广东省执信中学2013-2014学年高二下学期期中文科数学试卷(带解析)

广东省执信中学2013-2014学年高二下学期期中文科数学试卷（带解析）1．已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}1,3,5,A =则U C A =( ) A.{}2,4 B.{}1,3,5 C.{}1,2,3,4,5 D.∅ 【答案】A 【解析】试题分析：因为全集{}1,2,3,4,5U =,对于 集合{}1,3,5,A ={}2,4U C A = 考点：全集与补集2．已知复数1z i =-，则21z z =-（ ）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i - 【答案】A 【解析】试题分析：由题意22(1)22111z i iz i i--===----考点：复数的运算3．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 【答案】B 【解析】试题分析：由题意()ln f x x x =，则()(ln )ln 1f x x x x ''==+，故由题0000()ln 12ln 1f x x x x e '=+=⇒=⇒=考点：导数及其运算4．“3πα=”是“sin α=”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由sin 3παα=⇒=sin α=不一定得到3πα=，故“3πα=”是“sin α=”的充分不必要条件。

选B 考点：充要条件5．命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是( )A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0B ．x ∃∈R ，2210x x -+>C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0D ．x ∀∈R ，2210x x -+< 【答案】C 【解析】试题分析：“x ∃∈R ”的否定是“x ∀∈R ”，“ 2210x x -+<”的否定是“221x x -+≥0”.故命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是x ∀∈R ，221x x -+≥0 考点：命题的否定6．若点(),P x y 满足线性约束条件202200x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】D 【解析】试题分析：由4z x y =+得4y x z =-+，画出202200x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的可行域如图，联立20220x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，平移直线4y x =-，由图可知，使4z x y =+取得最大值的最优解为24B 33（，）．4z x y ∴=+的最大值为244433⨯+＝．考点：简单的线性规划问题7．已知,a b R ∈且b a >，则下列不等式中成立的是( )A ．1>b aB ．22b a >C ．()0lg >-b a D.ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121【答案】D【解析】试题分析：A ．当0,0.a b a b <<>时1ab>不成立，同理B ．22b a > 、 C ．()0lg >-b a 也不成立，由指数函数的单调性， D.ba⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121成立考点：不等式，指数函数的单调性8．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．16 B ．13 C ．12 D【答案】A 【解析】试题分析：由三视图，该几何体为底面为等腰直角三角形、高为1的直三棱柱，其体积为111111326V =⋅⋅⋅⋅=考点：三视图，柱体的体积9．定义：||||||sin a b a b θ⨯=，其中θ为向量a 与b 的夹角，若||2a =，||5b =，6a b ⋅=-，则||a b ⨯ 等于 （ ）A ．8-B ．8C ．8-或8D ．6 【答案】B 【解析】主视图侧视图俯视图试题分析：由题意，345,6,6,cos sin 55a ba b a b a bθθ⋅==⋅=-∴==-⇒=⋅，故sin 8a b a b θ⨯=⋅=考点：向量的夹角的计算10．函数)(x f 是R 上的可导函数,0x ≠时，()()0f x f x x '+>，则函数1()()g x f x x=+的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】D 【解析】， 试题分析：0x ≠时，()()()()0,0f x x f x f x f x x x '⋅+'+>∴>，则讨论1()0f x x+=的根的个数转化为求()10xf x +=的根的个数.设()()1F x xf x =+，则当0x >时，()()()0F x x f x f x ''=⋅+>,函数()()1F x xf x =+在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，()()()0F x x f x f x ''=⋅+<,函数()()1F x xf x =+在(,0)-∞上单调递减，而函数)(x f 是R 上的连续可导函数，故()()1F x xf x =+无实数根考点：函数的零点与方程根的联系，导数的运算11．在长为3m 的线段AB 上任取一点P , 则点P 与线段两端点A 、B 的距离都大于1m 的概率是 . 【答案】13【解析】试题分析：设“长为3m 的线段AB ”对应区间[0]3，,“与线段两端点A 、B 的距离都大于1m ”为事件 A ，则满足A 的区间为[1]2， 根据几何概型的计算公式可得，32301()3P A -=-= 考点：几何概型12．双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2， 一个焦点的坐标为()0,2，则此双曲线的方程是 ．【答案】2213y x -= 【解析】试题分析：∵离心率等于2，一个焦点的坐标为20（，）， 2cc a∴==2，，且焦点在x轴上，222213a c a b b b ∴==+∴=⇒=所以双曲线的方程为2213y x -= 考点： 双曲线的性质13．将石子摆成如下图的梯形形状．称数列5,9,14,20,为“梯形数”．根据图形的构成,判断数列的第10项10=a ______________;【答案】D 【解析】试题分析：由已知的图形我们可以得出：图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n=1时，11523(23)2;2a ==+=⨯+⨯ n=2时，219234(24)3;2a ==++=⨯+⨯n=3时，31142345(25)4;2a ==+++=⨯+⨯…由此我们可以推断：1[2(2)](1)2n a n n =⨯++⨯+ ∴101[212]11772a =⨯+⨯=，故选D 考点：归纳推理14．曲线1C ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到曲线2C ：12112x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为 ．【答案】1 【解析】 试题分析：()221111x cos C x y y sin θθ=+⎧⇒-+=⎨=⎩：；则圆心坐标为10（，）； 21211102x t C x y y t ⎧=-⎪⎪⇒++=⎨⎪=-⎪⎩：；由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为2d ==所以要求的最短距离为11d -=考点： 点到直线的距离，圆的参数方程，直线的参数方程15．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，APC ∠的角平分线交AC 于点Q ，则AQP ∠的大小为_________．【答案】135AQP ∠=︒ 【解析】 试题分析：如图所示，连接OC ，则2O A O C O A C O C A P O C O A C=∴∠=∠∴∠=∠+∠=， 又因为∠APC 的角平分线为PQ ，OPQ CPQ ∴∠=∠，在OCP 中2180POC OPC OCP OAC OPQ OCP ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒（），又904545135OCP OAC OPQ CQP OAC OPQ AQP ∠=︒∴∠+∠=︒∠=∠+∠=︒∴∠=︒考点：圆的切线的性质及判定定理16．设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω>，x R ∈,且以2π为最小正周期． （1）求()0f ； （2）求()f x 的解析式；（3）已知9()4125f απ+=，求sin α的值． 【答案】（1）()303sin 03sin 662f ππω⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭ （2）()3sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）4sin 5α=± 【解析】试题分析：（1）直接令0x =代入()3sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可求出()0f ； （2）由()3sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期2π求出4ω=，即可； （3）令412x απ=+代入()3sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭化简得3sin()cos 25παα+==，利用平方关系即可求出sin α(1)∵函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∴()303sin 03sin 662f ππω⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭ (2) ∵函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期．∴4ω= ∴()3sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(3)∵9()4125f απ+= ，∴93sin(4())41265αππ++=， ∴3sin()25πα+= ∴3cos 5α= ∴291sin 25α-= ∴216sin 25α= ∴4sin 5α=±考点：函数()()sin f x A x ωϕ=+的图像和性质17．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的(1)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?(2)学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系?说明理由.【答案】(1)5019,2512502421===P P 【解析】 试题分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数50，满足条件的事件数分别是24，19，根据概率公式得到结果．（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系． (1)设“抽到积极参加班级工作的学生”为事件A ，“抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生”为事件B ，则由古典概型5019,2512502421===P P (2)根据828.10538.1125252624)761918(50))()()(()(222>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n χ 所以,我们有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系.考点：古典概型，相关性分析18．如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3BAD π∠=．ODCBAFE(1)求证：平//CF AED 面B 面；(2))若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF-的体积． 【答案】(1)见解析 (2)3A BDEF V -= 【解析】试题分析：（1）利用直线与平面平行的判定定理证明//BF ADE 面，B //BC ADE 面C ，利用面面平行的判定定理可得结论；(2)首先要找到四棱锥A B D E F -，为此连接AO ，AC ，ACBD O =，易证AO BDEF ⊥面， 即AO 为四棱锥A BDEF -的高，最后求得2BDEF S a =，可求四棱锥A BDEF -的体积（1）由ABCD 是菱形 //BC AD ∴,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面//BC ADE ∴面由BDEF 是矩形//BF DE ∴,BF ADE DE ADE ⊄⊂面面//BF ADE ∴面,,BC BCF BF BCF BCBF B ⊂⊂=面面//BCF ADE ∴面面（2）连接AC ，ACBD O =由ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥由ED ⊥ABCD 面,AC ABCD ⊂面ED AC ∴⊥,,ED BD BDEF EDBD D ⊂=面AO BDEF ∴⊥面，则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形，3BAD π∠=，则A BD ∆为等边三角形，由BF BD a ==；则,2AD a AO ==2BDEF S a =，2313A BDEF V a -=⋅=分 考点：平面与平面平行的判定；棱锥的体积 19．已知数列}{n a 中，11a =,*1()3nn n a a n N a +=∈+.（1）求2a ，3a 的值； （2）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （3）数列{}n b 满足n n nn a nb ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式12)1(-+<-n n n n T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）131,4132==a a （2）231n n a =-（3）32<<-λ 【解析】试题分析：（1）分别令1,2n n ==代入13nn n a a a +=+，即可求出2a ，3a 的值 （2）根据需要求证的结果，由*111,()3nn n a a a n N a +==∈+构造数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a ，可得11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（3）由（2）12-=n n n b ，利用错位相减法求得1224-+-=∴n n n T ，分类讨论当n 为偶数和n 为奇数时 的情况，可求λ的取值范围（1）由*111,()3n n n a a a n N a +==∈+知，11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又111311,222n a a ⎧⎫+=∴+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列， 111332=3,22231n n n nn a a -∴+⨯=∴=- （2）12-=n n n b ， 122102121)1(213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T n n n n n T 2121)1(2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=- ， 两式相减得n n n n n n T 222212121212121210+-=⨯-++++=- ，1224-+-=∴n n n T 1224)1(--<-∴n n λ若n 为偶数，则3,2241<∴-<∴-λλn 若n 为奇数，则2,2,2241->∴<-∴-<-∴-λλλn32<<-∴λ考点：等比数列，错位相减法求和，分类讨论思想20．已知椭圆C 过点3(1,)2A ，两个焦点为(1,0)-，(1,0).(1)求椭圆C 的方程；(2)E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值. 【答案】(1) 22143x y +=（2）直线AE 的斜率为定值12【解析】试题分析：(1) 由题意1c =，设椭圆方程为222211x y b b +=+，将3(1,)2A 代入即可求出23b =，则椭圆方程可求.(2) 设直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入入22143x y +=得 222(34)4(32)41230k x k k x k k +=-+--=，再由点3(1,)2A 在椭圆上，根据结直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，结合直线的位置关系进行求解．（1）由题意1c =，设椭圆方程为222211x y b b +=+， 因为点3(1,)2A 在椭圆上，所以2291411b b +=+，解得23b =，234b =- 所求椭圆方程为22143x y +=（2）设直线AE 方程为3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得 222(34)4(32)41230k x k k x k k +=-+--=设(,)E E E x y ，(,)F F F x y ，点3(1,)2A 在直线AE 上 则22412334E k k x k --=+，3(1)2E E y k x =-+； 直线AF 的斜率与直线AE 的斜率互为相反数，在上式中用k -代替k 得22412334F k k x k +-=+，3(1)2E F y k x =--+， 直线AE 的斜率()2F E E F EF F E F Ey y k x x k k x x x x --++==--12= 所以直线AE 的斜率为定值考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．21．已知函数()x f x e =x R ∈(1)求()f x 在点(1,)e 处的切线方程；(2)证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点； (3)设a b <，比较2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由. 【答案】(1)y ex =【解析】试题分析：(1)首先求出()f x '，令1x =，即可求出()f x 在点(1,)e 处的切线方程的斜率，代入点斜式即可求出切线方程(2)令 21()()12h x f x x x =---则'()1x h x e x =--，根据''()1x h x e =-，讨论'()1x h x e x =--在(0,)+∞上单调递增，所以'()'(0)0y h x h =≥=，所以()y h x =在R 上单调递增，，又(0)0h =，即函数()h x 有唯一零点0x =，所以曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点(0,1). (3)作差得a a b e a b e a b a b a b a f b f b f a f ⋅-⋅⋅--++-=---+-)(2)2()2()()(2)()(，令()2(2)x g x x x e =++-⋅,讨论'()1(12)1(1)x x g x x e x e =++-⋅=+-⋅，''()(11)0x x g x x e x e =+-⋅=⋅>的单调性，得到()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(0)0g =，所以在(0,)+∞上()0g x >，可得a b <时，()()()()2f a f b f b f a b a +->- （1) ()x f x e '=，则(1)f e '=，()f x 点(1,)e 处的切线方程为：(1)y e e x -=-,y ex =(2) 令 2211()()1122x h x f x x x e x x =---=---，x R ∈，则'()1x h x e x =--，''()1x h x e =-且(0)0h =，'(0)0h =，''(0)0h =因此，当0x <时，''()0h x <，'()y h x =单调递减；当0x >时，''()0h x >，'()y h x =单调递增.所以'()'(0)0y h x h =≥=，所以()y h x =在R 上单调递增，又(0)0h =，即函数()h x 有唯一零点0x =，所以曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点(0,1). (3) 设)(2)()2()()2()()(2)()(a b b f a b a f a b a b a f b f b f a f -⋅⋅--+⋅+-=---+ a a b b a e a b e a b a b a b e a b e a b ⋅-⋅⋅--++-=-⋅⋅--+⋅+-=-)(2)2()2()(2)2()2( 令()2(2)x g x x x e =++-⋅且0x >，则 '()1(12)1(1)x xg x x e x e =++-⋅=+-⋅ ''()(11)0x x g x x e x e =+-⋅=⋅>，所以'()g x 在0+∞（，）上单调增，且'(0)0g = ， 因此'()0g x >，()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(0)0g =，所以在(0,)+∞上()0g x > 即当0x >时，()2(2)0x g x x x e =++-⋅>且a b <， 所以(2)(2)02()b aa b a b a e e b a --++--⋅⋅>⋅-， 所以当a b <时，()()()()2f a f b f b f a b a+->- 考点：导数在研究函数时的应用，曲线的切线方程。