【优质】切比雪夫不等式证明(精选多篇)-优秀word范文 (17页)
切比雪夫不等式及其应用(论文)
第一章 绪论概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组成部分。
随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响。
这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业。
而概率论极限理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起。
历史上第一个极限定理是属于雅各布·伯努利，后人称之为“大数定律”。
因其遗著《猜度术》于1713 年出版，故概率史家称1713 年为伯努利大数定律创立年。
伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河，标志着概率论成为独立的数学分支。
1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律。
之后，由于有些数学家过分强调概率论在伦理学中的应用，又加上概率论自身基础不牢固，大多数数学家往往把概率论看作是有争议的课题，排除在精密科学之外。
切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。
切比雪夫在1866年发表的论文《论均值》中，提出了著名的切比雪夫大数定律。
该论文给出如下三个定理[1]：定理1.1：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则对任何α， +++z y x 落在----+++++++222111c b a c b a c b a α和----+++-+++222111c b a c b a c b a α之间的的概率总小于211α-定理1.2：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则不论t 取何值，N 个量 ,,,z y x 的算术平均值和他们相应的数学期望的算术平均值的差不超过Nc b a N c b a t+++-+++2221111 的概率对任何t 都将大于Nt 21-。
切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)知识分享
切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2设随机变量X 有数学期望μ及方差2σ，则对任何正数ε，下列不等式成立{}22()P X E X σεε-≥≤证明：设X 是离散型随机变量，则事件()X E X ε-≥表示随机变量X 取得一切满足不等式()i x E X ε-≥的可能值i x 。
设i p 表示事件i X x =的概率，按概率加法定理得{}()()i i x E X P X E X p εε-≥-≥=∑这里和式是对一切满足不等式()i x E X ε-≥的i x 求和。
由于()i x E X ε-≥，即()22()i x E X ε-≥，所以有()22()1ix E X ε-≥。
又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以()22()ix E X ε-，则和式的值将增大。
于是得到{}()()2222()()()()1()()i i i i i i iix E X x E X x E X x E X P X E X p p x E X p εεεεεε-≥-≥-≥--≥=≤=-∑∑∑因为和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量X 的一切可能值i x 求和，则只能增大和式的值。
因此{}()221()()ii iP X E X x E X p εε-≥≤-∑上式和式是对X 的一切可能值i x 求和，也就是方差的表达式。
所以，{}22()P X E X σεε-≥≤。
切比雪夫不等式与大数定律
备选1 已知P(A)= 0.75。求n需要多大时，才能使在n次独 立重复试验中，事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率 至少为0.90? 解：设X为n 次试验中事件A出现的次数， 则 X~B(n, 0.75)
则 E(X)=0.75n, D(X)=0.75*0.25n=0.1875n
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例4 {Xk }(k 1, 2, ...)独立同分布,且Xk U (0,1), 令
n
Yn (
X
k
)
1 n
.
证明 :Yn P C ,并求C .
k 1
证明 : { Xk }独立同分布, 故{ln Xk }也独立同分布.
1
X k
U (0,1),
E(lnXk )
ln xdx 1
0}
1
2 n
(n 2, 3, ...), 证明{Xn }服从大数定律.
证明
:
E
(
X
n
)
0
*
(1
2 n
)
n * 1 ( n
n)* 1 0 n
D(Βιβλιοθήκη Xn)E(X
2 n
)
02
*(1
2) n
n*
1 n
n*
1 n
2
{ Xn }满足切比雪夫大数定律 即 P{ X E( X ) } 1
又 E(X ) E(Xn) 0
n
E( Xi ).
i 1
(2) X P , X为总体均值的一致无偏估计,数理统计用 X估计E( X ).
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证明:
E(X)
E( 1 n
n i 1
Xi )
切夫雪比不等式证明
切夫雪比不等式证明切夫雪比不等式是数学中的一种重要不等式，它可以用来证明很多数学问题。
在本文中，我们将介绍切夫雪比不等式的定义和证明过程。
切夫雪比不等式的定义如下：对于任意的正实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有以下不等式成立：(a1b1+a2b2+...+anbn)² ≤ (a1²+a2²+...+an²)(b1²+b2²+...+bn²)其中，a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn是任意的正实数。
这个不等式的意义是，对于两个向量a和b，它们的内积的平方不会超过它们的模长的平方之和。
接下来，我们将证明切夫雪比不等式。
证明：我们可以将切夫雪比不等式写成以下形式：(a1b1+a2b2+...+anbn)² - (a1²+a2²+...+an²)(b1²+b2²+...+bn²) ≤ 0我们将左边的式子展开，得到：a1²b1² + a2²b2² + ... + an²bn² + 2a1b1a2b2 + 2a1b1a3b3 + ... + 2an-1bnanbn-1 - a1²b1² - a2²b2² - ... - an²bn² ≤ 0化简后得到：2a1b1a2b2 + 2a1b1a3b3 + ... + 2an-1bnanbn-1 ≤ a1²b2² + a2²b1² + a1²b3² + a3²b1² + ... + an²bn-1² + bn²an-1²我们将左边的式子分解成n个二元组，每个二元组为(ai,bi)和(aj,bj)，其中i<j。
切比雪夫不等式 证明
切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式是数学中的一个重要不等式，它可以用来估计一个随机变量与其均值之间的差距。
下面是切比雪夫不等式的证明：假设X是一个随机变量，其均值为μ，方差为σ²（方差的定义为Var(X) = E[(X-μ)²]）。
对于任意大于0的实数k，我们希望证明以下不等式成立：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²首先，我们定义一个新的随机变量Y，表示X与其均值之间的差距的绝对值：Y = |X-μ|。
根据Y的定义，我们可以得到：Y²= (X-μ)²由于Y²始终大于或等于0，我们可以对Y²应用马尔可夫不等式（Markov's inequality），得到：P(Y²≥k²σ²) ≤E(Y²) / (k²σ²)接下来，我们计算Y²的期望（E(Y²)）：E(Y²) = E((X-μ)²) = Var(X) = σ²将E(Y²)代入不等式中，得到：P(Y²≥k²σ²) ≤σ²/ (k²σ²)化简后可得：P(Y²≥k²σ²) ≤1/k²由于Y²与|X-μ|²是等价的，我们可以将不等式中的Y²替换为|X-μ|²：P(|X-μ|²≥k²σ²) ≤1/k²最后，我们注意到，对于任意实数a和b，若a²≥b²，则|a| ≥|b|。
因此，我们可以将不等式中的|X-μ|²替换为|X-μ|，得到最终形式的切比雪夫不等式：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²这就完成了切比雪夫不等式的证明。
需要注意的是，切比雪夫不等式并没有给出具体的概率估计，它只给出了一个上界。
定理1切比雪夫定理
数理统计在生产上,研究工作中具有广泛的作用.例如化工 产品的研究,它有温度,压力,物质的浓度,反应时间等因素的 影响,而每个因素又有几种情况,如温度有200C~2000C内 分成6种情况,则46=4096种要每一个都做,不但费时间,而且 费金钱.学习数理统计后我们只要做几次试验就可以了.
D 169 13
p(180 220) p( 200 220 180 20) p( 200 20)
2
13 13
p(
20 13
200 13
20) 13
0 (1.54) 0 (1.54)
20 (1.54) 1
2 0.938221 0.87644
二项分布以正态分布为极限
例2 10部机器独立工作,每部停 i 1
Xi
|
} 1(2)
定理2可由定理1得到证明.这里我们说明上述两个定理都在概 率意义下的极限结论,通常称为依概率收敛. 一般,设X1,X2,..Xn是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任 意给定的ε>0,有 limP{|Xn-a|<ε}=1 则称该序列依概率收敛于a.
定理2表明:当n很大时随机变量X1, X 2 , , X n 的算术平X=ΣX i /n
数理统计的重要内容是抽样方法和统计推断.学习数理统 计要注意1,抽样的本身是随机现象,它以概率论为基础的.数 学期望和方差都依靠概率论的结果.
因此要学好概率论.2,在学习数理统计时需要用部分的资 料来正确地推断整体的情况,到底要多少资料才有把握,它 们的精确度如何,希望同学在学习中注意.
5.1 切比雪夫不等式
差的概率意义，它刻划了随机变量的分散程度.
如取
3
，
P{|
X
|
3
}
2 9 2
0.111
可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则随机变量
X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .
4
例 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数 平均是 7300，均方差是 700 . 利用切比雪夫不等式 估计每毫升白细胞数在 5200~9400 之间的概率 .
第一节
1
切比雪夫不等式
随机变量的方差是刻画它围绕其期望值的离散 程度的，因此我们希望用方差来估计随机变量与其 期望值之间的偏差大于某一给定正数的概率的上界.
定理 (切 比 雪 夫 不 等 式 ) 设 随 机 变 量 X 具 有 数 学
期 望 E( X ) , 方 差 D( X ) 2 , 则 对 0 , 有
|x|
(x )2
|x|
2
f ( x)dx
1
2
(
x
)2
f
( x)dx
2 2
.
3
P{|
X
|
}
2 2
上式可改写为
P{|
X
|
}
1
2 2
切比雪夫不等式具体地估算了随机变量X取值
时，以数学期望 E(X)为中心的分散程度. 不难看
出，方差D(X)越小，则随机变量X的取值越集中在
数学期望 E(X)的附近，由此可以进一步体会到方
解 设每毫升白细胞数为X ，
依题意，E(X)=7300 , D(X)=7002 ，
由切比雪夫不等式，P{ |
X
7300|
} 1
切雪比夫不等式公式
切雪比夫不等式公式切雪比夫不等式，又称切比雪夫不等式，是概率论中一条重要的不等式。
它是由俄罗斯数学家切比雪夫于1867年提出的，用于描述一组数据与其平均值之间的关系。
切雪比夫不等式的表述方式有多种，但其核心思想始终如一：数据的分布越集中，离均值越近，概率越大。
切雪比夫不等式的一种常见形式是：对于任意正数ε，当ε大于0时，有P(|X-μ|≥ε)≤σ^2/ε^2，其中X为随机变量，μ为其均值，σ^2为其方差。
想象一个寒冷的冬日，大雪纷飞，寒风凛冽。
人们行走在雪地中，足迹踏下的痕迹有时靠近，有时疏远。
这些足迹就好比数据点，而人们的平均位置则是数据的均值。
切雪比夫不等式告诉我们，无论是靠近还是疏远，数据点总是有一定的概率分布在平均位置附近。
这个不等式的意义在于，它揭示了数据的分布特性。
当数据越集中，方差越小时，切雪比夫不等式的右侧项σ^2/ε^2就越小，因此左侧项P(|X-μ|≥ε)的值就越小，即数据点离均值的距离大于ε的概率就越小。
切雪比夫不等式的应用非常广泛。
在统计学中，它可以用来估计数据点偏离均值的程度。
在机器学习中，它常被用来衡量模型的性能，判断模型对数据的拟合程度。
在金融领域，它可以用来评估投资风险，帮助投资者做出理性的决策。
切雪比夫不等式的思想贯穿于各个领域，它告诉我们，无论是数据分析还是决策制定，我们都需要考虑数据的分布特性。
只有深入理解数据的分布规律，我们才能更好地把握事物的本质，做出准确的判断和决策。
正如大雪纷飞的冬日，我们需要仔细观察足迹，了解数据的分布情况。
只有这样，我们才能走得更加稳健，更加自信。
切雪比夫不等式给予我们这样的启示，让我们在决策和分析中更加谨慎，更加准确。
切雪比夫不等式，不仅是一条数学公式，更是一种思维方式，一种洞察事物本质的能力。
让我们用切雪比夫不等式的思想，去探索更广阔的世界。
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切比雪夫不等式证明(精选多篇)
第一篇：切比雪夫不等式证明
切比雪夫不等式证明
一、
试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此
1000次试验中出现正面h的次数服从二项分布.
解:设x表示1000次试验中出现正面h的次数,则x是一个随机变量,且
~xb(1000,1/2).因此
500
2
1
1000=×==npex,
250)
2
答题完毕，祝你开心!
1
1(
2
1
1000)1(=××==pnpdx,
而所求的概率为
}500600500400{}600400{<<=<}100100{<<=exxp
}100{<=exxp
975.0
100
1
2
=≥
dx
.
二、
切比雪夫(chebyshev)不等式
对于任一随机变量x,若ex与dx均存在,则对任意ε>0,
恒有p{|x-ex|>=ε}<=dx/ε^2或p{|x-ex|<ε}>=1-dx/ε^2
切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{|x-ex|>=ε}
越小，p{|x-ex|<ε}越大，也就是说，随机变量x取值基本上集中在ex附近，这进一步说明了方差的意义。
同时当ex和dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{|x-ex|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量x的具体概率分布，而只与其方差dx和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。
需要指出的是，
虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通
常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过k倍标准差的数据占的比
例至多是1/k^2。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」
平均。
这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4
与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9
与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16
……
与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/k^2
举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。
设(x,σ,μ)为一测度空间，f为定义在x上的广义实值可测函数。
对於任意实
数t>0，
一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有
上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：
概率论说法
设x为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。
对于任何实数k>0，
改进
一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。
考虑下面例子：
这个分布的标准差σ=1/k，μ=0。
当只求其中一边的值的时候，有cantelli不等式：
证明
定义，设为集的指标函数，有
又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数y和正数a
有pr(|y|leopeatorname{e}(|y|)/a。
取y=(x?μ)2及a=(kσ)2。
亦可从概率论的原理和定义开始证明。
第二篇：切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)
设随机变量x有数学期望?及方差?，则对任何正数?，下列不等式成立 2
?2
p?x?e(x)????2 ?
证明：设x是离散型随机变量，则事件x?e(x)??表示随机变量x取得一切满足不等式xi?e(x)??的可能值xi。
设pi表示事件x?xi的概率，按概率加法定理得
p?x?e(x)????
xi?e(x)???pi
这里和式是对一切满足不等式xi?e(x)??的xi求和。
由于xi?e(x)??，
即?xi?e(x)?2??2xi?e(x)??，所以有2?2?1。
2?xi?e(x)?又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以?2，则和式的值将增大。
于是得到
p?x?e(x)????
xi?e(x)???pi?xi?e(x)????xi?e(x)??22pi?1
?2xi?e(x)????xi?e(x)?2pi
因为和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量x的一切可能值xi求和，则只能增大和式的值。
因此
p?x?e(x)????1
?2??x?e(x)?i
i2pi
上式和式是对x的一切可能值xi求和，也就是方差的表达式。
所以，
?2
p?x?e(x)????2 ?。