高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 11

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．抛物线的焦点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，则其标准方程为( ) A ．x 2＝－y B ．x 2＝yC ．y 2＝xD ．y 2＝－x【解析】 易知－p 2＝－14，∴p ＝12，焦点在x 轴上，开口向左，其方程应为y 2＝－x .【答案】 D2．(2014·安徽高考)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2【解析】 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y .∴准线方程为y ＝－1.【答案】 A3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．x 2＝yC ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C.【答案】 C4．若抛物线y 2＝ax 的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( )A ．(－2,0)B ．(2,0)C ．(2,0)或(－2,0)D ．(4,0)【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.当a ＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a ＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C.【答案】 C5．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴p 2＝2，即p ＝4.【答案】 D二、填空题6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________.【解析】 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p 2＝4，∴p ＝2.【答案】 27．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程是________．【解析】 由题意知，P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，直线x ＋2＝0为准线的抛物线，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号 )【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52.若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④三、解答题9．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标．【解】 由抛物线定义，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，则准线为x ＝p 2.由题意，设M 到准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10，即p 2－(－9)＝10.∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或M (－9，－6)．10．若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【导学号：26160056】【解】 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由已知可得定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝1.∵两圆外切，∴|MC |＝R ＋1.又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切．∴圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R .∴|MC |＝d ＋1，即动点M 到定点C (2,0)的距离等于它到定直线x ＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M 的轨迹是以C 为焦点，x ＋2＝0为准线的抛物线，且p 2＝2，p ＝4，故其方程为y 2＝8x .[能力提升]1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D. 3【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32. 【答案】 B2．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和到y轴的距离之和的最小值是()A. 3B. 5C．2 D.5－1【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l 的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.【答案】 D3．如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.图2－3－2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x20＝6，∴x0＝ 6.∴水面宽|CD|＝2 6 m.【答案】 2 6 4．若长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，求M 点到y 轴的最短距离． 【导学号：26160057】【解】 设抛物线焦点为F ，连结AF ，BF ，如图，抛物线y 2＝2x的准线为l ：x ＝－12，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.由抛物线定义，知|AA ′|＝|F A |，|BB ′|＝|FB |.又M 为AB 中点，由梯形中位线定理，得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|F A |＋|FB |)≥12|AB |＝12×3＝32，则x ≥32－12＝1(x 为M 点的横坐标，当且仅当AB 过抛物线的焦点时取得等号)，所以x min ＝1，即M 点到y 轴的最短距离为1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？01学习内容的自主性1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。