高考数学一轮复习 第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算突破热点题型 文
高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第四章平面向量4.1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与a－b＝a＋(－b)b 的差三角形法则数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0(1)λ(μa )＝(λμ)a ；(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．2．若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( √ )1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③ D ．①②答案 A解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．2．如图所示，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2答案 C解析 由题图可得a －b ＝BA →＝e 1－3e 2.3．(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.4．已知A ，B ，C 三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，若pOA →＋qOB →＋rOC →＝0，p ，q ，r ∈R ，则p ＋q ＋r 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．3答案 B解析 ∵A ，B ，C 三点在同一条直线l 上，∴存在实数λ使AB →＝λAC →，∴OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)， 即(λ－1)OA →＋OB →－λOC →＝0.∵pOA →＋qOB →＋rOC →＝0，∴p ＝λ－1，q ＝1，r ＝－λ， ∴p ＋q ＋r ＝0.5．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .题型一 平面向量的概念例1 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 答案 ④解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小． 思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例2 (1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A.BC → B.12AD → C.AD →D.12BC → (2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 答案 (1)C (2)A解析 (1)EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →. (2)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 (1)A (2)D解析 (1)∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29 B.27 C.25 D.23答案 A解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29，故选A.题型三 共线定理的应用例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 和a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 (1)B (2)12解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →、AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B. (2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.10．方程思想在平面向量线性运算中的应用典例 (14分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.思维点拨 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解．(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.① [7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线．[10分] ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1. ②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[14分]温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[方法与技巧]1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.[失误与防范]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量答案 D解析 这四个向量的模相等．2．设a 0，b 0分别是与a ，b 同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0·b 0＝1 C ．|a 0|＋|b 0|＝2 D ．|a 0＋b 0|＝2 答案 C解析 因为是单位向量，所以|a 0|＝1，|b 0|＝1.3．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 答案 A解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →. 4．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．5．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C．90° D．120° 答案 B解析 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心， 又∵O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 平行四边形解析 由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →， 所以BA →＝CD →.所以四边形ABCD 为平行四边形．7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________. 答案 2解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知， AB →⊥AC →，则AM 为Rt△ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.8．(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.9.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线； (2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． (1)证明 ∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2， CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2 ＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线， ∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线． 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.12．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －bC ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .13．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则B 的大小为( ) A ．45° B ．60° C ．30° D ．15°答案 B解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sinB ·GB →＋sinC ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ， ∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.故选B.14．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示)答案 －14a ＋14b解析 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .15．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m＝3.。
2020版高考数学一轮复习教案 第4章_第1节_平面向量的概念及线性运算(含答案解析)
第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及线性运算[考纲传真] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [常用结论]1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)． 3.OA →＝xOB →＋yOC →(x ，y 为实数)，若点A ，B ，C 共线，则x ＋y ＝1. 4．△ABC 中，P A →＋PB →＋PC →＝0⇔点P 为△ABC 的重心．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．( )(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( )A.EF →＝CD →B.AB →与DE →共线C.BD →与CD →是相反向量D.AE →＝12|AC →|D [选项D 中，AE →＝12AC →，故D 错误．]3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由a ＋b ＝0得a ＝－b ，根据向量共线定理知a ∥b ，但a ∥b D ⇒/a ＋b ＝0，故选A.] 4．(教材改编)如图，▱ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A.12a ＋12bB.12a －12b C ．－12a －12bD ．－12a ＋12bD [MD →＝12BD →＝12⎝⎛⎭⎫AD →－AB →＝12()b －a ＝－12a ＋12b ，故选D.]5．(教材改编)化简：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝________. (2)NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝________.(1)AB → (2)0 [(1)原式＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →. (2)原式＝NP →＋PN →＝0.]1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．③是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④是错误的，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．] 2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]【例1】 (1)在四边形ABCD 中，BC →＝AD →，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则( )A.AF →＝13AC →＋23BD →B.AF →＝23AC →＋13BD →C.AF →＝14AC →＋23BD →D.AF →＝23AC →＋14BD →(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(1)B (2)12 [(1)在四边形ABCD 中，如图所示，因为BC →＝AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．由已知得DE →＝13EB →，由题意知△DEF ∽△BEA ，则DF →＝13AB →，所以CF →＝23CD →＝23⎝⎛⎭⎫OD →－OC →＝23×BD →－AC →2＝BD →－AC →3，所以AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋BD →－AC →3＝23AC →＋13BD →，故选B.(2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.](1)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.(1)A (2)12 －16 [(1)因为BC →＝3CD →，所以CD →＝13BC →，所以AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.(2)由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.]【例2】 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.(1)已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)(2019·黄山模拟)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则实数λ的值为( )A ．－4B ．－14C.14D ．4(1)B (2)B [(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)由题意知m ＝k n ，即4a ＋b ＝k (a －λb )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，－kλ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝4，λ＝－14，故选B.]1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →A [由题可得EB →＝EA →＋AB →＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →，故选A.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC →C [如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →) ＝12·2AD →＝AD →.]3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.]。
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 含答案
1．(配合例2使用)已知P为△ABC所在平面内一点， ＋ ＋ ＝0，| |＝| |＝| |＝2，则△ABC的面积等于( )
A． B．2
C．3 D．4
解析由| |＝| |得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又 ＋ ＋ ＝0，所以 ＝－( ＋ )＝－2 ，所以PD＝ AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由| |＝2，PD＝1可得| |＝ ，则| |＝2 ，所以△ABC的面积为 ×2×2 ＝2 。故选B。
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
答案(1)A(2)D
考点三共线定理及应用微点小专题
方向1：共线定理
【例3】已知e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝( )
高三数学一轮复习 第4篇 第1节 平面向量的概念及线性运算 理
④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.
其中错误命题的序号为
.
.
解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,
.
5.设 a,b 是两个不共线的向量,且向量 a+λb 与 2a-b 共线,则λ=
.
解析:由题意存在实数μ,使 a+λb=μ(2a-b), 即 a+λb=2μa-μb.
则
2
1,
,
解得
1 2
,
1 2
.
答案:- 1 2
.
考点突破
剖典例 找规律
考点一 平面向量的基本概念 【例 1】 (1)下列有关向量相等的命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;
则 AB ∥ DC 且| AB |=| DC |, 因此, AB = DC . ③正确,∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同, 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且|a|=|b|,不一定 a=b 也可以是 a=-b.故|a|=|b|且 a∥b 不 是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是②③.故选 A.
.
编写意图 平面向量的概念及线性运算是高考必考内容,难度不大. 本节重点突出平面向量的线性运算及两个向量共线的含义,难点突破 平面向量的有关概念,如零向量与其他向量的关系,向量与实数的区 别等,通过思想方法栏目使学生体会了运用方程思想解有关平面向量 的线性运算问题.
高考数学一轮复习第四章第一节平面向量的概念及其线性运算学案文含解析新人教A版
第一节 平面向量的概念及其线性运算2019考纲考题考情1．向量的有关概念向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa 。
1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)。
2.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1。
3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件。
要特别注意零向量的特殊性。
一、走进教材1．(必修4P 86例4改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________。
(用a ，b 表示)解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b 。
答案 b －a －a －b2．(必修4P 118A 组T 2(3)改编)在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________。
解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|。
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形。
答案 矩形 二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC → C ．34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC → 解析 如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A 。
高考数学一轮复习第四章 第一讲平面向量的概念及其线性运算学案含解析新人教版
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一讲平面向量的概念及其线性运算知识梳理·双基自测知识梳理知识点一向量的有关概念(1)向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__长度__(或称__模__)．(2)零向量：__长度为0__的向量叫做零向量，其方向是__任意__的，零向量记作__0__.(3)单位向量：长度等于__1__个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或__相反__的__非零__向量；平行向量又叫__共线__向量．规定：0与任一向量__平行__.(5)相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量．(6)相反向量：长度__相等__且方向__相反__的向量．知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算__三角形__法则__平行四边形__法则(1)交换律：a＋b＝__b＋a__；(2)结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__减法向量a加上向量b的__相反向量__叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b__三角形__法则a－b＝a＋(－b)数乘实数λ与向量a的积是一个__向量__记作λa(1)模：|λa|＝|λ||a| ；(2)方向：当λ>0时，λa与a的方向__相同__；当λ<0时，λa与a的方向__相反__；设λ，μ是实数．(1)__λ(μa)__＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝__λa＋μa__(3)λ(a＋b)＝__λa＋λb__.向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使__b ＝λa __.归纳拓展1．零向量与任何向量共线．2．与向量a (a ≠0)共线的单位向量±a|a |.3．若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线． 4．首尾相连的一组向量的和为0.5．若P 为AB 的中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．6．若a 、b 不共线，且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(3)若向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反．( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( × ) 题组二 走进教材2．(必修4P 91A 组T4改编)化简AB →＋BD →－AC →－CD →＝( B ) A ．AD → B ．0 C ．BC →D ．DA →[解析] AB →＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0.3．(必修4P 84T4改编)向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，向量a －b 等于( C )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[解析] 由图可知a ＝－4e 2，b ＝－(e 1＋e 2)，∴a －b ＝e 1－3e 2，故选C ．4．(必修4P 91A 组T3改编)如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( C )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD → D ．AD →＋CB →＝0[解析] 由AB →－AD →＝DB →＝－BD →，故C 错误． 题组三 走向高考5．(2020·新高考Ⅱ，3,5分)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →＝( A ) A ．2CD →－CA → B ．2CA →－CD → C ．2CD →＋CA →D ．2CA →＋CD →[解析] ∵D 为△ABC 的边AB 的中点，∴CD →＝12(CA →＋CB →)，∴CB →＝2CD →－CA →.故选A ．6．(2015·新课标2)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝__12__.[解析] ∵a 、b 不平行，∴a ＋2b ≠0，由题意可知存在唯一实数m ，使得λa ＋b ＝m (a ＋2b )，即(λ－m )a ＝(2m －1)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－m ＝02m －1＝0，解得λ＝12.考点突破·互动探究考点一 向量的基本概念——自主练透例1 (1)给出下列命题，正确的是( B ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线(2)若a 0为单位向量，a 为平面内的某个向量，下列命题中： ①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0； ②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0； ③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0， 假命题的个数是( D ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] (1)A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．故选B ．(2)①②③均为假命题．名师点拨(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(4)非零向量a 与a |a|的关系是：a|a|是a 方向上的单位向量．考点二 向量的线性运算——师生共研例2 (1)(2021·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( D )A ．OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →(2)(2018·全国Ⅰ理，6)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] (1)如图，在△OAC 中，M 为AC 中点，所以OA →＋OC →＝2OM →，在△OBD 中，OB →＋OD →＝2OM →，故选D ．(2)如图，由E 为AD 的中点，得AE →＝12AD →，∴EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →.又∵D 为BC 的中点，∴AD →＝12AB →＋12AC →.∴EB →＝AB →－14AB →－14AC →＝34AB →－14AC →.故选A ．名师点拨平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义．(2)求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．(3)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．(4)与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．〔变式训练1〕(1)已知三角形ABC 是等边三角形，D 为AB 的中点，点E 满足2CE →＋BE →＝0，则AE →＝( A ) A ．23AB →－23CD →B ．23AB →＋23CD →C ．23AB →－13CD →D ．13AB →＋23CD →(2)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( D )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b[解析] (1)由2CE →＋BE →＝0知CE →＝13CB →，BE →＝23BC →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BD →＋DC →)＝AB →＋23⎝⎛⎭⎫－12AB →－CD →＝23AB →－23CD →.(2)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB ，且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC→＋CD →＝b ＋12a .考点三 共线向量定理及其应用——师生共研例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[分析] (1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；(2)利用共线向量定理求解．[解析] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得k ＝±1. [引申] 本例(2)中，若k a ＋b 与a ＋k b 反向，则k ＝__－1__；若k a ＋b 与a ＋k b 同向，则k ＝__1__.[解析] 由本例可知k a ＋b 与a ＋k b 反向时λ<0，从而k ＝－1；k a ＋b 与a ＋k b 同向时λ>0，从而k ＝1.名师点拨平面向量共线的判定方法(1)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．〔变式训练2〕(1)(2021·济南模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( B )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12(2)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( D )A ．aB ．bC ．cD ．0[解析] (1)由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)， 于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.故选B ．(2)∵a ＋b 与c 共线，∴a ＋b ＝λ1c .① 又∵b ＋c 与a 共线，∴b ＋c ＝λ2a .② 由①得：b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝－1.∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.故选D ．名师讲坛·素养提升易错警示——都是零向量“惹的祸”例4 下列命题正确的是( D )A ．向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．若向量a ，b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线 [解析] 易知ABC 错误．对于D ．∵向量a 与b 不共线， ∴向量a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量． 若a ＋b 与a －b 共线，则存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )， 即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，1＋λ＝0，此时λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不共线．故D 正确．名师点拨在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．〔变式训练3〕下列叙述正确的是( D )A ．若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 其中之一的方向相同B ．|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 的方向相同C ．AB →＋BA →＝0D ．若λ≠0，λa ＝λb ，则a ＝b[解析] 对于A ，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同；对于B ，当a ，b 中有一个为零向量时结论不成立；对于C ，因为两个向量之和仍是一个向量，所以AB →＋BA →＝0；对于D ，λ(a －b )＝0时，∵λ≠0，∴此时一定有a ＝b .故选D ．。
近年高考数学一轮复习第4章平面向量4.1平面向量的概念及线性运算课后作业理(2021年整理)
2019版高考数学一轮复习第4章平面向量4.1 平面向量的概念及线性运算课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第4章平面向量4.1 平面向量的概念及线性运算课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4．1 平面向量的概念及线性运算[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武汉调研测试）如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ,则OP →＋错误!＝( )A.OH ，→B 。
错误!C 。
错误!D.错误!答案 D解析 在方格纸上作出错误!＋错误!，如图所示，则容易看出错误!＋错误!＝错误!,故选D.2．已知A,B，C三点不共线,且点O满足错误!＋错误!＋错误!＝0，则下列结论正确的是（)A。
错误!＝错误!错误!＋错误!错误! B.错误!＝错误!错误!＋错误!错误!C.错误!＝错误!错误!－错误!错误!D.错误!＝－错误!错误!－错误!错误!答案D解析∵错误!＋错误!＋错误!＝0，∴O为△ABC的重心,∴错误!＝－错误!×错误!(错误!＋错误!)＝－错误!(错误!＋错误!)＝－错误!(错误!＋错误!＋错误!）＝－错误!（2错误!＋错误!)＝－错误!错误!－错误!错误!。
故选D.3．（2017·衡水中学三调)在△ABC中，错误!＝错误!错误!，P是直线BN上的一点，且满足错误!＝m错误!＋错误!错误!，则实数m的值为( ）A．－4 B．－1 C．1 D．4答案B解析根据题意设错误!＝n错误!(n∈R),则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋n 错误!＝错误!＋n(错误!－错误!)＝错误!＋n错误!＝(1－n）错误!＋错误!错误!，又错误!＝m错误!＋错误!错误!，∴错误!解得错误!故选B。
2019版高考数学文一轮复习教师用书：第四章 第一节 平
第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念三角形法则平行四边形法则＝＋b的差三角形法则向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( )(3)若向量AB ―→与向量CD ―→是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√2.如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是( )A ．AP ―→＝13AB ―→B ．AQ ―→＝23AB ―→C ．BP ―→＝－23AB ―→D ．AQ ―→＝BP ―→解析：选D 由数乘向量的定义可以得到A 、B 、C 都是正确的，只有D 错误． 3．设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a|＋b|b|＝0成立的是()A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：选C “a |a|＋b|b|＝0，且a ，b 都是非零向量”等价于“非零向量a ，b 共线且反向”，故答案为C.4．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A 由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→. 5．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋c |＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：26．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一 平面向量的有关概念 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]00与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 2．给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②[怎样快解·准解]有关平面向量概念的6个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． 考点二 向量的线性运算 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→.2．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( )A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→，选A.3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ―→＝λ1AB―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.解析：DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：12[怎样快解·准解]1．用已知向量表示未知向量的方法构造三角形，关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用已知向量表示未知向量的4步骤 (1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果．3．向量线性运算的2个常用结论(1)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD ―→＝12(AC ―→＋AB ―→)；(2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.考点三 共线向量定理的应用 (重点保分型考点——师生共研)设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→，∴AB ―→，BD ―→共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1， 又∵λ>0，∴k ＝1.[解题师说]1．共线向量定理的3个应用(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP ―→＝(1－t )OA ―→＋t OB ―→(O 为平面内任一点，t ∈R)．(5)OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.[冲关演练]1．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．2．(2018·贵州适应性考试)已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB ―→＝e 1＋m e 2，AC ―→＝n e 1＋e 2，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．mn ＝1B ．mn ＝－1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1解析：选A 因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB ―→＝λAC ―→，所以有e 1＋m e 2＝nλe 1＋λe 2，由此可得⎩⎪⎨⎪⎧1＝nλ，m ＝λ，所以mn ＝1.(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( ) A ．AD ―→B.12AD ―→C.12BC ―→ D ．BC ―→解析：选A 由题意得EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→.2．已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与向量OA ―→平行的向量为( ) A ．AB ―→＋AC ―→ B ．AB ―→＋BC ―→＋CD ―→ C ．AB ―→＋AF ―→＋CD ―→D ．AB ―→＋CD ―→＋DE ―→解析：选B AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝AD ―→＝2AO ―→＝－2OA ―→.3．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.4．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错误；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CD ―→＋DC ―→＝0，③正确；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确，故①③④正确．5．(2018·广东东莞二模)如图所示，已知AC ―→＝3BC ―→，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，则下列等式中成立的是( )A ．c ＝32b －12aB ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12b解析：选A 因为AC ―→＝3BC ―→，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，所以OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→＋32AB―→＝OA ―→＋32(OB ―→－OA ―→)＝32OB ―→－12OA ―→＝32b －12a ，故选A.6．设平行四边形ABCD 的对角线交于点P ，则下列命题中正确的个数是( )①AC ―→＝AB ―→＋AD ―→；②AP ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)；③DB ―→＝AB ―→－AD ―→；④PD ―→＝PB ―→. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由向量加法的平行四边形法则，知①AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，②AP ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)都是正确的，由向量减法的三角形法则，知③DB ―→＝AB ―→－AD ―→是正确的，因为PD ―→，PB ―→的大小相同，方向相反，所以④PD ―→＝PB ―→是错误的．7．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以可设λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.答案：128．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b .答案：b －a －a －b9．(2018·河南三市联考)在锐角△ABC 中，CM ―→＝3MB ―→，AM ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x y ＝________.解析：由题设可得CA ―→＋AM ―→＝3(AB ―→－AM ―→)， 即4AM ―→＝3AB ―→＋AC ―→， 亦即AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→，则x ＝34，y ＝14，故x y ＝3.答案：310．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→＋z AS ―→，则x ＋y ＋z ＝________.解析：依题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝12(AS ―→＋AC ―→)－AB ―→＝－AB ―→＋12AC ―→＋12AS ―→，因此x＋y ＋z ＝－1＋12＋12＝0.答案：0B 级——中档题目练通抓牢1．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点M 是腰BC 的中点，若AM ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ，μ的值分别为( )A.34，12B.12，34 C ．1，34D.12，12解析：选A 因为AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→)＝34AB ―→＋12AD ―→，所以λ＝34，μ＝12.2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．(2018·长春质检)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCDS △ABD＝( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13.4．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的__________条件(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”)．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q . 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算法则知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p . 所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要5．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ＝________.解析：法一：由AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 得AB ―→＝λ·12(AD ―→＋AC ―→)＋μ·12(AC ―→＋AB ―→)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ―→＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→ ＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ―→＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ―→＝0. 又因为AB ―→，AD ―→不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.法二：连接MN 并延长交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT ―→＝AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 即AT ―→＝54λAM ―→＋54μAN ―→，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1.∴λ＋μ＝45.答案：456.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→，AG ―→.解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b .AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→) ＝13AB ―→＋13AC ―→ ＝13a ＋13b . 7．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2，∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴存在实数λ，使BF ―→＝λBD ―→， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.C 级——重难题目自主选做1.如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线于K ，其中，AE ―→＝25AB ―→，AF ―→＝12AD ―→，AK ―→＝λAC ―→，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23解析：选A 因为AE ―→＝25AB ―→，AF ―→＝12AD ―→，则AB ―→＝52AE ―→，AD ―→＝2AF ―→，由向量加法的平行四边形法则可知AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，所以AK ―→＝λAC ―→＝λ(AB ―→＋AD ―→)＝λ⎝⎛⎭⎫52 AE ―→＋2AF ―→ ＝52λAE ―→＋2λAF ―→，由E ，F ，K 三点共线可得52λ＋2λ＝1，所以λ＝29.2．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλ DE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 (二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( ) A ．AD ―→ B.12AD ―→C.12BC ―→ D ．BC ―→解析：选A 由题意得EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→.2.(2018·合肥质检)已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ―→＋CB ―→＝0，则向量OC ―→等于( )A.23OA ―→－13OB ―→ B ．－13OA ―→＋23OB ―→C ．2OA ―→－OB ―→D ．－OA ―→＋2OB ―→解析：选C 因为AC ―→＝OC ―→－OA ―→，CB ―→＝OB ―→－OC ―→，所以2AC ―→＋CB ―→＝2(OC ―→－OA ―→)＋(OB ―→－OC ―→)＝OC ―→－2OA ―→＋OB ―→＝0，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→.3.(2018·江西八校联考)在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A PQ ―→＝PB ―→＋BQ ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b ，故选A. 4．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错误；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CD ―→＋DC ―→＝0，③正确；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故①③④正确．5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.6.(2018·南宁模拟)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn＝________.解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn ＝－2.答案：－27．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的____________________条件(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”)．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q .若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算法则知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p . 所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要8．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→＋z AS ―→，则x ＋y ＋z ＝________.解析：依题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝12(AS ―→＋AC ―→)－AB ―→＝－AB ―→＋12AC ―→＋12AS ―→，因此x＋y ＋z ＝－1＋12＋12＝0.答案：09.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA ―→＋BP ―→＋CP ―→＝0，AP ―→＝λPD ―→，求实数λ的值．解：如图所示，由AP ―→＝λPD ―→且PA ―→＋BP ―→＋CP ―→＝0，得P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP ―→＝－2PD ―→，所以λ＝－2.10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴存在实数λ，使BF ―→＝λBD ―→， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·长春质检)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCDS △ABD＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S△ABC，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13.2.(2018·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C BF ―→＝BA ―→＋AF ―→＝BA ―→＋12AE ―→＝－AB ―→＋12(AD ―→＋12AB ―→＋CE ―→)＝－AB ―→＋12⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→＋13 CB ―→ ＝－AB ―→＋12AD ―→＋14AB ―→＋16(CD ―→＋DA ―→＋AB ―→)＝－23AB ―→＋13AD ―→.3.在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ＝________.解析：法一：由AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 得AB ―→＝λ·12(AD ―→＋AC ―→)＋μ·12(AC ―→＋AB ―→)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ―→＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12AB ―→＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ―→＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ―→＝0. 又因为AB ―→，AD ―→不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.法二：连接MN 并延长交AB 的延长线于T ， 由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT ―→＝AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 即AT ―→＝54λAM ―→＋54μAN ―→，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1.∴λ＋μ＝45.答案：454．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎡⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 5．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP ―→＝m OA ―→，OQ ―→＝n OB ―→，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解：设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则OG ―→＝13(a ＋b )，PQ ―→＝OQ ―→－OP ―→＝n b －m a ，PG ―→＝OG ―→－OP ―→＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b . 由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ ―→＝λPG ―→，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 则⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.6．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→ ＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。
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第一节平面向量的概念及其线性运算考点一向量的概念[例1] 给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若＝，则四边形ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[自主解答] ①不正确．|a|＝|b|但a，b的方向不确定，故a，b不一定相等；②不正确．因为＝，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形；③不正确．两向量不能比较大小；④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．[答案] D【方法规律】解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是a方向上的单位向量.下列说法中错误的是( )A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B．若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C 选项A中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B中零向量与任意向量共线，故a，b都是非零向量，故正确；选项C中是共线向量，故错误；选项D中既然方向相反就一定不相等，故正确．高频考点考点二平面向量的线性运算1．平面向量的线性运算是每年高考的重点，题型多为选择题和填空题，难度较小，属中低档题．2．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下几个命题角度：(1)考查向量加法或减法的几何意义；(2)求已知向量的和；(3)与三角形联系，求参数的值；(4)与平行四边形联系，研究向量的关系．[例2] (1)(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b(2)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF 中，＋＋＝( )A ．0B ．C ．D ．第(2)题图 第(3)题图 (3)(2013·四川高考)如图在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，＋＝λ，则λ＝ ________.(4)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[自主解答] (1)法一：(代数法)将原式平方得|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .法二：(几何法)如图所示：在▱ABCD 中，设＝a ，＝b ，∴＝a ＋b ，＝a －b ，∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴平行四边形两条对角线长度相等，即平行四边形ABCD 为矩形，∴a ⊥b . (2)因六边形ABCDEF 是正六边形，故＋＋＝＋＋＝＋＝.(3)由平行四边形法则，有＋＝＝，已知＋＝λ，所以λ＝2. (4) ＝＋＝12＋23＝12＋23(－)＝－16＋23，∵＝λ1＋λ2，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.[答案] (1)B (2)D (3)2 (4)12平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)与三角形联系，求参数的值．求出向量的和或与已知条件中的和式比较，然后求参数．(4)与平行四边形联系，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F ，若＝a ，＝b ，则等于( )A.14a＋12b B.23a＋13b C.12a＋14b D.13a＋23b解析：选B 如图，＝＋，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，故＝13，则＝12a＋12b＋13⎝⎛⎭⎪⎫12a－12b＝23a ＋13b.2．若O 是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2 ＋＋＝0，那么( )A ．＝ B．＝2C．＝3 D．2＝解析：选A 因为D是BC边的中点，所以有＋＝2，所以2＋＋＝2＋2＝2(＋)＝0⇒＋＝0⇒＝.3．(2014·青岛模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x) ，则x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－13，0解析：选D 设＝y，∵＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y) ，∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，∵＝x＋(1－x)，∴x∈⎝⎛⎭⎪⎫－13，0.考点三共线向量定理的应用[例3] 设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－k e2，且A，C，F三点共线，求k的值．[自主解答] (1)证明：＝e1－e2，＝3e1＋2e2，∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2，∴＝－2，∴与共线．又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线．(2)∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2，3 / 5∴＝＋＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，F 三点共线，∴∥，从而存在实数λ，使得＝λ. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk，因此k ＝2.∴实数k 的值为2. 【互动探究】在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线． 解：∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 即k e 1＋e 2＝λe 1＋λk e 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk，解得k ＝±1. 【方法规律】1．共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若＝λ，则A 、B 、C 三点共线．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解：∵a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，即t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上．——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1个规律——向量加法规律 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2个结论——向量的中线公式及三角形的重心(1)向量的中线公式若P为线段AB的中点，O 为平面内一点，则＝12(＋)．(2)三角形的重心已知平面内不共线的三点A 、B、C，＝13(＋＋)⇔G 是△ABC的重心．特别地，＋＋＝0⇔P为△ABC 的重心．3个等价转化——与三点共线有关的等价转化A，P，B三点共线⇔＝λ (λ≠0)⇔＝(1－t) ＋t (O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y (O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．4个注意点——向量线性运算应注意的问题(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；(2)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；(4)利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合．5 / 5。