2022届山东省济南市高二第二学期数学期末达标检测试题含解析
2022-2023学年山东省济南市历城二中数学高三第一学期期末达标检测试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．2．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ） A ．22B 1121-C 521+D ．233．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,1)4．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．235．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． y =D ．y =7．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．59．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π10．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．111．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．312．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年山东省临沂市第十九中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省临沂市第十九中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．曲线43y x x =-在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】因为343y x '=-，所以11x y ='=，故所求切线的倾斜角为4π． 故选：B ．2．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是（ ） A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D ．2x ＋3y －1＝0【答案】A【分析】求出抛物线的焦点坐标和直线3x －2y ＋5＝0的斜率，由点斜式方程即可求出答案.【详解】因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为3122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化为一般式，得6x －4y －3＝0. 故选：A.3．若等差数列{}n a 满足234a S +=，3512a S +=，则47a S +=（ ） A ．72 B ．36 C ．24 D ．20【答案】C【分析】由等差数列的性质转化2324a S a +=，3536a S a +=，求出2a 、3a 的值，利用等差中项的性质求出4a 的值，进而可得出4748a S a +=的值. 【详解】由等差中项的性质可得()1323223442a a a S a a ++=+==，得21a =， 同理可得35336122a S a a +==⇒=，由等差中项的性质得3242a a a =+，43223a a a ∴=-=，因此，47444788324a S a a a +=+==⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查利用等差中项求值，考查计算能力，属于基础题.4．椭圆2212516x y +=上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足()12OM OP OF =+，则OM =（ ）A ．6B ．4C ．2D ．52【答案】C【分析】根据222a c b -=求出左焦点F 的坐标，然后设P 的坐标00(,)P x y ，根据两点间的距离公式求出P 到左焦点的距离以及代入椭圆方程中解得P 的坐标，由1()2OM OP OF =+得到M 为PF 的中点，根据中点坐标公式求出M 的坐标，利用两点间的距离公式求出||OM 即可．【详解】解：由椭圆2212516x y +=得5a =，4b =，左焦点(3,0)F -，设00(,)P x y ，则()2200336x y ++=又220012516x y +=解得053x =或0553x =-（舍去）；又P 在椭圆上，则将053x =代入到椭圆方程中求出0y =所以点5(3P ，； 由点M 满足1()2OM OP OF =+，则得M 为PF 中点，根据中点坐标公式求得2,3M ⎛- ⎝⎭， 所以||(2OM =-= 故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，属于中档题．5．已知曲线()()xf x x a e =+在点()()1,1f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．2ae B ．12e+C ．e 2-D ．2e【答案】D【解析】求出函数的导数和在1-处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为1-可得答案.【详解】()()()1x x xf x e x a e x a e '=++=++，()11(1)f a e --=-，切线的斜率为()11f ae k -'-==，因为切线与直线210x y +-=垂直，所以()121ae --=-，解得2e a =. 故选：D.6．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A ．23B ．34C ．12D 2【答案】A【分析】将AM 用,AB AC 表示，CN 用,AD AC 表示，再利用向量法求解即可. 【详解】解：在正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，π3BAC BAD CAD ∠=∠=∠=， 因为M ，N 分别为BC ，AD 的中点， 所以()11,22AM AB AC CN AN AC AD AC =+=-=-， 且3AM CN == 则()1122AM CN AB AC AD AC ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭2111222AB AD AB AC AC AD AC ⎛⎫=⋅-⋅+⋅- ⎪⎝⎭11111124242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭， 所以2cos ,3AM CN AM CN AM CN⋅==， 即直线AM 和CN 夹角的余弦值为23. 故选：A.7．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（ ） A ．53B ．8C ．112D ．5【答案】B【分析】根据给定条件，求出直线AB 的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.【详解】抛物线28y x =，焦点(2,0)F ，准线:2l x =-，直线AB 的方程为2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得：21240x x -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212x x +=， 弦AB 中点Q 的横坐标1262Q x x x +==，过点Q 作准线l 的垂线，垂足为点D ，如图，令QD 交抛物线于点P ，在抛物线上任取点P '，过P '作P D l ''⊥于点D ，连接,,P Q P F QD '''， 即有,PF PD P F P D '==''，P F P Q P D P Q QD QD PD PQ PF PQ +=+≥≥=''''''+=+， 当且仅当点P '与P 重合时取等号，所以||||PF PQ +的最小值为||(2)8Q QD x =--=. 故选：B8．已知数列{}n a 满足11a =，()*121n na a n =+∈N ＋，记数列11(2)(2)n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意*n ∈N ，不等式n k T >恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由已知得()1+112n n a a =+＋，根据等比数列的定义得数列{}+1n a 是首项为2，公比为2的等比数列，由此求得n a ，然后利用裂项求和法求得n T ，进而求得k 的取值范围. 【详解】解：依题意()1+112n n a a =+＋，当1n =时，11a =，则1+12a =，所以数列{}+1n a 是首项为2，公比为2的等比数列，+12n n a =，即21nn a =-，所以()()()()111+12112221212121n n n n n n n n a a a +++==-++++++，所以12231111111212121212121n n n T +=-+-++-++++++ 11113213n +=-<+， 所以k 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C.二、多选题9．已知双曲线C ：2213x y-=，下列对双曲线C 判断正确的是（ ）A ．实轴长是虚轴长的2倍B ．焦距为4C D ．渐近线方程为0x =【答案】BD【分析】根据双曲线的标准方程求出a 、b 、c ，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可.【详解】∵双曲线C ：2213x y -=∴23a =.21b =.∴2224c a b =+=∴2c =.∴双曲线的实轴长是2a =21b=，A 错误；焦距为24c =.B 正确；离心率为c a =C 错误：渐近线方程为y x =，D 正确. 故选：BD10．已知两圆方程为224x y +=与222(3)(4)(0)x y r r -++=>，则下列说法正确的是（ ） A ．若两圆外切，则3r =B ．若两圆公共弦所在的直线方程为3420x y --=，则=5rC ．若两圆的公共弦长为rD ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则4r =【答案】AB【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设圆224x y +=为圆1C ，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径12r =. 设圆222(3)(4)(0)x y r r -++=>为圆2C ，圆2C 的圆心为()23,4C -，半径1r r =.125C C =.A 选项，若两圆外切，则1212,52,3C C r r r r =+=+=，A 选项正确.B 选项，由()()22222434x y x y r⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩两式相减并化简得2293402r x y --+=， 则22292,25,52r r r -=-==， 此时2121123,7,37r r r r C C -=+=<<，满足两圆相交，B 选项正确.C 选项，由()()22222434x y x y r ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩两式相减并化简得2293402r x y --+=， ()10,0C 到直线2293402r x y --+=的距离为2229229510r r d --==，所以223,1d d -==，即22291,291010r r -=-=，则解得r =r C 选项错误. D 选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为D ， 根据圆的几何性质可知12C D C D ⊥，所以2222212125421,r C D C C r r ==-=-=，D 选项错误. 故选：AB11．已知平面上一点()5,0M ，若直线上存在点P 使4PM =，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A ．1y x =+ B ．2y =C ．43y x =D ．21y x =+【答案】BC【分析】所给直线上的点到定点M 距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析，分别求出定点M 到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.【详解】所给直线上的点到定点M 距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析．A ．因为4d ==，故直线上不存在点到M 距离等于4，不是“切割型直线”；B ．因为24d =<，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；C ．因为4d ==，直线上存在一点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；D ．因为4d ==>，故直线上不存在点到M 距离等于4，不是“切割型直线”．故选：BC.12．若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线()260y x nx x =-+->的公切线，则（ ）A ．2m =-B ．1m =-C ．6n =D ．7n =【答案】AD【分析】设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，再由导数为3求解.【详解】解：设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，对于函数()30y x x =>，23y x '=，则()2330a a =>，解得1a =，所以313m =+，即2m =-.对于函数()260y x nx x =-+->，2'=-+y x n ，则()230b n b -+=>， 又2632b nb b -+-=-，所以()232632b b b b -++-=-，又0b >， 所以2b =，7n =. 故选：AD三、填空题13．已知椭圆2213x y +=的上顶点为A ，左顶点为B ，则直线AB 的斜率为___________.【分析】依题意可得a =1b =，即可得到上顶点A ，左顶点B 的坐标，即可求出AB 的斜率；【详解】解：因为椭圆方程为2213x y +=，所以23a =，21b =，即a =1b =，所以椭圆的上顶点为()0,1A ，左顶点为3,0B ，所以AB k =；14．各项均为正数的等比数列，若19563924a a a a a a ++=，则65a a +=___________. 【答案】2【解析】根据等比数列性质化简为()2564a a +=，开方即可.【详解】解：由各项均为正数的等比数列得()219563956252566224a a a a a a a a a a a a ++=++==+ 所以562a a +=. 故答案为：2【点睛】应用等比数列性质解题时的2个关注点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅⋅=”，可以减少运算量，提高解题速度；（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.15．过点()4,3作圆22(2)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为__________. 【答案】2350x y +-=【分析】先求得切线长，然后结合圆与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0C ，半径1r =，设()4,3D ，CD =以D 为圆心，半径为()()224312x y -+-=，即2286130x y x y +--+=①，圆22(2)1x y -+=即22430x y x +-+=②， 由①-②得直线AB 的方程为46100x y --+=， 即2350x y +-=. 故答案为：2350x y +-=16．已知曲线C ：()3f x x ax a =-+，若过曲线C 外一点1,0A 引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a 的值为______． 【答案】278【分析】设切点为()3,t t at a -+，由导数的几何意义求切线的斜率，根据倾斜角关系求a .【详解】设切点坐标为()3,t t at a -+．由题意，知()23f x x a '=-，切线的斜率为23k t a =-①，所以切线的方程为()()()323y t at a t a x t --+=--②．将点()1,0代入②式，得()()()3231t at a t a t --+=--，解得0=t 或32t =．分别将0=t 和32t =代入①式，得k a =-和274k a =-．由题意，得274a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，得278a =． 故答案为：278.四、解答题17．直线l 经过两直线1l ：0x y +=和2l ：2320x y +-=的交点. (1)若直线l 与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程； (2)若点()3,1A 到直线l 的距离为5，求直线l 的方程. 【答案】(1)340x y ++= (2)125340x y -+=或2x =-【分析】（1）求出交点坐标，设直线l 的方程为：30x y m ++=，代入交点即可求出；（2）当直线l 的斜率不存在时，符合条件，当l 斜率存在时，设直线l 的方程为：()22y k x -=+，利用点到直线的距离公式列方程求解.【详解】（1）直线1l 方程与2l 方程联立02320x y x y +=⎧⎨+-=⎩,得交点坐标为()2,2- 设直线l 的方程为：30x y m ++=，代入交点()2,2-得4m =， 所以l 的方程为340x y ++=（2）当直线l 的斜率不存在时，得l 的方程为：2x =-，符合条件. 当l 斜率存在时，设直线l 的方程为：()22y k x -=+，根据5d ==，解得125k =， 所以直线l 的方程为125340x y -+=. 综上所述，l 为125340x y -+=或2x =-18．已知函数3(),(1)2,(1)2f x ax ax b f f =-+=='． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,(1))f --处的切线方程． 【答案】(1)3()2f x x x =-+； (2)240x y -+=.【分析】(1)对函数()f x 求导，利用给定条件列式计算即可得解.(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程.. 【详解】（1）由3()f x ax ax b =-+求导得：2()3f x ax a '=-，又(1)2,(1)2f f =='，则222b a =⎧⎨=⎩，解得1,2a b ==，所以()f x 的解析式为3()2f x x x =-+.（2）由(1)得，2()31x f x '=-，则(1)2,(1)2f f -=-='，()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为22(1)y x -=+，即240x y -+=，所以f (x )在(1,(1))f --处的切线方程是：240x y -+=. 19．已知数列{}n a 是等差数列，其中24a =，且459a a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设142n a n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)2n a n =；(2)144133n n n T n +=+-+.【分析】（1）利用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由（1）有1141n n n n b +=-+，应用分组求和、裂项相消法及等比数列前n 项和公式求n T . 【详解】（1）由题设，1114278a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，可得12a d ==， 所以{}n a 的通项公式22(1)2na n n =+-=. （2）由（1）知：11144(1)1n n n n n n n b -+=+=++， 所以12...n n T b b b =+++，令111111...22311n M n n n =-+-++-=++，24(14)4(41)44 (4143)n n n N --=+++==-， 所以144133n n n T n +=+-+. 20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PA PD ==，PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点．（1）求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；（2）求B 点到平面PCD 的距离．【答案】（16（23 【解析】（1）利用面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量计算所求；（2）利用PB 在平面PCD 的法向量上的投影计算求解.【详解】解：（1）在PAD 中，PA PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥．又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．在PAD 中，PA PD ⊥，2PA PD ==，所以2AD =．在直角梯形ABCD 中，O 为AD 的中点，所以1OA BC ==，所以OC AD ⊥．以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0P A B C D --，所以()1,1,1PB =--．因为OA OP ⊥，OA OC ⊥，OP OC O ⋂=，所以OA ⊥平面POC ．所以()0,1,0OA =-为平面POC 的一个法向量，3cos ,3||PB OA PB OA PB OA ⋅〈〉==∣， 所以PB 与平面POC 所成角的余弦值为63． （2）因为()1,1,1PB =--，()1,0,1CP =-，()0,1,1PD =-，设平面PCD 的一个法向量为(),,u x y z =，则00u CP x z u PD y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩． 取1z =，得()1,1,1u =．则B 点到平面PCD 的距离33PB ud u ⋅==．【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，利用空间向量求线面角和点到平面的距离，求平面的法向量是关键点，易错点，利用向量在平面的法向量上的投影求点到平面的距离是常用的方法. 21．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，其中*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*N n ∈且2n ≥，使得()()()2111n T n n n λ-≤-+成立，求实数λ的最小值．【答案】(1)123n n a -=⋅；(2)3.【分析】（1）根据给定前n 项和，利用n a 与n S 的关系求解作答.（2）利用错位相减法求出n T ，再借助数列单调性求出最小值作答.【详解】（1）依题意，当2n ≥时，111(31)(31)23n n n n n n a S S ---=-=---=⋅，而1112a S =-=满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是123n n a -=⋅.（2）由（1）知，1(21)3212n n n b a n n --==-⋅， 0121133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯， 则有12313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得：231212(3333)(21)3n nn T n --=+++++--⨯13(13)12(21)3(22)3213n n n n n --=+⨯--⨯=--⨯--， 于是得(1)31n n T n =-⋅+，*N n ∈且2n ≥，()()()2111n T n n n λ-≤-+23(1)n n n λ⋅⇔≥+， 令23(1)n n c n n ⋅=+，2n ≥，则136331222n n c n c n n +==-≥>++，即1n n c c +>，当2n ≥时，数列{}n c 是递增数列，即min 2()3n c c ==，因此，3λ≥，所以实数λ的最小值是3.【点睛】方法点睛：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}·n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>C经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知过点()4,0P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1x =交于点Q ，设AP PB λ=，(,)AQ QB μλμ=∈R ，求证：λμ+为定值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）证明见解析 【解析】（Ⅰ）由离心率得c a =，由椭圆过一点．得221614a b +=，两者结合可解得,a b ，得椭圆方程； （Ⅱ）设直线l 方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程后可得1212,x x x x +，由AP PB λ=，AQ QB μ=，把,λμ用12,x x 表示，然后计算λμ+并代入1212,x x x x +即可得证．【详解】（Ⅰ）由题意2221614ab =⎨⎪+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆方程为22142x y +=； （Ⅱ）易知直线l 斜率存在，设其方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由22142(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元y 整理得2222(12)163240k x k x k +-+-=， ∴21221612k x x k +=+，212232412k x x k -=+， 把1x =代入(4)y k x =-得3y k =-，即(1,3)Q k -，由AP PB λ=，得124(4)x x λ-=-，1244x x λ-=-， 由AQ QB μ=，得121(1)x x μ-=-，1211x x μ-=-， ∴11121222224125()841(4)(1)x x x x x x x x x x λμ---+++=+=----22222264880812120(4)(1)k k k k x x --+++==--， ∴λμ+为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得1212,x x x x +，把它代入题中需求的量化简可得结论．。
山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练(5月模拟)数学试题含答案
绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。
山东省济南市第二高级中学2022年高二数学理月考试题含解析
山东省济南市第二高级中学2022年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线的斜率为A. B. C. D.参考答案：A2. 图中的图象所表示的函数解析式是（）A. B.C. D.参考答案：B3. 买4枝郁金香和5枝丁香的金额小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额和大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是（）A．前者贵 B．后者贵 C．一样 D．不能确定参考答案：A 解析：设郁金香x元／枝，丁香y元／枝，则，∴由不等式的可加（减）性，得x>3，y<2，∴2x>6,3y<6，故前者贵。
4. 下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件②若、为两个事件，则③若事件两两互斥，则④若事件满足则是对立事件.其中错误命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3参考答案：D5. 设表示三条直线，、表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是 ( )A.⊥，若⊥，则∥；B.β，是在内的射影，若⊥，则⊥；C.β，若⊥则⊥；D.，，若∥，则∥；参考答案：C略6. 正方体AC1中，点P、Q分别为棱A1B1、DD1的中点，则PQ与AC1所成的角为( )A．30o B．45o C．60o D．90o参考答案：D略7. 用“辗转相除法”求得333和481的最大公约数是（）A．3 B．9 C．37 D．51参考答案：C【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】转化思想；算法和程序框图．【分析】利用“辗转相除法”即可得出．【解答】解：481=333×1+148，333=148×2+37，148=37×4．∴333和481的最大公约数是37．故选：C．【点评】本题考查了“辗转相除法”，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 已知椭圆，则椭圆的焦距长为（）(A). 1 (B). 2 (C). (D). 参考答案：D略9. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】通过直线AC垂直平面平面BB1D1D，判断A是正确的；通过直线EF垂直于直线AB1，AD1，判断A1C⊥平面AEF是正确的；计算三角形BEF 的面积和A到平面BEF的距离是定值，说明C是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断D是不正确的；综合可得答案．【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，又BE?平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故A正确；∵当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OEB，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠OE1B，显然两个角不相等，B不正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故C正确；∵由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故V A ﹣BEF为定值．D正确；故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知＝2，＝3，＝4…，若＝6，(a，t为互质的正整数)，由以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.参考答案：41根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为，所以当n＝6时，，.12. 若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则的最小值为．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】计算题．【分析】由题意可知圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣8=0的圆心（2，1）在直线ax+2by ﹣2=0上，可得a+b=1，而=（）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值【解答】解：由圆的性质可知，直线ax+2by ﹣2=0即是圆的直径所在的直线方程∵圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=13，∴圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2=0上∴2a+2b﹣2=0即a+b=1∵=（）（a+b）==3+2∴的最小值故答案为：【点评】本题主要考查了圆的性质的应用，利用基本不等式求解最值的问题，解题的关键技巧在于“1”的基本代换13. 用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做次减法.参考答案：414. 设，将个数依次放入编号为的个位置，得到排列．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为变换．将分成两段，每段个数，并对每段作变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段作变换，得到．例如，当时，，此时位于中的第4个位置．（1）当时，位于中的第个位置；（2）当时，位于中的第个位置．参考答案：（1）6；（2）15. 已知直线曲线相切则 .参考答案：16. 已知 -3+2 i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，（p、q∈R），则p+q=________;参考答案：3817. 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的3个人中恰有1人被治愈的概率为__________（用数字作答）．参考答案：0.027恰有人被治愈的概率．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省青岛第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
山东省青岛第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{N |16}A x x =∈<<，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =I （ ） A ．{|16}x x << B ．{|15}x x << C ．{3,4,5}D ．{2,3,4}2．已知复数z 满足()()1i i 3i z --=+（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．12i --B ．12i -+C ．1i --D ．1i -+3．函数()2()ln 23f x x x =--的单调递减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()3,+∞4．在ABC V 中，已知D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，若AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λμ+=（ ）A ．14B ．12C ．34D ．15．设直线l 被圆C ：22240x y x y +--=所截得弦AB 的中点为()2,1M ，则直线l 的方程为（ ）A ．30x y ++=B ．30x y -+=C ．30x y +-=D ．10x y --=6．南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该杯盏的高度为（ ）A ．23cm 6B ．13cm 4C ．11cm 3 D ．7cm 27．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法中正确的有（ ）①若3692S S S +=，则q =②4S ，84S S -，128S S -成等比数列； ③若12n n S a -=+，则1a =-；④若{}n a 有偶数项，11a =，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则{}n a 有10项． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时()'f x π>，则不等式()sin f x x π≤在[]3,3-上的解集为（ ） A ．[][]2,02,3-⋃ B ．[]1,3- C ．[]1,2-D ．[][]3,20,2--⋃二、多选题9．在某影评网站上随机选取六位专业影评人给《流浪地球2》的评分，得到一组样本数据如下：9.1，9.2，9.4，9.4，9.6，9.7，则下列关于该样本的说法中正确的有（ ） A ．极差为0.6 B ．均值为9.4C ．方差为0.026D ．第80百分位数为9.610．在11x⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（ ）A ．第7项和第8项的二项式系数相等B ．奇数项的二项式系数和为1024C ．含1x项的系数为165D ．展开式中不含常数项11．某地工业化工厂排风扇发生故障，在抢修人员到来前测得工厂内部空气中有毒物质含量达到了危险状态．经过抢修人员的抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得工厂内的有毒物质浓度为128ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为64ppm ．由检验知该工厂内有毒物质浓度y （单位：ppm ）与排气时间t （单位：分）之间满足函数关系()y f t =，其中()()f t R f t ='（R 为常数）．当有毒物质浓度不高于0.5ppm 时称空气质量为合格等次，则下列说法正确的是（ ）A ．0.25e R =B ．4ln 2R =-C ．排气32分钟后，工厂内部空气质量为合格等次D ．排气36分钟后，工厂内部空气质量为合格等次12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，以正方体中心O 为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P 为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．球O 的半径R =B ．球O 1-C ．若点P 在球O 的正方体外部（含正方体表面）运动，则13,44PA PB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r D ．若点P 在球O 的正方体外部（含正方体表面）运动，则17,44PA PB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r三、填空题13．2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有种． 14．已知一个各侧面均为全等的等腰梯形的正四棱台，其上下底面面积之比为1:4，一个侧面的面积为15．已知,1a x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，()23cos ,cos b x x =r ，0ω>，()f x a b =⋅r r ，1x ，2x 满足()()1212f x f x ωω==，且12min πx x -=，则ω=． 16．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且213PF PF =，12PF F △的内切圆圆心为I ，与12F F 切于点A ，直线PI 交x 轴于点Q ，若1294FQ AF =u u u r u u u u r，则双曲线的离心率为．四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足312n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记1n n n b a S +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c tan tan B C =+．(1)求角C 的值；(2)若c =D 为AB 的中点，求中线CD 的范围．19．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上，且//OE 平面SAB ，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ．(1)求证：SE DE =；(2)若2SA AD ==，且平面ABE 与平面BEC ，求AB 的值． 20．目前新冠病毒依然危害着人民的生命健康，国家大力研发新冠疫苗，普及接种来降低新冠病毒对人民的危害程度.现有A ，B ，C ，D 四种成熟疫苗且每种都供应充足，某社区组织居民接种新冠疫苗，前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A ，B ，C ，D 四种号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，社区李医生接种A 种疫苗后，再为居民们接种，记第n 位居民（不包含李医生）接种A ，B ，C ，D 四种疫苗的概率分别为()n P A ，()n P B ，()n P C ，()n P D ． (1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；(2)李医生认为，一段时间后接种A ，B ，C ，D 四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A ，B ，C ，D 四种的概率，解释李医生观点的合理性． 参考数据：1051 1.7103-⎛⎫-≈⨯ ⎪⎝⎭21．已知函数()()211ln 12f x x x ax =+-+-，(1)若2x =是()f x 的极值点，求()f x 在区间3,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；(2)若方程()2131022f x ax ax a -+-+=有两个不同的根1x ，2x ．（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若112e x x λ-<恒成立，求实数λ的取值范围．22．已知定点()2,0F -，关于原点O 对称的动点P ，Q 到定直线l ：8x =-的距离分别为P d ，Q d ，且||||P QPF QF d d λ==，记P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程，并说明C 是什么曲线； (2)当12λ=时，过点F 的两条互相垂直的直线与曲线C 分别交于A ，B ，C ，D 两点，弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点；(3)在（2）条件下，当M ，N ，F 三点可构成三角形时，求MNF S V 的取值范围．。
2022年山东省济宁市喻屯第二中学高二数学理下学期期末试题含解析
2022年山东省济宁市喻屯第二中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“对任意的”的否定是（）A．不存在 B．存在C．存在 D．对任意的参考答案：C2. 把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）等于（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题．【分析】本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，代入条件概率的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，∴P（B|A）=故选A．【点评】本题考查条件概率，本题解题的关键是看出事件AB同时发生的概率，正确使用条件概率的公式．3. 已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线的方程为A. B.C. D.参考答案：A略4. 已知三边满足，且，则的值为（）A．4 B． C．3 D．参考答案：A5. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（）A．B. C. D.参考答案：B6. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作x轴的垂线，交椭圆于A，B两点.若等边的周长为，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.参考答案：A由题意可得等边的边长为，则，由椭圆的定义可得，即，由，即有，则，则椭圆的方程为，故选A．7. 用演绎法证明函数是增函数时的小前提是A．函数满足增函数的定义B．增函数的定义C．若，则D．若，则参考答案：A8. 已知f（x）是定义在区间（0，+∞）上的函数，其导函数为f'（x），且不等式xf'（x）＜2f （x）恒成立，则（）A．4f（1）＜f（2）B．4f（1）＞f（2）C．f（1）＜4f（2）D．f（1）＜2f'（2）参考答案：B【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=，（x＞0），求出函数的导数，得到函数的单调性，求出g（1）＞g （2），从而求出答案．【解答】解：令g（x）=，（x＞0），则g′（x）=，∵不等式xf'（x）＜2f（x）恒成立，∴xf'（x）﹣2f（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）递减，故g（1）＞g（2），故4f（1）＞f（2），故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．9. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为A. B. C. D.参考答案：C10. 若方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线，则（）．A．B．C．D．参考答案：B∵方程表示与两条坐标轴都相交的直线，∴直线的斜率存在且不等于，∴且．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知xy>0，x≠y，则x4+6x2y2+y4与4xy(x2+y2)的大小关系是______________．参考答案：x4+6x2y2+y4>4xy(x2+y2)解析：x4+6x2y2+y4－4xy(x2+y2)＝（x-y）4>012. 已知数列{a n}满足a n a n+1=（﹣1）n（n∈N*），a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，则S2015= ．参考答案：﹣1【考点】数列递推式．【分析】由数列{a n }满足，a 1=1，可得a 4k ﹣3=1，a 4k ﹣2=﹣1，a 4k ﹣1=﹣1，a 4k =1，k∈N *．即可得出． 【解答】解：∵数列{a n }满足，a 1=1，∴a 2=﹣1，a 3=﹣1，a 4=1，a 5=1…，∴a 4k ﹣3=1，a 4k ﹣2=﹣1，a 4k ﹣1=﹣1，a 4k =1，k∈N *．即数列各项的值呈周期性出现 ∴S 2015=503×（1﹣1﹣1+1）+（1﹣1﹣1）=﹣1． 故答案为：﹣1．13. 不等式组所表示的平面区域的面积为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】利用二元一次不等式组的定义作出对应的图象，找出对应的平面区域，结合相应的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则由得，即A （0，），由得，即B （0，3），由得，即C （1，1），则三角形的面积S=|AB|?h=（3﹣）×1==，故答案为：【点评】本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．14. 如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水。
2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量()1,,2a m m =+-，()2,1,4b =-，且a b ⊥，则m 的值为（ ） A ．103-B ．10-C ．10D ．103【答案】B【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=，即可求出m 的值. 【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-. 故选：B. 2．抛物线214x y =的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．116x =-C ．1y =-D ．116y =-【答案】D 【解析】求出1216p =，即得抛物线214x y =的准线方程. 【详解】因为124p =， 所以1216p =， 故准线方程为116y =-． 故选：D310+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．23π C ．6πD ．56π 【答案】C【分析】将直线方程转化为斜截式，进而可得倾斜角.【详解】10+=，即y =，所以倾斜角α满足tan α=，[)0,απ∈， 所以6πα=，故选：C.4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比2q ，且满足2616a a =，则5a =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】A【分析】根据{}n a 是等比数列，则通项为11n n a a q -=，然后根据条件可解出112a =，进而求得58a =【详解】由{}n a 为等比数列，不妨设首项为1a由2616a a =，可得：26261216a a a =⋅=又0n a >，则有：112a = 则451282a =⨯=故选：A5．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，2CQ QB =，P 为线段OA 的中点，则PQ 等于（ ）A ．112233a b c ++B ．112233a b c --C ．112233a b c -++D ．121233a b c -++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】由已知2132PQ OC CQ OP c CB OA =+-=+-2121()()3232c OB OC a c b c a=+--=+--121233a b c =-++，故选：D ．6．若圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．()6,+∞ B ．[)6,+∞C ．(]4,6D ．[]4,6【答案】B【分析】先求出圆心()3,5-到直线4320x y --=的距离为5，由此可知当圆的半径为516r =+=时，圆上恰有三点到直线4320x y --=的距离为1，当圆的半径516r >+= 时，圆上恰有四个点到直线4320x y --=的距离为1，故半径r 的取值范围是51=6r ≥+，即可求出答案.【详解】由已知条件得()()22235x y r -++=的圆心坐标为()3,5-，圆心()3,5-到直线4320x y --=为()2243352543d ⨯-⨯--==+，∵圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1， ∴圆的半径的取值范围是51r ≥+，即6r ≥，即半径r 的取值范围是[)6,+∞. 故选：B .7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(]1,4 B ．[)4,+∞ C ．(]1,2 D ．[)2,+∞【答案】C【分析】根据双曲线的定义求得2PF ，利用2PF c a ≥-可得离心率范围． 【详解】因为122PF PF a -=，又213PF PF =，所以13PF a =，2PF a =， 又2PF c a ≥-，即a c a ≥-，2ca≤，所以离心率(1,2]e ∈． 故选：C ．8．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME —7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=，1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{}n a ，令22n n b a =-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则99S =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【分析】由题意可得n OA 的边长，进而可得周长n a 及n b ，进而可得n S ，可得解. 【详解】由1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=，可得2OA =3OA =⋅⋅⋅，n OA =所以112n n n n n a OA OA A A ++=++=， 22n n b a ===-所以前n 项和12213211n n S b b b n n n =+++=-+-+++-=+，所以9919S =， 故选：B. 二、多选题9．已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t +=-<<++，则下列说法错误的是（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】ABC【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中，4a =，3b =，c =则该椭圆的长轴长为28a =，短轴长为26b =，离心率为c e a ==，焦距为2c =椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中，焦点在x 轴上，a b =c =.故选：ABC .10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（ ）A ．若2111n S n n =-+，则212n a n =-B ．若()2,n S pn qn p q =+∈R ，则{}n a 是等差数列C ．若数列{}n a 为等差数列，10a >，69S S =，则78S S >D ．若数列{}n a 为等差数列，150S >，160S <，则8n =时，n S 最大 【答案】BD【分析】根据等差数列的性质，逐项分析即可得到结果.【详解】由于2111n S n n =-+，当1n =时，211111119a S ==-⨯+=-，若212n a n =-，则当1n =时，1211210a =⨯-=-，又091-≠-，故A 错误；因为()2,n S pn qn p q =+∈R ，当1n =时，11a S p q ==+；当2n ≥且*n N ∈时，()()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn q p -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦， 当1n =时，上式亦满足，所以2n a pn q p =-+；所以()()()*12122,n n a a p n q p pn q p p n +-=+-+--+=∈⎡⎤⎣⎦N ，所以{}n a 是首项为p q +，公差为2p 的等差数列；故B 正确；若数列{}n a 为等差数列，10a >，69S S =，则96789830S S a a a a -=++==，即80a =，所以78S S =，故C 错误；若数列{}n a 为等差数列，150S >，160S <， 所以()115158151205S a a a+==>⨯，()()()1161168916160882a a a a a a S +⨯==++<=，所以80a >，890a a +<，即80a >，90a <，设等差数列{}n a 的公差为d ，所以980d a a =-<，所以等差数列{}n a 是递减数列， 所以在等差数列{}n a 中，当8n ≤且*n N ∈时0n a >，当9n ≥且*n N ∈时0n a <， 所以8n =时，n S 最大，故D 正确. 故选：BD.11．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点A ，B 距离之比是常数()0,1λλλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点()2,0A -，()2,0B ，动点M 满足MA =，则下列说法正确的是（ ）A ．点M 的轨迹围成区域的面积为32πB ．ABM 面积的最大值为C ．点M 到直线40x y -+=距离的最大值为D ．若圆()()222:11C x y r ++-=上存在满足条件的点M ，则半径r 的取值范围为【答案】ABD【分析】根据直接法求点M 的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系分别判断各选项.【详解】由题意，设点(),M x y ， 又2MA MB =， 所以()()2222222x y x y ++=⋅-+，化简可得()22632x y -+=，所以点M 的轨迹为以点()6,0N 为圆心，42为半径的圆， 所以点M 的轨迹围成的区域面积为32π，A 选项正确； 又点(),M x y 满足42,42y ⎡⎤∈-⎣⎦，所以(10,822ABMSAB y ⎤=⋅∈⎦，B 选项正确； 点()6,0N 到直线40x y -+=的距离()22604524211d -+==>+-，所以直线与圆相离，所以点M 到直线40x y -+=距离的最大值为524292+=，C 选项错误；由D 选项可知圆C 与圆N 有公共点，所以4242r CN r -≤≤+， 且()()22610152CN =++-=，即425242r r -≤≤+， 所以292r ≤≤，D 选项正确； 故选：ABD.12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为侧面11BCC B 的中心，F 是棱11C D 的中点，若点P 为线段1BD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．PE 的长最小值为12B ．PE PF ⋅的最小值为148-C ．若12BP PD =，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为98D ．若正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，则θ的值可以是23π 【答案】BCD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设1(,,)BP BD λλλλ==--，(01)λ≤≤，得(1,1,)P λλλ--，然后用空间向量法求得PE ，判断A ，求得数量积PE PF ⋅计算最小值判断B ，由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C ，结合正方体的对称性，利用1BD 是正方体的外接球直径判断D ．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则11(,1,)22E ，(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，1(0,,1)2F ，1(1,1,1)BD =--，设1(,,)BP BD λλλλ==--，(01)λ≤≤，所以(1,1,)P λλλ--，11(,,)22PE λλλ=--，(PE λ==13λ=时，min PE =，A 错；1(1,,1)2PF λλλ=---，111()(1)()()(1)222PE PF λλλλλλ⋅=--+-+--2713()1248λ=--，所以712λ=时，min 1()48PE PF ⋅=-，B 正确；12BP PD =，则P 是1BD 上靠近1D 的三等分点，112(,,)333P ，取AC 上靠近C 的三等分点G ，则12(,,0)33G ，12(0,,)33PG =-，显然PG 与平面11CDD C 的法向量(1,0,0)垂直，因此//PG 平面11CDD C ，所以截面PAC 与平面11CDD C 的交线与PG 平行，作//CM PG 交11C D 于点M ， 设(0,,1)M k ，则(0,1,1)CM k =-，由//CM PG 得21(1)33k --=，解得12k =，则M 与F 重合，因此取11A D 中点N ，易得//NF AC ，截面为ACFN ，它是等腰梯形，2AC =，22NF =，52AN CF ==，梯形的高为22225222h ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭324=， 截面面积为12329(2)2248S =+⨯=，C 正确；(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1(1,1,1)B ，(1,1,0)AC =-，1(1,1,1)BD =--，11100AC BD ⋅=-+=，1AC BD ⊥，同理11AB BD ⊥，所以1BD 是平面1ACB 的一个法向量，即1BD ⊥平面1ACB ，设垂足为1O ，则111123AO C CO B B OA π∠=∠=∠=，1BD 是正方体的外接球的直径，因此正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，至少旋转23π．D 正确． 故选：BCD ．三、填空题13．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的值为___________. 【答案】1-【分析】根据直线平行的充要条件即可求出实数m 的值. 【详解】由直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行， 得()()132012620m m m m ⎧⨯--=⎪⎨⨯--≠⎪⎩，即1m =-. 故答案为：1-.14．已知等差数列{}n a 的公差为1，且3a 是2a 和6a 的等比中项，则{}n a 前10项的和为___________. 【答案】40【分析】利用等比中项及等差数列通项公式求出首项1a ，再利用等差数列的前n 项和公式求出{}n a 前10项的和.【详解】设等差数列的首项为1a ，由已知条件得2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++，()()()2111215a a a +=++，解得112a =-，则10110910402S a d ⨯=+=. 故答案为：40.15．如图，把正方形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，则折纸后异面直线AB ，CD 所成的角为___________.【答案】π630° 【分析】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，进而DEC ∠（或其补角）是所求角，算出答案即可.【详解】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，设所求角为02πθθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，于是cos |cos |DEC θ=∠.设原正方形ABCD 边长为2，取AC 的中点O ，连接DO ,BO ，则2BO DO =,BO AC DO AC ⊥⊥，而平面ACD ⊥平面ABC ，且交于AC ，所以DO ⊥平面ABEC ，则DO OE ⊥.易得，22BE AC ==//BE AC ，而,BO AC ⊥则.BO BE ⊥于是，2210OE BO BE =+=2223DE DO OE +=在DCE 中，2DC CE ==，取DE 的中点F ，则CF DE ⊥，所以3cos FE DEC CE ∠==即3cos θ6πθ=.故答案为：6π.16．抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线()220y px p =>，一条平行于抛物线对称轴的光线从点()3,1A 向左发出，先经抛物线反射，再经直线3y x =-反射后，恰好经过点A ，则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】216y x =【分析】根据抛物线的聚焦特点，()3,1A 经过抛物线后经过抛物线焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，再经直线3y x =-反射后经过点A ，则根据反射特点，列出相关方程，解出方程即可.【详解】设光线与抛物线的交点为B ，抛物线的焦点为F ，则可得：1,12B p ⎛⎫⎪⎝⎭抛物线的焦点为：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭则直线BF 的方程为：11222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭设直线BF 与直线3y x =-的交点为M ，则有： 112223p y x p p y x ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=-⎪⎪⎝⎭⎨ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩解得：2222436,2121p p p M p p p p ⎛⎫-- ⎪+-+-⎝⎭则过点M 且垂直于3y x =-的直线的方程为： 222222436563212121p p p p p y x x p p p p p p ----=-++=-++-+-+-根据题意可知：点()3,1A 关于直线2256321p p y x p p --=-++-的对称点1A 在直线BF 上设点()122,A x y ，1AA 的中点为C ，则有： 2231,22x y C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭直线1AA 垂直于2256321p p y x p p --=-++-，则有：22113y x -=- 点C 在直线2256321p p y x p p --=-++-上，则有：2222135632221y x p p p p ++--=-++- 点1A 在直线BF 上，则有： 2211222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭化简得：()80p p -= 又0p > 故8p =故答案为：216y x =【点睛】直线关于直线对称对称，利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程，根据题意列出隐含的方程是关键 四、解答题17．已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为(1)求圆A 的方程；(2)若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)()()22124x y ++-= (2)1x =或3450x y ++=【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可. (1)不妨设圆的半径为R ，根据垂径定理，可得：()22213R =+解得：2R =则圆的方程为：()()22124x y ++-= (2)当直线l 的斜率不存在时，则有：1x = 故此时直线l 与圆相切，满足题意当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--则有：22421k d k--==+解得：34k =- ，此时直线l 的方程为：3450x y ++=综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段AB ，11B C 的中点.(1)求点F 到平面1A CE 的距离；(2)求平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值. 【答案】6 6【分析】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标，进而求出平面1A CE 的法向量和EF 的坐标，点F 到平面1A CE 的距离||||EF n d n ⋅=.计算即可求出答案. （2）由（1）知平面1A CE 的法向量，在把平面11BCC B 的法向量表示出来，平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值为cos ||||m nm n θ⋅=⋅，计算即可求出答案.(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2和E ，F 分别为线段AB ，11B C 的中点知，1(2,0,2),(2,1,0),(0,2,0),(1,2,2)A E C F =.设平面1A CE 的法向量为(,,)n x y z =.11(2,2,2),(0,1,2)AC A E =--=-.则1122200(1,2,1)200x y z n AC n y z n A E ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎩. =(1,1,2)EF -.故点F 到平面1A CE 的距离122||6||141EF n d n -++⋅===++.(2)平面11BCC B 的法向量(0,1,0)m =， 平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值26cos ||||6m n m n θ⋅===⋅19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()2,0F -，点F 到短袖的一个端点的6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，若2OA OB ⋅>-，求k 的取值范围.【答案】(1)22162x y += (2)12k >或12k <-【分析】（1）根据焦点坐标可得2c =，根据点F，然后根据222a b c =+即可；（2）先设联立直线l 与椭圆的方程，然后根据韦达定理得到A ，B 两点的坐标关系，然后根据2OA OB ⋅>-建立关于直线l 的斜率k 的不等式，解出不等式即可. (1)根据题意，已知椭圆C 的左焦点为()2,0F -，则有：2c = 点Fa =则有：b =故椭圆C 的方程为：22162x y += (2)设过点F 作斜率为k 的直线l 的方程为：()2y k x =+ 联立直线l 与椭圆C 的方程可得： ()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 则有：()222231121260k x k x k +++-=,直线l 过点F ，所以0∆>恒成立，不妨设A ，B 两点的坐标分别为：()()1122,,,A x y B x y ，则有：21221231k x x k +=-+ 212212631k x x k -=+ 又1212OA OB x x y y ⋅=+且()()2121222y y k x x =++则有：()()()()222212121212121222142OA OB x x y y x x k x x k x x k k x x ⋅=+=+++=++++将21221231k x x k +=-+，212212631k x x k -=+代入后可得：2210631k OA OB k -⋅=+ 若2OA OB ⋅>-，则有：22164031k k ->+ 解得：12k >或12k <- 20．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，112AD CD BC CF AB =====.(1)求证：EF BC ⊥；(2)点M 在线段BF （不含端点）上运动，设直线BE 与平面MAC 所成角为θ，求sin θ的取值范围.【答案】(1)证明见解析 (2)510⎝⎦【分析】（1）过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，利用正余弦定理可证AC BC ⊥，再利用线线垂足证明线面垂直，进而可得证；（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角的正弦值. (1)证明：由已知可得四边形ABCD 是等腰梯形， 过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，则21122BH -==， 在Rt BCH 中，221314CH BC BH =-=-=， 则332sin 1CBH ∠==60CBH ∠=°， 在ABC 中，由余弦定理可得，22212cos 4122132AC AB BC AB BC CBH =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥， 又CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，CF AC ∴⊥，BC CF C ⋂=，BC ，CF ⊂平面BCF ，AC ∴⊥平面BCF ， 又ACFE 为矩形，//AC EF ∴，则EF ⊥平面BCF ， 而BC ⊂平面BCF ，EF BC ∴⊥；(2)CF ⊥平面ABCD ，且AC BC ⊥，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则)A，()0,1,0B ，()0,0,1F，)E，M BF ∈，∴设()0,1,M a a -，则()0,1,CM a a =-，又()3,0,0CA =，设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =， 由()1030n CM a y az n CA x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 取y a =，得()0,,1n a a =-， 又()3,1,1BE =-，sin cos ,5BE n a BE n BE na θ⋅-∴=====⋅，()0,1a ∈，21112,1222a ⎛⎫⎡⎫∴-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，则sin θ∈⎝⎦.21．已知等差数列{}n A 的首项为2，公差为8.在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1k a ，2k a ，⋅⋅⋅，nk a ，⋅⋅⋅是从{}n a 中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，11k =，23k =，令n n b nk =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)2,()n a n n N +=∈； (2)11()3424n n n S =+-⋅ 【分析】（1）由题意在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，可知{}n a 的公差824d ==，进而可求出其通项公式； （2）根据题意可得1=23n n k a -⨯，进而得到1=3n n k -，再代入n b 中得1=3n n b n -⋅，利用错位相减即可求出前n 项和n S . (1)由于等差数列{}n A 的公差为8，在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，则{}n a 的公差824d ==，{}n a 的首项和{}n A 首项相同为2，则数列{}n a 的通项公式为22(1)2,()n a n n n N +=+-=∈. (2)由于1k a ，2k a 是等比数列的前两项，且11k =，23k =，则132,6a a ==，则等比数列的公比为3， 则1=23n n k a -⨯，即112=23=3n n n n k k --⨯⨯⇒，1=3n n n b nk n -=⋅.01221132333(1)33n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯①.12313132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②.①减去②得11213(13)1121333313()31322n n nn n n S n n n --⨯--=++++-⋅=+-⋅=-+-⋅-.11()3424n n n S ∴=+-⋅. 22．已知圆()22:24F x y -+=，点()2,0E -，点G 是圆F 上任意一点，线段EG 的垂直平分线交直线FG 于点T ，点T 的轨迹记为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 上一点()()002,0M y y >，动圆()()222:20N x y r r -+=>，且点M 在圆N外，过点M 作圆N 的两条切线分别交曲线C 于点A ，B . （i ）求证：直线AB 的斜率为定值；（ii ）若直线AB 与2x =交于点Q ，且2BQM AQM S S =△△时，求直线AB 的方程. 【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）答案见解析（ii ）4623310x y ++=或2211130x y +-=【分析】（1）通过几何关系可知2ET TF -=，且42EF =>,由此可知点T 的轨迹是以点E 、F 为焦点，且实轴长为2的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；（2）（i ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及0MA MB k k +=求出()()2230k k m ++-=，即得到直线AB 的斜率为定值；（ii ）由（i ）可知124x x m +=，由已知可得122122AQM BQMS x S x -==-△△，联立方程即可求出1x ，2x 的值，代入2123x x m =+即可求出m 的值，即可得到直线方程.(1)由题意可知2ET TF TG TF FG -=-==, ∵4EF ==,且2EF >,∴根据双曲线的定义可知，点T 的轨迹是以点E 、F 为焦点，且实轴长为2的双曲线， 即1a =，2c =，2223b c a =-=， 则点T 的轨迹方程为2213y x -=； (2)（i ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+， 联立2213y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()2223230k x kmx m ----=， 其中230k -≠，且()()22224433k m k m ∆=+-+()221230m k =-+>，12223km x x k +=-，212233m x x k+=--， ∵曲线C 上一点()()002,0M y y >，∴()2,3M ，由已知条件得直线MA 和直线MB 关于2x =对称，则0MA MB k k +=， 即121222033x x y y --+=--，整理得()()()()121223320x y y x --+--=， ()()()()121223320x kx m kx m x -+-++--=()()()1212223430kx x m k x x m +--+--=， ()()()2222322343033k m km m k m k k +---+--=--，()()221230k m k m +++-=，即()()2230k k m ++-=， 则2k =-或32m k =-，当32m k =-，直线方程为()3223y kx k k x =+-=-+，此直线过定点()2,3，应舍去， 故直线AB 的斜率为定值2-.（ii ）由（i ）可知124x x m +=，2123x x m =+由已知得12AQM BQMS S =△△，即122122AQM BQM S x S x -==-△△， 当122122x x -=-时，2122x x =-， 1211224x x x x m +=+-=，即1423m x +=，2823m x -=， 2124282333m m x x m +-=⋅=+，解得1m =或3123m =-， 但是当1m =时，0∆=，故应舍去，当3123m =-时，直线方程为4623310x y ++=， 当122122x x -=--时，2162x x =-，即164x m =-，286x m =-， ()()21264863x x m m m =--=+，解得1m =（舍去）或1311m =， 当1311m =时，直线方程为2211130x y +-=,故直线AB 的方程为4623310x y ++=或2211130x y +-=.。
淮南市2024年数学六年级第一学期期末调研试题含解析
淮南市2024年数学六年级第一学期期末调研试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、认真填一填。
(每小题2分，共20分）1．5.2升=（____________）立方分米 4.1千克=（____________）克2．用一根长12.56米的绳子围成一个圆，这个圆的半径是（______）米，它的面积是（___________）平方米．3．四个连续自然数的积为1680，则这四个自然数中最小的1个数是____.4．一个数的13是1.2，这个数是_____。
5．把5米长的钢筋锯成一样长的6段，每段占全长的________，每段长________米。
如果锯一次需要2分钟，一共需要________分钟。
6．一种商品现价是原价的70%，表示降价了（____）．一项工程，甲单独修要10天完成，乙单独修要15天完成，两队合修3天能完成了这项工程的（____）．7．第19届亚运会将于2022年在中国杭州举行。
作为亚运会主场馆的杭州奥体博览核心区占地1543700平方米，合（________）公顷。
核心区建筑总面积约2700000平方米，改写成用“万平方米”作单位的数是（________）万平方米。
8．把33，51，65，77，85，91六个数分为两组，每组三个数，使两组的积相等，则这两组数之差为______．9．六（1）班今天缺勤2人，出勤48人，六（1）班这一天的缺勤率为（______）。
10．将圆形纸片沿直线滚动一圈，测得经过的长度是15.7厘米，这个圆的直径是________厘米。
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2022届山东省济南市高二第二学期数学期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数，若有8个不相等的实数根，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．2．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A ．B ．C ．D ．3．在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．26A =A ．30B ．24C ．20D ．155．设0.213121log 3,,53a b c⎛⎫⎪⎝⎭===,则（ ）A ．a b c <<B ． a c b <<C ． c a b <<D ． b a c <<6．设x ∈R ，则“213x -≤”是“10x +≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为（ ） A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角 8．已知()()31303f x x xf '=+，则()1f '的值为（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．39．已知二次函数2()f x x ax b =--在区间[1,1]-内有两个零点，则22H a b =+的取值范围为（ ） A ．(0,2]B．C ．(0,1]D．(10．乘积()()()()()12...1920m m m m m m N +++++∈可表示为（ ） A ．2120m A +B ．21m AC ．01±（，）D ．20m A11．一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ） A ．12种B ．15种C ．17种D ．19种12．若函数()()3log (0,1)a f x x ax a a =->≠在区间1,02⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递增，则a 的取值范围是 A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D ．91,4⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．曲线()ln f x x x =在x e =（其中e 为自然对数的底数）处的切线方程为______． 14．若复数z 满足2z =，则33z z ++-的取值范围是______．15．若nx ⎛+ ⎝的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于____________.16．在ABC V 中，是,,a b c 角A ，B ，C 的对边，己知,73A a π==，现有以下判断：①ABC V 的外接圆面积是493π；②cos cos 7b C c B +=；③b c +可能等于16；④作A 关于BC 的对称点A '，则||AA '的最大值是请将所有正确的判断序号填在横线上________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知二项式n的展开式的第7项为常数项 （1）求n 的值；（2）求()12324...2n nn n nn C C C --+++-的值 18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，122BC CD AB ===，∠ABC=∠BCD=90°，E 为PB 的中点．（1）证明：CE ∥面PAD.（2）若直线CE 与底面ABCD 所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD 的体积． 19．（6分）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.20．（6分）设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 21．（6分）设函数()()21mxg x x emx =--，()()(2)mx f x g x x e =+-，(其中m R ∈).（1）1m =时,求函数()g x 的极值;（2）证：存在(0,1)m ∈，使得()0f x ≥在(0,)+∞内恒成立，且方程()0f x =在(0,)+∞内有唯一解. 22．（8分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上无解，求实数的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】【分析】方程有8个不相等的实数根指存在8个不同的值；根据函数的图象，可知方程必存在2个大于1的不等实根.【详解】，函数为偶函数，利用导数可画出其函数图象（如图所示），若有8个不相等的实数根关于的二次方程必有两个大于1的不等实根，.【点睛】与复合函数有关的函数或方程问题，要会运用整体思想看问题；本题就是把所求方程看成是关于的一元二次方程，再利用二次函数根的分布求的范围.2．C【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a ，a,0)，F(a,0,0)，＝(a ，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a ，－a ，0)，＝(0,0,2a)，设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)， 由⇒⇒⇒n 1＝(1，－1,1)．sinθ＝＝＝.3．A 【解析】试题分析：若1d >，则n N *∀∈，110n n a a d +-=>>，所以，{}n a 是递增数列；若{}n a 是递增数列，则n N *∀∈，10n n a a d +-=>，推不出1d >，则“1d >”是“{}n a 是递增数列”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件的判定. 4．A 【解析】 【分析】根据公式：()()A A 1...1A n m nnm mn n n m ==⨯-⨯⨯-+计算即可.【详解】因为266530A =⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查排列数的计算，难度较易.5．A 【解析】 【分析】利用中间值0、1比较大小，即先利用确定三个数的正负，再将正数与1比较大小，可得出三个数的大小关系． 【详解】由于函数12log y x =在定义域上是减函数，则1122log 3log 10a =<=，且0.2103b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，1350c =>，由于函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上是减函数，则0.211133b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数5xy =在定义域上是增函数，则103551c =>=，因此，a b c <<，故选A. 【点睛】本题考查指对数混合比大小，常用方法就是利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来建立桥梁来比较各数的大小关系，属于常考题，考查分析问题的能力，属于中等题． 6．A 【解析】 【分析】首先解这两个不等式，然后判断由题设能不能推出结论和由结论能不能推出题设，进而可以判断出正确的选项. 【详解】213x -≤12x ⇒-≤≤，10x +≥ 1x ⇒≥-，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“213x -≤”是“10x +≥”的充分不必要条件，故本题选A. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判断，解决本问题的关键是正确求出不等式的解集. 7．C【解析】04sin )4(>-='=f k Θ,∴函数f(x)的图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为锐角。
8．B 【解析】 【分析】根据导函数求得()0f '，从而得到()2f x x '=，代入1x =得到结果.【详解】由题意：()()230f x x f ''=+，则()()0030f f ''=+解得：()00f '= ()2f x x '∴=()11f '∴=本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解问题，关键是能够通过导函数求得()0f '，从而确定导函数的解析式. 9．A 【解析】 【分析】先求出二次函数2()f x x ax b =--在区间[1,1]-内有两个零点，所需要的条件，然后再平面直角坐标系内，画出可行解域，然后分析得出22H a b =+的取值范围. 【详解】因为二次函数2()f x x ax b =--在区间[1,1]-内有两个零点，所以有：2(1)010(1)010*********f a b f a b a aa b ≥+-⎧⎧⎪⎪-≥--⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-<-<-<-<⎪⎪⎪⎪∆>+>⎪⎪⎩⎩……，对应的平面区域为下图所示：则令2211120102222m a b b a m m m =+∴=-+∴<≤∴<≤，则22H a b =+的取值范围为(0,2]，故本题选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程零点分布问题，正确画出可行解域是解题的关键. 10．A【解析】 【分析】根据对排列公式的认识，进行分析，解答即可 【详解】Q 最大数为20m +，∴共有21个自然数连续相乘根据排列公式可得()()()()212012...1920m m m m m m A +++++=故选A 【点睛】本题是一道比较基础的题型，主要考查的是排列与组合的理解，掌握排列数的公式是解题的关键 11．D 【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有132212C ⨯⨯=取法；第二类，有两次取到3号球，共有2326C ⨯=取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理. 12．B 【解析】 【分析】 【详解】设()()3,0g x x ax g x =->,得())x ∈⋃+∞，且：()23g x x a '=-,x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,函数()g x 递减，x ⎛∈ ⎝或)x ∈+∞时,()g x 递增．结合复合函数的单调性：当a>1时,减区间为⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，不合题意，当0<a<1时, ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为增区间.∴12-≥3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选：B. 【点睛】复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f[g(x)]，若t ＝g(x)在区间(a ，b)上是单调函数，且y ＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t ＝g(x)与y ＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f[g(x)]为增函数；若t ＝g(x)与y ＝f(t)的单调性相反，则y ＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2y x e =- 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到f '（e ），再求出f （e ）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程． 【详解】由()f x xlnx =，得()1f x lnx '=+， f ∴'（e ）12lne =+=．即曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线的斜率为2， 又f （e ）elne e ==．∴曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线方程为2()y e x e -=-，即2y x e =-． 故答案为：2y x e =- 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．14．⎡⎣【解析】 【分析】根据复数z 的模2z =的几何意义，结合33z z ++-的几何意义，设出圆上任意一点坐标，利用两点间距离公式列式，化简求得33z z ++-的取值范围. 【详解】由于复数z 满足2z =，故复数z 对应的点在圆心为原点，半径为2的圆上，设圆上任意一点的坐标为()[)2cos ,2sin ,0,2πθθθ∈.33z z ++-表示圆上的点到()3,0和()3,0-两点距离之和，即=①式平方得26+[]2cos0,1θ∈，所以[]2169144cos 25,169θ-∈，所以[]5,13，所以[]2636,52+，所以⎡⎣.故答案为：⎡⎣.【点睛】本小题主要考查复数模的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题. 15．1516【解析】 【分析】根据题意先计算6n =，再用展开式的通项公式计算常数项. 【详解】若nx ⎛+ ⎝的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等.246n n C C n =⇒=36621661(2)r rrr rr r T C xC x--+== 当4r =时为常数项，为1516故答案为：1516【点睛】本题考查了二项式的计算，先判断6n =是解题的关键. 16．①②④ 【解析】 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个命题的真假． 【详解】①设ABC V 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得3R =，所以ABC V 的外接圆面积是2493S R ππ==，故①正确． ②根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故②正确．③22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()23B B B π=+=+14b c ∴+≤，故③错误．④设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc A d a=，再根据①中的结论，可得d = 综上，答案为①②④． 【点睛】本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17． (1) 10n =. (2)0. 【解析】 【分析】 【详解】分析：（1）利用二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为零，即可求出n 的值；（2）结合（1）()12324...2n nn n nn C C C --+++-化为()()()()()12310100123101010101010222 (21)121=022C C C C C +-+-+-++----=--.详解：（1）二项式通式1rn rr r nT C -+⎛= ⎝()5262n r r r n C x-=- 因为第7项为常数项， 所以56026n ⨯-=， 解得10n = （2）因为10n =，所以()122224...2n n n nn C C C --+++- ()923101010101024...2C C C =-+++- ()()()()123101231010101010222 (22)C C C C -+-+-++-=-()()()()123100123101010101010222 (21)2C C C C C +-+-+-++--=-当1x =时，()()()10122121010101222C C C -=+-+- ()()31031010102...2C C +-++- 所以原式()10121=02--=-点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及二项式的应用，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 18．（1）见解析（2）42 【解析】 【分析】（1）取PA 中点Q ，连接QD ，QE ，可证四边形CDQE 为平行四边形，从而CE ∥QD ，于是证得线面平行； （2）连接BD ，取BD 中点O ，连接EO ，CO ，可证EO ∥PD ，从而得到直线CE 与底面ABCD 所成的角，求得EO 也即能求得PD ，最终可得棱锥体积． 【详解】解法一:(1)取PA 中点Q ，连接QD ，QE ，则QE ∥AB ，且QE=12AB ∴QE ∥CD ，且QE=CD.即四边形CDQE 为平行四边形，CE ∥QD. 又∵CE ⊄平面PAD ，QD ⊂平面PAD ， ∴CE ∥平面PAD.(2)连接BD ，取BD 中点O ，连接EO ，CO 则EO ∥PD ，且EO=12PD. ∵PD ⊥平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD. 则CO 为CE 在平面ABCD 上的射影，即∠ECO 为直线CE 与底面ABCD 所成的角，∠ECO=45° 在等腰直角三角形BCD 中，BC=CD=2，则2， 则在Rt ΔECO 中，∠ECO=45°，EO=CO=122 2，∴1(24)262ABCD S =+⨯=底面 ∴116224233P ABCDABCD V S -==⨯⨯=底面 ∴四棱锥P-ABCD 的体积为42. 解法二：(1)取AB 中点Q ，连接QC ，QE则QE ∥PA∵PA ⊂平面PAD ，QE ⊄平面PAD∴QE ∥平面PAD ， 又∵AQ=12AB=CD ，AQ ∥CD ， ∴四边形AQCD カ平行四迹形， 则CQ ∥DA∵DA ⊂平面PAD ，CQ ⊄平面PAD ，∴CQ ∥平面PAD ， (QE ∥平面PAD.CQ ∥平面PAD ，证明其中一个即给2分) 又QE ⊂平面CEQ ，CQ ⊂平面CEQ ，QE I CQ=Q ，∴平面CEQ ∥平面PAD ， 又CE ⊂平面CQ ，∴CE ∥平面PAD. (2)同解法一. 【点睛】本题考查线面平行的判定，考查棱锥的体积，考查直线与平面所成的角．涉及到直线与平面所成的角，必须先证垂直（或射影），然后才有直线与平面所成的角． 19．（1）见解析；（2）77【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，设1AD CD BC ===，题意求得2AB =,再由余弦定理求得23AB =,满足222AB AC BC =+,得则BC AC ⊥.再由CF ⊥平面ABCD 得AC CF ⊥，由线面垂直的判定可.进一步得到AC 丄平面BCF ;（Ⅱ）分别以直线,,CA CB CF 为:x 轴，y 轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD CF === ,令FM λ=()3λ≤≤得到,,,C A B M 的坐标，求出平面MAB 的一法向量.由题意可得平面的FCD 一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ0=时，有最小值为7,此时点M 与点F 重合.试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===， 又∵23BCD π∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥. ∵CF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥,而CF BC C =I ,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF . （Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD BC CD ====，令(03FM λλ=≤≤， 则())()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,,0,1C AB M λ，∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-u u u v u u u u v 设(),,n x y z =v为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v 得300x y x y z λ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()3,3n λ=v，∵()1,0,0m =v是平面FCB 的一个法向量，∴()()22cos ,133134n m n m n mλλ⋅===++-⨯-+v vv v v v ∵03λ≤≤0λ=时，cos θ7， ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二面角的余弦值为77.20． (1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】 【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 21． (1) ()2(ln 2)ln 22ln 22g x g ==+-极小；()(0)1g x g ==-极大;(2)见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （Ⅱ）求出f （x ）的导数，通过讨论m 的范围，求出f （x ）的单调区间，求出满足条件的m 的范围，从而证出结论即可． 【详解】解：（I ）当1m =时, ()()21xg x x e x =--,()()()'1222xxxxg x e x e x xe x x e =+--=-=-令()'0g x =,得10x =,2ln2x =,当x 变化时,()()',g x g x 的变化如下表:由表可知,()()2ln2ln 22ln22g x g ==+-极小；()()01g x g ==-极大； （II ）设0m >，()2mxf x e mx =-，()010f =>，若()0f x =要有解，需()f x 有单减区间，则()'0f x <要有解()()'22mx mx f x me mx m e x =-=-，由0m >，()'00f m =>，记()''f x 为函数()'f x 的导数则()''f x = ()2mxm me-，当0m >时()''f x 单增，令()''0f x =，由0m >，得012ln x m m=，需考察0x 与区间()0,+∞的关系：①当2m ≥时，2ln0m≤，00x <，在()0,+∞上()()0''''0f x f x >=，()'f x 单增，()()''00f x f m >=>故()f x 单增，()()01f x f >=，()0f x =无解； ②当2m <，时，2ln0m >，012ln 0x m m=>，因为()''f x 单增，在()00,x 上()''0f x <，在()0,x +∞上()''0f x >当0x x =时，()()0min ''f x f x =12ln 12222222ln ln 22ln 21ln m m mm e m m m m m m m m ⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（i ）若21ln0m -≥，即22m e ≤<时，()min '0f x ≥，()f x 单增，()()01f x f >=，()0f x =无解； （ii ）若21ln 0m -<，即2m e<，()()0min ''0f x f x =<，在()00,x 上，()''0f x <，()'f x 单减；()'00f m =>，()0'0f x <，()'0f x =在区间()00,x 上有唯一解，记为1x ；在()0,x +∞上，()()''0,'f x f x >单增 ，()0'0f x <，当x →+∞时()'f x →+∞，故()'0f x =在区间()0,x +∞上有唯一解，记为2x ，则在()10,x 上()'0f x >，在()12,x x 上()'0f x <，在()2,x +∞上()'0f x >，当2x x =时，()f x 取得最小值()2f x ，此时20m e<<若要()0f x ≥恒成立且()0f x =有唯一解，当且仅当()20f x =，即2220mx emx -=，由()2'0f x =有2220mx e x -=联立两式22222020mx mx e mx e x ⎧-=⎨-=⎩解得22x m =.综上，当20m e <<时，()()20f x f x ≥=【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、函数恒成立问题，是一道综合题．22．（1）; （2）.【解析】试题分析：（1）将的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最后对各个解集求并集得出原不等式的解集；（2）在上无解相当于，从而得到关于的一元二次不等式，解得的范围.试题解析：（1）由题意得.则原不等式转化为或或.原不等式的解集为.（2）由题得，由（1）知，在上的最大值为，即，解得或，即的取值范围为.。