π2时，h'(x)＝9(x＋3)2－cos x，令H(x)＝9(x＋3)2－cos x，x∈(0，π2)，则H'(x)＝－18(x＋3)3＋sin x，显然H'(x)在(0，π2)上单调递增，又H'(0)＝－23＜0，H'(π2)＞0，所以存在t∈(0，π2)使得H'(t)＝0，因此可得0＜x＜t时，H'(x)＜0，H(x)单调递减；t＜x＜π2时，H'(x)＞0，H(x)单调递增，又H(0)＝0，H(π2)＞0，所以存在λ∈(t，π2)使得H(λ)＝0，即0＜x＜λ时，H(x)＜0，h'(x)＜0，h(x)单调递减；λ＜x＜π2时，H(x)＞0，h'(x)＞0，h(x)单调递增，又h(0)＝0，h(π2)＞0，所以h(x)在(0，π2)上有一个零点．综上，h(x)在(0，＋∞)上有1个零点．。
2019届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求A,再求补集即可【详解】,则故选：D【点睛】本题考查集合运算，描述法，指数不等式解法，是基础题2．已知复数满足，则的共轭复数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先由复数代数形式除法运算求z,再求其共轭复数【详解】=1-i,故故选：A【点睛】本题考查复数代数形式除法运算，共轭复数，熟记定义，准确计算是关键，是基础题3．在等差数列中，，，则（）A．10 B．12C．14 D．16【答案】C【解析】由题列出关于的方程组求解，即可求得【详解】由题知,解得,故故选：C【点睛】本题考查等差数列通项公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三角函数定义得tan再利用同角三角函数基本关系求解即可【详解】由三角函数定义得tan，即,得3cos解得或（舍去）故选：A【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数基本关系式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题5．已知双曲线：的焦距为4，为上一点，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题2c=4,将代入方程，得a,b方程组求解即可【详解】由题2c=4,即c=2,又为上一点，则,解得，故故渐近线方程为【点睛】本题考查渐近线方程，准确计算是关键，是基础题6．已知直线，和平面，，有如下三个命题：①若存在平面，使，，则；②若，是两条异面直线，，，，，则；③若，，，则.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】对每个序号逐项判断即可【详解】对①，若存在平面，使，，则或与相交，故①错误；对②，假设与不平行,则与相交,设交线为n,∵，,∩=n,∴同理，,与，异面矛盾，故假设不成立，所以正确对③，若，，则,又，则，故③正确【点睛】本题考查命题真假及空间线面关系，准确推理是关键，是中档题7．已知函数的最小正周期为，把的图像向左平移个单位后，所得函数图像的一条对称轴为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式；再利用函数y ＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律以及正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴方程．【详解】∵函数的最小正周期为π，∴ω＝1，f（x）＝sin（2x）．若将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得y＝sin（2x）＝sin（2x）令2x kπ，求得x，k∈Z，令k＝0，可得所得函数图象的一条对称轴为x，故选：B【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性和它的图象的对称性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．已知函数为奇函数，则在处的切线斜率等于（）A．6 B．-2C．-6 D．-8【答案】B【解析】先求在时的解析式，再求切线方程即可【详解】设，则,又为奇函数，则则故选：B【点睛】本题考查函数奇偶性性质，切线斜率，熟记函数奇偶性，准确计算是关键，是基础题9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将三视图还原，再求表面积即可【详解】半径r=1,由题母线长为2，则该几何体的表面积S=故答案为：C【点睛】本题考查三视图及组合体的表面积，球和圆锥的表面积公式，准确计算是关键，是基础题10．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现.如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法.在内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题求得“盈”部分的面积，利用几何概型求解即可【详解】由题“盈”部分的面积为又的面积为则该点落在标记“盈”的区域的概率为=故选：B本题考查几何概型，数学文化知识，仔细审题，熟练计算是关键，是基础题11．已知抛物线：的焦点为，点在上，以为半径的圆与轴交于，两点，为坐标原点，若，则圆的半径（）A．2 B．3C．4 D．5【答案】D【解析】设P（）,得圆的方程，进而求得与y轴交点A,B坐标，利用，求解即可【详解】设P（）,则圆的方程为,令x=0，则,又，则，又,联立得则r=故选：D【点睛】本题考查抛物线综合，圆的方程，抛物线的定义，转化思想，熟练计算是关键，是中档题12．已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用作差法比较a,c大小，再分别比较b,c与的关系即可求解【详解】a-c==<0,故又故3>,故,即b>,故选：B【点睛】本题考查比较对数值的大小，对数函数性质，作差法，插入中间值，准确计算是关键，是难题二、填空题13．已知向量，满足，，且，则__________．【答案】9【解析】由平方得，再求值即可【详解】平方得故故答案为9【点睛】本题考查数量积运算，熟记数量积运算律是关键，是基础题14．设变量，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】【解析】画出可行域，再由z的几何意义求解即可【详解】画出可行域，如图阴影部分所示:表示（x,y）与A（-2，0）连线的斜率，由题可知当经过点B时斜率最大，此时点B为方程组的解，，解得B（1，2），故的最大值为故答案为【点睛】本题考查线性规划问题，明确z的几何意义是关键，注意计算的准确，是基础题15．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有__________种．（用数字作答）【答案】660【解析】分情况讨论每个学校分配人数即可求解【详解】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有种，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有则不同的分配方案共有+种故答案为660【点睛】本题考查排列组合，分类讨论思想，对每个学校人数讨论是关键，是基础题16．各项均为正数的数列满足，，则__________．【答案】27【解析】先求得数列周期再计算即可【详解】由知,,两式相除得又故答案为27【点睛】本题考查数列递推关系求值，数列的周期性，推理数列的周期为6是突破点，准确计算是关键，是难题三、解答题17．在中，角，，的对边分别为，，，.（1）求角；（2）若，，求.【答案】（1）B＝（2）b＝．【解析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式求得B;（2）由正弦定理求得a,再由余弦定理求b即可【详解】（1）由已知及正弦定理可得：2sinC＝sinA＋2sinBcosA，所以2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋2sinBcosA，即2sinAcosB＝sinA，因为sinA≠0，所以cosB＝．又0＜B＜π，故B＝．（2）在△ABC中，由正弦定理可得，所以asinB＝bsinA＝，由（1）知B＝，所以a＝2，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB＝19，所以b＝．【点睛】本题考查正余弦定理，三角恒等变换，熟练运用正余弦定理是关键，是基础题18．如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点为中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，证明BD⊥A1C即可求解；（2）由（1）可知，∠A1OC即为二面角A1-BD-C的平面角，得∠A1OC＝60°．以O为坐标原点，，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，求平面的法向量，再由线面角的向量公式求解即可【详解】（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，从而OA1⊥BD，OC⊥BD，又因为OA1∩OC＝O，所以BD⊥平面A1OC，因为A1C 平面A1OC，所以BD⊥A1C，所以异面直线A1C与BD所成角的大小为90°．（2）由（1）可知，∠A1OC即为二面角A1-BD-C的平面角，所以∠A1OC＝60°．以O为坐标原点，，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，则B(4，0，0)，D(－4，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，2，6)，E(0，3，3)．所以＝(－4，3，3)，＝(4，2，6)，＝(4，4，0)．设平面A1DC的法向量为＝(x，y，z)，则即sin＝，所以直线BE与平面A1DC所成角的正弦值为．【点睛】本题考查异面直线成的角，空间向量求线面角，线面垂直判定定理，熟记定理，准确计算是关键，是基础题19．苹果可按果径（最大横切面直径，单位：.）分为五个等级：时为1级，时为2级，时为3级，时为4级，时为5级.不同果径的苹果，按照不同外观指标又分为特级果、一级果、二级果.某果园采摘苹果10000个，果径均在内，从中随机抽取2000个苹果进行统计分析，得到如图1所示的频率分布直方图，图2为抽取的样本中果径在80以上的苹果的等级分布统计图.（1）假设服从正态分布，其中的近似值为果径的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值代替），，试估计采摘的10000个苹果中，果径位于区间的苹果个数；（2）已知该果园今年共收获果径在80以上的苹果，且售价为特级果12元，一级果10元，二级果9元.设该果园售出这苹果的收入为，以频率估计概率，求的数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】（1）8186（个）（2）见解析【解析】（1）由平均值公式计算均值，进一步求得P(59.85＜M＜77.7)的值，即可求解；（2）确定特级果、一级果、二级果的概率，即可列出分布列求解【详解】（1）＝62.5×5×0.03＋67.5×5×0.05＋72.5×5×0.06＋77.5×5×0.04＋82.5×5×0.02＝71.75．所以M服从正态分布N(71.75，35.4)．从而有P(59.85＜M＜77.7)＝P(μ－2σ＜Z＜μ＋σ)＝[P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＋P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)]＝0.8186，故采摘的10000个苹果中，果径位于区间(59.85，77.7)的苹果个数约为10000×0.8186＝8186（个）．（2）由图2可知，果径在80以上的苹果中，特级果、一级果、二级果的概率分别为，，，设出售1kg果径在80以上苹果的收入为Y，则Y的分布列为：故E(Y)＝12×＋10×＋9×＝10.1，所以E(X)＝800E(Y)＝8080元．【点睛】本题考查正态分布，频率分布直方图的均值，离散型随机变量的分布列，准确计算是关键，是基础题20．已知，，当，分别在轴，轴上滑动时，点的轨迹记为.（1）求曲线的方程；（2）设斜率为的直线与交于，两点，若，求.【答案】（1）（2）k＝±．【解析】（1）设M(0，m)，N(n，0)，P(x，y)，列x,y关于m,n的表达式，利用m,n的关系式，即可求解E的方程；（2）设MN：y＝kx＋m，与椭圆联立求得MN中点横坐标，利用MN和PQ的中点重合，列方程求解即可【详解】（1）设M(0，m)，N(n，0)，P(x，y)，由|MN|＝1得m2＋n2＝1．由＝3得(x，y－m)＝3(n，－m)，从而x＝3n，y－m＝－3m，所以n＝，m＝－，所以曲线E的方程为．（2）设MN：y＝kx＋m，所以n＝－．①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将MN代入到E的方程并整理，可得(4＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－36＝0，所以x1＋x2＝．因为|PN|＝|MQ|，所以MN和PQ的中点重合，所以＝，②联立①②可得k2＝，故k＝±．【点睛】本题考查轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，准确计算是关键，是中档题21．已知.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若有两个极值点，，，证明：（i）；（ii）.【答案】（1）a≤6（2）见解析【解析】（1）f’(x)＝4e x＋2e－2x－a，转化为≥0求解，构造g(x)＝4e x＋2e－2x －a，求导求g(x)的最小值即可；（2）（ⅰ）由（1）设g(x)的两个零点为，，＜0＜，且a＞6．令h(x)＝g(x)－g(－x)，证明h(x)在(0，＋∞)上单调递减，当x＞0时，h(x)＜h(0)＝0，进而证明g()－g(－)＜0，从而g()＜g(－)，，得＋＞0；（ⅱ）证明f(x)＋f(－x)＝－(e x＋e－x－2)2＋6≤6．可得f()＜f(－)，所以＜6．【详解】（1）f’(x)＝4e x＋2e－2x－a，令g(x)＝4e x＋2e－2x－a，则g’(x)＝4e x－4e－2x，显然g’(x)在(－∞，＋∞)单调递增，且g (0)＝0，所以当x∈(－∞，0)时，g’(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，g’(x)＞0，g(x)单调递增．所以g(x)的最小值为g(0)＝6－a，即f’(x)的最小值为6－a，要使f(x)为单调增函数，则有f’(x)≥0，所以6－a≥0，故a≤6．（2）证明：（ⅰ）由（1）得g(x)的两个零点为，，＜0＜，且a＞6．f(x)在(－∞，)和(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减．令h(x)＝g(x)－g(－x)，则h’(x)＝g’(x)＋g’(－x)＝4e x－4e－2x＋4e－x－4e2x＝4[－(e x＋e－x)2＋(e x＋e－x)＋2]＝4[2－(e x＋e－x)][1＋(e x＋e－x)]＜0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，当x＞0时，h(x)＜h(0)＝0．所以g()－g(－)＜0，从而g()＜g(－)，又g)＝g()＝0，所以g()＜g(－)，因为g(x)在(－∞，0)上单调递减，，－∈(－∞，0)，所以＞－，故＋＞0．（ⅱ）f(x)＋f(－x)＝4e x－e－2x＋4e－x－e2x＝－(e x＋e－x)2＋4(e x＋e－x)＋2 ＝－(e x＋e－x－2)2＋6≤6．由（ⅰ）得＋＞0，所以＞－＞0，由f(x)在(，)上单调递减，可得f()＜f(－)，从而有f()＋f()＜f()＋f(－)≤6，所以f()＋f()＜6．【点睛】本题考查导数与函数的单调性，利用导数证明不等式，构造函数的思想，转化化归能力，是难题22．在直角坐标系中，圆：，圆：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆，的极坐标方程；（2）设，分别为，上的点，若为等边三角形，求.【答案】（1）C1：ρ＝2cosθ；C2：ρ＝－4cosθ（2）．【解析】（1）由直角坐标方程与极坐标方程的互化即可求解；（2）设A(ρA，θ)，B(ρB，θ＋)，0＜θ＜，由ρA＝2cosθ=ρB＝－4cos(θ＋)，得tanθ，则可求ρA【详解】（1）依题意可得，圆C1：(x－1)2＋y2＝1；圆C2：(x＋2)2＋y2＝4．所以C1：x2＋y2＝2x；C2：x2＋y2＝－4x，因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，所以C1：ρ＝2cosθ；C2：ρ＝－4cosθ．（2）因为C1，C2都关于x轴对称，△OAB为等边三角形，所以不妨设A(ρA，θ)，B(ρB，θ＋)，0＜θ＜．依题意可得，ρA＝2cosθ，ρB＝－4cos(θ＋)．从而2cosθ＝－4cos(θ＋)，整理得，2co sθ＝sinθ，所以tanθ＝，又因为0＜θ＜，所以cosθ＝，|AB|＝|OA|＝ρA＝．【点睛】本题考查极坐标方程，ρ的几何意义的应用，三角函数，利用ρA＝ρB求得θ是突破点，是中档题23．已知.（1）若，求的取值范围；（2）若，的图像与轴围成的封闭图形面积为，求的最小值.【答案】（1）a≤－1（2）4＋8．【解析】（1）由绝对值三角不等式求的最小值即可求解；（2）去绝对值化简f(x)，得到与轴围成的封闭图形为等腰梯形，再利用题型面积公式及基本不等式求解即可【详解】（1）因为|ax＋1|＋|ax－1|≥|(ax＋1)－(ax－1)|＝2，等号当且仅当(ax＋1)(ax－1)≤0时成立，所以f(x)的最小值为2－2a－4＝－2a－2．依题意可得，－2a－2≥0，所以a≤－1．（2）因为a＞0，f(x)＝|ax＋1|＋|ax－1|－2a－4，所以f(x)＝所以y＝f(x)的图像与x轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD，如图所示且顶点为A(－1－，0)，B(1＋，0)，C(，－2a－2)，D(－，－2a－2)从而S＝2(1＋)(a＋1)＝2(a＋)＋8．因为a＋≥2，等号当且仅当a＝时成立，所以当a＝时，S取得最小值4＋8．【点睛】本题考查绝对值不等式，绝对值三角不等式求最值，第二问的关键是确定图形形状，准确计算是关键，是中档题。
河北省唐山市高考数学二模试卷(理科)
河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若复数满足，则（）A . 1B .C .D .2. （2分） (2019高三上·宁波月考) 若实数x，y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x2＞y2”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2020高一下·昆山期中) 如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线匀速飞行．在A处观测地面目标A，测得俯角．经2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角．又经过一段时间飞行后在处观察地面目标，测得俯角且，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（）A . 1.25分钟B . 1.5分钟C . 1.75分钟D . 2分钟4. （2分）已知满足时，的最大值为1，则a+b的最小值为（）A . 7B . 8C . 9D . 105. （2分） (2019高三上·赤峰月考) 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 76. （2分）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是直线（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·陕西期中) 中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·广东月考) 某校高三年级有男生220人，学籍编号为1，2，…，220；女生380人，学籍编号为221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·重庆期中) 已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，平面内三个不共线向量、、，满足 =（a17﹣2） +a2000 ，若点A，B，C在一条直线上，则S2016=（）A . 3024B . 2016C . 1008D . 50410. （2分）(2019·莆田模拟) 已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·自贡模拟) 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A . 36πB . πC . 8 πD . π12. （2分）已知且关于x的函数在R上有极值,则与的夹角范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·平罗期末) 设一个扇形的半径为3cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是________ m3 ．14. （1分）(2017·滨州模拟) 已知直线l：x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的一条对称轴，过点A （﹣4，a）作圆C的两条切线，切点分别为B、D，则直线BD的方程为________．15. （1分）（x﹣）6的展开式中，系数最大的项为第________项．16. （1分） (2019高二下·上海期末) 如图，在正方体中，直线与所成角大小为________三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分） (2019高二上·蛟河期中) 已知数列为单调递减的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18. （10分）甲、乙两个商场同时出售一款西门子冰箱，其中甲商场位于老城区中心，乙商场位于高新区.为了调查购买者的年龄与购买冰箱的商场选择是否具有相关性，研究人员随机抽取了1000名购买此款冰箱的用户作调研，所得结果如表所示：50岁以上50岁以下选择甲商场400250选择乙商场100250附：，其中 .0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828（1）判断是否有的把握认为购买者的年龄与购买冰箱的商场选择具有相关性；（2）由于乙商场的销售情况未达到预期标准，商场决定给冰箱的购买者开展返利活动具体方案如下：当天卖出的前60台（含60台）冰箱，每台商家返利200元，卖出60台以上，超出60台的部分，每台返利50元.现将返利活动开展后15天内商场冰箱的销售情况统计如图所示：与此同时，老张得知甲商场也在开展返利活动，其日返利额的平均值为11000元，若老张将选择返利较高的商场购买冰箱，请问老张应当去哪个商场购买冰箱19. （5分）(2017·朝阳模拟) 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D，E分别为边AC，AB的中点，点F，G分别为线段CD，BE的中点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使∠A1DC=60°．点Q为线段A1B上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：A1F⊥BE；（Ⅱ）线段A1B上是否存在点Q使得FQ∥平面A1DE？若存在，求出A1Q的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当时，求直线GQ与平面A1DE所成角的大小．20. （10分）(2013·福建理) 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1 ， A2 ，…，A9和B1 ， B2 ，…，B9 ，连接OBi ，过Ai作x轴的垂线与OBi ，交于点．（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．21. （10分） (2020高二下·鹤岗期末) 已知函数，其中 .（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极大值和极小值，若函数有三个零点，求a的取值范围.22. （10分）如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P，连接BC，CN．（1）求证：∠BCN=∠PMN；（2）若∠BCN=60°，PM=1，求OM的长．23. （10分）在平面直角坐标系xoy中，过点P（2，0）的直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2=4，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程和圆C的极坐标方程；（2）求圆心C到直线l的距离．24. （5分）设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、。
河北省唐山市届高三下学期第二次模拟考试理科数学试题Word版含答案
唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|3A x N x =∈<，{}|,,B x x a b a A b A ==-∈∈，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}2,1,1,2--C ．{}1D ．{}0,1,22.设复数z 满足1132z i z +=--，则||z =（ ）A ．5B C ．2D 3.如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（ ）A ．平均数为64B ．众数为7C ．极差为17D ．中位数为64.54.“2560x x +->”是“2x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）A ．24π-B ．243π-C ．24π+D ．242π-6.已知双曲线过点(2,3)，渐进线方程为y =，则双曲线的标准方程是（ ）A ．22711612x y -= B ．22132y x -= C ．2213y x -= D ．22312323y x -= 7.函数21xy x -=+，(,]x m n ∈的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．[1,2)D ．[1,2)-8.执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的结果为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79.已知α，β均为锐角，且sin 22sin 2αβ=，则（ ） A ．tan()3tan()αβαβ+=- B ．tan()2tan()αβαβ+=- C ．3tan()tan()αβαβ+=-D ．3tan()2tan()αβαβ+=-10.已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=--（||2πϕ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．1-B C ．D ．2-11.正方体1111ABCD A BC D -棱长为6，O 点在棱BC 上，且2BO OC =，过O 点的直线l 与直线1AA ，11C D 分别交于M ，N 两点，则MN =（ ）A ．B ．C ．14D ．2112.已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(2)()'()0x f x xf x ++>，则（ ） A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()f x 为减函数D ．()f x 为增函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.7(2)()x y x y +-展开式中，含35x y 项的系数是 ．14.平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+，则λμ= ．15.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 交Γ于另一点M ，若直线BM 交x 轴于点(12,0)N ，则Γ的离心率是 ． 16.在ABC ∆中，3A π=，3BC =，D 是BC 的一个三等分点，则AD 的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，(21)n n n S a =-，且11a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为34：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为45.每台仪器各项费用如表：（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X 为生产两台仪器所获得的利润，求X 的分布列和数学期望．19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，3AB =，AD =45ABC ∠=︒，P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上，且2PE =，2BE EA =，F为AD 的中点，M 在线段CD 上，且CM CD λ=．（Ⅰ）当23λ=时，证明：平面PFM ⊥平面PAB ；（Ⅱ）当平面PAM 与平面ABCD 求四棱锥P ABCM -的体积．20.已知ABC ∆的顶点(1,0)A ，点B 在x 轴上移动，||||AB AC =，且BC 的中点在y 轴上. （Ⅰ）求C 点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知轨迹Γ上的不同两点M ，N 与(1,2)P 的连线的斜率之和为2，求证：直线MN 过定点．21.已知函数1()(ln 1)f x a x x =-+的图象与x 轴相切，21()(1)log 2b x g x b x -=--．（Ⅰ）求证：2(1)()x f x x-≤；（Ⅱ）若1x <<2(1)0()2b g x -<<请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22(12sin )3ρθ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，点(1,0)M ，求||||||MA MB -． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x x x =-++，P 为不等式()4f x >的解集. （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）证明：当m ，n P ∈时，|4|2||mn m n +>+.唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试理科数学答案一、选择题1-5:DBDBA 6-10:CDBAC 11、12：DA二、填空题13.49 14.29 15.121 三、解答题17.解：（Ⅰ）由(21)n n n S a =-，可得111(21)n n n S a ---=-（2n ≥）， 两式相减，得111(21)(21)n n n n n n S S a a ----=---，11(22)(21)n n n n a a ---=-，即11(2)2n n a n a -=≥， 故{}n a 是一个以1为首项，12为公比的等比数列， 所以11()2n n a -=．（Ⅱ）11()2n n n b na n -==．123n n T b b b b =++++…012111111()2()3()()2222n n -=⨯+⨯+⨯++…，①12n T = 12111111()2()(1)()()2222n n n n -⨯+⨯++-+…，② ①-②，得1211111121()()()()2222222n n n n n T n -+=++++-=-…，所以1242n n n T -+=-．18.解：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件A ，则341()(1)(1)4520P A =--=，所以每台仪器能出厂的概率119()12020P A =-=． （Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率341(1)455P =-⨯=．（Ⅲ）X 可取3800，3500，3200，500，200，2800-．339(3800)4416P X ==⨯=，12133(3500)5410P X C ==⨯⨯=，211(3200)()525P X ===，123113(500)()44540P X C ==⨯⨯⨯=，121111(200)()54550P X C ==⨯⨯⨯=，2111(2800)()45400P X =-=⨯=．X 的分布列为：()380035003200500200(2800)33501610254050400E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=．19.（Ⅰ）证明：连接EC ，作//AN EC 交CD 于点N ，则四边形AECN 为平行四边形，1CN AE ==，在B C E ∆中，2BE =，BC =45ABC ∠=︒，由余弦定理得2EC =．所以222BE EC BC +=，从而有BE EC ⊥.在AND ∆中，F ，M 分别是AD ，DN 的中点， 则//FM AN ，//FM EC ， 因为AB EC ⊥，所以FM AB ⊥.由PE ⊥平面ABCD ，FM ⊂平面ABCD ， 得PE FM ⊥，又FM AB ⊥，PEAB E =，得FM ⊥平面PAB ，又FM ⊂平面PFM ， 所以平面PFM ⊥平面PAB .（Ⅱ）以E 为坐标原点，EB ，EC ，EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，(0,0,2)P ，(0,2,0)C ，(3,2,0)D -，(1,0,2)AP =，(13,2,0)AM AC CD λλ=+=-.平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =. 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z =，由0AP n ⋅=，0AM n ⋅=，得20,(13)20,x z x y λ+=⎧⎨-+=⎩令2x =，得(2,31,1)n λ=--.由题意可得，|||cos ,|||||m nm n m n ⋅<>=⋅==， 解得13λ=，所以四棱锥P ABCM -的体积1833P ABCM ABCM V S PE -=⨯=梯形.20.解：（Ⅰ）设(,)C x y （0y ≠），因为B 在x 轴上且BC 中点在y 轴上，所以(,0)B x -，由||||AB AC =，得222(1)(1)x x y +=-+，化简得24y x =，所以C 点的轨迹Γ的方程为24y x =（0y ≠）． （Ⅱ）设直线MN 的方程为x my n =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由24,,y x x my n ⎧=⎨=+⎩得2440y my n --=， 所以124y y n =-，1121112241214MP y y k y x y --===-+-，同理242NP k y =+， 所以1244222y y +=++，化简得124y y =， 又因为124y y n =-，所以1n =-， 所以直线MN 过定点(1,0)-.21.解：（Ⅰ）21'()a f x x x =-， 设()f x 的图象与x 轴相交于点0(,0)x ，则00()0,'()0,f x f x =⎧⎨=⎩即02001(ln 1)0,10,a x x a x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得01a x ==． 所以1()ln 1f x x x=-+， 2(1)()x f x x-≤等价于ln 1x x ≤-．设()ln 1h x x x =-+，则1'()1h x x=-， 当01x <<时，'()0h x >，()h x 单调递增； 当1x >时，'()0h x <，()h x 单调递减， 所以()(1)0h x h ≤=，即ln 1x x ≤-，（*），所以2(1)()x f x x-≤．（Ⅱ）设1()(1)ln x h x x x -=>，则21ln 1'()ln x x h x x+-=， 由（Ⅰ）可知，当1x >时，1ln 10x x+->，从而有'()0h x >，所以()h x 单调递增，又1x <<21x b <<，从而有2()()h x h b <，即2211ln ln x b x b--<， 所以21(1)ln (1)log 2ln b x b xb x b--<=-，即()0g x >， 21()(1)log 2b x g x b x -=--2(1)ln 1ln 2b x x b --=-22ln 1(1)2ln 2x x b b -=-⋅-2211(1)2ln 2x x b b --<-⋅-211(1)2ln x b b--=⋅-，又1ln 1b b >-，所以1ln b b b-<， 又21x b <<，所以22(1)(1)(1)()22x b b g x ---<<．综上可知，2(1)0()2b g x -<<．22.解：（Ⅰ）曲线1C0y -=，曲线2C 的直角坐标方程为2213x y +=． （Ⅱ）将直线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程整理得：25240t t +-=，1225t t +=-，由t 的几何意义可知：122||||||||5MA MB t t -=+=. 23.解：（Ⅰ）2,1,()|1||1|2,11,2, 1.x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩由()f x 的单调性及()4f x =得，2x >或2x <-． 所以不等式()4f x >的解集为{}|22P x x x =><-或.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知||2m >，||2n >，所以24m >，24n >，2222(4)4()(4)(4)0mn m n m n +-+=-->，所以22(4)4()mn m n +>+， 从而有|4|2||mn m n +>+．。
2024 届唐山市普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学试题及答案
2024届唐山市普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数 学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂黑其他答案标号。
解答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |2x ≥1}，集合N ＝{x |x 2＜4}，则M ∪N ＝A ．[0，2)B ．(－∞，2)C ．[0，＋∞)D ．(－2，＋∞)2．某地区5000名学生的数学成绩X (单位：分)服从正态分布X ～N (90，σ2)，且成绩在[90，100]的学生人数约为1800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为 A ．200 B ．700 C ．1400 D ．2500 3．若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线．已知双曲线E 的标准方程为x 2－y 22＝1，则E 的共轭双曲线的离心率为A ．62B ．2C ．3D ．24．函数f (x )＝sin (2x －φ)(|φ|≤π2)在(0，π3)上为单调递增函数，则φ的取值范围为A ．[－ π 2，－ π6]B ．[－ π6，0]C ．[π 6， π2]D ．[0，π6]5．已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为A ．5πB ．12πC ．20πD ．80π6．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋a 1＋2n ，a 10＝130，则a 1＝A ．1B ．2C ．3D ．47．已知m 为平面α外的一条直线，则下列命题中正确的是 A ．存在直线n ，使得n ⊥m ，n ⊥α B ．存在直线n ，使得n ⊥m ，n ∥αC ．存在直线n ，使得n ∥m ，n ∥αD ．存在直线n ，使得n ∥m ，n ⊥α 8．已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过点(0，4)的直线l 与x 轴交于点P ，与圆C 交于A ，B 两点，则CP →·(CA →＋CB →)的取值范围是 A ．[0，1] B ．[0，1)C ．[0，2]D ．[0，2)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
河北省唐山市2019-2020学年度高三年级第二学期第二次模拟考试理科数学试题 含答案
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分
17．(12 分)
已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和 , Sn+1 = 3Sn +1, a1 =1.
足为点 C，点 D满足AC = 2CD, 延长 BD 交 T 于点 E ( x2 y2 ).
(1)设直线 AB，BD 的斜率分别为 k1, k2 .
(i)求证： k1 = 4k2 ；
(ii)证明： ABE 是直角三角形;
(2)求 ABE 的面积的最大值.
(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分1 2
B.
1 2
,1
C.1,
3 2
D.
3 2
,
2
9．已知 f ( x) = cos2 x + sin x, 有以下命题：
①π
为
f(x)的一个周期：②f(x)的图象关于直线
x
=
2
对称；③f
(x)在
6
,
2
上单调;
则正确命题的个数是
A．3 B．2
C．1 D．0
10．已知向量 a，b 满足|a|=1 ,(a − b) ⊥ (3a − b), 则 a 与 b 的夹角的最大值为
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C： ( x −1)2 + y2 =1, 直线 l : y = −x.以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系.
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河北省唐山市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|3A x N x =∈<，{}|,,B x x a b a A b A ==-∈∈，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}2,1,1,2--C ．{}1D ．{}0,1,22.设复数z 满足1132z i z +=--，则||z =（ ）A ．5BC ．2D3.如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（ ）A ．平均数为64B ．众数为7C ．极差为17D ．中位数为64.54.“2560x x +->”是“2x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）A ．24π-B ．243π-C ．24π+D ．242π-6.已知双曲线过点(2,3)，渐进线方程为y =，则双曲线的标准方程是（ ）A ．22711612x y -= B ．22132y x -= C ．2213y x -= D ．22312323y x -= 7.函数21xy x -=+，(,]x m n ∈的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．[1,2)D ．[1,2)-8.执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的结果为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79.已知α，β均为锐角，且sin 22sin 2αβ=，则（ ） A ．tan()3tan()αβαβ+=- B ．tan()2tan()αβαβ+=- C ．3tan()tan()αβαβ+=-D ．3tan()2tan()αβαβ+=-10.已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=--（||2πϕ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．1-BC ．D ．2-11.正方体1111ABCD A B C D -棱长为6，O 点在棱BC 上，且2BO OC =，过O 点的直线l 与直线1AA ，11C D 分别交于M ，N 两点，则MN =（ ）A ．B ．C ．14D ．2112.已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(2)()'()0x f x xf x ++>，则（ ） A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()f x 为减函数D ．()f x 为增函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.7(2)()x y x y +-展开式中，含35x y 项的系数是 ．14.平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+，则λμ= ． 15.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 交Γ于另一点M ，若直线BM 交x 轴于点(12,0)N ，则Γ的离心率是 ． 16.在ABC ∆中，3A π=，3BC =，D 是BC 的一个三等分点，则AD 的最大值是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，(21)nn n S a =-，且11a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为34：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为45.每台仪器各项费用如表：（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X 为生产两台仪器所获得的利润，求X 的分布列和数学期望．19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，3AB =，AD =45ABC ∠=︒，P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上，且2PE =，2BE EA =，F 为AD 的中点，M 在线段CD 上，且CM CD λ=．（Ⅰ）当23λ=时，证明：平面PFM ⊥平面PAB ；（Ⅱ）当平面PAM 与平面ABCD 所成的二面角的正弦值为5时，求四棱锥P ABCM -的体积．20.已知ABC ∆的顶点(1,0)A ，点B 在x 轴上移动，||||AB AC =，且BC 的中点在y 轴上. （Ⅰ）求C 点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知轨迹Γ上的不同两点M ，N 与(1,2)P 的连线的斜率之和为2，求证：直线MN 过定点．21.已知函数1()(ln 1)f x a x x =-+的图象与x 轴相切，21()(1)log 2b x g x b x -=--．（Ⅰ）求证：2(1)()x f x x-≤；（Ⅱ）若1x <<2(1)0()2b g x -<<请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22(12sin )3ρθ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，点(1,0)M ，求||||||MA MB -． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x x x =-++，P 为不等式()4f x >的解集. （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）证明：当m ，n P ∈时，|4|2||mn m n +>+.唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试理科数学答案一、选择题1-5:DBDBA 6-10:CDBAC 11、12：DA 二、填空题 13.49 14.29 15.121 三、解答题17.解：（Ⅰ）由(21)n n n S a =-，可得111(21)n n n S a ---=-（2n ≥）， 两式相减，得111(21)(21)n n n n n n S S a a ----=---，11(22)(21)n n n n a a ---=-，即11(2)2n n a n a -=≥， 故{}n a 是一个以1为首项，12为公比的等比数列， 所以11()2n n a -=．（Ⅱ）11()2n n n b na n -==．123n n T b b b b =++++…012111111()2()3()()2222n n -=⨯+⨯+⨯++…，①12n T = 12111111()2()(1)()()2222n n n n -⨯+⨯++-+…，②①-②，得1211111121()()()()2222222n n n n n T n -+=++++-=-…，所以1242n n n T -+=-． 18.解：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件A ，则341()(1)(1)4520P A =--=， 所以每台仪器能出厂的概率119()12020P A =-=． （Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率341(1)455P =-⨯=．（Ⅲ）X 可取3800，3500，3200，500，200，2800-．339(3800)4416P X ==⨯=，12133(3500)5410P X C ==⨯⨯=，211(3200)()525P X ===，123113(500)()44540P X C ==⨯⨯⨯=，121111(200)()54550P X C ==⨯⨯⨯=，2111(2800)()45400P X =-=⨯=． X 的分布列为：()380035003200500200(2800)33501610254050400E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=．19.（Ⅰ）证明：连接EC ，作//AN EC 交CD 于点N ，则四边形AECN 为平行四边形，1CN AE ==，在BCE ∆中，2BE =，BC =45ABC ∠=︒，由余弦定理得2EC =． 所以222BE EC BC +=，从而有BE EC ⊥. 在AND ∆中，F ，M 分别是AD ，DN 的中点， 则//FM AN ，//FM EC ， 因为AB EC ⊥，所以FM AB ⊥.由PE ⊥平面ABCD ，FM ⊂平面ABCD ， 得PE FM ⊥，又FM AB ⊥，PEAB E =，得FM ⊥平面PAB ，又FM ⊂平面PFM ， 所以平面PFM ⊥平面PAB .（Ⅱ）以E 为坐标原点，EB ，EC ，EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，(0,0,2)P ，(0,2,0)C ，(3,2,0)D -，(1,0,2)AP =，(13,2,0)AM AC CD λλ=+=-.平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =. 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z =， 由0AP n ⋅=，0AM n ⋅=，得20,(13)20,x z x y λ+=⎧⎨-+=⎩令2x =，得(2,31,1)n λ=--.由题意可得，|||cos ,|||||m nm n m n ⋅<>=⋅5==，解得13λ=， 所以四棱锥P ABCM -的体积1833P ABCM ABCM V S PE -=⨯=梯形.20.解：（Ⅰ）设(,)C x y （0y ≠），因为B 在x 轴上且BC 中点在y 轴上，所以(,0)B x -，由||||AB AC =，得222(1)(1)x x y +=-+，化简得24y x =，所以C 点的轨迹Γ的方程为24y x =（0y ≠）． （Ⅱ）设直线MN 的方程为x my n =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由24,,y x x my n ⎧=⎨=+⎩得2440y my n --=， 所以124y y n =-，1121112241214MP y yk y x y --===-+-，同理242NP k y =+，所以1244222y y +=++，化简得124y y =， 又因为124y y n =-，所以1n =-， 所以直线MN 过定点(1,0)-. 21.解：（Ⅰ）21'()a f x x x =-， 设()f x 的图象与x 轴相交于点0(,0)x ，则00()0,'()0,f x f x =⎧⎨=⎩即002001(ln 1)0,10,a x x a x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得01a x ==． 所以1()ln 1f x x x=-+， 2(1)()x f x x-≤等价于ln 1x x ≤-．设()ln 1h x x x =-+，则1'()1h x x=-， 当01x <<时，'()0h x >，()h x 单调递增； 当1x >时，'()0h x <，()h x 单调递减， 所以()(1)0h x h ≤=，即ln 1x x ≤-，（*），所以2(1)()x f x x-≤．（Ⅱ）设1()(1)ln x h x x x-=>，则21ln 1'()ln x x h x x+-=， 由（Ⅰ）可知，当1x >时，1ln 10x x+->，从而有'()0h x >，所以()h x 单调递增，又1x <<21x b <<，从而有2()()h x h b <，即2211ln ln x b x b--<， 所以21(1)ln (1)log 2ln b x b xb x b--<=-，即()0g x >， 21()(1)log 2b x g x b x -=--2(1)ln 1ln 2b x x b --=-22ln 1(1)2ln 2x x b b -=-⋅-2211(1)2ln 2x x b b --<-⋅-211(1)2ln x b b--=⋅-，又1ln 1b b >-，所以1ln b b b-<， 又21x b <<，所以22(1)(1)(1)()22x b b g x ---<<．综上可知，2(1)0()2b g x -<<．22.解：（Ⅰ）曲线1C0y -=，曲线2C 的直角坐标方程为2213x y +=． （Ⅱ）将直线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程整理得：25240t t +-=，1225t t +=-，由t 的几何意义可知：122||||||||5MA MB t t -=+=. 23.解：（Ⅰ）2,1,()|1||1|2,11,2, 1.x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩由()f x 的单调性及()4f x =得，2x >或2x <-． 所以不等式()4f x >的解集为{}|22P x x x =><-或. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知||2m >，||2n >，所以24m >，24n >，2222(4)4()(4)(4)0mn m n m n +-+=-->，所以22(4)4()mn m n +>+，从而有|4|2||mn m n +>+．。