第一章 解三角形 单元测试2(人教A版必修5)

第一章 解三角形 单元测试2一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝2，b ＝2，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．无数个解 D ．不存在[答案] B[解析] ∵b sin A ＝1<a <b ，故有两解．2．(2010～2011·山东苍山县高二期中)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32 [答案] D [解析] ∵ACsin B ＝AB sin C ，∴1sin30°＝3sin C ，∴sin C ＝32， ∵AB >AC ，∴C >30°，∴C ＝60°或120°，从而A ＝90°或30°.S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32或34. 3．(2010～2011·湖南邵阳二中高二期中)若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是( )A ．sin AB ．cos AC ．tan AD ．sin A －cos A[答案] A[解析] 在△ABC 中，当A 为钝角时，cos A <0，tan A <0，当A ∈(0，π4)时，sin A －cos A <0，无论A 取何值，∵0<A <π，∴sin A >0，故选A.4．在△ABC 中，C ＝90°，A ＝75°，CD ⊥AB ，垂足D ，则CD AB＝( ) A.12B.13C.14D.32[答案] C[解析] 如图，∵C ＝90°，A ＝75°，∴B ＝15°，cot75°＝AD CD ，cot15°＝BDCD，∴cot75°＋cot15°＝AD CD ＋BD CD ＝ABCD，∵cot75°＋cot15°＝tan15°＋tan75° ＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°) ＝1－331＋33＋1＋331－33＝(2－3)＋(2＋3)＝4，∴CD AB ＝14. [点评] 因为△ABC 是直角三角形，又CD ⊥AB ，因此应充分利用直角三角形的边角关系以简化运算．在Rt △ACD 中，sin75°＝CDAC，∴CD ＝AC ·sin75°，在Rt △ABC 中，cos75°＝AC AB，∴AB ＝ACcos75°，∴CD AB ＝AC ·sin75°ACcos75°＝sin75°cos75°＝12sin150°＝12sin30°＝14. 5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝( ) A ．2∶3∶4 B ．14∶11∶(－4) C ．4∶3∶2 D ．7∶11∶(－2)[答案] B[解析] 由正弦定理a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.设a ＝2x ，则b ＝3x ，c ＝4x (x >0)．∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78. 同理cos B ＝1116，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝78∶1116∶(－14)＝14∶11∶(－4)．6．在△ABC 中，a ＝2，c ＝1，则角C 的取值范围是( ) A ．(0，π2)B ．(π6，π3)C ．(π6，π2)D ．(0，π6][答案] D[解析] ∵a －c <b <a ＋c ，∴1<b <3，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴1＝4＋b 2－4b cos C ∴cos C ＝b 2＋34b ＝14(b ＋3b)∵14(b ＋3b )在(1，3]上单调递减，在[3，3)上单调递增 ∴cos C ≥14(3＋33)＝32，∴0<C ≤π6.[点评] 平时解题后多反思一下，才有助于思维过程的优化，思维能力的提高．本题中，注意到△ABC 只知道两边长a ＝2，c ＝1，△ABC 是变动的，利用图形在其变动过程中考察角C 的变化情况会更简捷．如图作边BC ＝a ＝2，以B 为圆心，1为半径作⊙B ，则C 可为⊙B上(除去直线BC 与⊙B 的交点)的任意一点，显然c >0，且当CA 与⊙B 相切时，角C 最大，∴0<C ≤π6.7．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°[答案] C[解析] 设最大角为A ，最小角为C ，由B ＝60°得：A ＋C ＝120°，∴A ＝120°－C ，根据正弦定理得：a c ＝sin A sin C ＝sin 120°－C sin C ＝3＋12； ∴2sin(120°－C )＝(3＋1)sin C ，即：3cos C ＋sin C ＝3sin C ＋sin C ， ∴tan C ＝1，C ＝45°，A ＝75°.8．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC ＝( ) A.532B. 3C.52 D ．5[答案] A[解析] AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝10cos A ＝－5， ∴cos A ＝－12，∴sin A ＝32，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝532.9．△ABC三边长分别是3,4,6，则它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是( )A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶4D ．4∶3[答案] B[解析] 不妨设a ，b ，c 长分别为3,4,6，∴较大锐角为AC 边对的角B .由平几知识知，BD 分对边AC 的比CD AD ＝BC AB ＝36＝12.∴S △BCD S △ABD ＝12BC ·BD ·sin∠DBC12AB ·BD ·sin∠ABD ＝BC AB ＝CD AD ＝12. [点评] 审题时要注意细节．本题改为求“它的较大角的平分线分三角形成两部分的面积比”，则答案为D. 10．要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是( ) A.π4 B.π3C.π6D ．正弦值为13的锐角[答案] A[解析] 设C ＝90°，θ为锐角，则周长l ＝c ＋c cos θ＋c sin θ＝c ＋2c sin(θ＋π4) ∴θ＝π4时，l 最大．11．关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B －cos 2C2＝0有一个根为1，则此三角形为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[答案] A[解析] 由题设，1－cos A cos B －cos 2C2＝0.∴sin 2C 2＝cos A cos B ，∴1－cos C 2＝cos A cos B .∴1＋cos(A ＋B )＝2cos A cos B ，∴cos(A －B )＝1， ∵A ，B 是三角形内角，∴A －B ＝0即A ＝B . 12．△ABC 中，tan A －B 2＝a －ba ＋b，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由正弦定理得tan A －B 2＝sin A －sin Bsin A ＋sin B∴sinA －B2cos A －B 2＝2sin A －B 2cos A ＋B22sin A ＋B 2cosA －B 2，∴sinA －B2＝0，或tanA ＋B2＝1，∵A ，B 为三角形内角，∴A ＝B ，或A ＋B ＝π2.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，则k 的取值范围是__________． [答案] 2<k <6[解析] 显然最大边为c ，由余弦定理及三角形基本性质知{ a 2＋b 2<c 2a ＋b >c ，∴{ k 2＋k ＋22<k ＋42k ＋k ＋2>k ＋4，∴2<k <6.14．在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，这个三角形的形状为__________．[答案] 直角三角形[解析] 应用正、余弦定理得：a ＝b ＋ca 2＋c 2－b 22ac ＋a 2＋b 2－c22ab∴b (a 2－b 2)＋c (a 2－c 2)＝bc ·(b ＋c ) ∴(b ＋c )a 2＝(b 3＋c 3)＋bc (b ＋c )， ∴a 2＝b 2－bc ＋c 2＋bc . ∴a 2＝b 2＋c 2.[点评] 可以通过三角变换得出sin A ＝1获解．15．△ABC 中，ac ＝12，S △ABC ＝3，R ＝23，(R 为△ABC 外接圆半径)，则b ＝__________. [答案] 2 3[解析] S △ABC ＝12ac sin B ＝6sin B ＝3，∴sin B ＝12，又R ＝23，∴b ＝2R sin B ＝2 3.16．在四边形ABCD 中，AB ＝6，BD ＝33，BC ＝4，∠ADB ＝∠CBD ，A ＝60°，则△BCD 面积为__________．[答案] 6 3 [解析] BDsin A＝ABsin ∠ADB，∴sin ∠ADB ＝AB ·sin A BD ＝1，∴∠ADB ＝90°，S △BCD ＝12BD ·BC ＝6 3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)生活中，我们可以见到很多三角形结构的物体，而我们自己有时也制作那样的物体．如果现在有一足够长的木杆子，用它来制作一个三角形物体，要求三角形物体的三边为连续正整数，最大角是钝角，那么该如何去截木杆？[解析] 设三角形的三边长为a ＝n －1，b ＝n ，c ＝n ＋1，n ∈N *且n >1，∵C 是钝角，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝n －42n －1<0，∴1<n <4，∵n ∈N *，∴n ＝2或3，当n ＝2时，a ＝1，b ＝2，c ＝3，不能构成三角形； 当n ＝3时，a ＝2，b ＝3，c ＝4，能构成三角形；把该木杆截下长度分别为2,3,4的三段，然后三段首尾顺次连接即可． 18．(本题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin2B ＋C2－cos2A＝72. (1)求A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 与c 的值．[解析] (1)由条件得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2A ＋1＝72.∴4(1＋cos A )－4cos 2A ＝5，∴(2cos A －1)2＝0， ∴cos A ＝12，∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理得，b 2＋c 2－a 22bc ＝12，化简并整理得(b ＋c )2－a 2＝3bc ， 将a ＝3，b ＋c ＝3代入上式，得bc ＝2.联立b ＋c ＝3与bc ＝2，解得b ＝1，c ＝2或b ＝2，c ＝1.19．(本题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c 且cos C cos B ＝3a －cb ，(1)求sin B .(2)若b ＝42，a ＝c ，求△ABC 的面积． [解析] (1)在△ABC 中，由正弦定理可得a b ＝sin A sin B ，c b ＝sin Csin B， 又∵cos C cos B ＝3a －c b ，∴cos C cos B ＝3sin A －sin C sin B ，即sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，又B ＋C ＝π－A ，∴sin(B ＋C )＝sin A ， ∴sin A ＝3sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝13，又0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝223. (2)在△ABC 中，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 将b ＝42，cos B ＝13代入得，a 2＋c 2－23ac ＝32，又a ＝c ，故43a 2＝32，故a 2＝24，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4222×42×26＝33，∴△ABC 的高h ＝c ·sin A ＝4， ∴△ABC 的面积为S ＝12·b ·h ＝8 2.20．(本题满分12分)(2010～2011·湖南邵阳二中期中)在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝3，BC ＝7，求(1)AC 的长． (2)△ABC 的面积．[解析] (1)由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ， ∴49＝9＋AC 2＋3AC ，解之得AC ＝5(AC ＝－8舍去)．(2)△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin∠BAC ＝12×3×5×sin120°＝1534.21．(本题满分12分)一个人在建筑物的正西A 点，测得建筑物顶端的仰角是α，这个人再从A 点向南走到B 点，再测得建筑物顶端仰角是β，设A 、B 两地距离为a ，证明建筑物的高是：h ＝a sin αsin βsin α＋β·sin α－β .[解析] 设建筑物底部为C 点，高DC ＝h ，由题意AC ＝h tan α，BC ＝htan β，∠CAB 是直角∴a 2＋(htan α)2＝(htan β)2∴a 2＝h 2(1tan 2β－1tan 2α)∴h 2＝a 2tan 2α·tan 2βtan 2α－tan 2β＝a 2sin 2α·sin 2βsin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝a 2sin 2αsin 2βsin α＋βsin α－β∵α，β为锐角，∴sin α>0，sin β>0，sin(α＋β)>0 又∵BC >AC ，∴h BC <h AC，即tan β<tan α，∴β<α ∴sin(α－β)>0.∴h ＝a sin αsin βsin α＋β·sin α－β .22．(本题满分14分)如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 点(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，与A 距离2海里的C 处的我方缉私船，奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．[解析] 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船． 则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里 ∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2cos120°＝6 ∴BC ＝6， ∵BC sin A ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2sin120°6＝22 ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120° ∵BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，又∠CBD ＝120°得∠D ＝30°， ∴BD ＝BC ，即10t ＝6，∴t ＝610小时≈15(分钟)．答：缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，约需15分钟时间．。