高中数学第二章圆锥曲线与方程本章归纳整合新人教A版选修

(3)求轨迹方程的几种常用方法： ①直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几 线上的动 点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所 求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足 的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系 式．
已知椭圆上的两点 P(3,4)，Q
5，43
10.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的两焦点为 F1，F2，M 为椭圆上一点，且∠
F1MF2＝90°，求△F1MF2 的面积． 思维点击： (1)用待定系数法求椭圆方程．(2)利用椭圆
定义和直角三角形面积公式求△F1MF2 的面积．
(1)设椭圆方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，
1．已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2，F1，F2 为 左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2 ＝12 3，求双曲线的标准方程．
解析： 如图所示，设双曲线方程为 ax22－by22＝1(a>0，b>0)． ∵e＝ac＝2，∴c＝2a.
9A＋16B＝1， A≠B)，则5A＋1690B＝1，
解得AB＝ ＝421150， ，
∴椭圆的标准方程为4x52 ＋2y02 ＝1.
(2)由题意知：|MF1|＋|MF2|＝6 5，
①
|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝100，
②
由①②解得|MF1|·|MF2|＝40，
∴S△F1MF2＝12|MF1|·|MF2|＝20.
知能整合提升
1．归纳三种圆锥曲线定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
平面内与两个定 平面内与两个定点 平面内与一个定
定义
点 F1，F2 的距离 F1，F2 的距离的差的 点 F 和一条定直
之和等于常数(大 绝对值等于常数(小 线 l(l 不经过点 F)
于|F1F2|)的点的轨 于|F1F2|且大于零)的 距离相等的点的
利用圆锥曲线的定义解题的策略 (1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定 义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题 时，常用定义结合解三角形的知识来解决； (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的 距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解 决．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注 意灵活运用．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据 平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数 之间的关系．通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更 形象、直观．
4．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三 类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其 中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与 其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线 平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行． (2)从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方 程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来 判断．
一条对称轴
四个
两个
一个
e＝ac，且 0<e<1
e＝ac，且 e>1
e＝1
e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口大小
2.待定系数法求圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程 求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两 方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不 确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方 程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当A1>B1时，焦点在 x 轴上，当A1<B1时，焦点在 y 轴上；双曲线方程为 Ax2＋By2 ＝1(AB<0)，当 A<0 时，焦点在 y 轴上，当 B<0 时，焦点在 x 轴上．
3．三法应对离心率 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆 (双曲线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上都有关系式 a2－b2＝c2(a2 ＋b2＝c2)以及 e＝ac，已知其中的任意两个参数，可以求其他 的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其 离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
③定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲 线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程 写出动点的轨迹方程．
④参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作 为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数 方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．
热点考点例析
圆锥曲线的定义
5．解轨迹问题的策略技巧 (1)解决轨迹问题首先要明确圆锥曲线的性质，做好对图形 变化可能性的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的 方法，如参数的选取、相关点的变化规律及限制条件等，注意 将动点的几何特性用数学语言来表述． (2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上 点的坐标的取值范围．
另外，在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已 知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免 出错．如与已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲 线方程可设为ax22－by22＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲 线，其方程可设为 x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再 由条件求出参数 p 的大小．当焦点位置不确定时，要分情况 讨论，也可将焦点在 x 轴或 y 轴上的抛物线方程设为一般形 式 y2＝2px(p≠0)或 x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数 p 的值．
迹
点的轨迹
轨迹
标准方程 ax22＋by22＝1(a>b>0) ax22－by22＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
关系式 图形
对称性 顶点
离心率 决定形状 的因素
椭圆
双曲线
抛物线
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
封闭图形
无限延展，但有渐近 无限延展，没有
线
渐近线
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴