【配套K12】山西省某知名中学高一数学下学期期中调研试卷(扫描版,无答案)_2
山西省太原市2021-2022学年高一下学期期中数学试题
2021~2022学年第二学期高一年级期中质量监测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1．复数()1z i i =-+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．AB BC CD ++= （）A ．ADB ．DAC ．BDD ．DB3．下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列结论不．正确的是（）A ．长方体是平行六面体B ．正方体是平行六面体C ．平行六面体是四棱柱D ．直四棱柱是长方体5．给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．46．已知复数i 关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别为（）A ．0，1B ．0，-1C ．1，0D ．1-，07．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++ 0→=，则点O 是△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．已知()11,0e =u r ，()20,1e =- ，()2,2a = ，若12a xe ye =+ ，则下列结论正确的是()A ．2x =，2y =B ．2x =，=2y -C ．2x =-，2y =D ．2x =-，=2y -9．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（）AB C ．23πD ．2π10．在ABC 中，3sin5A =，3B π=，b =，则c =（）A ．35+B ．45C ．35D ．4511．已知等边ABC 的直观图A B C ''' ，则ABC 的面积为（）AB ．2C ．D ．12．在ABC 中，点D 在BC 上，且2BD DC =，过D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，记AM AB λ= ，AN AC μ= ，若23λ=，则μ=（）A ．53B ．32C ．43D ．54二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13．已知复数34z i =+,则||z =_______14．已知球O 的表面积是其体积的3倍，则球O 的半径为______．15．已知()2,0A ，()3,2B ，()0,1C ，则BC 在AB上的投影向量的坐标为______．16．如图甲，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器慢慢倾斜．给出下面几个结论：①水面EFGH 所在四边形的面积为定值；②图乙中四边形ADHE 的面积为定值；③图丙中AE AH ⋅为定值；④若18AA =，6AB =，记1h 、2h 分别是将四边形ABCD 和11ADD A 水平放在地面上时的水面高度，则1243h h =；其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知复数z 满足()1i 1i z -=+．(1)求z 及z ；(2)求234z z z z -+-的值．18．已知()1,2a =r ，()2,3b =- ，c a b λ=+ ．(1)当1λ=-时，求a c ⋅的值；(2)若()a b c +⊥，求实数λ的值．19．如图，在ABC 中，113AD AB ==，2AC =，60BAC ∠=︒，点E 是CD 的中点，记AB a = ，AC b = ．(1)用a ，b 表示CD ，A E ；(2)求AED ∠的余弦值．说明：请同学们在20、21两个小题中任选一题作答．20．在ABC 中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，分别以AB ，AC ，BC 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，其体积分别记为1V ，2V ，3V ．(1)求1V ，2V ，3V 的值；(2)求以BC 所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积．21．在ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且90BAC ∠= ，分别以AB 、AC 、BC 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，其体积分别记为1V 、2V 、3V ．(1)求证：222123111V V V +=；(2)求以BC 所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积．说明：请同学们在22、23两个小题中任选一题作答．22．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，()sin sin ,sin m B C A =+，(),n a c b c =-- ，且m n ∥．(1)求角B 的值；(2)若2b =，求ABC 面积的最大值．23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，()sin sin ,sin m B C A =+，(),n a c b c =-- ，且m n ∥．(1)求角B 的值；(2)若2b =，求ABC 周长的取值范围．1．C 【分析】先化复数为代数形式，再根据几何意义确定点所在象限.【详解】()11z i i i =-+=--Q 对应点为(1,1)--所以复数()1z i i =-+在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C 【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析计算能力，属基础题.2．A 【分析】由向量的加法法则求解【详解】AB BC CD AC CD AD ++=+= 故选：A 3．C 【分析】逐项分析旋转图形可得旋转体的立体图，分析即可得答案.【详解】解：A 是上面一个圆锥，下面一个圆台，不符合；B 是上下两个圆锥，中间一个圆柱，不符合；C 是上面一个圆柱，下面一个圆锥，符合上图；D 是两个圆锥，不符合.故选：C 4．D 【分析】根据平行六面体及直棱柱的概念判断即可；【详解】解：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，故长方体、正方体是平行六面体，平行六面体是四棱柱，侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱，当直四棱柱的底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，故D 错误；故选：D 5．B 【分析】由平面向量数量积的定义对结论逐一判断【详解】由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅ ，④正确故选：B 6．A 【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出.【详解】复数i 关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则复数i -也是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，∴()i i 0p +-==-，即0p =；∴()i i 1q ⨯-==．故选：A.7．C 【分析】作BD ∥OC ，CD ∥OB ，连接OD ，OD 与BC 相交于点G ,可得OB OC OD +=，又OB OC + =-OA，则有OD =-OA ，即AG 是BC 边上的中线，同理，BO ，CO 也在△ABC的中线上,即可得出结果.【详解】作BD ∥OC ，CD ∥OB ，连接OD ，OD 与BC 相交于点G ，则BG=CG (平行四边形对角线互相平分)，∴OB OC OD += ，又OA OB OC ++ 0→=，可得OB OC + =-OA ，∴OD =-OA ，∴A ，O ，G 在一条直线上，可得AG 是BC 边上的中线，同理，BO ，CO 也在△ABC 的中线上.∴点O 为三角形ABC 的重心.故选：C.8．B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解．【详解】∵()()12,2,2a xe ye x y =+=-=，∴2x =，=2y -．故选：B ．9．A 【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的母线以及圆柱的高，由圆锥的体积公式求解即可.【详解】因为圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，所以圆锥的底面周长为2π，则圆锥的母线长为2，=，所以圆锥的体积为2113V π=⨯⨯⨯，故选：A ．10．A 【分析】由正弦定理与两角和的正弦公式求解【详解】3sin 52A =<，故A 为锐角，4cos 5A =，则3sin sin()sin cos cos sin 10C A B A B A B +=+=+=，由正弦定理得sin sin b c B C =，故2sin c C ==故选：A 11．D 【分析】由原图和直观图面积之间的关系S =直原即可得结果.【详解】因为直观图A B C '''4S =原，解得S =原，故选：D.12．C 【分析】首先根据平面向量线性运算法则得到1233AD AB AC =+，从而得到1223M AD AN A μ=+ ，再根据D 、M 、N 三点共线及平面向量共线定理的推论得到方程，解得即可；【详解】解：依题意()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，又23AM AB = ，即32AB AM = ，AN AC μ= 即1AC AN μ=uuur uuu r ，所以12112332332AD A AM AM N AN μμ=⨯+=+ ，因为D 、M 、N 三点共线，所以12123μ+=，解得43μ=；故选：C 13．5【分析】根据复数模的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意知，复数34z i =+，则5z ==，故答案为5.【点睛】本题主要考查了复数的模的计算，其中解答中熟记复数的模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于容易题.14．1【分析】设出球的半径，根据球的表面积公式与体积的等量关系，列方程即可求得半径．【详解】设球的半径为R ，球O 的表面积是其体积的3倍，则234433R R ππ=⨯，解得1R =，故答案为：1．15．()1,2--【分析】首先求出AB ，BC 的坐标，即可得到AB BC ⋅ ，AB ，再根据1AB BC AB AB AB⋅⋅求出BC 在AB上的投影向量；【详解】解：因为()2,0A ，()3,2B ，()0,1C ，所以()1,2AB = ，()3,1BC =--，所以()31215AB BC ⋅=-⨯+⨯-=-，AB ==所以BC 在AB上的投影为AB BC AB⋅=所以BC 在AB上的投影向量为)()11,21,2AB BC AB AB AB⋅⋅==--，故答案为：()1,2--16．②③④【分析】①②③注意到水的体积和EF 保持不变即可判断；④根据棱柱的体积计算公式即可计算．【详解】①由题图可知水面EFGH 的边EF 的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知①错误；②当容器倾斜如图乙所示时，∵水的体积是不变的，∴棱柱AEHD BFGC -的体积V 为定值，又ADHE V S EF =⋅四边形，高EF 不变，∴ADHE S 四边形也不变，即四边形ADHE 的面积为定值，故②正确；③当容器倾斜如图丙所示时，∵水的体积是不变的，∴棱柱AEH BFG -的体积V 为定值，又AEH V S EF =⋅ ，高EF 不变，∴12AEH S AE AH =⋅⋅ 也不变，即AE AH ⋅为定值，故③正确；④当将四边形ABCD 水平放在地面上时，即图甲所示时，设水的体积为V ，则11ABCD V S h AB AD h ==⋅⋅⋅矩形，∴16Vh AD=；当将四边形11ADD A 水平放在地面上时，水的体积仍然为V ，则11212ADD A V S h AA AD h =⋅=⋅⋅矩形，∴28Vh AD=；∴124638V h AD V h AD==，故④正确．故答案为：②③④．17．(1)i z =，i z =-(2)0【分析】（1）由复数及共轭复数的运算求解即可；（2）由复数的运算求解即可.(1)解：由题意得：()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====--+，i z =-(2)234234i i i i i 1i 10z z z z -+--+=---=+=18．(1)9(2)19-【分析】（1）利用平面向量的运算法则和数量积运算法则进行计算；（2）由向量垂直得到等量关系，求出实数λ的值.(1)当1λ=-时，()()()1,22,31,5c a b =-=--=- ，故()11259a c ⋅=⨯-+⨯= ，(2)()()12,233,1a b +=+-=- ，()12,23c a b λλλ=+=+- ，因为()a b c +⊥ ，所以()()312230λλ+--=，解得：19λ=-.所以实数λ的值为19-.19．(1)13CD b a =-+ ，A E 1126b a =+ .【分析】(1)根据题意，利用向量的加法的线性运算，直接计算即可.(2)根据题意，得3AB a == ，2AC b == ，且cos 603a b a b ⋅=⋅⋅︒= ，由(1)得，13CD b a =-+ ，A E 1126b a =+ ，所以，可以分别求出,,CD AE AD ，然后，直接利用余弦定理即可求出AED ∠的余弦值(1)因为E 是CD 的中点，113AD AB ==，所以，13AD AB = ，∴CD CA AD =+ 1133AC AB b a =-+=-+ .111()226AE AC AD AC AB =+=+ 1126b a =+ .(2)在ADC △中，113AD AB ==，2AC =，60BAC ∠=︒，所以，3AB a == ，2AC b == ，且cos 603a b a b ⋅=⋅⋅︒= ，所以，13CD b a =-+===1126AE b =+= E 是CD的中点，所以，2DE =.因此，在ADE V中，2DE =，2AE =，1AD =，利用余弦定理得，2227c 731os 442AE DE AD AED AE DE +-+-==⋅∠⋅.20．(1)116V π=，212V π=，3485V π=；(2)2304343π.【分析】（1）根据圆锥的体积公式进行求解即可；（2）根据内切球的性质，结合球的体积公式进行求解即可.(1)以AB 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是圆锥，它的底面半径为4，它的高为3，所以21143163V ππ=⋅⋅⋅=；以AC 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是圆锥，它的底面半径为3，它的高为4，所以22134123V ππ=⋅⋅⋅=；以BC 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是有公共的底面的两个圆锥，因为90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，所以5BC ==，边BC 上的高为h ，所以有53412225h h ⨯=⇒=，所以底面半径为125，因此2311248(5355V ππ=⋅⋅⋅=；(2)设以BC 所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的半径为r ，所以有：11112222(34)342227AB r AC r BA AC r r ⨯⋅⋅+⨯⋅⋅=⨯⋅⋅⇒+=⨯⇒=，所以以BC 所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积为3412230437343ππ⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭.21．(1)证明见解析(2)()33343b c b c π+【分析】（1）过点A 作AD BC ⊥，计算出bc AD a=，计算出1V 、2V 、3V ，验证222123111V V V +=成立即可；（2）取旋转体的轴截面，利用等面积法可求得内切球的半径，再利用球体体积公式可求得结果.(1)证明：过点A 作AD BC ⊥，如下图所示：由已知可得222b c a +=，由等面积法可得bc AD a=，以AB 为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体为圆锥，且该圆锥的底面半径为c ，高为b ，所以，2113V c b π=，同理2213V b c π=，以BC 为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个共底面的圆锥拼接而成，且两个圆锥的底面半径均为AD ，高分别为BD 、CD ，所以，()222223211333b c b c V AD BD CD a a aπππ=⋅⋅+=⋅⋅=，所以，()2222222422424424421239119991b c a V V b c c b b c b c V ππππ++=+===.(2)解：以BC 为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个共底面的圆锥拼接而成，取该几何体的轴截面如下图所示：设内切球球心为点O ，则O 在线段BC 上，设球O 的半径为r ，由等面积法可得111A BC A OC A OB S S S =+△△△，即()1122bc b c r =+，解得bc r b c =+.所以，球O 的体积为()33334433b c r b c ππ=+.22．(1)π3；【分析】（1）根据向量平行的充要条件及正弦定理角化边，再用余弦定理可求出角B 的余弦值及角B 的范围即可求解；（2）根据余弦定理找到边ac 的范围，然后代入三角形的面积公式即可求解.(1)由()sin sin ,sin m B C A =+ ，(),n a c b c =-- ，且m n ∥ ，得()()()sin sin sin 0B C b c A a c +⋅--⋅-=及正弦定理，得()()()0b c b c a a c +⋅--⋅-=，即222a c b ac +-=.由余弦定理，可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，π,B <<0 π3B ∴=(2)由（1）知，π3B =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，co πs a c ac a c ac ac ac ac =∴=+-+-≥-=222222223，即4ac ≤，当且仅当2a c ==时，等号成立.当2a c ==时，ac 取的最大值为4.11sin 4222ABC S ac B =≤⨯⨯= 所以ABC23．(1)3π(2)(]4,6【分析】（1）首先利用向量共线基本定理建立三角函数的关系式，利用正弦余弦定理进一步求出B 的值；（2）利用（1）的结论和余弦定理求出关系式24()3a c ac =+-，再利用基本不等式求解即可.(1)解：由题意得：()sin sin ,sin m B C A =+ ，(),n a c b c =-- ，且m n ∥ ()sin sin ()sin ()B C b c A a c ∴+-=-，根据正弦定理可得()()()b c b c a a c +-=-，即222a c b ac+-=2221cos 22a cb B ac +-∴==又(0,)B π∈ 3B π∴=(2)若2b =，由余弦定理可得：2222142()32b ac ac a c ac ==+-⨯=+-2()4a c ac +≤223()()44a c a c +∴+-≤2()16a c ∴+≤04a c ∴<+≤，当且仅当a c =时取等号2a cb +>= 46a b c ∴<++≤所以三角形ABC 周长的取值范围(]4,6。
山西省高一数学下学期期中试卷(含解析)
A． B． C． D．±2
3．下列函数中，周期为π，且在[ ]上为减函数的是（ ）
A．y=sin（x+ ）B．y=cos（x+ ）C．y=cos（2x+ ）D．y=sin（2x+ ）
4．已知sinα+ cosα=2，则tanα=（ ）
A． B． C． D．
5． tan12°+ tan18°+tan12°•tan18°的值是（ ）
A． B． C．0D．1
6．已知 为平面内两个不共线向量， ，若M、N、P三点共线，
则λ=（ ）
A．﹣9B．﹣4C．4D．9
7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其 中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（ ）
2016-2017学年山西高一（下）期中数学试卷
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）
1．下列说法正确的是（ ）
A．第二象限的角比第一象限的角大
B．若sinα= ，则α=
C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关
当sinα= 时，也可能α= π，所以B错误；
当三角形内角为 时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故C错误．
故选D．
【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
2．已知点P 为角β的终边上的一点，且sinβ= ，则y的值为（ ）
A． B． C． D．±2
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
山西高一高中数学期中考试带答案解析
山西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列命题正确的是（）A．第一象限的角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角C．钝角一定是第二象限的角D．终边相同的角一定相等2.，则与（）A．互相平行B．互相垂直C．夹角为30°D．夹角为60°3.，且∥则的坐标为（）A．（－4，6）B．（4，6）C．（6，－4）或（－6，4）D．（－4，－6）或（4，6）4.sin1,cos1,tan1的大小关系是（）A．B．C．D．5.，则的值为（）A．B．－C．D．6.若为一个三角形内角，则的值域为（）A．（－1，1）B．C．D．7. D、E、F分别是三边BC、CA、AB中点，则=（）A. B.C. D.8.设不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A．与B．与C．与D．和9.P是所在平面内一点，，则P点一定在（）A．内部B．在直线AC上C．在直线AB上D．在直线BC上10.下列计算正确的有（）个①②③A．0B．1C．2D．311.的最小正周期为（）A．B．C．D．212.，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.的值为___________.2.,且与夹角是锐角，则的取值范围是____________.3.若向量与不共线，，且，则与的夹角为____________.4.=___________.三、解答题1.如图：中，E是AD中点，BE∩AC=F，，求的值.2.其中，求的最小正周期及单调减区间.3.已知为锐角，且求.4.求的最大值.山西高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.下列命题正确的是（）A．第一象限的角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角C．钝角一定是第二象限的角D．终边相同的角一定相等【答案】C【解析】由-361°的角终边在第一象限，故选项A错误，又-361°<90°，但-361°不是锐角，故选项B错误，1°与361°终边相同，但两个角不相等，故选项D错误，故选C【考点】本题考查了终边相同的角及象限角的概念点评：熟练掌握象限角及终边相同的角的概念是求解此类问题的关键，属基础题2.，则与（）A．互相平行B．互相垂直C．夹角为30°D．夹角为60°【答案】B【解析】∵，∴，∴，故选B【考点】本题考查了数量积的坐标运算点评：熟练掌握向量及数量积的坐标运算是求解此类问题的关键，属基础题3.，且∥则的坐标为（）A．（－4，6）B．（4，6）C．（6，－4）或（－6，4）D．（－4，－6）或（4，6）【答案】D【解析】∵∥，∴设的坐标为（2m,3m），又，解得m=2或-2，，∴,的坐标为（－4，－6）或（4，6），故选D【考点】本题考查了向量的坐标运算点评：熟练掌握向量共线的坐标运算及模的运算是求解此类问题的关键，属基础题4.sin1,cos1,tan1的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0，故选 C．【考点】本题考查了三角函数线的运用点评：此类问题常常利用单位圆中的正切线、正弦线、余弦线的大小来比较对应的三角函数的大小．5.，则的值为（）A．B．－C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，故选B【考点】本题考查了同角函数的关系及二倍角公式点评：熟练掌握二倍角公式及同角的三角函数关系是求解此类问题的关键，属基础题6.若为一个三角形内角，则的值域为（）A．（－1，1）B．C．D．【答案】C【解析】由题意，∵，∴，∴，∴，即的值域为，故选C【考点】本题考查了三角函数的化简及值域的求法点评：熟练掌握三角函数的化简及值域的求法是求解此类问题的关键，属基础题7.D、E、F分别是三边BC、CA、AB中点，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵D、F分别是三边BC、AB中点，∴，∴，故选A 【考点】本题考查了向量的运算点评：熟练掌握向量的概念及运算是求解此类问题的关键，属基础题8.设不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A．与B．与C．与D．和【答案】B【解析】∵=-2（），∴（）∥（），故与不能作为基底，故选B【考点】本题考查了基底的概念点评：熟练掌握基底的概念及共线向量的判定是求解此类问题的关键，属基础题9.P是所在平面内一点，，则P点一定在（）A．内部B．在直线AC上C．在直线AB上D．在直线BC上【答案】B【解析】∵，∴，∴点P在直线AC上，故选B【考点】本题考查了向量的运算及共线基本定理点评：熟练掌握向量的概念及向量的运算是求解此类问题的关键，属基础题10.下列计算正确的有（）个①②③A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】根据向量的运算法则可知：式子①，正确；②，正确，式子③，∴正确的由2个，故选C【考点】本题考查了向量的运算法则点评：熟练掌握数乘向量的概念及向量的运算是求解此类问题的关键，属基础题11.的最小正周期为（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】对于y=|sinx|+|cosx|，∵y＞0故函数y的最小周期与函数y2的最小正周期相同．y2=（|sinx|+|cosx|）2=1+|sin2x|，1+|sin2x|与|sin2x|的最小正周期相同，再对|sin2x|平方，得（sin2x）2=，显然cos4x的最小正周期是，故选B【考点】本题考查了三角函数最小正周期的求法．点评：解决此类问题常用方法有公式法即T=，图象法，定义法，公倍数法，对于具体问题得具体分析．求三角函数的周期，要注意函数的三角变换．尤其要注意“二化一”的应用．12.，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，∵，∴，∴，∴，∴，即的取值范围是，故选C【考点】本题考查了三角函数的化简及正切函数图象的运用点评：熟练掌握三角函数的图象和恒等变换是求解此类问题的关键，属基础题二、填空题1.的值为___________.【答案】0【解析】∵，∴，∴=0【考点】本题考查了两角和差公式的运用点评：熟练掌握两角和差公式及其变形是求解此类问题的关键，属基础题2.,且与夹角是锐角，则的取值范围是____________.【答案】【解析】由题意，＞0且，即2λ+2＞0且λ≠4，∴的取值范围是．【考点】本题考查了数量积的运用点评：此类问题转化时有一个易漏点，即忘记考虑向量同向共线时向量内积也为正，做题时要注意转化的等价．3.若向量与不共线，，且，则与的夹角为____________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴与的夹角为【考点】本题考查了数量积的运算及概念点评：熟练掌握数量积的运算及夹角公式是求解此类问题的关键，属基础题4.=___________.【答案】【解析】∵，又，∴=【考点】本题考查了三角函数的同角关系点评：熟练掌握诱导公式及同角三角函数关系是求解此类问题的关键，属基础题三、解答题1.如图：中，E是AD中点，BE∩AC=F，，求的值.【答案】【解析】设（2分）则又＝（6分）∴∴（8分）【考点】本题考查了向量的运算点评：解答此类问题的关键是掌握平面向量的运算法则及向量相等的概念，属基础题2.其中，求的最小正周期及单调减区间.【答案】最小正周期为，递减区间为【解析】（2分）（4分）∴最小正周期为（6分）递减区间为（8分）【考点】本题考查了三角函数的恒等变换及性质点评：熟练运用三角恒等变换化简三角函数、利用三角函数性质求解值域问题是解决此类问题的关键，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题3.已知为锐角，且求.【答案】【解析】∵∴即：（2分）∴（4分）∵∴（6分）∴∴（8分）∴（10分）【考点】本题考查了两角和差公式的运用点评：两角和差的三角公式是三角恒等变换的基础，要熟练掌握其实质会正反两方面的运用，利用两角和差公式化简三角函数式要把握下列两种原则（1）直接利用公式或变形公式来化简三角函数式;(2)化简不同名三角函数式时，一般利用“化弦法”，即把非正弦和非余弦函数化为正弦和余弦，以达到消元的目的。
山西高一高中数学期中考试带答案解析
山西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.=( )A．B．C．D．2.时钟经过一小时，时针转过的弧度数为（）A．rad B．rad C．rad D．rad3.已知角的终边过点,则的值为（）A．B．C．D．24.若，则在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限5.已知，且，则的值是（）A．B．C．D．6.函数y=的最小正周期是（）A．B．C．2D．47.已知，与的夹角为，则等于（）A．B．C．D．8.要得到的图像，只需要将函数的图像（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位9.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）A．1B．C．D．210.函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知，，且与共线，则。
2.函数的单调减区间是3.若，若与的夹角为钝角，则的取值范围是4.设，且则的取值范围是5.函数，的最大值等于三、解答题1.已知，且为第三象限角，求及的值。
2.已知，计算的值3.在平面直角坐标系中，已知点和点，其中，若,求得值。
4.已知向量为非零向量，且（1）求证：（2）若，求与的夹角。
5.已知函数的最小正周期为，最小值为，图像过点(1)求的解析式(2)求满足且的的集合。
6.已知函数，求：（1）的最小正周期；（2）在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值。
山西高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.=( )A．B．C．D．【答案】A【解析】=，故选A。
【考点】本题主要考查三角函数诱导公式，特殊角的函数值。
点评：简单题，应用k·360°+，的诱导公式。
“函数名不变，符号看象限”。
2.时钟经过一小时，时针转过的弧度数为（）A．rad B．rad C．rad D．rad【答案】D【解析】时钟经过一小时，时针转过的角是周角的，且为负角，所以时针转过的弧度数为，故选D。
山西省晋中市高一数学下学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年山西省晋中市太谷二中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣300°化成弧度制为（）A． B． C． D．2．如果cos（π﹣A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A． B． C． D．3．如果角θ的终边经过点（﹣），则tanθ=（）A． B．﹣C． D．4．若=﹣，则的值是（）A． B．﹣C．2D．﹣25．已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且=， =，则=（）A． B． C． D．6．已知=（5，﹣2），=（﹣4，3），=（x，y），若﹣2+2=0，则等于（）A．（1，4）B．（，4）C．（﹣，4）D．（﹣，﹣4）7．已知平面向量=（3，1），，且，则x=（）A．﹣3B．﹣1C．3D．18．若，，则实数λ的值是（）A． B． C． D．﹣9．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位10．α，β都是锐角，且，，则sinβ的值是（）A． B． C． D．11．函数f（x）=2sin（2x+）的周期、振幅、初相分别是（）A．，2， B．π，﹣2，﹣C．π，2， D．2π，2，12．已知不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=3，||=5， =12，则在方向上的投影为．14．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为．15．若cos（α+β）=，cos（α﹣β）=，则tanαtanβ＝．16．给出下列五个命题：①x=是函数y=2sin（2x﹣）的一条对称轴；②函数y=tanx的图象关于点（，0）对称；③正弦函数在第一象限为增函数④函数y=cos（x﹣）的一个单调增区间是（﹣）以上四个命题中正确的有（填写正确命题前面的序号）三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：sin50°（1+tan10°）．18．已知sinα=2cosα，求：（1）（2）sin2α+2sinαcosα﹣cos2α19．已知||=4，||=3，（2﹣3）?（2+）=61，（1）求的值；（2）求与的夹角θ；（3）求||的值．20．已知向量=（cos x，sin x），=（cos，﹣sin），且x∈[﹣，]（1）求?及|+|；（2）若f（x）=?﹣|+|，求f（x）的最大值和最小值．21．已知函数y=sin2x+sin2x+3cos2x，求（1）函数的最小值及此时的x的集合．（2）函数的单调减区间．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．2015-2016学年山西省晋中市太谷二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣300°化成弧度制为（）A． B． C． D．【考点】弧度与角度的互化．【分析】根据角度和弧度之间的关系进行转化即可．【解答】解：∵180°=π弧度，∴﹣300°=﹣300×=，故选：C2．如果cos（π﹣A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A． B． C． D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用诱导公式可求cosA，进而利用诱导公式即可化简求值．【解答】解：∵cos（π﹣A）=﹣cosA=﹣，可得：cosA=，∴sin（+A）=cosA=．故选：B．3．如果角θ的终边经过点（﹣），则tanθ=（）A． B．﹣C． D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由于角θ的终边经过点（﹣），可得 x=﹣，y=，由此求得tanθ＝的值．【解答】解：∵角θ的终边经过点（﹣），且点（﹣）是角θ的终边和单位圆的交点，∴x=﹣，y=，∴tanθ＝=﹣，故选 D．4．若=﹣，则的值是（）A． B．﹣C．2D．﹣2【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】原式分子分母同乘以sinx+1，化简后代入已知即可求值．【解答】解：∵=﹣，∴===﹣=．故选：A．5．已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且=， =，则=（）A． B． C． D．【考点】向量加减法的应用．【分析】由向量加减的三角形法则把向量朝已知向量转化即可得到答案．【解答】解： ==（）﹣=（）﹣==，故选B．6．已知=（5，﹣2），=（﹣4，3），=（x，y），若﹣2+2=0，则等于（）A．（1，4）B．（，4）C．（﹣，4）D．（﹣，﹣4）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可．【解答】解： =（5，﹣2），=（﹣4，3），=（x，y），若﹣2+2，可得： =（2﹣）=（﹣8﹣5，6+2）=（﹣，4）．故选：C．7．已知平面向量=（3，1），，且，则x=（）A．﹣3B．﹣1C．3D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由便可得到，进行数量积的坐标运算即可求出x．【解答】解：∵；∴；∴x=1．故选：D．8．若，，则实数λ的值是（）A． B． C． D．﹣【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由题意得，结合图示可得所以．【解答】解：由题意得，结合图示可得所以．故选D．9．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：C．10．α，β都是锐角，且，，则sinβ的值是（）A． B． C． D．【考点】角的变换、收缩变换；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．【分析】将β化为（α+β）﹣α，再利用两角和与差三角函数公式计算即可．【解答】解：α，β都是锐角，∴α+β∈（0，π），∵∴cosα＝==，∵∴sin（α+β）===∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα==故选C．11．函数f（x）=2sin（2x+）的周期、振幅、初相分别是（）A．，2， B．π，﹣2，﹣C．π，2， D．2π，2，【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期、振幅、初相，得出结论．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+）的周期为=π，振幅为2，初相为，故选：C．12．已知不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．.【考点】三角函数的最值．【分析】利用根据二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，确定m的不等式关系，进而利用x的范围和正弦函数的性质确定的范围，进而求得m的范围．【解答】解：，=，∴，∵，∴，∴，∴．故选A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=3，||=5， =12，则在方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】本题是对投影的概念的考查，一个向量在另一个向量上的射影是这个向量的模乘以两个向量夹角的余弦，而题目若用数量积做条件，则等于两个向量的数量积除以另一个向量的模．【解答】解：∵．故答案为：．14．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为y=2sin（2x+）．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值，即可得到结论．【解答】解：由图象知A=2，函数的周期T=2?[﹣（﹣）]=2×=π，即T==π，即ω=2，此时y=2sin（2x+φ），当x=﹣时，f（﹣）=2sin（﹣×2+φ）=2，即sin（φ﹣）=1，则φ﹣=+2kπ，即φ＝+2kπ，∵0＜φ＜π，∴当k=0时，φ＝，则，故答案为：y=2sin（2x+）15．若cos（α+β）=，cos（α﹣β）=，则tanαtanβ＝．【考点】两角和与差的余弦函数；弦切互化．【分析】先由两角和与差的公式展开，得到α，β的正余弦的方程组，两者联立解出两角正弦的积与两角余弦的积，再由商数关系求出两角正切的乘积．【解答】解：由已知，，∴cosαcosβ＝，sinαsinβ＝∴故应填16．给出下列五个命题：①x=是函数y=2sin（2x﹣）的一条对称轴；②函数y=tanx的图象关于点（，0）对称；③正弦函数在第一象限为增函数④函数y=cos（x﹣）的一个单调增区间是（﹣）以上四个命题中正确的有①②（填写正确命题前面的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①将x=代入，判断函数是否取最值，进而可判断①的真假；②求出正切函数的对称中心坐标，进行判断，③根据三角函数的单调性进行判断，④求出x﹣的范围，根据三角函数的单调性进行判断．【解答】解：①当x=，则2×﹣=﹣=，此时函数y=2sin（2x﹣）=2sin=2为函数的最大值，则x=是函数y=2sin（2x﹣）的一条对称轴，正确②函数y=tanx的图象关于点（，0）对称，当k=1时，对称中心为（，0）对称；故②正确，③x=和x=是第一象限的角，满足＞但sin=sin，则正弦函数在第一象限为增函数，错误，故③错误，④当﹣＜x＜时，﹣＜x﹣＜，此时函数y=cos（x﹣）不单调，故④错误，故答案为：①②三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：sin50°（1+tan10°）．【考点】三角函数的化简求值．【分析】首先，将正切化简为弦，然后，结合辅助角公式和诱导公式进行化简即可．【解答】解：sin50°（1+tan10°）=sin50°（1+）=====1．18．已知sinα=2cosα，求：（1）（2）sin2α+2sinαcosα﹣cos2α【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵sinα=2cosα，∴tanα=2，∴===﹣．（2）sin2α+2sinαcosα﹣cos2α＝===．19．已知||=4，||=3，（2﹣3）?（2+）=61，（1）求的值；（2）求与的夹角θ；（3）求||的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由（2﹣3）?（2+）=61，利用向量的运算法则，计算化简即可．（2）利用向量夹角公式计算．（3）利用（2）的结论和数量积运算性质即可得出．【解答】解：（1）由（2﹣3）?（2+）=61，得4﹣4﹣3=61将||=4，||=3，代入，整理得=﹣6（2）cosθ＝==﹣，又0≤θ≤π，所以θ＝．（3）|+|===．20．已知向量=（cos x，sin x），=（cos，﹣sin），且x∈[﹣，]（1）求?及|+|；（2）若f（x）=?﹣|+|，求f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；向量的模；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由数量积的坐标运算结合两角和的余弦求?；由向量的坐标加法运算求+，然后利用模的公式求模；（2）把（1）中的结果代入f（x）=?﹣|+|，整理后利用配方法结合x的范围得答案．【解答】解：（1）∵=（cos x，sin x），=（cos，﹣sin），∴?=cos?cos﹣sin x?sin=cos2x．|+|=|（cos x，sin x）+（cos，﹣sin）|=|（）|===2cosx（x∈[﹣，]）；（2）∵?=cos2x，|+|=2cosx，∴f（x）=?﹣|+|=cos2x﹣2cosx=2cos2x﹣2cosx﹣1．令t=cosx，∵x∈[﹣，]，∴t∈[]．∴y=f（x）=．∴当t=，即x=时，y有最小值为；当t=1，即x=0时，y有最大值为．21．已知函数y=sin2x+sin2x+3cos2x，求（1）函数的最小值及此时的x的集合．（2）函数的单调减区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=sin（2x+）+2，利用正弦函数的性质即可求得函数的最小值及此时的x的集合；（2）解不等式组2kπ＋≤2x+≤2kπ＋（k∈Z）即可求得该函数的单调减区间．【解答】解：（1）∵y=sin2x+sin2x+3cos2x=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2，∴当2x+=2kπ﹣（k∈Z），即x=kπ﹣（k∈Z）时，f（x）取得最小值2﹣，即f（x）min=2﹣，x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}．（2）由2kπ＋≤2x+≤2kπ＋（k∈Z）得：+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），∴该函数的单调减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（1）先由已知条件得；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ；最后利用tan（α+β）=解之．（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．【解答】解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，因为α为锐角，则sinα＞0，从而同理可得，因此．所以tan（α+β）=；（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=，又，故，所以由tan（α+2β）=﹣1得．。
2020-2021学年山西省太原市高一下学期期中考试数学试题PDF版
2020~2021学年第二学期高一年级期中质量监测数学试题参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 13、1i +14、3 15、23-16、34三、解答题17、解：（1）由余弦定理，得2222cos 16a b c bc A =+-=， ………………………2分则=4a . …………………………………………………………………….3分（2）由正弦定理知，4sin sin sin a b c A B C ===，sin 2B =，………………………….4分当3B π∠=时，512A π∠=，a =； ……………………………………….6分当23B π∠=时，12A π∠=，a =. ……………………………………….8分18、解：（1）2a －=(21,2)b k -， …………………………….1分 由(2a －b )//c ，得21k -=4， …………………………………….4分 解得5=2k . …………………………………….5分 （2）若1k =，2a －b = (1,2)， …………………………………….6分 设2a －b 与c 的夹角为θ，则(1,2)(2,1)4cos 52a b c θ⋅==- …………………………………10分19、解：易得=120=30ACD CAD ∠∠，，=60CBD ∠，……………………………….3分在ACD ∆中,解得 ………………………………….5分在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BCD BD CBD∠==∠.7分 在ABD ∆中，由余弦定理，得 222=+2cos 135AB AD BD AD BD ADB -⋅∠=, …………………………………….9分所以,A B 之间的距离为. …………………………………….10分20、解：（A ）（1）111242ABC A B C V Sh -==⨯=, ……………………………….3分1112323242ABC A B C S S S -=+=⨯+=底侧. …………………………6分（2）111132322D AB C B ACD V V --==⨯⨯=. ………………………… 10分（B ）（1）1112234ABC A B C V Sh -===, …………………………………….2分11122322324ABC A B C S S S -=+=⨯+=侧底 ……………………………5分（2）111111112132D AB C B AB C C ABB V V V ---===⨯=,1111AB D AC D B C D S S S ∆∆∆===11AC B S ∆=则三棱锥11D AB C -的表面积为, …………………………………….8分设三棱锥11D AB C -的内切球半径为r ，则113r ⨯⨯=，则7r = . ……………………………………………………10分21、（A ）解：（1）由已知得()(sin sin )(sin sin )c a C A b C B -+=-，…………………1分故由正弦定理得222b c a bc +-=． ……………………………3分 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==． ……………………………4分 因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=． ……………………………5分 ⑵ 由余弦定理得：2222cos a c b cb A =+-⋅, 221722c b cb =+-⋅,()237c b cb +-=, ……………………………7分又1sin 2S cb A =⋅=,……………………………8分 ∴6cb =∴()2187c b +-=， 5c b +=， ……………………………9分∴ABC △周长为5a b c ++=. ……………………………10分（B ）解：（1）因为m n ⊥sin (cos 2)0B b C +-=， ……………………1分sin sin cos 2sin 0C B B C B +-=， ……………………………2分cos 2C C +=，2sin()26C π+=， ……………………………4分 所以3C π=. ……………………………5分（2）=2c ，sin sin sin 3a b c A B C ===， ……………………………6分1sin 233a b A B +=+=2sin()3333A A π+-=（2sin A A +）=sin()3A ϕ+，易知,62A ππ<<则当 cos 7A A ==时，取得最大值3.……………10分。
山西省太原市高一下学期数学期中考试试卷
山西省太原市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·彭水期中) 在数列中，，，则（）A . 2B . 3C .D . -12. （2分）在△AB C中，，则c等于（）.A .B .C . 或D . 以上都不对3. （2分） (2019高一下·慈溪期中) 不等式的解集为（）A .B .C .D .4. （2分）如果 ,那么下列不等式中正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）已知等比数列中有，数列是等差数列，且，则A . 2B . 4C . 8D . 166. （2分） (2019高一下·大庆月考) 在中，角，，所对的边的长分别为，，，若，则的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 正三角形7. （2分）以下命题正确的是（）A . 两个平面可以只有一个交点B . 一条直线与一个平面最多有一个公共点C . 两个平面有一个公共点，它们可能相交D . 两个平面有三个公共点，它们一定重合8. （2分）对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[-2.2]=-3, 这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
那么[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+...+[log264]的值为（）A . 21B . 76C . 264D . 6429. （2分） (2018高一下·四川期末) 已知正实数满足，则的最大值为（）A .B . 2C .D . 310. （2分） (2019高一下·哈尔滨期中) 各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（）A . 4B . 8C . 16D . 6411. （2分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 为（）A . 35mB . 30mC . 25mD . 20m12. （2分）各项均为正数的等比数列{an}中，a3 ， 3a2 ， 5a1 ，成等差数列且 an＜an+1（n∈N*），则公比q的值等于（）A . 1B . 2C . 3D . 5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·南宁期末) 已知等差数列的前项和为，________；14. （1分） (2019高二下·宁波期中) 在中，角、、的对边分别为、、，记的面积为，若，则 ________．15. （1分） (2020高一下·台州期末) 已知等比数列的公比为q，前n项和为 .若，，，则 ________， ________.16. （1分）(2018·石嘴山模拟) 在中，内角的对边是，若，则等于________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一上·萧山期中) 定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足当0＜x≤1时，f（x）= ，（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）判断并证明f（x）在[﹣1，0）上的单调性；（3）当x∈（0，1]时，方程﹣2x﹣m=0有解，试求实数m的取值范围．18. （10分） (2016高一下·南平期末) 锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bcosA= csinC．（1）求cosC；（2）若a=6，b=8，求边c的长．19. （10分） (2018高一下·通辽期末) 若数列是公差大于零的等差数列，数列是等比数列，且,.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为 ,求的最大值.20. （10分） (2020高一下·无锡期中) 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求角B；（2）若，，求的值．21. （10分） (2019高二下·台山期中) 设数列的前项和为，且 .（1）求；（2）求数列的通项公式.22. （10分）(2019·浙江模拟) 已知，（Ⅰ）求函数（）的单调递增区间；（Ⅱ）设的内角满足，而，求边上的高长的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2021-2022学年山西省高一下学期期中考试数学试题(解析版)
山西省2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z =，(i 是虚数单位），则||(z = )AB ．2C ．1D ．12〖解 析〗|||z ==== 〖答 案〗A2．已知向量(2,)a t =，(3,2)b t =+，且//a b ，则实数(t = ) A ．1或4B ．1或4-C ．14或1D ．14-或1〖解 析〗因为(2,)a t =，(3,2)b t =+，且//a b ， 所以22(3)0t t ⨯-+=，解得1t =或4-． 〖答 案〗B3．若平面//α平面β，直线m ⊂平面α，点M ∈平面β，则过点M 且与直线m 平行的直线有( ) A ．0条或无数条B ．2条C ．0条或1条或无数条D ．1条〖解 析〗//αβ，M β∈，M α∴∉，∴点M 和直线m 可以确定唯一一个平面γ，设n βγ=，//αβ，m αγ=，n βγ=，//m n ∴，∴过点M 的所有直线中有且只有一条与m 平行的直线n ．〖答 案〗D4．设x R ∈，a b <，若“a x b ”是“220x x +-”的充要条件，则b a -的值为( ) A ．0B ．3-C ．3D ．2〖解 析〗设{|}A x a x b =，2{|20}{|21}B x x x x x =+-=-， 由题意可得A B =，2a ∴=-，1b =，1(2)3b a ∴-=--=． 〖答 案〗C5．若2tan 3α=，则23sin cos (sin 2sin αααα+= )A ．116B ．23C ．43D ．2〖解 析〗2tan 3α=，∴2223sin cos 3sin cos 3tan sin 22sin cos 2tan sin sin tan αααααααααααα+++==222()311332623+⨯==⨯． 〖答 案〗A 6．函数21()f x lnx x =-的零点所在区间为( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)〖解 析〗函数21()f x lnx x=-在(0,)+∞上单调递增， 且f （1）10=-<，f （2）111112044244ln =->=-=>， ∴函数21()f x lnx x =-的零点所在区间为(1,2)． 〖答 案〗B7．已知斜三棱柱A B C ABC '''-的体积为2，则四棱锥B AA C C ''-的体积是( ) A ．43B ．12C ．23D ．34〖解 析〗如图，连接A C '，则A B C ABC B AA C C B A B C V V V '''--''-'''=+， 又22B AA C C B AA C A ABC V V V -''-''-==，且A ABC B A B C V V '--'''=，∴四棱锥B AA C C ''-的体积是2433A B C ABC V '''-=．〖答 案〗A8．在ABC ∆中，4A π=，AB =4AC =，则BC 边上的高为( )AB ．C ．3D ．〖解 析〗根据余弦定理：BC ==．设BC 边上的高为h ，则11sin 22S bc A ah ==，142⨯，h =． 〖答 案〗A9．已知向量a ，b ，且||1a =，||2b =，则|2|a b -的最大值为( ) A ．1B ．3C ．7D ．5〖解 析〗设向量a ，b 的夹角为θ，222|2|(2)||4||4178cos 255a b a b a b a b θ-=-=+-⋅=-=．∴|2|a b -的最大值为5．〖答 案〗D10．已知圆锥的轴截面是腰长为10的等腰三角形，且该三角形底角的正弦值为35，则该圆锥的底面积与表面积之比为( ) A ．13B ．59C ．49D ．79〖解 析〗设圆锥的底面半径为r ，圆锥的轴截面是腰长为10的等腰三角形，且该三角形底角的正弦值为35，则该圆锥的高为6，底面半径为8，∴圆锥的底面积为：2864ππ⨯=，圆锥的表面积为：28108144πππ⨯⨯+⨯=，∴该圆锥的底面积与表面积之比为64:1444:9ππ=，〖答 案〗C11．已知复数z ，当1a 时，不等式22||||60z t z -+恒成立，则实数t 的最大值是( )A ．B ．1035C D ．〖解 析〗因为z =+， 又1a ，所以||10z a =，因为当1a 时，不等式22||||60z t z -+恒成立， 所以62||||t z z +恒成立，即3205t a a恒成立， 令33100()2020()5f a a a a a=+=+，因为1a 时，f （a ）单调递增，所以103()(1)5min f a f ==，所以实数t 的取值范围是103(,]5-∞， 实数t 的最大值为1035． 〖答 案〗B12．“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km ．山高为，B 是山坡SA 上一点，且40AB km =．为了发展旅游业，要建设一条从A 到B 的环山观光公路，这条公路从A 出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为( )A ．60kmB ．C ．72kmD ．〖解 析〗如图，展开圆锥的侧面，过点S 作A B '的垂线，垂足为H ，记点P 为A B '上任意一点，联结PS ，160SA '， 2102AA A OA SA A OA ππ'=∠'⋅'=⋅⇒∠'=，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A B '，200A B '=，上坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越小，下坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的HB ，由Rt △Rt HSB SA B '∆∽，可得：SB A B HB SB '=，可求出72SB SBHB A B⋅=='．即下坡段铁路的长度为72公里．〖答 案〗C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知(12)55(i z i i +=-是虚数单位），则z 的虚部为 ． 〖解 析〗555(1)(12)1312(12)(12)i i i z i i i i ---===--++-，13z i ∴=-+，∴虚部为3． 〖答 案〗314．函数y = ，最大值为 ．〖解 析〗根据题意，函数y =267t x x =-++， 则有2670x x -++，解可得17x -，即函数的定义域为[1-，7]；2267(3)16t x x x =-++=--+，在区间[3，7]上为减函数，y =在区间[0，16]上为增函数，则函数y =[3，7]，4=． 〖答 案〗[3，7]，415．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，若2EF FB =，(,)AF AB AD R λμλμ=+∈，则2λμ+= ． 〖解 析〗2EF FB =，E 为CD 的中点， ∴1111()3336BF BE BC CE AD AB ==+=-， ∴11513663AF AB BF AB AD AB AB AD =+=+-=+， (,)AF AB AD R λμλμ=+∈，56λ∴=，13μ=，22λμ∴+=．〖答 案〗216．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，E ，F 分别是11A D ，1AA 的中点，则平面CEF 截正方体所得的截面的周长为 ．〖解 析〗因为正方体的棱长为6，如图，延长EF 交DA 的延长线于N ，连接CN 交AB 于点G ， 因为E ，F 分别是11A D ，1AA 的中点，所以13AG AB =，所以EF =，2AG =，FG =CG = 延长FE 交1DD 的延长线于点M ，连接CM 交11C D 点H ，连接EH ，所以12D H =，EH =CH = 所以平面CEF 被整体截得的截面为CHEFG ， 如图，所以平面CEF 被正方体截得的截面的周长为：EF FG GC CH HE ++++=〖答 案〗+三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知幂函数2()(33)(0)n f x m m x m =-->的图象过点3)． （1）求m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式log (1)log (2)m m x x +>-的解集．解：（1）幂函数2()(33)(0)n f x m m x m =-->的图象过点3)，2331m m ∴--=，且3n =，解得4m =，2n =，2()f x x ∴=．（2）由关于x 的不等式log (1)log (2)m m x x +>-，即44log (1)log (2)x x +>-， 120x x ∴+>->，解得122x <<，即不等式的解集为1(2，2)； 综上，当1m >时，不等式的解集为1(2，2)．18．（12分）已知复数z 满足z i +是实数，z ，z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在第一象限． （1）求1zi-； （2）若21(,)z z a bi a b R +=++∈，求a ，b 的值．解：（1）设复数(,)z m ni m n R =+∈，(1)z i m n i +=++是实数，10n +=，1n =-，||z =，2m =±，又z 在第一象限，0m ∴>，0n <，2m ∴=，又2z i =-，∴2(2)(1)33111(1)(1)222z i i i i i i i i i --++====+---+； （2）由（1）得2z i =-，2z i =+，22(2)34z i i =-=-，∴2234531z z i i i a bi +=++-=-=++，∴153a b +=⎧⎨=-⎩，4a ∴=，3b =-．19．（12分）已知向量(2,1)a =-，(1,4)b =． （1）求|2|a b -的值；（2）求向量2a b +与a b -夹角的余弦值． 解：（1）(2,1)a =-，(1,4)b =，∴2(4,2)a =-，2(3,6)a b -=-，∴|2|936a b -=+=（2）设2a b +与a b -的夹角为θ，则(2)()cos |2|||a b a b a b a b θ+-=+⋅-，又2(4,7)a b +=，|2|65a b +=，(1,5)a b -=-，||26a b -=，∴cosθ===，∴向量2a b +与a b - 20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，M ，N 分别为BC ，PD 的中点．（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）若K 为AD 的中点，证明：平面//MNK 平面PAB ．证明：（1）因为在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为BC ，PD 的中点． 取PA 的中点R ，连接NR ，BR ， 所以//NR AD ，且12NR AD =，12BM BC =， 因为四边形ABCD 是矩形， 所以//AD BC ，且AD BC =， 所以//NR BC ，且NR BC =，所以四边形BMNR 是平行四边形，所以//MN BR ， 因为MN ⊂/平面PAB ，BR ⊂平面PAB ， 所以//MN 平面PAB ；（2）由（1）知//MN 平面PAB ，因为K 为AD 的中点，M 为BC 的中点．四边形ABCD 是矩形， 所以//MK AB ，因为MK ⊂/平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以//MK 平面PAB ， 因为MKNK K =，所以平面//MNK 平面PAB ．21．（12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，点D 在BC 边上，AD是角平分线，222sin sin sin sin sin C B C B A ++⋅=，且ABC ∆的面积为 （1）求A 的大小及AB AC ⋅的值； （2）若4c =，求BD 的长．解：（1）222sin sin sin sin sin C B C B A ++⋅=， 由正弦定理知，222c b bc a ++=，即222b c a bc +-=-，由余弦定理知2221cos 22b c a A bc +-==-，又(0,)A π∈，∴23A π=，1sin 2ABC S bc A ∆===2b ∴=，∴cos 4AB AC bc A ⋅==-；（2）过D 作DE ，DF 分别垂直于AB ，AC ，如图所示，AD 为BAC ∠角平分线，DE DF ∴=，∴11||||,||||22ABD ACD S AB DE S AC DF ∆∆=⋅=⋅，:||:||2:1ABD ACD S S AB AC ∆∆∴==， 又:||:||ABD ACD S S BD DC ∆∆=，||:||2:1BD DC ∴=，∴23BD a =，又2221cos ,2,422b c a A b c bc +-==-==，∴a =，∴23BD a ==22．（12分）在ABC ∆中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22sin ()sin 2sin c b c B a C c A a a++-=（1）求C 的大小；（2）若ABC ∆2cos22sin 1A B -+的值；（3）设ABC ∆的外接圆圆心为O ，且满足sin 2sin 22sin sin B CB A CA mCO A B ⋅+⋅=⋅，求m 的值．解：（1）在ABC ∆中，22sin ()sin 2sin c b c B a C c A a a⋅++-=⋅，由余弦定理得sin 2cos sin 2sin B B C A +=， 因为A B C π++=，所以sin sin()A B C =+，所以sin 2sin()2sin cos B B C C B =+-，整理得sin 2sin cos B B C =， 又在ABC ∆中，sin 0B ≠，则1cos 2C =，因为(0,)C π∈，所以3C π=；（2）1sin 2ABC S ab C ∆==4ab =，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===，得2sin CR C==3c =， 则22222221cos22sin 122(sin sin )22[()()]2()226a b A B A B a b R R -+=-+=-+=-+， 由余弦定理得222222cos 9c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以2213a b +=， 可得：2cos22sin 1A B -+的值为16-；（3）sin 2sin 22sin sin B CB A CA m CO A B ⋅+⋅=⋅⋅⋅，cos cos sin sin B ACB CA mCO A B⋅+⋅=， 所以2cos cos ()sin sin B A CB CA CO mCO A B ⋅+⋅⋅=，所以2cos cos sin sin B ACB CO CA CO mCO A B⋅⋅+⋅⋅=， 又2||||cos cos()sin 22a CB CO CB CO OCB a R A a R A π⋅=⋅∠=⋅-=⋅=，同理，22b CA CO ⋅=，所以22cos cos 3sin 2sin 2B a A b m A B ⋅+⋅=，由正弦定理sin sin a bA B==，得a A =，b B =，代入化简得6sin cos 6sin cos 3A B B A m +=，所以2sin 2m C ===．。