高中二年级数学 第二章 圆锥曲线与方程(A)

第二章 圆锥曲线与方程(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 25．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)7.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线8．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |等于( )A ．9B ．6C ．4D ．39．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫32，54 B ．(1,1)C.⎝⎛⎭⎫32，94 D ．(2,4)12．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫34π，πB.⎝⎛⎭⎫π4，34π C.⎝⎛⎫π2，π D.⎝⎛⎫π2，34π 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．15．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．16．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52. 其中所有正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．18．(12分)双曲线C与椭圆x28＋y24＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．19.(12分)直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．20．(12分)已知点P(3,4)是椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．21.(12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．22．(12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．(1)写出C的方程；(2)若OA⊥OB，求k的值．第二章 圆锥曲线与方程(A)1．A [由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14.] 2．B [∵y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴x 2m 2＋y 2n2＝1的右焦点为(2,0)，∴m >n 且c ＝2. 又e ＝12＝2m，∴m ＝4. ∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.] 3．B [抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线中c ＝6.①由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，知b a＝3，② 且c 2＝a 2＋b 2.③由①②③解得a 2＝9，b 2＝27.故双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.] 4．D [由椭圆的几何性质得|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|(2a －|PF 1|)＝－|PF 1|2＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2＋a 2≥－c 2＋a 2＝b 2，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2.]5．B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a ＝2，且双曲线的标准方程为y 24－x 2b2＝1. 根据题意2a ＋2b ＝2·2c ，即a ＋b ＝2c .又a 2＋b 2＝c 2，且a ＝2，∴解上述两个方程，得b 2＝4.∴符合题意的双曲线方程为y 24－x 24＝1.] 6．B [∵双曲线方程为x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1， ∴c ＝ 2a 2＋2a ＋1.∴e ＝c a ＝ 2＋1a 2＋2a ＝ ⎝⎛⎭⎫1a ＋12＋1. 又∵a >1，∴0<1a <1.∴1<1a＋1<2. ∴1<⎝⎛⎭⎫1＋1a 2<4.∴2<e < 5.] 7．D [∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，∴D 1C 1⊥侧面BCC 1B 1.∴D 1C 1⊥PC 1.∴PC 1为P 到直线D 1C 1的距离．∵P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，∴PC 1等于P 到直线BC 的距离．由圆锥曲线的定义知，动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线．]8．B [设A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，F (1,0)， ∵FA ＋FB ＋FC ＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.又由抛物线定义知|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6.]9．C [如图所示，要使过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率b a， ∴b a ≥3，离心率e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2≥4， ∴e ≥2.]10．B [根据抛物线的定义可得．]11．B [设与直线2x －y ＝4平行且与抛物线相切的直线为2x －y ＋c ＝0 (c ≠－4)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋c ＝0y ＝x 2 得x 2－2x －c ＝0.①由Δ＝4＋4c ＝0得c ＝－1，代入①式得x ＝1.∴y ＝1，∴所求点的坐标为(1,1)．]12．D [椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1. ∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.] 13.32解析 由已知得∠AF 1F 2＝30°，故cos 30°＝c a ，从而e ＝32. 14．2x －y －15＝0解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为线段AB 的中点为P (8,1)，所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2.所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2. 所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，代入x 2－4y 2＝4满足Δ>0.即2x －y －15＝0. 15.22解析 由题意，得b 2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ， 因此e ＝c a ＝ c 2a 2＝ c 2b 2＋c 2＝ 12＝22. 16．③④解析 ①错误，当k ＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k ＝52时，方程表示圆；验证可得③④正确．17．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2， 把⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1， 得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36. ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.18．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1. 由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)， ∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴b a＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. 19．解 将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得：k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0(4k ＋8)2－16k 2>0，得k >－1且k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0. 解得：k ＝2或k ＝－1(舍去)， 由弦长公式得：|AB |＝1＋k 2·64k ＋64k 2＝5×1924＝215. 20．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1， 解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1. 因为点P (3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1. 解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65，①又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，②①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20. 21．解 焦点F (p 2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意． 所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px 消去x ， 整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (1＋1k2)·(y 1－y 2)2 ＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝52p . 解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)． 22．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1. 消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0.其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0， 化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.。