高考数学圆锥曲线与方程总结题型详解

高考数学圆锥曲线与方程章总结题型详解圆锥曲线与方程题型一 定义运用1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线22x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N 是直线2y =上的两点，且2MN =，MNP ∆的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ．45B ．25C ．23D ．13【答案】A【解析】由题意，22p = ，则122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，由抛物线的定义得，点P 到准线12y =-的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3'2PP =. 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，352=622PM PN MN ++>++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由2=6PM PN MN ++= ，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去，综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以24552sin MPN <==，故选A. 2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由题意得，设抛物线28y x =的准线方程为:2l x =-，直线()2y k x =+恒过定点()2,0-，如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ，由2FA FB =，则2AM BN =，点B 为AP 的中点， 因为点O 是PF 的中点，则12OB AF =，所以OB BF =，所以点B 的横坐标为1，所以点B 的坐标为(，同理可得点(4,A ，所以点A 到抛物线准线的距离为426+= ，故选A.3．（2019·河南高考模拟（理））已知抛物线24y x =的焦点为F ，l 为准线，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA l ⊥，垂足为A ，若直线AF 的斜率为A 到PF 的距离为（ ）A. D.2【答案】A【解析】因为直线AF 的斜率为 所以直线AF 的倾斜角为120︒，则60PAF ∠=︒，由抛物线的定义得PF PA =， 所以PAF ∆为等边三角形，又1OF =， 所以|AF|=4,所以A 到PF 的距离等于 故选：A.题型二 标准方程1.（2019·天津市宁河区芦台第一中学高考模拟（理））已知双曲线的离心率，点 是抛物线 上的一动点， 到双曲线 的上焦点 的距离与到直线 的距离之和的最小值为 ，则该双曲线的方程为（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】因为双曲线的离心率，所以 ，设 为抛物线 焦点，则 ，抛物线 准线方程为 ，因此 到双曲线 的上焦点 的距离与到直线 的距离之和等于 ， 因为 ，所以 ，即 ， 即双曲线的方程为，选B.2．（2019·天津南开中学高考模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，若FOM ∆O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22415y x -=B ．222125x y -=C ．22145x y -=D ．2211620x y -=【答案】C【解析】由题意可得 32c e a ==①， 可得2b a == ， 设 (),0Fc ， 渐近线为by x a=， 可得 F 到渐近线的距离为MF b == ，由勾股定理可得 OM a === ，因为FOM ∆12ab =② ，又 222+=a b c ③，由①②③ 解得2,3b a c === ，所以双曲线的方程为22145x y -= ,故选C.3．（2019·山东高考模拟（文））若方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ） A.4k > B.4k =C.4k <D.04k <<【答案】D【解析】由题得2214x y k +=，因为方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以04k <<. 故选：D4．（2019·河南高考模拟（理））“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】】方程2212x ym m +=-表示椭圆，即020022m m m m m>⎧⎪->⇒<<⎨⎪≠-⎩且1m ≠所以“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的必要不充分条件故选C题型三 直线与曲线的位置关系1．（2019·山东高考模拟（文））已知12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个不等实根，则经过两点()()221122,,,A x x B x x 的直线与椭圆221164x y+=公共点的个数是（ ）A.2B.1C.0D.不确定【答案】A【解析】因为12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个不等实根所以12x x m +=-，()1221x x m =-+且211(21)0x mx m +-+=，222(21)0x mx m +-+=直线AB 的斜率()22212121ABx x k x x m x x -==+=-- 直线AB 的方程为()211y x m x x -=--即()11+(21)y mx m m x x -+=-- 整理得()()210x m y -+-=故直线AB 恒过()2,1点，而该点在椭圆内部， 所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。

故选A.2．（2019·河南高考模拟（理））已知椭圆22:12x C y +=，设过点()2,0P 的直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是（ ）A ．22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B ．0,55⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭C ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】设直线()():20l y k x k =-≠，代入2212x y +=，得()2222128820k x k x k +-+-=，因为直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点，所以()()22264412820k kk∆=-+->，解得22k -<<且0k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122812k x x k +=+，21228212k x x k-=+，()()22222121222282162224121212k k k y y k x x k k k k⎛⎫-=--=-+= ⎪+++⎝⎭，因为AOB ∠为钝角，所以2212122282201212k k x x y y k k-+=+<++，解得k <<0k ≠.综上所述：k ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：B3．（2019·安徽高考模拟（理））已知双曲线221169x y -=的左焦点为1F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则l 斜率的取值范围为（ ）A.44(,)33-B.33(,)(,)44-∞-+∞ C.33(,)44-D.44(,)(,)33-∞-+∞【答案】B【解析】双曲线的渐近线为34y x =?，当直线l 与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线l 斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率34k >；当直线l 斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率34k <-.故选B.题型四 弦长1.（2019·湖南高考模拟（理））已知椭圆22:143x y C +=的左焦点为F ，过点F 作斜率为34的直线交椭圆C 于,A B 两点，则AB 的长度为（ ）A.217B.237C.257D.277【答案】C【解析】由22:143x y C +=可知()1,0F -，直线AB 为()314y x =+，联立()223412314x y y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，消元得276130x x +-=， 设()()1122,,,A x y B x y 则1267x x +=-，12137x x ⋅=- 根据弦长公式得257AB ===，故选C. 2．（2019·陕西高考模拟（文））双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ） A.20x y --= B.2100x y +-= C.20x y -= D.280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=， 两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C3．（2018·海南高考模拟（文））直线l 交双曲线()220x y a a -=>的右支于,A B 两点，设AB 的中点为C ，O 为坐标原点，直线,AB OC 的斜率存在，分别为,AB OC k k ，则AB OC k k ⋅=（ ）A.-1B.12C.1【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为y=±x ． 设直线l 的方程为y=kx+b ，∵直线l 与双曲线有2个交点A ，B ，故而k≠±1．联立方程组22y kx b x y b=+⎧⎨-=⎩，消去y 得（1﹣k 2）x 2﹣2kbx ﹣b 2﹣a=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 0，y 0）， 则x 1+x 2=221kb k -，∴x 0=122x x +=21kb k -，y 0=kx 0+b=21b k-． ∴直线OC 的斜率为OC k =00y x =1k． ∴AB OC k k ⋅==1． 故选：C题型五 定点1．（2019·内蒙古高考模拟（理））已知椭圆C ：()222211x y a b a b +=>>1x =被椭圆（1）求椭圆方程；（2）设直线y kx m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线1x =上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】（1）由直线1x =⎛ ⎝⎭，即221314a b +=，又c e a ===224a b =， 所以24a =，21b =，即椭圆方程为2214x y +=.（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=，由222222644(14)(44)1664160k m k m m k ∆=-+-=-++>， 得2214m k <+.由122814kmx x k+=-+， 设AB 的中点M 为()00,x y ，得024114kmx k=-=+，即2144k km +=-， ∴0021144m y kx m k k=+==-+. ∴AB 的中垂线方程为()1114y x k k+=--.即134y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故AB 的中垂线恒过点3,04N ⎛⎫⎪⎝⎭. 2．（2019·安徽省泗县第一中学高考模拟（文））已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>且椭圆上一点P的坐标为⎭. （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求证：直线l 恒过x 轴上一定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析.【解析】（1）由已知c e a ==222a b c =+，则2a b =. 椭圆方程为222214x y b b +=，将)2代入方程得1b =，2a =，故椭圆的方程为2214x y +=；（2）不妨设直线AB 的方程x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -⋅=+①又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，∴0CA CB ⋅=，由11(2,)CA x y =-，22(2,)CB x y =-得()()1212220x x y y --+=， 将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式得()()2212121(2)(2)0ky y k m y y m ++-++-=，将①代入上式求得65m =或2m =（舍）， 则直线l 恒过点6(,0)5.若直线斜率为0也符合条件，故直线恒过定点6(,0)5.题型六 定值1.（2019·江西师大附中高考模拟（文））已知离心率为()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎭，,A B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，点P 在椭圆C 上且不与四个顶点重合．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线PA 与y 轴交于N ，直线PB 与x 轴交于M ，试探究AM BN ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）AM BN ⋅是定值，定值为：4【解析】（1）由题意得：2222222112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2241a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆C 的标准方程为：2214x y += （2）点P 不与四个顶点重合 ∴直线,PA PB 的斜率存在且不为0设()00,P x y ，且()2,0A ，()0,1B∴直线PA 的方程为：()0022y y x x =-- 0020,2y N x ⎛⎫∴- ⎪-⎝⎭直线PB 的方程为：0011y y x x -=+ 00,01xM y ⎛⎫∴- ⎪-⎝⎭2200000000000000244448211222x y x y x y x y AM BN y x x y x y +++--∴⋅=+⋅+=----+P 在椭圆上 220044x y ∴+=0000000000000000844822442222x y x y x y x y AM BN x y x y x y x y +----+∴⋅==⨯=--+--+4AM BN ∴⋅=，为定值题型七 最值1.（2017·山东高考模拟（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点⎭，左右焦点为()()12,0,,0F c F c -，且椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点。