三角形五心歌诀
三角形的五心整理
中英文学校自主招生平面几何讲义（三角形的五心）一、三角形的重心1、重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
证明一三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。
EC、FB交于G。
过E作EH平行BF。
AE=BE推出AH=HF=1/2AFAF=CF推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知Oh1=1/3Ah 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AO B)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^ 2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y 2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。
三角形的五心口诀(二)2024
三角形的五心口诀（二）引言概述：三角形是几何学中一个重要的图形，其五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心和旁心。
在本文中，我们将继续探讨三角形的五心及其相关性质。
通过深入研究五心的特点和相互关系，我们能够更好地理解三角形的性质和几何关系。
正文内容：一、重心1. 重心是三角形三条中线的交点，称为三角形的质心。
2. 重心将三角形的每条中线与其余两条中线的中点连线分成2：1的比例。
3. 重心是三角形的平衡点，如果在重心处施加一个力，三角形将保持平衡。
4. 重心是三角形的垂心和外心连线的中点。
二、外心1. 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
2. 外心是三角形内接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。
3. 外心是三角形两条边的延长线的交点。
4. 外心到三角形三个顶点的距离小于到三角形内心的距离。
三、内心1. 内心是三角形三条边的角平分线的交点。
2. 内心是三角形三个内切圆的圆心。
3. 内心到三角形三条边的距离相等，且到三角形三个顶点的距离之和最小。
4. 内心到三角形的每条边的距离即为三角形的内角平分线的长度。
四、垂心1. 垂心是三角形三条边的高的交点。
2. 垂心是三角形三个垂直平分线的交点，也是三角形三段高线的交点。
3. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
4. 垂心是三角形的外心和重心连线的中点。
五、旁心1. 旁心是三角形外角平分线的交点，一个三角形有三个旁心。
2. 旁心是三角形的角的外接圆的圆心。
3. 旁心到三角形的两个顶点的测地距离相等。
4. 旁心是三角形的重心和垂心连线的中点。
总结：三角形的五心（重心、外心、内心、垂心和旁心）是三角形的重要特点和几何性质。
通过研究五心的位置、性质和相互关系，我们可以更好地理解和分析三角形的结构和性质。
五心可以帮助我们解决三角形相关的问题，并为进一步的几何研究奠定基础。
中考数学之三角形五心定律
三角形五心定律三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称.重心定理：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等垂心定理：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））（除正三角形）3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE又∵∠ODC=∠OEC=90度∴O、D、C、E四点共圆∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！内心定理：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
三角形五心定律
三角形五心定律
形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等。
三、三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
2、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
3、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
4、△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
5、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
6、内心到三角形三边距离相等。
三角形五心定律
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。5PCzVD7HxA
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3>/2c，(c1+c3>/2c，(c1+c2>/2c >。jLBHrnAILg
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
有关诗歌
三角形五心歌<重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．
由于任何n边的多边形都可以分割成<n-2）个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式，但需要先知道分割用的对角线的长度。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。6ewMyirQFL
三角形五心歌
三角形“五心歌” 三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清. 内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆．“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．按照这个自行画画图,对照上面别人的解释体会一下. 重心是中线交点，内心是角平分线交点(或内切圆的圆心)，外心是中垂线交点(或外接圆的圆心)，垂心是高线交点, 这称三角形的四心. 还有一个心叫傍心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心) 只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.三角形只有五种心重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍；重心分中线比为1：2；垂心:三角形三条高的交点;内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称;外心:三中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称;旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.三角形“五心歌” 三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清. 内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆．“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．按照这个自行画画图,对照上面别人的解释体会一下. 重心是中线交点，内心是角平分线交点(或内切圆的圆心)，外心是中垂线交点(或外接圆的圆心)，垂心是高线交点, 这称三角形的四心. 还有一个心叫傍心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心) 只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.。
中考数学之三角形五心定律
三角形五心定律三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称.重心定理：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等垂心定理：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））（除正三角形）3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE又∵∠ODC=∠OEC=90度∴O、D、C、E四点共圆∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！内心定理：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
三角形的五心口诀
三角形的五心口诀三角形是初中数学中非常重要的一部分，而掌握三角形的五心解法是学好三角形的重要基础之一。
下面为大家介绍三角形五心口诀。
一、内心口诀内心离三角形三边距离相等，到顶点距离最小。
内角平分线相汇，内心中心点。
口诀解析：内心是描述三角形内部的，内心到三角形三边的距离相等，到三角形三个顶点的距离最小。
此外，内心还有个重要的特点，即三角形三条内角平分线相交于内心，这个点就是内心中心点。
二、外心口诀外心到三角形三顶点距离相等，三边为直径可作圆，也可作球。
外角平分线相交，就是外心所在点。
口诀解析：外心是描述三角形外部的，外心到三角形三个顶点的距离相等，同时，以三边为直径可作圆，也可作球。
此外，外心还有一个重要特点，即三角形三条外角平分线相交于一点，即外心所在点。
三、重心口诀重心离顶点越远，就越要向中垂线靠。
三个中线相交点，就是三角形重心。
口诀解析：重心是描述三角形中心的，是指三角形三条中线交于一点，这个点就是三角形的重心。
同时，重心也有一个特点，即重心离三角形三个顶点越远，就越要向中垂线靠拢。
四、垂心口诀垂心所在线段，上段向外垂足下，下段向内垂足上。
三边相交所得点，就是垂心所在处。
口诀解析：垂心是描述三角形内心和外心的垂直链的一个点，它有特定的确定方法，即从三角形三个顶点引垂线，分别垂直于对边，得到的三个垂足相交于一点就是垂心所在点。
同时，垂心所在线段的上段向外垂足下，下段向内垂足上。
五、外心口诀内切圆半径，就是内心到三边距离，三边半之和。
外接圆半径，三边乘积与面积比，再除以二倍。
口诀解析：外接圆指的是三角形三个顶点在圆上，外切圆指的是三角形三边与圆相切。
外切圆半径的大小是由内心到三角形三条边的距离决定的，而外接圆半径大小则是由三角形三条边之间的乘积与面积比，再除以二倍来计算的。
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三角形五心歌诀集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;?
垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;?
外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;?
内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;?
中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。
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三角形“五心歌”
三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，
五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重?心?
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
垂?心?
三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
内?心?
三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
外?心?
三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。