五年级奥数.数论.中国剩余定理及弃九法(A
中国剩余定理（模板+详解）
中国剩余定理（模板+详解）问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：⼏个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
小学奥数教程之-中国剩余定理 及余数性质拓展 (90) (含答案)
我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为 “中国剩余定理 ”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以 3 所得的余数用 70 乘． 五树梅花廿一枝，是说除以 5 所得的余数用 21 乘． 七子团圆正月半，是说除以 7 所得的余数用 15 乘． 除百零五便得知，是说把上面乘得的 3 个积加起来，减去 105 的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用 70 乘 3 除所得的余数，21 乘 5 除所得的余数，15 乘 7 除所得的 余数，把这 3 个结果加起来，如果它大于 105，则减去 105，所得的差如果仍比 105 大，则继续减去 105， 最后所得的整数就是所求．也就是 2 × 70 + 3× 21 + 2 ×15 =233 ， 233 −105 = 128 ，128 −105 = 23 为什么 70，21，15，105 有此神奇效用？70，21，15，105 是从何而来？ 先看 70，21，15，105 的性质：70 被 3 除余 1，被 5，7 整除，所以 70a 是一个被 3 除余 a 而被 5 与 7 整除的数；21 是 5 除余 1，被 3 与 7 整除的数，因此 21b 是被 5 除余 b，被 3 与 7 整除的数；同理 15c 是被 7 除余 c，被 3、5 整除的数，105 是 3，5，7 的最小公倍数．也就是说， 70a + 21b + 15c 是被 3 除余 a，被 5 除余 b，被 7 除余 c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数． 了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．
中国剩余定理知识点总结
中国剩余定理知识点总结在初等数论中，我们经常会遇到形如x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)的线性同余方程组，其中ai和mi都是整数，m1, m2, ..., mn是两两互质的正整数。
中国剩余定理就是解决这类问题的重要方法。
下面我们来详细介绍一下中国剩余定理的一些基本知识点。
1. 中国剩余定理的表述中国剩余定理可以用如下的形式来表述：对于给定的两两互质的正整数m1, m2, ..., mn，以及任意的整数a1, a2, ..., an，中国剩余定理断言，存在一个解x，使得对于所有的i=1,2,...,n，都有x≡ai(mod mi)。
这个解x是唯一存在的，并且可以用下面的形式来表示：x = a + tM其中a是通解，t是任意整数，M是m1, m2, ..., mn的最小公倍数，即M=lcm(m1, m2, ..., mn)。
2. 中国剩余定理的应用在数论和密码学等领域中，中国剩余定理有着广泛的应用。
例如，可以利用中国剩余定理来解决一些测定一些重要的数学问题，如幂模运算、循环小数、素数和因数分解等问题。
在密码学中，中国剩余定理也被广泛应用。
例如在RSA公钥密码系统中，中国剩余定理能够加速大数的幂模运算，从而大大提高RSA的加密和解密速度。
3. 中国剩余定理的证明中国剩余定理的证明是通过数学归纳法来完成的。
首先我们可以证明当n=2时定理成立，然后利用数学归纳法来证明对于任意n都成立。
具体来说，我们首先假设对于n=k（k≥2）时定理成立，即对于任意的m1, m2, ..., mk，以及任意的整数a1, a2, ..., ak，能够找到一个解x使得x≡ai(mod mi)。
然后我们来考察下一个情况，即n=k+1时定理成立。
我们可以利用n=k时的结果来构造一个新的解x'，然后利用一些数论知识来证明x'也满足n=k+1时的情况。
通过这样的数学归纳法的证明，我们可以得出中国剩余定理的正确性。
五年级培优 竞赛 二合一 精讲系列之9 余数(例题 练习 课后作业一条龙)
第十讲：数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学奥数 5-5-4 余数性质(二).教师版
1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0知识点拨教学目标5-5-4.余数性质（二）这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
小学奥数5-5-4 余数性质(二).专项练习及答案解析
1.学习余数的三大定理及综合运用 2.理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
数论之余数问题
数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a〔b=q……r，也就是a＝b〓q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23〓16除以5的余数等于3〓1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23〓19除以5的余数等于3〓4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
奥数数论题库17-余数问题_知识例题精讲
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
知识点拨教学目标5-6余数问题例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
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五年级奥数.数论•中国剩余定理及弃九法（A【例门将1至2（X）8这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数； 12345678910111213 - 20072008,试求这个多位数除以9的余数.【考氏】弃九法【堆废】3冕【題型】解察【妙析】以19992000 IX个八伎数为例，它放9冷的余数等于（149厶949424040 + 0）被9除的余数，但是由于1999与（14-9 + 94-9）^ 9徐的余数相同，20CO与（2 4-04 04-0J被9除的余數相同，曲以19992000就与（iw 2（扌械9除的余数相同.由此可得.从1开於的自然数12345678910111213•- 2OO72OOS破9於的余数与荊2008个自然敷之和除以9的余秋相同.植猎等差数列求和公式，这个和为：（12008）、2008 =2017036 ,它秋9除的余數为1•另外还可以2利用连埃9个自然敛之和必能坡9楚冷逗个性质，籽腹多位数分成123456789, 101112131415161718・ ................... . 199920002001200220032004200520062007. 2008 爭数，可见它放 9除的余数与2008被9除的余数相同.因此，此数被9冷的余数为1・【答案】1I［矶固H连埃写出从I开始的自然敷,写到2009时停止,得到一个多位1234567891011-19992000, 请说明：这个多位数除以3,得到的余数是几？为什么？【考点】弁九法【难度】3星【题型】解答【关坡词】第六屈，希空杯［分析】因为连续3个白然歎可以被3整除，而且最后一个白產數祁是3的信数，因为1998是3的倍數，所以123456789101 1…W9M是3的倍数，又因为1234567«9101 1 I9992O<M）= 1234567X9101 1 199800：X）0000 + 199—丨斗 1 998 + 2 , 所以1234567891011 - 19992000 冷以3 ,得到的余效是0.【答案】0■例2）将12345678910111213……依次写到第2013个数字，组成一个2013位数，那么此数除以9的余数是 ___________ -【考支】卉九法【难度】3星【題型】填空【解析】本题第一步是实求出第2013个妓字是什么，牌对败牛求和・I〜9共有9个数字，10-99共有90 个两位数，共冇数字:90* 2 = 1X0 （个X 100—999共900个三位数•共有900*3= 2700 （个），所以教连续写.不会写到999•从100开始是3位數.每三个数字衷示一个數，（207 9180）-3 »即有608个三位数，从100开始的第608个三位数是707,因为连绫9个自然敷之和能被9整冷，所以排列起来的9个自然耿也能祓9駐除，707个歎能分成的纽数足：707 4-9 ■兀（纽）……5 ,依次排列后，列702仍轶能被9扭除，但703704705706707中7+3+7444-7+54.7+64-7+7.60, 6W=6.所以余数为 6【答隶】6「巩圍J右2个三位数相乘的积是一个五位数，枳的后四位是7037,第一个数各个位的数字之和是6第二个数的各个位数字之和足8,求两个二位数的和。
【考点】弃尢法【难廃】3星【题型】解答【解析】木题条件仅给出了两个柬数的数牛之和，同时发现乘枳的一部分已经给出，即乘积的f 分数字之和已经蛤出，我们可以来用弃九法原理的便推来构造出原三位數”因为这足一个一定止确竹算式.网以一迄可以满足弃九法的条件.两个三位数险以9的余數分别为7和X,所以等式一边除以9的余敷为2,那么口7037除以9的余歌也必须为2, □只能是3•特37037分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即 37037 - 37x 1001 - )43x259所以两个三位敎是143和259•那么两个三位教的和是402【咨案】402「例打设2O132015的各位数字之和为川，A的各位教字之和为刀，B的各何数字之和为<7 ,加么Cm【考瑕】弃九法【难度】3 < 【题型】填空【解析】由于一个敛除以9的余數与它的各位歌字之和除以9的余数相同，所以2013回'与A. B、C、D除以9都同余•而2013除以9的余数为& 则2013“门除以9的余數与除以9的余数相同，而6?-36除以9的余救为0,所以除以9的余歎为()••另一方面.由于2013" <10000叫严,所以20l3aou的位数不翅过8052位,莎么它的各位敏字之和不4£ii<JxXO52 ■ 7246X , F? 4 < 7246X ；那幺A的8代敏字之和< Mx 5 - 4S , R的參位数字之和C < 9x2 « IX , C小于IX且徐以9的余数为0,那么「为9.【答案】9「讥目了 3个二位数乘积的算式abc x bca x cab = 234235286 (兀中UJ>Q AC)・布校对时，发现右边的积的数7顺序出现锚嵌，但足知道最后一位6是正确的，问原式中的赢是多少？【考点】卉九法【难度】3星【题型】解第【关钱词】2000年，华杯乗【解析】由于 2H2352X6・2 43 4A4 2*34542 4X46・K(mo<19) , abcxbca^cab B (a 4•/> + rf (m(xl9), 于是(4 4^4打彳=*(mod9) »从而(用“40 4<r = 0,l,2…」(mod®)代入上式检验)a +b + cm2」.8(mod9)…⑴,对“进彳亍讨论：如果a・9»那么〃 4 C?二2,5,E(mo<19)…⑵》又.cs £的个位数子是6,斯■以c的个位数字为4bxr可能为4x1、7x2. ”刍、6x4 ,其中只有(bf)= (4」人(8符令⑵•经检验只有 98夕83* 39#328245符合題意.如杲a-8，那么b + c = 3・6・0(mod9)…(3),又bxe的人伎数字为2或7,则〃x c可能为2 x1 .4x3 > 6x2 . 7x6. 7x1,算中只有(b.c) = (2・1)符合(3).经檢验，亦= 821不合题意.如果。
・7,那么fe + r = 4 7J(mAd0)...(4)»则bx可能为4x2. 6x3. K中没有符合⑷的(/>«) • 如果“se,那么 fc S 5 1 Ci4 , ahcxhcaxcah<700x 600x 5fKl = 210fM)0000< 2223345 »6 > 因<匕这时赢不可能甘合题意.加上所述，abc - 983是本题咋一的解.【签策】983「仇“ 一个小F 200的澈它除以11余乳除以13余10.这个数是几？【考点】余数性质综合【难度】3 £ 【题型】解答【解析】根据总结，我们发现这阳个於数与余数的基都等于11-8-13-10-3 ,观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除•所以［4 13)=143,所以这个數是143-3=140.【答隶】140I巩胃)求满足卜列条件的最小自然数；用3除余2,用5除余1,用7除余1。
【考点、】余数性质综合【申度】3星【題型】解笑【解祈】该敷减去1以后是5和7的公倍数・因此我们可以以5和7的公倍數中去弓找签案.下面列举一些同叶被 5 除余 1 > 杭 7 险余 1 的数，即L 36 , 71, 106> 141, 176> 211, 246,……从以上數中寻找最小的被3於余2的敏. 36=0(mod?) , 71=2 ( mod3 > >符合条件的盘小的数足71.【答隶】71［例刀5年级3班冋学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3心排成5行少1人，排成6排多5 人，问上体育课的同学最少—人。
【考点、】余数性质琮合【芈度】2星【题型】填空【关位词】第三屈.小数扌Q初第【解析】題意和当于：除以3余厶除以4余3,除以5余4,除以6余5»这样我们根据总结知道都只能••凑缺”，朋以都缺1,这样班级人数就是［3. 4. 5、6J-1=60-1=59 A.【答案】59I巩岡】右一个口然数，除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,则这个数最小是・【考点】余敕徃质综含【难度】2星【题理】填空【关1 2007年，第12屈，华杯賽.五年级，决賽，第7题.10分【解圻】这个数加1能同时2 , 3 , 4 , 5 > 6 除，而［2 , 3 , 4 , 5 , 6J-60 所以这个数最小是 60-1=59.【答案】59「例C 小朋友们要做一次渤物保护'渲传活动，若】人聿3个动物小玩貝，则最右余下2个动物小玩H:廿1人金4个动物小玩民则杲后余F 3个动物小玩艮：片I人拿5个动物小玩民则昂后余卜4动物小切:具。
那么这次活动中小朋友至少拿f ___________ 个动物小圻貝。
【考点】屮国期余定理【艰度】2星【题型】填空【关扯词】2010年，学而思杯，3年圾，第9题【解诉】那么再加一个阮具，玩具总•敦就能同吋被3.4.5整除，能同时被3.4.5整徐最小整敏位60.所以这次活动小朋友至少余了 59个玩具.【答隶】59【孔同】竹一批国书总数在1000本以内，若按24本书包成一抽，则最后一捆差2本；若按28本书包成一拥，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最万一捆是30本.那久这批图书共有本.【考点】余戟性质综合[难度】3星【题型】境空[关技词】2009年，迎春杯，六年级，初赛，3题「解柄】由題意可知，这找书如果再多2本，那么按24本，28本，32本一捆全书时，都特恰好分成整■數本•所以这批弔的本釵加上2之后是24, 2X, 32的公倍数，而[24.28.32] = 672 ,所以这批书的本数是672k_2(it是整数).由干这批书少干10(X1 所以ir只能为I ,这批书有f»" &【答案】670本I：例77 —个口然数被7, 8, 9除的余数分别是1, 2. 3,并II三个商数的和是570,求这个口然数.【考点】余數•浊质综合【难度】2星【題型】解答【解析】这个數被7,8.9於的余数分別是1・2,3,所以这个歎加上6后能被7, 8,9整於，^[7.8.9] = 504 , 所以这个數加上6后足504的信數.由于这个以被7, 8, 9除晒三个商数的和是570,那么这个欽加上6后被械7, 8, 9除的三个商数的^^.570 + 14 1 4 1-573 ,而504 + 9 + 5()4 + 8 +5()4+ 7- 7x8 + 7x9-1-8x9-19] , 573 + 191 - 3 .所■以逗个数加上6等于504的3倍，这个欽是504x 3- 6 -1506.【答1500「巩円】数丨19很奇特：当被2除时，余数为1：当被3除时，余数为2：当被4除时，余数为3：当被5 除时，余数为4；肖被6除时，余数为5.问；口有迖种性质的二位数连冇儿个？【考点】余数柱质炼今【难度】3星【越型】解答【解析】|1, 2, 3, 4, 5, 6|-60.三伎数中60的倍数15个.所以，冷了 119外，还有15-1-14 (个). 【答枭】14I例的“民间流传着一则故——，韩信点兵I秦朝木年，楚汉相争.一次，韩信将1500名将I:与楚王大将于锋交战.苦战一场，楚军不敌，败退回苕，汉军也死伤四五百人.忽令后军來报，说台楚军骑兵追来.韩侑便急速点兵迎敌.他命今十兵3人一排，结果多出2名：接着命今七兵5人一排，结果名出3名；他乂命令十兵7人一幷，结果乂多出2名.輔信卩上向将十们宣布；我军冇1073名页匕敌人不足五白；我们居高临下，以众击寡，一定能打败敢人.••根摇故事中的条伴, 你能畀出軸信有多少将士么？【考点】中国利余乂理【玳皮】3冕【题史】解答【分析】也就是说：一个自然数在1(X)0花1100之间.徐以3余2,险以5余3.除以7余2.求符合条件的数.方法一：先列出徐以3余2的教：2. 5, & 11. 14, 17. 20. 23, 26.…；再列出徐以5余3的数：3, 8, 13, 18, 23, 28,…•这两列数中，筲先出现的公共数是X. 3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15＞整数，列出这一率数是8, 23, 38,…，再列出滄以7余2的数2, 9, 16, 23, 30,•- »就得出符合题目条件的最小数是23.而⑶5, 7J-1O5 »我们就把題冃转化为：求1000-1100之间被105冷余23的敦.鞋信有105x10^23 = 1073 (个)将士.方法二：我们先找出被.3 徐余 2 的數：2 , 5 , 8, 11, 14, 17 , 20 , 23 , 26, 29 , 32 , 35 , 38, 4k 44 -;祓 5 除余 3 的欽：3, 8, 13, 18, 23, 2«, 33, 38・43, 48, 53, 58…；被 7 徐余 2 的数：2, 9, 16, 23, 32. 37, 44, 51- •三个条件都符合的最小的数足23,以后的是一次加上3, 5, 7妁公倍敛.直到加到】00() 和1100之间.毎果是2^4. 1()5 K 1() - 1073 .具体到实际的做题过程中时.从较先的除数开％做会方俛一些・方法三：利用租俎位的解法.将题目转化为：求233加上105的倍数在1000 -110()之间的数•通过:尝试可以求出这个数是233 + 105浜8 “073•【答■案】1073「巩同H 一个故除以3、5、7、II的余数分别是2、3、4、5.求符介条件的最小的数.【考点】中国剩余定理【难虔】3星【题垂】解答【解析】法一：特3・5. 7. 11这4个缴3个3个一皑分別计算公倍欵.如表:3.5.7的公倍数屮披11除余5的數不太妤找■但注恚到210除以11余1,所以210x5-105()被II除余5,由此可4v 77(1 4- 693 + 16 5 1 ()50 = 267X是特合条件的一个值，但不是聂小值. 还需要减去3、5、7、11的公倍數使捋它小于它们的最小公倍致.由于3、5、7、1】的最小公信数是1155,所以2678-1155x2-36R是符合条伴的最小值・法二：对于这种趣日，也可以丸求漏足其中3个余数条件的，比知先求满足徐以3、5. 7的余数分别是2. 3、4的，既可采用中囚剩余灾彦，样到70x2-^21x3^15x4 = 263是满足前3 个余飲条件的，从而其中最小的是263-105x2 = 53；由于53徐以11妁余败为9, 105除以11的余數为&,可如Q 4 Aw 7 M 27阶以1 1的金核为5,所以4 W 4 M弘K是満足条件的员小敦.也可以直按观棊发现这个敬束以2之后徐以3. 5、7的余厥分别是4、6. «• 也就是除以3、5、7的余数都是1.所以滿足前三个条舛的戟最小为（3x5x741）42 = 5儿后面的步凍与上劲的解法相同.【答案】53「例9）育一个数.餘以勺余2,除以4余1,问这个数除以12余儿？【考点】余數找质的揺展应用一新中国剩余皮理【难度】3星【题型】解答【关便词】首师丸附中，分班考试【解析】方法一：除以3余2的数有:2> 5. X 11* 14 17. 20. 23•…；它们除以12的余数是：2. 5, 8> 1L 2, 5, 8. 11,…；徐以 4 余 I 的数有：1, 5. 9, 13, 17, 2h 25, 29.…；它们除以12的余数是：1, 5, 9, 1,5, 9■…；一个数除以12的余数是单■一的.上面两行余敷中，只有5是共同的，因此这个数徐以12的余数是5.方法二：一个披，除以3余2,於以4余1,可以理解为除以3舍3十2,除以4余4會1,听以这个敗赢去5后，既能诫3创仝，又能披4整於，设区个數为° ,则—12则.5,（加为自然數）所以这个做除以12余5【各案】5【巩同】有两个数字，甲：除以5余3,除以6余4,除以7余1：乙：除以5余3,除以6余4,除以7 余I,除以15余？，当”？■収儿的时候乙数是存在的，说明理由。