高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_1_1 椭圆及其标准方程课前引导素材 新人教B版选修1-1
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程1数学教案
2．1.1 椭圆及其标准方程预习课本P32～36，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？2．椭圆的标准方程是什么？[新知初探]1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．[点睛] 定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴或y 轴上．(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于x a 与yb的平方和，并且分母为不相等的正值.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )(2)已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为圆( )(3)方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)表示的曲线是椭圆( )答案：(1)× (2)√ (3)×2．若椭圆x 25＋y 2m＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案：C3．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案：D4．若椭圆的焦距为6，a －b ＝1，则椭圆的标准方程为________________．答案：x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1求椭圆的标准方程[典例](1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52；(3)椭圆的焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝ 6.[解] (1)椭圆的焦点在x 轴上，故设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝10，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝9. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)椭圆的焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义，知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (3)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6.①又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ，代入①得4b 2－b 2＝6， ∴b 2＝2，∴a 2＝8.又∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点． 解：(1)法一：(分类讨论法)若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以－52a2＋32b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 y 220＋x 24＝1. 椭圆的定义及其应用[典例] (1)已知椭圆的方程为x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．20C ．241D ．441(2)如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________．[解析] (1)∵a >5，∴椭圆的焦点在x 轴上．又c ＝4， ∴a 2－25＝42，∴a ＝41.由椭圆的定义知△ABF 2的周长＝|BA |＋|F 2B |＋|F 2A |＝|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 1|＋|AF 2|＝4a ＝441.(2)由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② 将②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是335.[答案] (1)D (2)335[活学活用]1.如图所示，已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，则椭圆的标准方程为____________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2，所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝12．已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝________.解析：由题意，得a 2＝9，∴a ＝3，c 2＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴c ＝7，∴|F 1F 2|＝27.∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1||PF 2|＝42＋22－2722×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：120°与椭圆有关的轨迹问题[典例] (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为________．(2)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．[解析] (1)设P (x P ，y P )，Q (x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x P2，y ＝yP2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝2x ，y P ＝2y ，又点P 在椭圆x 24＋y 28＝1上，所以2x24＋2y 28＝1，即x 2＋y 22＝1.答案：x 2＋y 22＝1(2)解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法求过点P (3,0)且与圆x 2＋6x ＋y 2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．解：圆方程配方整理得(x ＋3)2＋y 2＝102，圆心为C 1(－3，0)，半径为R ＝10.设所求动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧|PC |＝r ，|CC 1|＝R －r ，消去r 得R －|PC |＝|CC 1|⇒|PC |＋|CC 1|＝R ，即|PC |＋|CC 1|＝10.又P (3,0)，C 1(－3,0)，且|PC 1|＝6<10.可见C 点是以P ，C 1为两焦点的椭圆，且c ＝3,2a ＝10，所以a ＝5，从而b ＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.层级一 学业水平达标1．若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，因为|PF 1|＝3，所以|PF 2|＝7.2．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．5或3D ．8解析：选C 由题意得c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.当m >4时，m ＝4＋1＝5；当m <4时，4＝m ＋1，∴m ＝3.3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a >|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D 由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9. 故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 6．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由直线AB 过椭圆的一个焦点F 1，知|AB |＝|F 1A |＋|F 1B |，∴在△F 2AB 中，|F 2A |＋|F 2B |＋|AB |＝4a ＝20，又|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝8.答案：87．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时 △PF 1F 2的面积最大， ∴12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. 答案：x 225＋y 29＝19．求符合下列条件的椭圆的标准方程．(1)过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫63，3和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223，1； (2)过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点．解：(1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．∵椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫63，3和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223，1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫632＋n ·32＝1，m ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2232＋n ·12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.(2)由题意得已知椭圆x 29＋y 24＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，∴c 2＝9－4＝5.∴设所求椭圆方程为x 2a ′2＋y 2a ′2－5＝1.∵点(－3,2)在所求椭圆上，∴9a ′2＋4a ′2－5＝1.∴a ′2＝15或a ′2＝3(舍去)． ∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. 10．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．解：(1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4.又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35. 故∠F 1PF 2的余弦值等于35.层级二 应试能力达标1．下列说法中正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选C A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为5＋42＋32＋5－42＋32＝410>|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选C.2．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1―→·PF 2―→＝0，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．9 B ．12 C ．10D ．8解析：选A ∵PF 1―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64， ①|PF 1|＋|PF 2|＝10. ②②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18，∴△F 1PF 2的面积为S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝9.3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2B.⎝⎛⎦⎥⎤0，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cosα＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α>1sin α>0，即sin α>cos α>0.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α<π2.4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心：且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________．解析：易知k ≠0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k－12k ＝16，解得k ＝132. 答案：1326．已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________.解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.答案：127．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，2c2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.法二：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2.由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a ；在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a .依题意有b 2a＝3，得b 2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.8. 如图在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解：如图，连接MA .由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.又A (1,0)，C (－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件1 新人教A版选修1-1.ppt
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2,
a2cxa(xc)2y2,
15
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
8
椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
9
【总结提升】
思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之 和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的 焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的 和等于正常数2a (2a>2c)，则F1，F2 的坐标分别是(c,0)、(c,0).
y M
F1 O F2 x
14
由椭圆的定义得 |M F1||M F2|2a.
因为 | MF1 | ( x c )2 y 2 ,| MF2 | ( x c )2 y 2 ,
y F1 O
M F2 x
y
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
12
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦 点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和 F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0). 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.
13
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件3 新人教A版选修1-1.ppt
x b
2 2
＝1
表示焦点在y轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就
大．
17
【过关小练】 1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )
x2 A.
y2
1
36 20
x2 y2 C. 1
36 16
x2 B.
y2
1
20 36
x2 y2 D. 1
16 36
【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,
13
➡根据以上探究过程，试着写出椭圆的标准方程：
1.焦点在x轴上：_xa_22___by_22__1__(a>b>0). 2.焦点在y轴上：__ay_22 __xb_22___1_(a>b>0).
14
【合作探究】 1.在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|=2c，常数为2a？为何令a2c2=b2？ 提示：在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两 个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐 标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令a2-c2=b2 是为了使方程的形式整齐而便于记忆.
8
【过关小练】 1.已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a，其中 a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9
【解析】选B.若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0，为常 数).所以甲是乙的必要条件.反过来，若|PA|+|PB|=2a(a>0，为常数)， 当2a>|AB|时，P点轨迹是椭圆；当2a=|AB|时，P点轨迹是线段AB；当 2a<|AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件.综上，甲 是乙的必要不充分条件.
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程优质课件 北师大
对于本例(1)，试指出 M 的轨迹为椭圆，点 A 应具备的条件？ 解：因为|MA|＝|MQ|， 所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|， 要使 M 点轨迹为椭圆，则需|CQ|＞|CA|，故 A 点必须是圆 C 内且异于圆心 C 的定点．
迹方程为____2x_52_＋__1y_62_＝__1________．
解析：(1)由题意知，|AB|＋|AC|＋|BC|＝8， 即|AB|＋|AC|＝6＞2， 故顶点 A 的轨迹是以 B 和 C 为左右焦点的椭圆． a＝3，c＝1，b＝ a2－c2＝2 2. 由题意知点 A 不能在直线 BC 上，故该椭圆的标准方程为x92＋ y82＝1(x≠±3)．
2．椭圆x32＋y2＝1 的一个焦点坐标为( A )
A．( 2，0)
B．(0， 2)
C．(2，0)
D．(0，2)
解析：该椭圆的焦点坐标为(± 2，0)．
3．椭圆2x52＋1y62 ＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 4，则 P 到 另一个焦点的距离是___6_____． 解析：因为 a＝5，设 F1，F2 为椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2| ＝2a＝10，故 P 到另一个焦点的距离为 10－4＝6.
4．到两点 F1(－3，0)、F2(3，0)的距离之和为 10 的点的轨迹 方程是____2x_5_2 ＋__1_y62_＝__1________(写成标准形式)． 解析：因为|F1F2|＝6＜10，所以该轨迹为椭圆．
易知 c＝3，2a＝10，即 a＝5，b＝ a2－c2＝4.
故该椭圆的标准方程为2x52＋1y62 ＝1.
1．对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是 判断一曲线是否为椭圆的限制条件．若常数 2a＝|F1F2|时(F1，F2 为两定点)，轨迹是线段 F1F2，若常数 2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修1_1
迹是( B )
A．一个椭圆
B．线段AB
C．线段AB的垂直平分线
D．直线AB
[解析] ∵|MA|＋|MB|＝2＝|AB|，
∴点M在线 的值是( C )
A．5
B．3 或 8
C．3 或 5
D．20
[解析] 2c＝2，c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1， ∴m＝5或m＝3，故选C．
_____a_x22_＋__by_22_＝__1_(a_>__b_>_0_) __
图形
焦点在 y 轴上 ____ay_22＋__bx_22_＝__1_(_a_>_b_>_0_)____
焦点坐标 _____F__1(_－__c_,0_)_、__F_2_(_c_,0_)______ _____F_1_(_0_，__－__c_)、__F__2(_0_，__c_)___
[思路分析] 根据题意画出图形，利用中位线及椭圆的定义求解．
[解析] 如图，OM 是△F1F2P 的中位线， 由|OM|＝1 得|PF2|＝2. 由椭圆x92＋y42＝1 得 a2＝9，即 a＝3， 又|PF2|＋|PF1|＝2a＝6. ∴|PF1|＝4.
『规律方法』 当问题中涉及椭圆上的点到焦点距离时，注意考虑利用椭 圆的定义求解．
[思路分析] (1)由已知可得a、c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位 置写出椭圆的方程．
(2)利用两点间的距离公式求出2a，再写方程；也可用待定系数法． (3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋ By2＝1(A>0，B>0，A≠B)直接求A，B的方程．
1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为__连__接__这__两__点__的__线__段__的__ _垂__直__平__分__线___.也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形．那
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件4 新人教B版选修1-1
例2：已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且椭圆经过点P（2,0）
求椭圆的标准方程。
解：因为椭圆的焦点在x轴上，x2 y2 所以设椭圆的标准方程是 a2 + b2
=1
(a > b > 0)
待定系数法
又因为焦距是2，所以2c=2，即c=1
所以 a2 - b2 = c2 = 1
因为椭圆经过点P（2,0）
由题可知，焦点在x轴上，
因此焦点为 F1(-6,0), F2 (6,0) 焦距为12
K12课件
12
强化训练
1.判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，写出焦点坐标。
1） x 2 25
+
y2 16
= 1 答:在 x 轴上，(-3,0)和(3,0）
2） x 2 + y 2 = 1 答:在 y 轴上，(0,-5)和(0,5） 144 169
14
2.椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4, 0 )、( 4 , 0 )， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 ,求椭圆的标准 方程。
3.两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2） 并且椭圆经过点（-3/2，5/2）,求椭圆的方程。
K12课件
15
2、椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4, 0 )、( 4 , 0 )， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 ,求椭圆的标准方程。
4
椭圆的定义： 焦点
2a
平面上与两个定点F1，F2距离之和是常数
（大于| F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆。
焦距 2c
K12课件
5
• (1)改变两图钉之间的距离， 使其与绳长相等，画出的图形 还是椭圆吗？
(2)绳长能小于两图钉之间的距离吗？
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程省公开课一等奖新优质课获奖课件
2 = 2 + 4,
2
所以椭圆的标准方程为
36
2
2=1(a>b>0).
2 = 36,
2 = 32.
2
+ =1.
32
18/36
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)若椭圆的焦点在 x 轴上,
2
2
设椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0).
4
2
1
1
+
=
1,
=
,
2
2
2
8
由已知条件得 1
在详细问题中做出适当判断.
4/36
【做一做1】 (1)命题甲:动点P到两个定点A,B距离之和
|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数);命题乙:点P轨迹是椭圆,且A,B是焦
点,则命题乙是命题甲(
)
A.充要条件
B.充分无须要条件
C.既不充分也无须要条件
D.必要不充分条件
(2)已知F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点
解得 1 1
14
+ 2 = 1,
2 = 4.
2
4
2
所以所求椭圆的标准方程为 8
2
+ 4 =1.
同理可得:焦点在 y 轴上的椭圆不存在.
2
2
综上,所求椭圆的标准方程为 + =1.
8
4
19/36
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求椭圆标准方程步骤:
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程备课省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
【解析】|PF1|+|PF2|=2a=20,又|F1F2|=2c=12.由余 弦
定理知:(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°, 256
即144=(|PF1|+|PF23|)2-3|PF1|·|PF2|.
所以|SPFF1P1F2|·1|2PF2|= , 所以 = |PF1|·|PF2|·sin 60°=
②-①,得(2+ 3)|PF1|·|PF2|=75,
所以|PF1|·|PF2|=75(2- 3),
所以
S
=
F1PF2
|P1F1|·|PF2|·sin 30°= 2
(2-75 ). 4
3
39/66
2.将典例中椭圆方程改为“ 不变,求△F1PF2面积.
x2 ＋ y=21”,其余条件 100 64
40/66
M N =1.
1， 1. 4
4
31/66
类型二 椭圆定义及应用
【典例】(·潍坊高二检测)设P是椭圆
x2 ＋=1y2 25 75
4 上一点,F1,F2是椭圆焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2
面积.
32/66
【解题探究】(1)你能写出|PF1|+|PF2|与|F1F2|大小吗? 提醒:(1)依据椭圆定义即可写出.
43/66
【赔偿训练】如图所表示,已知椭圆方程为 x2 ＋y2 =1,若点P是椭圆上第二象限内点,且∠PF1F2=4120°3 , 求△PF1F2面积.
44/66
【解题指南】由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边 长. 【解析】由已知a=2,b= 3 ,所以c= a2 b2＝=41,3 |F1F2|=2c=2,
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2.1.1 椭圆及其标准方程
课前导引
问题导入
(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3，0)，求椭圆的方程.
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(-3，-2)，求椭圆的方程.
思路分析：(1)若焦点在x 轴上，设方程为22
22b
y a x +=1(a ＞b ＞0). ∵椭圆过P (3,0),∴22
2203b
a +=1. 又2a =3×2
b ,∴a =3,b =1,方程为9
2
x +y 2=1. 若焦点在y 轴上，设方程为22
22b
x a y +=1(a ＞b ＞0). ∵椭圆过点P (3，0)， ∴22
2230b
a +=1. 又2a =3×2
b ,∴a =9,b =3. ∴方程为.19
812
2=+x y ∴所求椭圆的方程为92
x +y 2=1或.19
8122=+x y (2)设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0,且m ≠n ).
∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎨
⎧=+=+②① ,123 ,16n m n m ①、②两式联立，解得m =9
1,n =31. ∴所求椭圆方程为.13
92
2=+y x
知识预览
1.________________________叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离
叫做椭圆的焦距.
答案：平面内到两定点距离之和为一常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹 焦点
2.焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是________. 答案：22
22b
y a x +=1(a >b >0) 3.焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是________. 答案：22
22b
x a y +=1(a >b >0) 4.在椭圆的标准方程中分母的大小反映了焦点所在的坐标轴，并且a 2、b 2、c 2之间的关系是________.
答案：a 2=b 2+c 2。