五年级奥数.数论.中国剩余定理及弃九法(A

五年级奥数.数论?中国剩余定理及弃九法（A

【例门将1至2（X）8这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数； 12345678910111213 - 20072008,试求这个多位数除以9的余数.

【考氏】弃九法【堆废】3冕【題型】解察

【妙析】以19992000 IX个八伎数为例，它放9冷的余数等于（149厶949424040 + 0）被9除的余数，但是由于1999与（14-9 + 94-9）^ 9徐的余数相同，20CO与（2 4-04 04-0J被9除的余數相同，曲以19992000就与（iw 2（扌械9除的余数相同.由此可得.从1开於的自然数12345678910111213?- 2OO72OOS破9於的余数与荊2008个自然敷之和除以9的余秋相同.植猎等差数列求和公式，这个和为：（12008）、2008 =2017036 ,它秋9除的余數为1?另外还可以

2

利用连埃9个自然敛之和必能坡9楚冷逗个性质，籽腹多位数分成123456789, 101112131415161718? ................... . 199920002001200220032004200520062007. 2008 爭数，可见它放 9

除的余数与2008被9除的余数相同.因此，此数被9冷的余数为1?

【答案】1

I［矶固H连埃写出从I开始的自然敷,写到2009时停止,得到一个多位1234567891011-19992000, 请说明：这个多位数除以3,得到的余数是几？为什么？

【考点】弁九法【难度】3星【题型】解答

【关坡词】第六屈，希空杯

［分析】因为连续3个白然歎可以被3整除，而且最后一个白產數祁是3的信数，因为1998是3的倍數，所以123456789101 1…W9M是3的倍数，又因为

1234567?9101 1 I9992O

【答案】0

■例2）将12345678910111213……依次写到第2013个数字，组成一个2013位数，那么此数除以9的余数是 ___________ -

【考支】卉九法【难度】3星【題型】填空

【解析】本题第一步是实求出第2013个妓字是什么，牌对败牛求和?I?9共有9个数字，10-99共有90 个两位数，共冇数字:90* 2 = 1X0 （个X 100—999共900个三位数?共有900*3= 2700 （个），所以教连续写.不会写到999?从100开始是3位數.每三个数字衷示一个數，（207 9180）-3 ?即有608个三位数，从100开始的第608个三位数是707,因为连绫9

个自然敷之和能被9整冷，所以排列起来的9个自然耿也能祓9駐除，707个歎能分成的纽数足：

707 4-9 ■兀（纽）……5 ,依次排列后，列702仍轶能被9扭除，但703704705706707中

7+3+7444-7+54.7+64-7+7.60, 6W=6.所以余数为 6

【答隶】6

「巩圍J右2个三位数相乘的积是一个五位数，枳的后四位是7037,第一个数各个位的数字之和是6

第二个数的各个位数字之和足8,求两个二位数的和。

【考点】弃尢法【难廃】3星【题型】解答

【解析】木题条件仅给出了两个柬数的数牛之和，同时发现乘枳的一部分已经给出，即乘积的f 分数字之和已经蛤出，我们可以来用弃九法原理的便推来构造出原三位數”因为这足一个一定止确竹算式.

网以一迄可以满足弃九法的条件.两个三位数险以9的余數分别为7和X,所以等式一边除以9的余

敷为2,那么口7037除以9的余歌也必须为2, □只能是3?特37037分解质因数发现仅有一种情况

可以满足是两个三位数的乘积，

即 37037 - 37x 1001 - )43x259

所以两个三位敎是143和259?那么两个三位教的和是402

【咨案】402

「例打设2O132015的各位数字之和为川，A的各位教字之和为刀，B的各何数字之和为<7 ,加么Cm

【考瑕】弃九法【难度】3 < 【题型】填空

【解析】由于一个敛除以9的余數与它的各位歌字之和除以9的余数相同，所以2013回'与A. B、C、D除以9都同余?而2013除以9的余数为& 则2013“门除以9的余數与除以9的余数相

同，而6?-36除以9的余救为0,所以除以9的余歎为()??

另一方面.由于2013" <10000叫严,所以20l3aou的位数不翅过8052位,莎么它的各位敏字之和不

4￡ii

和C < 9x2 ? IX , C小于IX且徐以9的余数为0,那么「为9.

【答案】9

「讥目了 3个二位数乘积的算式abc x bca x cab = 234235286 (兀中UJ>Q AC)?布校对时，发现右边的积的数7顺序出现锚嵌，但足知道最后一位6是正确的，问原式中的赢是多少？

【考点】卉九法【难度】3星【题型】解第

【关钱词】2000年，华杯乗

【解析】由于 2H2352X6?2 43 4A4 2*34542 4X46?K(mo<19) , abcxbca^cab B (a 4?/> + rf (m(xl9), 于是(4 4^4打彳=*(mod9) ?从而(用“40 4

a +

b + cm2」.8(mod9)…⑴,对“进彳亍讨论：

如果a?9?那么〃 4 C?二2,5,E(mo<19)…⑵》又.cs ￡的个位数子是6,斯■以c的个位数字为4

bxr可能为4x1、7x2. ”刍、6x4 ,其中只有(bf)= (4」人(8符令⑵?经检验只有 98夕83* 39#

328245符合題意.

如杲a-8，那么b + c = 3?6?0(mod9)…(3),又bxe的人伎数字为2或7,则〃x c可能为2 x

1 .4x3 > 6x

2 . 7x6. 7x1,算中只有(b.c) = (2?1)符合(3).经檢验，亦= 821不合题意.

如果。?7,那么fe + r = 4 7J(mAd0)...(4)?则bx可能为4x2. 6x3. K中没有符合⑷的(/>?) ? 如果“se,那么 fc S 5 1 Ci4 , ahcxhcaxcah<700x 600x 5fKl = 210fM)0000< 2223345 ?6 > 因

<匕这时赢不可能甘合题意.加上所述，abc - 983是本题咋一的解.

【签策】983

「仇“ 一个小F 200的澈它除以11余乳除以13余10.这个数是几？

【考点】余数性质综合【难度】3 ￡ 【题型】解答

【解析】根据总结，我们发现这阳个於数与余数的基都等于11-8-13-10-3 ,观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除?所以［4 13)=143,所以这个數是143-3=140.

【答隶】140

I巩胃)求满足卜列条件的最小自然数；用3除余2,用5除余1,用7除余1。

【考点、】余数性质综合【申度】3星【題型】解笑

【解祈】该敷减去1以后是5和7的公倍数?因此我们可以以5和7的公倍數中去弓找签案.下面列举一些同叶被 5 除余 1 > 杭 7 险余 1 的数，即

L 36 , 71, 106> 141, 176> 211, 246,……从以上數中寻找最小的被3於余2的敏. 36=0

(mod?) , 71=2 ( mod3 > >符合条件的盘小的数足71.

【答隶】71

［例刀5年级3班冋学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3心排成5行少1人，排成6排多5 人，问上体育课的同学最少—人。

【考点、】余数性质琮合【芈度】2星【题型】填空

【关位词】第三屈.小数扌Q初第

【解析】題意和当于：除以3余厶除以4余3,除以5余4,除以6余5?这样我们根据总结知道都只能??凑缺”，朋以都缺1,这样班级人数就是［3. 4. 5、6J-1=60-1=59 A.

【答案】59

I巩岡】右一个口然数，除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,则这个数最小是?

【考点】余敕徃质综含【难度】2星【题理】填空

【关1 2007年，第12屈，华杯賽.五年级，决賽，第7题.10分

【解圻】这个数加1能同时2 , 3 , 4 , 5 > 6 除，而［2 , 3 , 4 , 5 , 6J-60 所以这个数最小是 60-1=59.

【答案】59

「例C 小朋友们要做一次渤物保护'渲传活动，若】人聿3个动物小玩貝，则最右余下2个动物小玩H:廿1人金4个动物小玩民则杲后余F 3个动物小玩艮：片I人拿5个动物小玩民则昂后余卜4动物小切:具。那么这次活动中小朋友至少拿f ___________ 个动物小圻貝。

【考点】屮国期余定理【艰度】2星【题型】填空

【关扯词】2010年，学而思杯，3年圾，第9题

【解诉】那么再加一个阮具，玩具总?敦就能同吋被3.4.5整除，能同时被3.4.5整徐最小整敏位60.所以这次活动小朋友至少余了 59个玩具.

【答隶】59

【孔同】竹一批国书总数在1000本以内，若按24本书包成一抽，则最后一捆差2本；若按28本书包成一拥，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最万一捆是30本.那久这批图书共有本.

【考点】余戟性质综合[难度】3星【题型】境空

[关技词】2009年，迎春杯，六年级，初赛，3题

「解柄】由題意可知，这找书如果再多2本，那么按24本，28本，32本一捆全书时，都特恰好分成整■數本?所以这批弔的本釵加上2之后是24, 2X, 32的公倍数，而[24.28.32] = 672 ,所以这批书的本

数是672k_2(it是整数).由干这批书少干10(X1 所以ir只能为I ,这批书有f?" &

【答案】670本

I：例77 —个口然数被7, 8, 9除的余数分别是1, 2. 3,并II三个商数的和是570,求这个口然数.

【考点】余數?浊质综合【难度】2星【題型】解答

【解析】这个數被7,8.9於的余数分別是1?2,3,所以这个歎加上6后能被7, 8,9整於，^[7.8.9] = 504 , 所以这个數加上6后足504的信數.由于这个以被7, 8, 9除晒三个商数的和是570,那么这个欽加

上6后被械7, 8, 9除的三个商数的^^.570 + 14 1 4 1-573 ,而

504 + 9 + 5()4 + 8 +5()4+ 7- 7x8 + 7x9-1-8x9-19] , 573 + 191 - 3 .

所■以逗个数加上6等于504的3倍，这个欽是504x 3- 6 -1506.

【答1500

「巩円】数丨19很奇特：当被2除时，余数为1：当被3除时，余数为2：当被4除时，余数为3：当被5 除时，余数为4；肖被6除时，余数为5.问；口有迖种性质的二位数连冇儿个？

【考点】余数柱质炼今【难度】3星【越型】解答

【解析】|1, 2, 3, 4, 5, 6|-60.三伎数中60的倍数15个.所以，冷了 119外，还有15-1-14 (个). 【答枭】14

I例的“民间流传着一则故——，韩信点兵I秦朝木年，楚汉相争.一次，韩信将1500名将I:与楚王大将于锋交战.苦战一场，楚军不敌，败退回苕，汉军也死伤四五百人.忽令后军來报，说台楚军骑兵追来.

韩侑便急速点兵迎敌.他命今十兵3人一排，结果多出2名：接着命今七兵5人一排，结果名出3名；

他乂命令十兵7人一幷，结果乂多出2名.輔信卩上向将十们宣布；我军冇

1073名页匕敌人不足五白；我们居高临下，以众击寡，一定能打败敢人.??根摇故事中的条伴, 你能畀出軸信有多少将士么？

【考点】中国利余乂理【玳皮】3冕【题史】解答

【分析】也就是说：一个自然数在1(X)0花1100之间.徐以3余2,险以5余3.除以7余2.求符合条件的数.

方法一：先列出徐以3余2的教：2. 5, & 11. 14, 17. 20. 23, 26.…；

再列出徐以5余3的数：3, 8, 13, 18, 23, 28,…?

这两列数中，筲先出现的公共数是X. 3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是

8+15＞整数，列出这一率数是8, 23, 38,…，再列出滄以7余2的数2, 9, 16, 23, 30,

?- ?就得出符合题目条件的最小数是23.而⑶5, 7J-1O5 ?我们就把題冃转化为：求1000-

1100之间被105冷余23的敦.鞋信有105x10^23 = 1073 (个)将士.

方法二：我们先找出被.3 徐余 2 的數：2 , 5 , 8, 11, 14, 17 , 20 , 23 , 26, 29 , 32 , 35 , 38, 4k 44 -;

祓 5 除余 3 的欽：3, 8, 13, 18, 23, 2?, 33, 38?43, 48, 53, 58…；

被 7 徐余 2 的数：2, 9, 16, 23, 32. 37, 44, 51- ?

三个条件都符合的最小的数足23,以后的是一次加上3, 5, 7妁公倍敛.直到加到】00() 和

1100之间.毎果是2^4. 1()5 K 1() - 1073 .具体到实际的做题过程中时.从较先的除数

开％做会方俛一些?

方法三：利用租俎位的解法.将题目转化为：求233加上105的倍数在1000 -110()之间的数?通过:尝试可以求出这个数是233 + 105浜8 “073?

【答■案】1073

「巩同H 一个故除以3、5、7、II的余数分别是2、3、4、5.求符介条件的最小的数.

【考点】中国剩余定理【难虔】3星【题垂】解答

【解析】法一：特3?5. 7. 11这4个缴3个3个一皑分別计算公倍欵.如表:

3.5.7的公倍数屮披11除余5的數不太妤找■但注恚到210除以11余1,所以210x5-105()

被II除余5,由此可4v 77(1 4- 693 + 16 5 1 ()50 = 267X是特合条件的一个值，但不是聂

小值. 还需要减去3、5、7、11的公倍數使捋它小于它们的最小公倍致.由于3、5、7、1】的

最小公信数是1155,所以2678-1155x2-36R是符合条伴的最小值?

法二：对于这种趣日，也可以丸求漏足其中3个余数条件的，比知先求满足徐以3、5. 7的余数分别是2. 3、4的，既可采用中囚剩余灾彦，样到70x2-^21x3^15x4 = 263是满足前3 个余飲条

件的，从而其中最小的是263-105x2 = 53；由于53徐以11妁余败为9, 105除以11的余數

为&,可如Q 4 Aw 7 M 27阶以1 1的金核为5,所以4 W 4 M弘K是満足条件的员小敦.也可

以直按观棊发现这个敬束以2之后徐以3. 5、7的余厥分别是4、6. ?? 也就是除以3、5、7

的余数都是1.所以滿足前三个条舛的戟最小为（3x5x741）42 = 5儿后面的步凍与上劲的解

法相同.

【答案】53

「例9）育一个数.餘以勺余2,除以4余1,问这个数除以12余儿？

【考点】余數找质的揺展应用一新中国剩余皮理【难度】3星【题型】解答

【关便词】首师丸附中，分班考试

【解析】方法一：除以3余2的数有:2> 5. X 11* 14 17. 20. 23?…；

它们除以12的余数是：2. 5, 8> 1L 2, 5, 8. 11,…；

徐以 4 余 I 的数有：1, 5. 9, 13, 17, 2h 25, 29.…；它们除以12的余数是：1, 5, 9, 1,

5, 9■…；

一个数除以12的余数是单■一的.上面两行余敷中，只有5是共同的，因此这个数徐以12的余数

是5.

方法二：一个披，除以3余2,於以4余1,可以理解为除以3舍3十2,除以4余4會1,听以这个

敗赢去5后，既能诫3创仝，又能披4整於，设区个數为° ,则—12则.5,（加为自然數）所以

这个做除以12余5

【各案】5

【巩同】有两个数字，甲：除以5余3,除以6余4,除以7余1：乙：除以5余3,除以6余4,除以7 余I,除以15余？，当”？■収儿的时候乙数是存在的，说明理由。

【才点】余数惶质的拓展应用一新中BJ利余丸理【璀度】3星【题型】解券

【解析】我们不璋知道：满足冷以5余3,除以6余4除以7余1的最小敷于是148,那么对于乙，我们接T来要港足险以15余？

即 148+[5, 6, 7] X?

显然，[6 6, 7]—丸是15的倍魏.

所以根据两个数和的余数，同余于余数的和.乙只能和148^15有相同的余数「余數是13?所以

*? ”是 13.

【备素J 13

I例10）有5000多根才签.口J按6村规格分成小包.如果1（）根一包.加么嚴后还剩9根切果9根一包.那么最后还剩8根笫三、四、五、六种的规格暑，分别以&7,6,5根为一包，那么最后也分别舸

7,6,5,4 根.原来一共有牙签多少根？

【考点】余数桂质的拓展应闍一斯中国剩余龙理【难度】3星【題理J辭答

【解折】设这包牙签有n根邸么加上1根后为n+1根此时令n+1根牙签即町以分成10根一包，乂町以分戍9根一包胚可以分成8、7、6、5根一包-

所以?叶1是10、9、8、7、6、5的倍数.即它们的公倍数.

[105.8.7.6,51 =23x32x5x7=2520t即 n+l 是 2520 的倍数?在旃足题下只能是 2520x2=5040?所以 n=5O39.

即氐来一共仔牙签5039根.

【答案】5039

r^.?7五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，丁是人家同意去睡觉，明天再说.夜里，一只猴子输偷起来.吃掉一只桃子，剩F的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去喷觉；第一只猴子起

来，也吃掉一只桃子，剩卜?的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉.第

三、四、五只软子也都这样做?问：最初至少有______________ 个桃子。

【肴点】余救性质的拓展应用一軒中国剩余定理【难度】3星【題型】解答

【解析】因为第-贝猴子把桃5等分民还余1个桃：以后每只餐子來时.都是把前猴了条下的4等份再分成5等份，且每次余I亍桃于.丁是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等

份了.

加进4个制比后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只而5等份后，拿走一份.

囚为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成5等

份.这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了.所以，这堆桃子至少5x5x5x5x5-4=3121 （个）?【答樂】3121

课堂检测

【甌练1】右群猴子正耍分56个桃了.每只猴了可以分到同样个数的桃了.这时.又帘來4只猴了。J1 好巫新分配，但耍使每只朕子分剑同样个数的桃子，必须射料一个桃子.则最右每只彼子分到桃子—

个。

【考点】余験性质塚合【难度】2星【題燮】填空

【关址词】2008年，希塑杯.第六届.六年级，初乳，笫19题.6分

【解析】56的约数有：1、2. 4、7, 8、14、28、56,

55的约敎有：k 5、11、55.

其中只有11=7+4,所以原来有7只猴，后来有II只欷，每只猴于分到554-11=5个.

【答隶】5

【随粽2】小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5 人分成一组，则最后余下4人?那么一起做游戏的小刖友至少有_________ 人.

［考点、】中国剌余定理［难度】2星【题型】填空

【关徒词】2004年，命望杯，弟二届，四年虬夏赛，第15题，6分

【解析】这个数除以3余2,险以4余3,除以5余4,那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5, 3x4x5=60,那么小明友至少59人

【答衆】59

【随练3】有连次的三个自然数八。十1、“十2,它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多儿？

【考点】中国剩余定理【难度】3星【题規】解答

【解析】法一：

由“ + I足8的倍数，宵到“披8除余7,由“ +2足*;的倍歎，将到“械7除余5,现4相当于一

个敬“除以9余0,除以8余7,除汉7余■运屈中国剩余定理求“（用逐步海足的方法也可以）