微分方程的图像解
微分方程的相图分析及解析
微分方程的相图分析及解析微分方程是描述自然现象的重要工具，在各个领域都有广泛应用。
微分方程的解析解一般较难求得，因此相图分析成为预测微分方程解行为的一种重要工具。
本文将详细介绍微分方程的相图分析及解析。
一、相图的概念相图是指微分方程解的全部行为在相平面（或相空间）上的展现。
相平面上的点表示微分方程解的初始值及其在时域的变化。
因此，相图展示了微分方程的解如何随时间演化。
通常将相图绘制在相平面或相空间中，直观清晰，有助于预测和分析微分方程的各种解行为。
二、相图的分类相图可以分为一、二、三类，具体如下：1. 一类相图：相图上所有解轨道都趋于某一点或曲线，该点或曲线称为平衡点或平衡轨道。
平衡点可以分为稳定平衡点、不稳定平衡点和半稳定平衡点，分别对应解轨道向平衡点靠近、向平衡点远离和一部分解轨道向平衡点靠近，一部分向其远离。
2. 二类相图：相图上存在解轨道趋向于无穷远处，这种无穷远处称为鞍点，它是稳定和不稳定平衡点的分界线。
3. 三类相图：相图上不仅存在平衡点和鞍点，而且还有解轨道环绕其中，这种相图被称为极限环相图。
三、如何绘制相图以一阶非齐次线性微分方程为例，介绍相图的绘制步骤：1. 将微分方程化成标准形式：y' + p(x)y = q(x)，其中p(x)、q(x)为已知函数；2. 找到该微分方程的所有平衡点，并计算平衡点处的斜率p(x)与q(x)的值；3. 根据平衡点处斜率的正负与大小关系，画出对应的稳定平衡点、不稳定平衡点和半稳定平衡点；4. 找到方程的任意一组解，通过定量计算可得其解轨道，画出解轨道，并分析其行为，确定相图的类型。
四、相图的应用相图是预测微分方程解行为的重要工具，具有广泛应用。
以下列举几个例子：1. 生物学中的Lotka-Volterra模型，描述捕食者与食饵之间的生态关系，通过绘制相图，可以预测捕食者与食饵数量之间的关系；2. 物理学中的简谐振动方程，利用相图可以预测振动系统的稳定性和震荡特性；3. 工程学中的热传导方程，通过绘制相图可以预测材料的温度分布及热传递速率。
1.求微分方程的解析解, 并画出图形,
y ’= y + 2x , y (0) = 1, 0<x <1; 把所有项移到方程左边并除以x ，得'20y y xx>> dsolve('Dy*(1/x)-y*(1/x)-2=0','y(0)=1','x') ans =3*exp(x) - 2*x - 2 作图：>> fplot('3*exp(x)-2*x-2',[0,1,1,4.5])图1 微分方程y ’= y + 2x 的图形解0.10.20.30.40.50.60.70.80.91cos 0,(0)1,(0)0y y x y y '''+=== 先把原方程化为一阶方程组。
令1y y ，2'y y ，则有122112''cos (0)1,(0)0y y y y x y y首先建立M-文件函数: function f=jie(x,y) f=[y(2);-y(1)*cos （x ）]; 计算:>> [x,y]=ode23('jie',[0,2*pi],[1,0]) x =0 0.0001 0.0005 0.0025 0.0125 0.0625 0.1541 0.2788 0.43450.62660.88061.15001.41251.65351.88482.11782.35972.60562.85723.1416y =1.0000 0 1.0000 -0.0001 1.0000 -0.0005 1.0000 -0.0025 0.9999 -0.0125 0.9980 -0.0624 0.9882 -0.1529 0.9616 -0.2717 0.9085 -0.40830.8158 -0.55140.6569 -0.68840.4592 -0.76860.2529 -0.79630.0606 -0.7987-0.1242 -0.8009-0.3129 -0.8228-0.5185 -0.8855-0.7499 -1.0086-1.0276 -1.2127-1.4177 -1.5535作图：>> y1=y(:,1);>> y2=y(:,2);>> plot(x,y1,x,y2,'r'),gtext('y1'),gtext('y2')图2 微分方程cos 0,(0)1,(0)0y y x y y '''+===的图形解01234567-10-553．两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，往往是竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。
第六节 线性微分方程解的结构
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理 3 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y(x) y*(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证 将 y Y ( x) y * ( x)代入方程①左端, 得
(Y y * ) P( x)(Y y * ) Q( x)(Y y *)
定理 设 y* 是 n 阶非齐次线性方程
y(n) P1( x) y(n1) Pn ( x) y f ( x)
的一个特解, Y 是与其对应的齐次方程的 通解, 那么 y Y y*是 n 阶非齐次线性微分
方程的通解.
四、小结
主要内容 1、函数的线性相关与线性无关； 2、二阶线性微分方程解的结构定理
二、证明下列函数是相应的微分方程的通解:
1、 y c1 x 2 c2 x 2 ln x
(
c1
,
c
是任意常数
2
)是方程
x 2 y 3xy 4 y 0 的通解；
2、 y
1 x
(
c1e
x
c2e x
)
ex 2
(
c1
,
c
是任意
2
常
数
)是
方程xy 2 y xy e x 的通解 .
定义 设 y1( x), y2( x),, yn( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.
例如：
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
D第四章微分方程
与齐次微分方程
一、可分离变量微分方程
一般形式 dy f (x)g(y)
dx
解法: （1）分离变量
dy f (x)dx g(y)
（2）两边积分
dy g(y)
f
(x)dx
得 Gx()Fx()C.
（其中 G(y),F(x)分别是
1, g(y)
f (x)
的一个原函数）
以上这种求解过程叫做分离变量法。
y Cex3 ( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例3. 解初值问题
xydx(x21)dy0
y(0)1
解: 分离变量得
dy y
1xx2
dx
两边积分得
lny ln 1 lnC x21
即
y x21C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
k 2 (C 1 sk it n C 2ck o t)sk2x
这说明 x C 1 ck o t C s 2 sk itn 是方程的解 .
C1,C2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得: C1A,C2 0,故所求特解为
xAcokts
4.2 可分离变量的微分方程
C'(y)yyey
于是C'(y)ey, 则 C (y)eyd y eyC
所以原方程的通解为
x(eyC)y（C 为任意常数 ）
例3. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸 为平行直线, 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点
O , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b (ba), 且鸭子
特解: yx2 1
求微分方程的解PPT课件
y(0) 1
fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y'); [x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);
注：也可以在 tspan 中指定对求解区间的分割，如：
[x,y]=ode23(fun,[0:0.1:0.5],1); %此时 x=[0:0.1:0.5]
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solver 为Matlab的ODE求解器（可以是 ode45、ode23、ode113、
ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb）
没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，因此MATLAB 提供了多 种ODE求解器，对于不同的ODE，可以调用不同的求解器。
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Matlab提供的ODE求解器
度均可到 10-3～10-6
ode23t 适度刚性 采用梯形算法
适度刚性情形
ode15s
刚性 多步法；Gear’s 反向数值微 若 ode45 失效时，可
分；精度中等
尝试使用
ode23s 刚性 单步法；2 阶Rosebrock 算 当精度较低时，计算时
法；低精度
间比 ode15s 短
ode23tb 刚性 梯形算法；低精度
x y
|t 0 |t 0
1 0
[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0', ... 'x(0)=1', 'y(0)=0', 't')
ezplot(x,y,[0,1.3]);
注：解微分方程组时，如果所给的输出个数与方程个数相同，则方程组的解按词 典顺序输出；如果只给一个输出，则输出的是一个包含解的结构（structure）类型 的数据。
微分方程PPT课件
x
ln u 1 3 ln(u 2) u 2 1 ln u ln x ln C ,
2
2
u1 3 Cx.
u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2 x)3 . 20
三. 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) (1) dx
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y),
y(
x0
)
y0
.
过定点的积分曲线;
y f ( x, y, y),
过定点且在定点的切线
二阶:
y(
x0
)
y0 ,
y(x0 )
y0
.
的斜率为定值的积分曲线.
n
阶:
f (x, y, y( x0 )
y, y y0 , y(
x A, dx 0,
t 0
dt t0
C1 A,
而
dx dt
kC1
s in kt
kC2
cos kt,
C2 0.
所求特解为 x Acoskt.
9
注意： 1. 有些方程可能无解.
( y)2 y2 1 0 无实函数解.
2. 方程可能有解而无通解. ( y)2 y2 0 只有特解 y 0 . 3. 通解不一定能包含所有的解.
y 3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
11
6.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式是
F( x, y, y) 0
如果一阶导数可解出，则可写为
dy f ( x, y), dx 或 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
二阶常系数非齐次线性微分方程
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx的特解形式为y*=Q(x)eλx，则得等式 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x)． (1)如果λ 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则y*=Qm(x)eλx． (2)如果λ 是特征方程 r2+pr+q=0 的单根，则y*=xQm(x)eλx． (3)如果λ 是特征方程 r2+pr+q=0 的重根，则 λ2+pλ+q =0，2λ+p=0， 要使等式 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x)． 成立，Q(x)应设为m+2 次多项式：Q(x)=x2Qm(x)， Q m(x)=b0 xm+b1xm1+ +bm1x+bm ， 通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1， ，bm ，并得 所求特解 y*=x2Q m(x)eλx．
一、 f(x) = Pm(x)eλx 型
下面求方程 y′′+py′+qy=Pm(x)eλx， 的特解y* ，其中Pm(x)是m次多项式． 可以猜想，方程的特解y*应具有与Pm(x)eλx类似的函数形式． 设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx的特解形式为y*=Q(x)eλx，代入方程 得 [Q′′(x)+2λQ′(x)+λ2 Q(x)]eλx+ p[Q′(x)+λQ(x)]eλx +qQ(x)eλx =[Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)] eλx=Pm(x)eλx， 于是有等式 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x)．
6.4 二阶常系数线性齐次微分方程
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
要求：能根据方程①熟练写出其特征方程并求出特征根.
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
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6.4.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 微分方程:
特征方程: 2 p q 0
特征根:
(1)当������2 − 4������ > 0时, 特征方程有两个不等的实根������1, ������2 则微分方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为：y (C1 C2 x)e2 x
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
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6.4.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 微分方程:
特征方程: 2 p q 0
特征根:
(2)当������2 − 4������ < 0时, 特征方程有一对共轭复数根：
代入初始条件������′ ������=0 = 1, 解得������2 = 1,
(1) 写出相应的特征方程: 2 p q 0;
(2) 求出特征方程的两个根: 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根1 ，2 微分方程的通解
两个不相等的实根1 ，2 两个相等的实根 1 =2
y C1e1x C2e2x y (C1 C2 x)e1x
若 ������(������) 0, 即������′′ + ������������′ + ������ = ������(������) 称为二阶常系数线性非齐次微分方程.
对应的 齐次方程
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图2
Simulink 仿真结果
Vol.35No.6
Jun.2019
赤峰学院学报（自然科学版）JournalofChifengUniversity （NaturalScienceEdition ）第35卷第6期2019年6月收稿日期:2019-03-06
基金项目:赤峰学院大学生创新创业训练计划项目:儿童智能手环(201810138026)
微分方程的图像解
曹万苍,孙福玉,何
佳
(赤峰学院
物理与电子信息工程学院,内蒙古
赤峰
024000)
摘要:微分方程是高等数学的重要组成部分,在物理、电子类专业的后续课程中有广泛的应用.MATLAB 提供了微分方程的众多解法,如时域解法、频域解法、公式解法、数值解法和图像解法等.文章使用Simulink 的积分模块、传递函数模块及反拉普拉斯变换方法进行对比求解和分析,总结了用MATLAB 的图像法解微分方程的基本步骤.
关键词:积分模块;传递函数模块;反拉普拉斯变换中图分类号:O 4-39文献标识码:A 文章编号:1673-260X (2019)06-0001-02
1引言
微分方程是高等数学的重要组成部分,在物理、电子类专业的后续课程中有广泛的应用.在模拟电路、数字电路、电路分析、信号与系统、通信原理等课程的教学中,微分方程的应用是必不可少的内容.MATLAB 具有强大的功能,MATLAB 提供了微分方程的众多解法,有时域解法,频域解法,公式解法,数值解法
[1]
,图像解法等.本文讨论了用
MATLAB 的图像法解微分方程的基本情况.
2使用Simulink 工具箱求解微分方程
Simulink 作为MATLAB 的重要组成部分[2],具
有相对独立的功能和使用方法.它是对动态系统进行建模、仿真和分析的一个工具软件.它支持线性系统、非线性系统、连续系统、离散系统.
Simulink 的使用和我们在实验室做实验的过
程是相同的,我们在实验室进行试验基本要经过下面的7个步骤:清理好实验台,打开试验准备室,把所需仪器搬到实验台,连接好仪器,调节仪器的参数,合闸试验,观察和记录数据.而使用Simulink 的过程和上述7个步骤类似:建立建模窗口Model ,打开Simulink 的模块库,拖模块到Model 窗口,在各个模块上连线,模块参数设置,运行Simulation 的Start 命令开始仿真,观察和记录仿真结果.2.1
积分模块
使用Simulink 的积分模块求解二阶微分方程:x"+0.1x ′+0.7x=0.5u(t),u(t)是单位阶跃函数.
用积分器直接创建求解该微分方程的模型[3],
步骤如下:改写微分方程为:x "=0.5u(t)-0.1x ′-0.7x ;利用Simulink 库中的标准模块创建模型利用积分模块创建微分方程求解模型的核心思想是:x "经积分后得到x ′再经积分得到x,x ′和x 经代数运算产生x ".Simulink 库中利用积分模块创建微分方程求解模型如图1所示
.
图1
积分模块微分方程求解模型
1--
对图1中微分方程求解模型的模块参数进行设置,运行Simulation 的Start 命令开始仿真,在scope 中观察仿真结果如图2所示.2.2
传递函数模块
为了比较起见,我们使用Simulink 传递函数模块求解上述同样的二阶微分方程:x"+0.1x ′+0.7x=0.5u(t),设初始状态为0,u(t)是单位阶跃函数.
对微分方程两边进行Laplace 变换,得到:s 2X(s)+0.1X(s)+0.7X(s)=0.5U(s)
整理后得到系统函数:
H(s)=X(s)U(s)=0.5
s 2+0.1s+0.7
用传递函数模块建立求解微分方程的求解模型如图3所示.在scope 中观察仿真结果与图2相同.
3用反拉普拉斯变换求解微分方程
拉普拉斯变换与反变换是求解微分方程的一种常见方法.根据X(s)=H(s)U(s),U(s)=1/s 可编写反拉普拉斯变换求解微分方程的M 文件如下:
syms
s
xs=1/s*0.5/(s^2+0.1*s+0.7)xt=ilaplace(xs)t =0:0.001:10
xt =-5/7*exp (-1/20*t).*cos (3/
20*31^(1/2)*t)-5/651*31^(1/2)*exp (-1/20*t).*sin (3/20*31^(1/2)*t)+5/7
plot(t,xt)
反拉普拉斯变换求解微分方程结果如图4所示.可以看到figure 中的图形和scope 中显示的仿真结果相同.4结论
微分方程是高等数学的重要组成部分,在物理、电子类专业的后续课程中有广泛的应用.MAT ⁃LAB 提供了微分方程的众多解法,有时域解法,频域解法,公式解法,数值解法,图像解法等.文章使
用Simulink 的积分模块、传递函数模块及反拉普拉斯变换方法进行对比求解和分析,总结了用MAT ⁃LAB 的图像法解微分方程的基本步骤.
———————————————————参考文献:
[1]张丽娟,张翔,等.一阶常微分方程初值问题的数值算法[J].通化师范学院学报,2017,38(4):22-24.[2]刘思平.MatlabPDE 工具箱在电动力学教学中
的辅助应用[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),
2017,17(1):110-112.
[3]吴佳惠.一种数值积分算法的改进研究[J].软件,2017,38(2):28-32.
[4]孙福玉,韩铮,曹万苍,等.大学物理创新性实验数字化设计研究[J].实验室科学
,2015,18(6):1-3.
图3传递函数模块微分方程的求解
模型
图4
反拉普拉斯变换求解微分方程结果
2--。