圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆21212
121212121,2,
2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ
⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)
0(12
22
2
φφb a b
y a
x =+.
ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)
0(12
222
φφb a b
x a y =+
.
②一般方程：
)
0,0(122φφB A By Ax =+.
③椭圆的标准方程：122
2
2
=+b y a x 的参数方程为???==θ
θ
sin cos b y a x （一象限θ应是属于
2
0π
θπ
π）.
⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.
②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：
2
221,2b a c c F F -==.
⑤准线：
c a x 2
±
=或
c a y 2
±
=.
⑥离心率：
)10(ππe a c
e =
.
⑦焦点半径：
i. 设),(00y x P 为椭圆)
0(12
22
2
φφb a b
y a
x =+
上的一点，21,F F
ii.设),(00y x P 为椭圆)
0(12
22
2
φφb a a y b x =+
上的一点，21,F F 为上、下焦点，则
由椭圆第二定义可知：
)0()(),0()(0002
200201φπx a ex x c
a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+
=归结起来为
?
-=+=0201,ex a PF ex a PF ?
-=+=0201,ey a PF ey a PF
“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：
),(222
2a b c a b d -=
和)
,(2a b c
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆
)
0(12
22
2
φφb a b y a x =+
的离心率是
)(22b a c a c e -==，方程t t b y a x (222
2=+是大于
0的参数，)0φφb a 的离心率也是a
c
e =
我
们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
⑸若P 是椭圆：1
2
22
2
=+
b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积
为2tan
2θ
b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）.
2cot
2θ
?b .
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
的一个端点的一条射线
以无轨迹
方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-φπ
⑴①双曲线标准方程：)
0,(1),0,(12
22
22
222
φφb a b x a y b a b y a x =-=-.
一般方程：)
0(122
πAC Cy Ax
=+.
⑵①i. 焦点在x 轴上：
顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程
c a x 2
±
= 渐近线方程：0=±b y
a x 或
asin α,)
bsin α)N 的轨迹是椭圆
2
22
2=-
b y a x
ii. 焦点在y 轴上：
顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：
c a y 2
±
=. 渐近线方程：0=±b
x
a y 或022
2
2
=-b x a y ，参数方程：???==θ
θ
tan sec b y a x 或??
?==θ
θ
sec tan a y b x .
②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率
a
c e =
.
④准线距c a 2
2（两准线的距离）；通径a
b 2
2.
⑤参数关系
a c
e b a c =
+=,2
2
2
. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程1
2
22
2
=-
b
y a
x
（21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
a
ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足
a
MF MF 221=-
a
ex F M --='01a
ey F M a ey F M a
ey MF
a ey MF -'
-='+'
-='+=-=020102
01
⑶等轴双曲线：双曲线2
22
a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，
离心率2=
e .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做
已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-22
22b y a x 互为共轭双曲线，它们具有
共同的渐近线：0
2
222
=-b y a x .
⑸共渐近线的双曲线系方程：)
0(2
22
2
≠=-
λλb
y a
x 的渐近线方程为0
2
22
2
=-
b
y a
x 如果双
曲线的渐近线为0=±b y
a x )0(22≠=-λλy x 例如：若双曲线一条渐近线为x
y 21=且过)21,3(-p 解：令双曲线的方程为：
)
0(422
≠=-λλy x
，代入)21,3(-⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“?法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑺若P 在双曲线1
2
22
2
=-
b y a x ，则常用结论
1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
2：P 到焦点的距离为m = n ，则P 到两准线的距离比为m ︰n. 简证：
e
PF e PF d d 2
1
21
=
= n
m
.
三、抛物线方程.
3. 设0φp ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
注：①x c by ay =++2顶点
)
244(2a b a b ac --. ②)
0(22
≠=p px y
则焦点半径
2
P
x PF +
=;)
0(22
≠=p py x
则焦点半径为
2
P y PF +
=.
③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.
④px y 22=（或py x 22=）的参数方程为??
?==pt
y pt x 222（或
??
?==222pt y pt
x ）（t 为参数）
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.
当10ππe 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1φe 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（
a
c
e =
，当b a c ==,0时）.
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 共渐近线的双曲线系方程.
圆锥曲线知识点整理
高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线 一、椭圆 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 22 10x y a b a b +=>> ()22 22 10y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<<ｅ越小，椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁 ?
二、双曲线 １、定义：平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹称为双曲线.即:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 22 10,0x y a b a b -=>> ()22 22 10,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>,e 越大,双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 三、抛物线
圆锥曲线知识点总结(供参考)
圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴 上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -， 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或1 22 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-； ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置， 只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n + =（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±， y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点
(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中，2||OB b =， 2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-； ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a = 叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=。 2．双曲线 （1）双曲线的概念
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高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
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第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ 2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上： ) 0(12 22 2φφb a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上： )0(12 22 2φφb a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(12 2 φφB A By Ax =+.③椭圆的参数方程： 2 22 2+ b y a x ?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θππ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2 2 21,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2 ±=或 c a y 2±=.⑥离心率：)10(ππe a c e =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则： 证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201φπx a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起 来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则： ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 2 22b d a =；坐标：22(,),(,)b b c c a a - 4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12 22 2φφb a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程 t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0φφb a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆： 12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2 cot 2θ ?b . 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线 一、椭圆 1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-< 二、双曲线 1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于 12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210,0x y a b a b -=>> ()22 2 210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>，e 越大，双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 三、抛物线 圆锥曲线知识点回顾1．椭圆的性质 2．双曲线的性质 3．抛物线中的常用结论 ①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p ②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2 ③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是 直线AB恒过定点(2p，0) (4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时， 是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线． 4．直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来） (1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法). b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程 b.根据其它条件求圆锥曲线方程 (3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所 在的直线方程 (4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或 者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称） 5．二次曲线在高考中的应用 二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。 (1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。 64. 熟记下列公式了吗？ [)（）直线的倾斜角，，，102 212112l απααπ∈==--≠≠?? ???k y y x x x x tan ()()()P x y P x y a k 1112221，，，是上两点，直线的方向向量，l l → = （2）直线方程： ()点斜式：（存在）y y k x x k -=-00 斜截式：y kx b =+ 截距式：x a y b +=1 一般式：（、不同时为零）Ax By C A B ++=0 ()（）点，到直线：的距离30000022P x y Ax By C d Ax By C A B l ++==+++ （）到的到角公式：41122112 l l t a n θ=--k k k k l l 122112 1与的夹角公式：tan θ=--k k k k 65. 如何判断两直线平行、垂直？ A B A B A C A C 1221122112=≠??? ?l l ∥ k k l 1212=?l ∥（反之不一定成立） A A B B 1212120+=?l l ⊥ k k 12121·⊥=-?l l 66. 怎样判断直线l 与圆C 的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？ 联立方程组关于（或）的一元二次方程“” 相交；相切；相离??>?=? 第一定义椭圆，双曲线，抛物线?+=>=?-=<=?=???????PF PF a a c F F PF PF a a c F F PF PK 12121212222222 第二定义：e PF PK c a == 0111<?=?e e e 椭圆；双曲线；抛物线 y b O F 1 F 2 a x x a c =2 ()x a y b a b 222 210+=>> () a b c 222=+ ()x a y b a b 222 2100-=>>， ()c a b 222=+ 高二数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?? ???>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的距离，F ?，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 (,)0f x y =的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标 的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系：若曲线C 的方程是(,)0f x y =，则点000(,)P x y 在曲线C 上?00(,)0f x y =；点000(,)P x y 不在曲线C 上?00(,)0f x y ≠. 两条曲线的交点：若曲线1C ，2C 的方程分别为1(,)0f x y =，2(,)0f x y =，则点000(,)P x y 是1C ，2C 的交点 ?{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没 有交点. 二、圆： 1、定义：点集{|}M OM r =，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆方程是2 2 2 ()()x a y b r -+-= 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是2 2 2x y r += (2)一般方程：①当22 40D E F +->时，一元二次方程2 20x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程，圆心为 )2 ,2(E D -- 半径是2. 配方，将方程22 0x y Dx Ey F ++++=化为 22224()()224 D E D E F x y +-+++= ②当2 2 40D E F +-=时，方程表示一个点)2 ,2(E D -- ③当2 2 40D E F +-<时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系 已知圆心(,)C a b ，半径为r ，点M 的坐标为00(,)x y ，则||MC r < ?点M 在圆C 内，||MC r =?点M 在圆C 上，||MC r >?点M 在圆C 外，其中||MC = （4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点. ②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心(,)C a b 到直线0Ax By C ++=的距离 2 2 B A C Bb Aa d +++= 与半径r 的大小关系来判定. 高中数学椭圆的知识总结 1.椭圆的定义： 平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数 （12122PF PF a F F +=>），这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注意：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形. （1）椭圆：焦点在x 轴上时12 2 22 =+b y a x （222 a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围： ,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长 轴长为2a ，短轴长为2b ； ④离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越 小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥ （2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>； ②点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；③点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?>相交于A 、B 两点， 且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______； （3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13 42 2=+y x 上有不同的两点关于直 线m x y +=4对称； 特别提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 椭圆知识点的应用 1.如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位 §8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212 1 2121 2121 ,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：) 0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：) 0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程： 1 2 22 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于2 0π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2 ± =或c a y 2 ± =. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+ 上的一点，2 1,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，2 1,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()( ),0()(0002 2 002 01 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+ =归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：) , (22 2 2 a b c a b d -= 和) , (2 a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 ) 0(12 22 2 b a b y a x =+ 的离心率是) (2 2 b a c a c e -= = ，方程 t t b y a x (2 22 2=+ 是大于 0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：1 2 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 余弦定理与a PF PF 22 1 =+可得）. 若 12, PF PF ⊥此三角形面积为2 b ； 若是双曲线，则面积为 2 cot 2 θ ?b . ? -=+=02 01 ,ex a PF ex a PF ? -=+=02 01,ey a PF ey a PF 圆锥曲线知识点全归纳 完整精华版 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 圆锥曲线知识点全归纳（精华版） 圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到 定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0 1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)- (y^2/b^2)=1? 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)- (x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程： x=asecθy=btanθ(θ为参数) 3）抛物线 标准方程： 1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px其中p>0 2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px其中p>0 3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py其中p>0 4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py其中p>0 参数方程? x=2pt^2?y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0 直角坐标? 椭圆 双曲线 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 定 义 a ||PF ||PF 221=+,c F F 2||21= 不存在线段，椭圆，c a c a c a <=> a ||PF ||PF 2||21=-,c F F 2||21= 不存在射线，双曲线c a c a c a >=<, 标准方程 12 222=+b y a x ； 122 22=+b x a y 122 22=-b y a x 122 22=-b x a y *参数方程 ?? ?==θ θsin cos b y a x ?? ?==θ θsin cos a y b x ?? ?==θ θtan sec b y a x ?? ?==θ θsec tan a y b x 图 形 x ．y 范 围 b y b a x a ≤≤-≤≤- a y a b x b ≤≤-≤≤- R y a x a x ∈≥-≤或 a y a y R x ≥-≤∈或 顶点坐标 长轴顶点 )0,)(0,(a a - 短轴顶点 ),0)(,0(b b - 长轴顶点 ),0)(,0(a a - 短轴顶点 )0,)(0,(b b - 顶点)0,)(0,(a a - 顶点),0)(,0(a a - 对称 性 对称轴：x 轴，y 轴， 对称中心：坐标原点 各 个 轴 长轴2a ，短轴2b ，焦距2c 实轴2a ，虚轴2b ，焦距2c 恒 等 式 222c b a += 222b a c += 焦点坐标 左右 )0,(),0,(21c F c F - 上下 ),0(),,0(21c F c F - 左右 )0,(),0,(21c F c F - 上下 ),0(),,0(21c F c F - *准线方程 c a x 2 ±= c a y 2 ±= c a x 2 ±= c a y 2 ±= 《圆锥曲线》知识点小结 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2 3．常用结论：（1）椭圆)0(12 222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆 )0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线： （1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2|||| 21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 标准方程 )0,0(122 22>>=-b a b y a x )0,0(122 22>>=-b a x a y 图 形 顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222 b a c += 离心率 )1(>= e a c e （离心率越大，开口越大） 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 通 径 22b a （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线12 2 22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-222 2y x ； （4）等轴双曲线为222 t y x =-，其离心率为2 （4）常用结论：（1）双曲线)0,0(1222 2 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于 B A ,两点，则2ABF ?的周长= 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 高中数学椭圆的知识总结 1.椭圆的定义： 平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122PF PF a F F +=>），这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注意：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形. （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222 a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以 122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0) c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ； ④离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥ （2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>； ②点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1；③点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在 直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______； （3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13 42 2=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称； 特别提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称 问题时，务必别忘了检验0?>！ 椭圆知识点的应用 1.如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 椭圆标准方程中，c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为： )0(>>b a ，)0(>>c a ，且)(222c b a +=。 可借助右图理解记忆： c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直角边。 3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x ，2 y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(2 2 =+是表示椭圆的条件 方程C By Ax =+2 2 可化为 122=+C By C Ax ，即12 2=+B C By A C x ，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。当 B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B C A C <时，椭圆的焦点在y 轴上。 5．求椭圆标准方程的常用方法： ①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异圆锥曲线知识点回顾
高中数学知识点总结之圆锥曲线篇
圆锥曲线知识点整理
高中数学圆锥曲线的知识点总结
高中圆锥曲线知识点总结全面经典
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线知识点全归纳完整精华版图文稿
圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点小结
最全圆锥曲线知识点总结(新)