山东省聊城市2015届高考数学二模试卷文(含解析)

2015年山东省聊城市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（1，2）3．下列函数中，满足f（xy）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣x﹣1C．f（x）=log2x D．f（x）=2x4．已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l∥α，其中正确命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．05．函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．6．利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的户数为（）A．46 B．48 C．50 D．527．已知函数则=（）A．B．1 C．D．﹣18．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1或﹣1 D．19．a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去a2，得到的数列a1，a3，a4是等比数列，则的值为（）A．1 B．﹣4 C．﹣1 D．410．已知M是△ABC内一点，且，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，则xy的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．△ABC中，已知，则cosC= ．12．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为．13．执行如图所示的程序框图，若输入的T=1，a=2，则输出的T的值为．14．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．15．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ），（M＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）= ．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）16．一个小商店从某食品有限公司购进10袋白糖，称池内各袋白糖的重量（单位：g），如茎叶图所示，其中有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知这些白糖重量的平均数为497g，求污损处的数据a；（Ⅱ）现从重量不低于498g的所购各袋白糖中随机抽取2袋，求重量是508g的那袋被抽中的概率．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=，a=bcosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使PC=2，过点P作PM⊥CA于M，PN⊥CD于N，设线段PM，PN的长分别为m，n，∠PCM=x，且，求f（x）=mn的最大值及相应x的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°PA=PD=AD=2BC=2，，Q是AD的中点．（Ⅰ）求证：平面PQ⊥底面ABCD；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PBD的体积．19．在公比为2的等比数列{a n}中，a2+1是a1与a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{a n}前n项的和为S n，若数列{b n}满足b n=a n log2（S n+2），试求数列{b n}前n项的和T n．20．已知函数f（x）=alnx+．．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上不具有单调性，求a的取值范围．21．已知椭圆E的中心在坐标原点O，它的长轴长，短轴长分别为，右焦点F（c，0），直线l：cx﹣a2=0与x轴相交于点，过点A的直线m与椭圆E交于P，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若，求直线m的方程；（Ⅲ）过点P且平行于直线l的直线与椭圆E相交于另一点M，求证：Q，F，M三点共线．2015年山东省聊城市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．【解答】解：由=，∴z在复平面内对应的点的坐标为（），在第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（1，2）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），由B中y=lnx，得到x＞0，即B=（0，+∞），则A∩B=（0，3），故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．下列函数中，满足f（xy）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣x﹣1C．f（x）=log2x D．f（x）=2x【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据抽象函数的关系式分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x）f（y）=x3y3=（xy）3=f（xy），且函数f（x）为增函数，满足条件．B．f（x）f（y）=﹣x﹣1（﹣y﹣1）=（xy）﹣1，f（xy）=﹣（xy）﹣1，则f（xy）=f（x）f（y）不成立．C．f（xy）=log2xy=log2x+log2y=f（x）+f（y），则f（xy）=f（x）f（y）不成立．D．f（xy）═2xy，f（x）f（y）=2x+2y，f（xy）=f（x）f（y）不成立．故选：A【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据条件进行验证是解决本题的关键．比较基础．4．已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l∥α，其中正确命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答．【解答】解：对于①，若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α与β可能相交；故①错误；对于②，若l⊂α，l∥β，α∩β=m，满足线面平行的性质定理，故l∥m；故②正确；对于③，若α⊥β，l⊥β，如果l⊂α，则l⊥α；故③错误；故选C．【点评】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答．5．函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．6．利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的户数为（）A．46 B．48 C．50 D．52【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可．【解答】解：这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的频率为1﹣（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）×50=0.52∴用电量落在区间[150，250]内的户数为100×0.52=52．故选：D．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．7．已知函数则=（）A．B．1 C．D．﹣1【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可．【解答】解：∵＜1，∴=f（）=f（2×）=f（）=log2=，故选：C【点评】本题主要考查函数值的计算，比较基础．8．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1或﹣1 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．9．a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去a2，得到的数列a1，a3，a4是等比数列，则的值为（）A．1 B．﹣4 C．﹣1 D．4【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用等比中项的性质，得a32=a1•a4，进而求得a1和d的关系，即可得出结论．【解答】解：若a1、a3、a4成等比数列，则a32=a1•a4∴（a1+2d）2=a1（a1+3d）∴a12+4a1d+4d2=a12+3a1d∴4d2=﹣a1d∵d≠0∴4d=﹣a1则=﹣4故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了等差数列通项公式和等比中项的性质的灵活运用．10．已知M是△ABC内一点，且，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，则xy的最大值是（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义；基本不等式．【专题】平面向量及应用．【分析】根据条件可得到，从而可求出三角形ABC的面积为，从而可得到，根据基本不等式即可求出xy的最大值．【解答】解：；∴；∴；∴；x＞0，y＞0，∴；∴，当时取“=”．故选：B．【点评】考查数量积的计算公式，三角形的面积公式，以及基本不等式求最值．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．△ABC中，已知，则cosC= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】先根据条件判断A 、B 都是锐角，利用同角三角函数的基本关系求出cosA 和sinB 的值，由cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosA cosB+sinA sinB 运算求得结果．【解答】解：△ABC 中，已知，则sinB=，且B 为锐角； 则有sinB ＞sinA ，则B ＞A ； 故A 、B 都是锐角，且cosA=，sinB=，则cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosA cosB+sinA sinB=﹣+=，故答案为．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，求出cosA 和sinB 的值，是解题的关键．12．已知双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的焦点坐标，得到双曲线的右焦点为F （4，0），得a 2+b 2=16，结合双曲线的离心率为2解出a 、b 之值，即可算出双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵抛物线y 2=16x 的焦点为F （4，0），∴双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （4，0），可得a 2+b 2=c 2=16， 又∵双曲线的离心率为2，∴，得a==2，从而得出b==2，∴双曲线的渐近线方程为y=，即y=．故答案为：y=【点评】本题给出双曲线与已知抛物线有相同焦点，在已知双曲线的离心率的情况下求其渐近线方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．13．执行如图所示的程序框图，若输入的T=1，a=2，则输出的T的值为 3 ．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的T，a的值，当a=8时不满足条件a≤6，退出循环，输出T的值，由换底公式计算即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得T=1，a=2T=，a=4满足条件a≤6，T=•，a=6满足条件a≤6，T=••，a=8不满足条件a≤6，退出循环，输出T的值，由于T=••==3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了换底公式的应用，属于基础题．14．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，利用几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：集合构成的平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为=．答案为：．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，确定区域面积是关键，属于中档题．15．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ），（M＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）= 2 ．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】首先利用函数的图象确定函数的最大值，进一步利用两点间的距离求出函数的周期，进一步利用f（0）=1，求出φ的值最后确定函数的解析式，最后求出结果．【解答】2解：已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，所以：M=2，根据函数的图象，设A（x1，2），B（x2，﹣2），则：所以：|x1﹣x2|=3，所以函数的周期为6，所以：，解得：ω=，由于：f（0）=1，所以：f（0）=2sinφ=1又，所以：φ=，所以：f（x）=2sin，则：f（﹣1）=，故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：利用函数的图象求函数的解析式，及利用函数的解析式求函数的值，主要考查学生的应用能力．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）16．一个小商店从某食品有限公司购进10袋白糖，称池内各袋白糖的重量（单位：g），如茎叶图所示，其中有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知这些白糖重量的平均数为497g，求污损处的数据a；（Ⅱ）现从重量不低于498g的所购各袋白糖中随机抽取2袋，求重量是508g的那袋被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图和平均数即可求出a的值；（Ⅱ）设“重量是508g的那袋被抽中”为事件A，一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为这些这些白糖重量的平均数为497g，所以= [488+489+492+（490+a）+489+499+502+504+508]=497，解得a=7，所以污损处的数据是7；（Ⅱ）设“重量是508g的那袋被抽中”为事件A，从重量不低于498g的所购各袋白糖中随机抽取2袋，有{498，499}，（498，502}，{498，504}，{498，508}，{499，502}，{499，504}，{499，508}，{502，504}，{502，508}，{504，508}，共10个基本事件其中事件A包含4个基本事件，{498，508}，{499，508}，{502，508}，{504，508}，∴P（A）==，所以重量是508g的那袋被抽中的概率【点评】本题考查了茎叶图的知识，和古典概型概率的问题，属于基础题．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=，a=bcosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）如图，在△ABC的外角∠A CD内取一点P，使PC=2，过点P作PM⊥CA于M，PN⊥CD于N，设线段PM，PN的长分别为m，n，∠PCM=x，且，求f（x）=mn的最大值及相应x的值．【考点】三角形中的几何计算；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）用正弦定理把a=bcosC化为sinA=sinBcosC，再用三角形的内角和定理与三角恒等变换，求出C的值；（Ⅱ）根据直角三角形中的边角关系，求出m、n，写出f（x）的解析式，利用三角函数求出f（x）的最大值以及对应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，A=，a=bcosC，∴sinA=sinBcosC，即sin（B+C）=sinBcosC，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，∴cosBsinC=0；又B、C∈（0，π），∴sinC≠0，cosB=0，∴B=，C=；（Ⅱ）△ABC的外角∠ACD=π﹣=，PC=2，且PM⊥CA，PN⊥CD，PM=m，PN=n，∠PCM=x，；∴m=2sinx，n=2sin（﹣x），∴f（x）=mn=4sinxsin（﹣x）=4sinx（sin cosx﹣cos sinx）=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+（1﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1；∵＜x＜，∴＜2x＜π，∴＜2x﹣＜，∴sin（2x﹣）≤1，∴f（x）≤2+1=3，当2x﹣=，即x=时，f（x）取得最大值3．【点评】本题考查了三角形中的边角关系的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°PA=PD=AD=2BC=2，，Q是AD的中点．（Ⅰ）求证：平面PQ⊥底面ABCD；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PBD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）由PA=PD=AD=2，Q是AD的中点．可得PQ⊥AD，PQ=．连接QB，由底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=QD，可得四边形BCDQ是矩形，BQ=．利用勾股定理的逆定理可得：PQ⊥QB，即可证明．（II）由（I）可得：PQ⊥底面ABCD；可得：PQ是三棱锥P﹣BCD的底面BCD上的高．利用V C﹣PBD=V P﹣BCD=即可得出．【解答】（I）证明：∵PA=PD=AD=2，Q是AD的中点．∴PQ⊥AD，PQ=．连接QB，∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=QD，∴四边形BCDQ是矩形，∴BQ⊥AD，BQ=．∴PQ2+QB2=PB2，∴PQ⊥QB，又AD∩QB=Q，∴PQ⊥底面ABCD；（II）解：由（I）可得：PQ⊥底面ABCD；∴PQ是三棱锥P﹣BCD的底面BCD上的高．S△BCD===，∴V C﹣PBD=V P﹣BCD===．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、正三角形的性质、勾股定理的逆定理、矩形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．在公比为2的等比数列{a n}中，a2+1是a1与a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{a n}前n项的和为S n，若数列{b n}满足b n=a n log2（S n+2），试求数列{b n}前n 项的和T n．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）由a2+1是a1与a2的等差中项，可得2（a2+1）=a1+a3，解得a1=2．利用等比数列的通项公式即可得出a n．（II）由S n=，可得b n=（n+1）•2n，再利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵a2+1是a1与a2的等差中项，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1+4a1，解得a1=2．∴a n=2n．（II）S n==2n+1﹣2，∴b n=a n log2（S n+2）=（n+1）•2n，∴T n=2×2+3×22+…+（n+1）×2n，2T n=2×22+3×23+…+n×2n+（n+1）×2n+1，∴﹣T n=4+22+23+…+2n﹣（n+1）×2n+1=2+﹣（n+1）×2n+1=﹣n•2n+1，∴T n=n•2n+1．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=alnx+．．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上不具有单调性，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）当a=2时，求出f′（x）的解析式，令f′（x）=0，求得x的值，再利用导数的符号确定函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由题意可得，f′（x）=0在（1，2）上有实数根，且在此根的两侧附近，f′（x）异号．由f′（x）=0求得根的值，可得a的取值范围【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=alnx+•x2﹣（1+a）x 的定义域为（0，+∞），f′（x）=+x﹣（1+2）=令f′（x）=0，求得x=1，或 x=2．在（0，1）、（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；在（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上不具有单调性，则f′（x）=+x﹣1﹣a=0在（1，2）上有实数根，且在此根的两侧附近，f′（x）异号．由f′（x）=0求得x=1或x=a，∴1＜a＜2，故a的取值范围为（1，2）．【点评】本题主要考查求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．21．已知椭圆E的中心在坐标原点O，它的长轴长，短轴长分别为，右焦点F（c，0），直线l：cx﹣a2=0与x轴相交于点，过点A的直线m与椭圆E交于P，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若，求直线m的方程；（Ⅲ）过点P且平行于直线l的直线与椭圆E相交于另一点M，求证：Q，F，M三点共线．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为（a＞），由已知解得a=，c=2，可得椭圆的方程；（Ⅱ）由（Ⅱ）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），代入椭圆方程得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0．依题意△=12（2﹣3k2）＞0，得k的范围．设P（x1，y1），Q（x2，y2），然后由根与系数的位置关系可知直线PQ的方程；（Ⅲ）运用向量的共线的坐标运算和韦达定理，计算化简即可得证．【解答】（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为（a＞），由已知得，解得a=，c=2，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），代入椭圆方程得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，依题意△=12（2﹣3k2）＞0，得﹣＜k＜，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则x1+x2=①x1x2=②由直线PQ的方程得y1=k（x1﹣3），y2=k（x2﹣3）于是y1y2=k2（x1﹣3）（x2﹣3）=k2[x1x2﹣3（x1+x2）+9]③因为，所以x1x2+y1y2=0④由①②③④得5k2=1，从而k=±，所以直线m的方程为x﹣y﹣3=0或x+y﹣3=0；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知x1+x2=，x1x2=，设=λ（λ＞1），即有（x1﹣3，y1）=λ（x2﹣3，y2）即x1﹣3=λ（x2﹣3），y1=λy2，设M（x1，y0），即有x12+3y02=6，即有y0=﹣y1，F（2，0），=（x1﹣2，﹣y1），=（x2﹣2，y2），即有y1+λy2=0，由于λ=， +=0等价为2x1x2+12﹣5（x1+x2）=0，由韦达定理代入可得2•+12﹣5•=0，则有（x1﹣2）+λ（x2﹣2）=0，故有=﹣λ，所以Q，F，M三点共线．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理，同时考查向量的共线的坐标运算，属于中档题．。