高中数学第二章圆锥曲线与方程：曲线与方程

预学 3:点与曲线的位置关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,则点 P(x0,y0)在曲线 C 上⇔ f(x0,y0)=0;点 P(x0,y0)不在曲线 C 上⇔f(x0,y0)≠0. 议一议:如果曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,那么点 P(wk.baidu.com0,y0)在 曲线 C 上的充要条件是什么?(指定小组回答,其他组补充)
(4)注重解方程组,利用根与系数的关系求解直线与圆锥曲 线的位置关系,让学生初步学会利用根与系数的关系来解答位置 关系或参数的取值范围等综合性问题.
第 1 课时 曲线与方程
重点:曲线方程的概念,求曲线方程的一般步骤. 难点:求曲线的方程. 学法指导:结合必修 2 的内容熟悉有关直线、圆的知识,在学 习过程中对于曲线方程的概念可利用直线、圆等特殊的例子去理 解.直接法是求动点轨迹的一种重要方法,学习时要结合导学案 中的例题和练习去熟练掌握,并注意所求轨迹的纯粹性与完备 性.
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【解析】 把点 M(4,-1)代入圆 C 和直线 l 的方程,均使方程成 立,故点 M 既在圆 C 上,也在直线 l 上. 【答案】C
2.方程 x+|y-1|=0 表示的曲线是(
) .
【解析】方程 x+|y-1|=0 可化为|y-1|=-x≥0,则 x≤0,因此 选 B. 【答案】B
3.若曲线 ax2+by2=4 过点 A(0,-2),B( , 3),则 a= ,b= .
在必修 2 中我们学习了直线和圆的方程,我们发现曲线是方 程的解为坐标的点的轨迹,而方程是曲线中点对应的坐标满足的 等式,那么对于一般曲线,我们是否仍然可以用方程的思想去探 究它们的规律呢?
预学 1:直线的一般方程为 ax+by+c=0,圆的标准方程为 (x-a) +(y-b) =k ,圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0). 想一想:连接 A(1,0),B(2,2)两点间的线段,用什么方程表 示?
议一议:求曲线的方程和求轨迹一样吗?(讨论并回答)
【解析】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说 明、讨论清楚.
1.已知圆 C:(x-2) +(y+1) =4 及直线 l:x+2y-2=0,则点 M(4,-1)( ). A.不在圆 C 上,但在直线 l 上 B.在圆 C 上,但不在直线 l 上 C.既在圆 C 上,也在直线 l 上 D.既不在圆 C 上,也不在直线 l 上
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【解析】直线 AB 的方程为 y=2(x-1),即 2x-y-2=0, ∴线段 AB 的方程可表示为 2x-y-2=0(1≤x≤2).
预学 2:曲线方程的概念 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作点的集合或适 合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数 解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
【解析】设动点 P(x,y),依题意|PA|=2|PB|, 所以 (x + 2) + y 2 =2 (x-1) + y 2 ,化简得(x-2) +y =4,
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故点 P 的轨迹方程表示半径为 2 的圆,因此所求图形的面积 S=π·22=4π.
探究 1:曲线与方程的概念 【例 1】已知坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,那 么( ). A.曲线 C 上的点的坐标都满足方程 f(x,y)=0 B.凡坐标不满足 f(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 C.不在曲线 C 上的点的坐标必不满足 f(x,y)=0 D.不在曲线 C 上的点的坐标有些满足 f(x,y)=0,有些不满足 f(x,y)=0
(2)在学习圆锥曲线时要注重知识的形成过程,从圆锥曲线 的形成过程到圆锥曲线的定义,再根据定义引导学生建立适当的 直角坐标系,指导学生根据求曲线方程的一般步骤求得椭圆、双 曲线、抛物线的标准方程,增强学生的研究兴趣和信心. (3)利用对比的手段,将椭圆与双曲线的定义、方程和性质进 行对比,让学生从对比中找出相同与不同,并熟练掌握两种曲线 的特点.注重圆锥曲线定义的使用与转化,特别是通过抛物线的 定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离求解.
【解析】若点 P 在曲线 C 上,则 f(x0,y0)=0;若 f(x0,y0)=0,则 点 P 在曲线 C 上,所以点 P(x0,y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0,y0)=0.
预学 4:求曲线方程的一般步骤 (1)建系:建立适当的坐标系,用有序数对(x,y)表示曲线上 任意一点 M 的坐标; (2)写集合:写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M|p(M)}; (3)列方程:用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0; (4)化简:化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)说明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不 写,如有特殊情况,可以适当说明.另外,也可以根据情况省略步 骤(2),直接列出曲线方程.
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1.本章教学的重点内容主要有:曲线与方程、椭圆及其标准 方程、椭圆的几何性质、双曲线及其标准方程、双曲线的几何性 质、抛物线及其标准方程、抛物线的几何性质. 2.本章教学的难点是对于曲线方程概念的理解,直线与圆锥 曲线的位置关系的讨论. 3.在教学时要注意以下几点: (1)讲解本章内容的前提是要讲清楚曲线方程概念的两个不 同层次,通过举例让学生明白曲线方程的两个条件是缺一不可的, 让学生在求得方程后,运用曲线方程的概念,观察判断得到的方 程是否为所求的曲线方程.
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【解析】因为曲线过 A(0,-2),B(2, 3)两点, 所以 A(0,-2),B( , 3)的坐标就是方程的解. 4b = 4, a = 4, 所以 1 解得 a + 3b = 4, b = 1. 4 【答案】4 1
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4.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,求点 P 的轨迹所包围图形的面积.