2018年高考数学备考之百强校大题狂练系列(通用版) 折叠与探究性问题问题(文) 含答案
专题08 导数与不等式的综合应用(第02期)2018年高考数学备考之百强校小题精练系列(通用版) Word版含解析
一、单选题1．已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意，均满足：．若，则不等式的解集是（ ） A. B.C.D.【答案】C考点：利用函数性质解不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等2．已知函数()1ex f x x =+，若对任意R x ∈， ()f x ax >恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1e -∞- B. (]1e,1- C. [)1,e 1- D. ()1,e -+∞ 【答案】B【解析】由题可知：()11x a x e >-恒成立，设()()()1,1xg x h x a x e==-作出如图所示：则h(x)要恒在g(x)下方， ()1'x g x e =-且过其图像上点()0,0x y 的切线方程为： ()0001x y y x x e-=--过原点，故01x =-，所以斜率为：-e ，所以应满足11a e a e ->-⇒>-，又101a a -≤⇒≤，所以实数a 的取值范围是(]1e,1-点睛：根据题意将问题可转化为两个函数图像高低问题，求出切线方程为临界值，从而得到结论 3．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，若对于任意实数x ，有()()0f x f x '->，则（ ）A ．()()20152016ef f >B ．()()20152016ef f <C ．()()20152016ef f =D ．()2015ef 与()2016f 大小不确定 【答案】A 【解析】考点：利用导数研究函数的单调性． 4．偶函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，设g （x ）=，结合题意求导分析可得函数g （x ）在（0，）上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数g （x ）为偶函数，进而将不等式转化为g （x ）>g （），结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得x的取值范围．又由g（x）为偶函数且在（0，）上为减函数，且其定义域为，则有|x|<，解可得：﹣＜x＜0或0＜x＜，即不等式的解集为；故选：C．点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.5．已知二次函数的导函数为与轴恰有一个交点，则使恒成立的实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先对函数求导，得出，再根据，得出，然后利用与轴恰有-个交点得出，得到与的关系，要使恒成立等价于，然后利用基本不等式求得的最小值，即可求得实数的取值范围.点睛：本题综合考查了二次函数、导数、基本不等式. 对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.6．已知定义在区间上的函数满足，且，若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据条件结合乘积型导函数得到的表达式，利用二次函数的图象与性质建立实数的不等式组，从而求出实数的取值范围.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等7．设函数是定义在上的函数，是函数的导函数，若，（为自然对数的底数），则不等式的解集是A. B. C. D.【答案】D【解析】构造新函数，则.因为，所以.又，所以，所以函数在上单调递增.由，得，即.又已知，所以，所以可以转化为.又因为函数在上单调递增,所以,所以不等式的解集是.故选：D．8．设函数.若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：函数.若存在唯一的整数，使得，等价于有唯一整数，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理，列不等式组求解即可.只有一个整数，，，得，即实数的取值范围为，故选A.点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可），也可以利用数形结合，根据零点存在定理列不等式（组）求解.9．已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先将题中所给的式子进行整理，之后构造新函数，对函数求导，利用条件可以判断新构造函数的导数的符号，从而可以确定所构造的新函数的单调性，再利用题中所给的已知自变量对应的函数值，从而可以应用单调性求得结果，注意函数的定义域以及复合函数的定义域.点睛：该题考查的是函数的综合题，在解题的过程中，需要我们构造新函数，求导，利用题中的条件来判断导数的符号，从而确定出新函数的单调性，结合题中所给的，可以判断出自变量所满足的条件，这里需要注意复合函数的定义域问题.10．已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设g（x）=e x（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，对g（x）求导，将问题转化为存在2个整数x0使得g（x0）在直线h（x）=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）＜0，g（﹣2）﹣h （﹣2）＞0，求得a的取值范围．g（﹣2）=，h（﹣2）=﹣3a，由g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，解得a≥.综上所述，的取值范围为.故选B.点睛：本题的关键是转化，将数的关系转化为存在2个整数x0使得g（x0）在直线h（x）=ax﹣a的下方，再利用数形结合分析找到关于a的不等式组.11．已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为定义在上的偶函数在上递减，所以在上单调递增，若不等式对于上恒成立，则对于上恒成立，即对于上恒成立，所以对于上恒成立，即对于上恒成立，令，则由，求得，（1）当时，即或时，在上恒成立，单调递增，因为最小值，最大值，所以，综上可得；（3）当，即时，在上，恒成立，为减函数，在上，恒成立，单调递增，故函数最小值为，若，即，因为，则最大值为，此时，由，求得，综上可得；若，即，因为，则最大值为，此时，最小值，最大值为，求得，综合可得，综合（1）（2）（3）可得或或，即，故选A.点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，着重考查了转化思想、分类讨论的数学思想方法，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中利用函数的奇偶性、单调性，可得在上恒成立，令，求的函数的最大值和最小值，从而得到实数的取值范围.12．已知定义在R上的函数恒成立，则不等式的解集为A. B.C. D.【答案】D点睛：本题考查了函数的综合应用问题，以及不等式的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质——单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.二、填空题13．若关于的不等式（其中为自然对数的底数，）恒成立，则的最大值为_______．【答案】414．当，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先分离参数得到a，构造函数f（x）=．利用导数求出函数的最值即可求解实数a的取值范围．详解：∵x＞1时，不等式（x﹣1）e x+1＞ax2恒成立∴（x﹣1）e x﹣ax2+1＞0恒成立，∴a，在（1，+∞）恒成立，设f（x）=，f′（x）=∵x2e x﹣2（x﹣1）e x+2=e x（x2﹣2x+2）+2=e x[（x﹣1）2+1]+2＞0恒成立，∴f′（x）＞0，在（1，+∞）恒成立，∴f（x）在（1，+∞）单调递增，∴f（x）min＞f（1）=1，∴a≤1.故填（﹣∞，1]．点睛：本题的关键是分离参数得到a，再构造函数f（x）=．利用导数求出函数的最小值即可求解实数a的取值范围．处理参数问题常用分离参数的方法，可以提高解题效率，优化解题. 15．已知函数，若有且只有一个整数根，则的取值范围是_____.【答案】点睛：本题主要的技巧是分离函数和数形结合分析.把有且只有一个整数根等价转化为是本题的关键，这里主要是利用了数形结合的思想.16．若对任意的，不等式恒成立，则__________．【答案】0或【解析】设，则，由已知可得：对恒成立，令，，则可知：在上单调递减，在上单调递增，若，则，令，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，∴∴，即t=1，所以则故答案为：0或。
全国百强校】XXX2018届高三第三次模拟考试数学(文)试题(附参考答案及评分标准)
全国百强校】XXX2018届高三第三次模拟考试数学(文)试题(附参考答案及评分标准)2018年XXX第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1.选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合 $A=\{y|y=2\}$，$B=\{x|x>1\}$，则 $A\capB=$A。
$(,\ 1)$B。
$(1,+\infty)$C。
$(-1,1)$D。
$-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$2.已知数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，且$a_1+a_7+a_{13}=2\pi$，则 $\tan a_7=$A。
$-3$B。
$3$C。
$\pm 3$D。
$-\frac{1}{3}$3.圆心在 $y$ 轴上，半径为 $1$，且过点 $(1,3)$ 的圆的方程是A。
$x^2+(y-2)^2=1$B。
$x^2+(y+2)^2=1$C。
$x^2+(y-3)^2=1$D。
$x^2+(y+3)^2=1$4.设 $x$，$y$ 满足约束条件 $\begin{cases}3x-y-6\leq 0\\x-y+2\geq 0\end{cases}$，则目标函数 $z=-3x+2y$ 的最小值为A。
$4$B。
$\frac{1}{2}$C。
$8$D。
$6$5.林管部门在每年3月12日植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树节前对树苗进行检测，现从甲乙两种树苗中抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如下图所示。
根据茎叶图，下列描述正确的是此处应该有一张茎叶图，但由于无法插入图片，故省略）A。
甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长的整齐。
B。
甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长的整齐。
C。
乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长的整齐。
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1．两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是（ ）A ．．．．【答案】B【解析】 连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件的总数为6636n =⨯=， 向上的点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：()()()()()()()()1,3,3,1,2,4,4,2,3,5,5,3,4,6,6,4共8个，所以向上的点数之差的绝对值为2的概率为B ． 2．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为,m n ，记t m n =+，则下列说法正确的是（ ）A ． 事件“12t =”的概率为． 事件“t 是奇数”与“m n =”互为对立事件 C ． 事件“2t =”与“3t ≠”互为互斥事件 D ． 事件“832t mn ><且”的概率为【答案】D综上可得，选D ．点睛:事件A 和B 的交集为空，A 与B 就是互斥事件，也可以描述为:不可能同时发生的事件，则事件A 与事件B 互斥，从集合的角度即A B ⋂=∅；若A 交B 为不可能事件，A 并B 为必然事件，那么事件A 与事件B 互为对立事件，即事件A 与事件B 在一次试验中有且仅有一个发生，其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件． 3．在面积为S 的ABC ∆的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于）A ．．．．【答案】C【解析】设事件AB 的长度，如图所示，因为PBC ∆的面积大于， //PE AD∴事件A 的几何度量为线段AP 的长度，故PBC ∆的面积大于C ．点睛:(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．4．一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为（ ）A ．．．．【答案】C故选C ．5．在区间()0,5内任取一个数x ，则2x >的概率为 （ ）A ．．．．【答案】C【解析】本题为几何概型，C ．6．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】面积为36cm2时，边长AM=6cm，面积为81cm2时，边长AM=9cm【点睛】在几何概型问题中的易错防范1．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．2．准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关．3．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．7．设不等式组02{02xy≤≤≤≤，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A． B． C． D．【答案】D【解析】不等式组02{02xy≤≤≤≤表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x，y)，则随机事件：在区域D内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，即图中的阴影部分，故所求的概8．某射手一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0．24，0．28，0．19，则这个射手在一次射击中至多击中8环的概率是( ) A ． 0．48 B ． 0．52 C ． 0．71 D ． 0．29 【答案】A考点：互斥事件的概率和公式与对立事件． 9．在不等式组02{ 02x y ≤≤≤≤表示的平面区域内任取一个点(),P x y ，则1x y +≤ 的概率为（ ） A ．．．．【答案】C【解析】C ．10．在区间[]0,4上随机地选择一个数p ，则方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为（ ）A ．．．．【答案】A【解析】方程2380x px p -+-=有两个正根，则有12120{0 0x x x x ∆≥+>>，即解得8p ≥或又[]0,4p ∈，由几何概型概率公式可得方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为A ． 11．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮都命中的概率为（ ） A ． 0．35 B ． 0．25 C ． 0．10 D ． 0．15 【答案】C【解析】观察数据，代表三次都命中的有431， 113共两个，而总的试验数据共20个，所以该运动员三次投篮都命中的概率为0，故选C ．12．已知0.2log 5a =、3log 2b =、0.22c =、，从这四个数中任取一个数m 使函） A ． 1【答案】B【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，解题时准确理解题意是解题的关键．。
2018年高考数学备考之百强校好题精选系列：专题07 函数的性质 (文)
2018年高考数学备考之百强校好题精选系列：专题07 函数的性质 （文）好题1.【河南省焦作市2017届高三下学期第二次模拟考试】已知函数，且函数有2个零点，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.【答案】B【推荐理由】本题考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到分段函数性质、指数函数的图象与性质，以及一元二次方程的求解和函数与方程的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中正确理解函数零点的概念，熟记指数函数的性质是解答的关键.好题2.【河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）】已知函数，关于的方程，有个不同的实数解，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】,因为,所以时;时;而时单调递减,; 时单调递增,;因此有两个根,则需有3个根, 即,选C.【推荐理由】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．好题3.【河北省衡水中学2017届高三下学期二调】，，若不论取何值，对任意总是恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【推荐理由】本题主要考查了三角函数的性质，函数恒成立问题等函数的综合应用，难度较大；对于不论取何值，对任意总是恒成立，等价于，求三角函数的最大值需通过三角运算公式将其化简为，最后利用分离参数的思想求参数的取值范围.好题4.【广东省梅州市2017届高三下学期一检（3月）】若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，即，由此可得，则函数是单调递增函数，由于，所以，应选答案D.【推荐理由】函数的奇偶性、单调性最大最小值是函数的重要性质，也高考及各级各类考试的重点考查的知识点.求解本题的关键是依据奇函数、偶函数的定义建构方程求得函数的解析式，进而确定函数是单调递增函数，从而做出的正确判断.好题5.【山东省淄博市2017届高三3月模拟考试】设定义在上的函数，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．关于函数的2界函数，结论不成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【推荐理由】本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，由于函数，，求出，再对选项一一加以判断，即可得到答案.好题6.【河南省南阳、信阳等六市2017届高三第一次联考】中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个”；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形．其中正确的命题是：（）A. ①③B. ①③④C. ②③D. ①④【答案】A故不能是某圆的优美函数；对于③，只需将圆的圆心放在正弦函数的图像得对称中心上即可，所以正弦函数是无数个圆的优美函数；对于④函数是中心对称图形时，函数是优美函数，但是优美函数不一定是中心对称，如图所示：故选A．【推荐理由】创新型题目是近几年常考得题型，解决此类问题的关键是仔细读题，弄通题意，然后类比或者特殊化所给的定义公式概念等，去判断其他的问题是否具备所给出的定义或性质，特别体现学生的创新能力，要特别注意类比和特殊化的方法．好题7.【河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；②函数有个零点；③的解集为；④，，都有．其中正确命题的个数是（）．A. B. C. D.【答案】B【推荐理由】本题主要考查了函数的性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性的应用，函数解析式的求解，函数单调性的应用，函数的图象即函数的零点等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题解答中正确把握函数的基本性质和正确作出函数的图象是解答问题的关键.好题8.【湖北省七市（州）2017届高三第一次联合调考（3月联考）】已知函数，且，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【推荐理由】本题是一道较为困难的试题，求解时充分借助题设中所提供的条件，依据函数图像的对称性建立含参数的方程，求得，进而确定函数的解析式；然后再考虑函数的最小值的求解方法，求解时先运用基本不等式探求整数的取值可能为或，进而通过求出函数值进行比较，从而求得最小值使得问题获解.好题9.【江西省红色七校2017届高三下学期第二次联考】已函数的图像与函数的图像的所有交点为，则_______【答案】【解析】如下图，画出函数和的图象，可知有4个交点，并且关于点对称，所以，，所以.【推荐理由】本题考查了函数图像的应用，是高考热点，当涉及函数零点个数时，可将问题转化为两个函数图像的交点个数，或是多个零点和的问题，那就需观察两个函数的函数性质.，比如对称性等，帮助解决问题.好题10.【山东省淄博市2017届高三3月模拟】在研究函数的性质时，某同学受两点间距离公式启发，将变形为，并给出关于函数以下五个描述：①函数的图像是中心对称图形；②函数的图像是轴对称图形；③函数在0,6]上使增函数；④函数没有最大值也没有最小值；⑤无论为何实数，关于的方程都有实数根.其中描述正确的是__________.【答案】①③④【解析】由得，故函数的图象关于对称，故①正确；由意义知当时，，当时，，故函数的图像是轴对称图形不成立，故②不正确；当时，单调增,单调减，故单调增，故③正确；设，，，由其几何意义可得表示，故当时，，当时，，故函数没有最大值也没有最小值，故④正确；当时，由④可知，方程无解，则⑤错误；故答案为①③④.【推荐理由】本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，综合考查学生的分析能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用；利用中心对称和轴对称的定义和性质可准确判断出①②的正确性；利用函数单调性的定义可得增减型，结合三角形中两边之差小于第三边，可得到后三者的准确性.好题11.【安徽省合肥市2017届高三第一次模拟】已知直线与函数和分别交于两点，若的最小值为2，则__________．【答案】2【推荐理由】本题考查的是转化与化归思想及导数在研究函数中的应用.首先利用转化与化归思想把图象交点问题转化为新的函数为关于的函数的最值问题，再利用导数知识根据函数的最小值为求得，进而得到.好题12.【河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）】已知函数，．(1)若，，求的单凋区间；(2)若函数是函数的图象的切线，求的最小值．【解析】(1)时，，，，解得，解得，∴的单调增区间为，单调减区间为区间为．(2)设切点坐标为设切点坐标为，，切线斜率，又，∴，∴,令，，解得，解得，∴在上递减，在上递增．∴，∴的最小值为．【推荐理由】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数求解函数在某点处的切线，利用导数求解函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，根据题意设出切点，得出，进而设出函数，利用导数研究函数的性质是解答的关键.好题13.【湖北省七市（州）2017届高三第一次联合调考（3月联考）】函数，．（Ⅰ）讨论的极值点的个数；（Ⅱ）若对于，总有.（i）求实数的范围；（ii）求证：对于，不等式成立．（2）当，即，①时，设方程两个不同实根为，不妨设，则，故，∴时；在时，故是函数的两个极值点.②时，设方程两个不同实根为，则，故.，∴时，；故函数没有极值点. 综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点. 解法二：,,当，即时，对恒成立，在单调增，没有极值点；②当，即时，方程有两个不等正数解，，不妨设，则当时，增；时，减；时，增，所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点.综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点.（Ⅱ）（i），由，即对于恒成立，设，，，时，减，时，增，，．（ii）由（i）知，当时有，即：，……①当且仅当时取等号,以下证明：，设，，当时减，时增，，，……②当且仅当时取等号；由于①②等号不同时成立，故有.【推荐理由】本题以函数参数的函数解析式为背景，旨在考查导数在研究函数的单调性与极值（最值）等方面的综合运用，求解过程中充分运用题设条件，借助导数与函数的单调性极值（最值）等基础知识与基本方法以及等价转化与化归的数学思想、分类整合思想的进行分析求解和推证，从而使得问题获解.。
2018年高考数学大题狂练系列(第01期)综合模拟练01文
综合模拟练011．已知等差数列{}n a 满足3722a a +=， 49a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=（*n N ∈），数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使18n T ≥的最小正整数n ．【答案】（1）21n a n =+（*n N ∈）；（2）5（2）由（1）知()()11112123n n n b a a n n +==++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以， 1231111111235572123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111232369nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 令1698n n ≥+，解得92n ≥，因为*n N ∈，所以min 5n =，故使18n T ≥的最小正整数n 为5.2．如图，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，．（I）求证：；（II）求多面体的体积. 【答案】（I）见解析；（II）.试题解析：（Ⅰ）取中点，连，∥∥，∥四边形是平行四边形∥，∥又平面，平面∥平面（Ⅱ）在正方形中，，又是等边三角形，所以，所以于是又，平面，又，平面于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成的.又直三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，故多面体的体积为.3．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据()(),1,2,,6i i x y i =，如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且6139ii x==∑， 61480i i y ==∑，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲454y x =+；乙4106y x =-+；丙 4.2105y x =-+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取2个，求这两个检测数据均为“理想数据”的概率. 【答案】（1）8,90a b ==,（2）15P =.试题解析：（1）因为变量,x y 具有线性负相关关系，所以甲是错误的. 又易得 6.5,80x y ==，满足方程，故乙是正确的.由条件可得（2）由计算可得“理想数据”有3个，即()()()4,90,6,83,8,75. 从检测数据中随机抽取2个，共有15种不同的情形， 其中这两个检测数据均为“理想数据”有3种情形. 故所求概率为31155P ==.4．以边长为的正三角形OAB 的顶点O 为坐标原点，另外两个顶点在抛物线()2:20E x py p =>上，过抛物线E 的焦点F 的直线l 过交拋物线E 于,P Q 两点.（1）求抛物线E 的方程； （2）求证： OP OQ ⋅为定值； （3）求线段PQ 的中点的轨迹方程.【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析；（3）2112y x =+试题解析：（1）因为正三角形和抛物线都是轴对称图形，且三角形的一个顶点扣抛物线的顶点重合，所以，三角形的顶点,A B 关于y 轴对称，如图所示.由2,{2,y x py ==可得2,A x x ==，∵2AB ==⨯，∴2p =. ∴抛物线E 的方程为24x y =.5．设函数()()f x mx n =+ ln x .若曲线()y f x =在点()(),P e f e 处的切线方程为2y x e =-（e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()()21f x x λ≤-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）由函数()f x 的解析式得其定义域为()0,+∞.()ln mx nf x m x x+'+=. 因为曲线()y f x =在点()(),P e f e 处的切线方程为2y x e =-，所以()2f e e e e =-=,()2f e '=,联立可得0,{ 2,me n me n m e+=++=解方程组可得1,0m n ==. 所以()ln f x x x =， ()ln 1f x x ='+.分别解不等式()0f x '<与()0f x '>，可得单调递减与递增区间。
高考必考点---专题5.7+范围与最值问题(第02期)-2018年高考数学备考之百强校大题狂练
．已知椭圆的左、右焦点分别为，圆的两个焦点和两个顶点，在椭圆上，且.的方程和点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点，求椭圆的方程为，的坐标为.(.）设，经过椭圆焦点和上下顶点，得由题意知，，所以椭圆的方程为，的坐标为的方程为，即的距离，又圆的半径，，即，得，当且仅当的面积的取值范围是分）如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点，与椭圆相交于点，与椭圆相交于点．当的中点时，（Ⅱ）求（Ⅰ）..,，斜率．．，于是椭圆．同理可得，当的最小值为以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，．已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点相切于点的两侧面积的最大值（Ⅰ）,（Ⅱ）（Ⅱ）设（面积的表达式中，，，的焦距为，离心率，．，得，即，当且仅当，即的表达式和化简，由于四边形，其面积求出来之后，又要利用已知条件将其化简为，再利．椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若的倾斜时，，求中(1);(2).）由已知得：，，椭圆的方程②设直线，得边上的中线长为边上中线长的取值范围是 .、(a>b>0)的直线与原点的距离为+的方程为=1,的距离为===1.( - (x=ky+(k ky-1=0到直线的距离公式，椭圆中．已知点，点是直线作轴的垂线与线段的垂直平分线交于点（Ⅰ）求点的轨迹（Ⅱ）若直线：与曲线两点，点是曲线上一点，且点的横坐标，若的取值范围；，结合抛物线的定义可知轨迹的方程是由题意可知，的方程是.与联立得，交于，解得，则，得，，，所以所以实数的取值范围是。
等差数列与等比数列的判断与证明(以及构造数列)-2018年高考数学备考之百强校大题狂练
2018届高考数学大题狂练第一篇数列专题02 等差数列与等比数列的判断与证明（以及构造数列）一、解答题1．已知数列是等差数列，其首项为，且公差为，若．（）求证：数列是等比数列．（）设，求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）∴，∴，∴，又，∴数列是首项为4，公比为4的等比数列．（）解：由（1）知，∴．2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )在直线2x ＋y －2＝0上. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列2n S n n λλ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）λ＝2求出λ＝2,经检验λ＝2时,此数列的通项公式是关于n 的一次函数,故满足数列为等差数列,从而得出结论.试题解析： (1)由题意，可得2a n ＋1＋S n －2＝0.① 当n ≥2时，2a n ＋S n －1－2＝0.② ①－②，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以＝ (n ≥2).因为a 1＝1，2a 2＋a 1＝2，所以a 2＝. 所以{a n }是首项为1，公比为的等比数列. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝.(2)由(1)知，S n ＝＝2－.若为等差数列，则S 1＋λ＋，S 2＋2λ＋，S 3＋3λ＋成等差数列，则2＝S 1＋＋S 3＋，即2＝1＋＋＋，解得λ＝2.又λ＝2时，S n ＋2n ＋＝2n ＋2， 显然{2n ＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，使得数列{S n＋λn＋}成等差数列.3．已知数列的前项和（为正整数）．（1）求证：为等差数列；（2）求数列的前项和公式．【答案】(1)见解析(2)【解析】【试题分析】(I)利用,可求得,即证明了数列为等差数列.(II)由(I)求得的表达式,并利用错位相减求和法求其前项和.所以是以为首项，为公差的等差数列（方法二）当时，解得，设，则，当时，有代入得整理得所以即是以为首项，为公差的等差数列（2）由（1）得，依题意①上式两边同乘以，得②①-②得，所以4．设为数列的前项和，已知，. （1）证明：为等比数列；（2）求.【答案】(1)见解析；（2）.（1）证明：∵，，∴，∴，∴，则，∴是首项为2，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）知，，则.∴.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21n n S a =- (*n N ∈),数列{}n b 满足()()111n n nb n b n n +-+=+ (*n N ∈),且11b =（1）证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）若()()()()122141132log 32log n n n n n c a a -++=-++,求数列{}n c 的前n 项和2n T ;（3）若n n d a =数列{}n d 的前n 项和为n D ,对任意的*n N ∈,都有n n D nS a ≤-,求实数a 的取值范围.【答案】（1）12n n a -=， 2n b n =；（2）11343n -+；（3）0a ≤代入可求。
高考数学(理)备考之百强校大题狂练系列04(第01期)原卷版word版
班级 姓名 学号 分数大题狂做测试卷4（测试时间：90分钟 满分：120分）1.已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若13n n b -=，求数列{a n }的前n 项和S n .2.设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的极值.3.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项113,3()n n n a a S n N *+≠=+∈.(Ⅰ)求证：{}3n n S -是等比数列；(Ⅱ)若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围.4.如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC 的长为a 米（a 为常数），现在斜边AB 上选一点D ，将△ACD 沿CD 折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD 的面积为S ，点A 到直线CD 的距离为d. 实践证明，遮阳效果y 与S 、d 的乘积Sd 成正比，比例系数为k （k 为常数，且k >0）.（1）设∠ACD=θ，试将S 表示为θ的函数；（2）当点D 在何处时，遮阳效果最佳（即y 取得最大值）？5. 如图是函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><图像的一部分。
（1） 求出,,A ωϕ的值；（2） 当)2,0(πx ∈时，求不等式2)62()6(2-->-πx f πx f 的解集。
6.在△ABC 中，已知π6C =，向3量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n ． （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =，AD =ABC 的面积．7.已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；（Ⅱ）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．8.设函数()()()1ln 1f x ax x bx =-+-，其中a 和b 是实数，曲线()y f x =恒与x 轴相切于坐标原点． ()1求常数b 的值；()2当01x ≤≤时，关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；()3求证：10000.41000.5100011001100001000e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9. 己知函数()22ln a f x x a x x=+-()a R ∈. ⑴讨论函数()f x 的单调区间；⑵设()224ln 2g x x bx =-+-，当1a =时，若对任意的[]12,1,x x e ∈都有()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范围；(3)求证：()()111ln 11231n n n N n n *+〈+++⋅⋅⋅++∈+．10. 已知函数()e 1x f x ax =--（a ∈R ）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）函数()()ln F x f x x x =-在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；（3）若()ln(e 1)ln x g x x =--，当(0,)x ∈+∞时，不等式(())()f g x f x <恒成立，求α的取值范围．。
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2018届高考数学大题狂练
第四篇 立体几何（文科） 专题03 折叠与探究性问题问题
一、解答题
1．（本题满分15
分）如图，四边形为梯形，点在线段
上，满足,且，现将沿翻折到位置，使得．
（Ⅰ）证明：
;
（Ⅱ）求直线与面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析
.
（Ⅱ）
.
【解析】分析：（Ⅰ）先证明，即证.( Ⅱ)利用空间向量法求直线与
面所成角的正弦值．
详解：（Ⅰ）连交于，所以
所以BD=
因为
∴
又∴
从而所以
∴
（Ⅱ）
点睛：本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查立体几何
的基础知识掌握能力和基本的运算能力.
2
．如图，已知菱形的对角线交于点，点为的中点.将三角形沿线段折
起到的位置，如图2所示.
图1 图2
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）证明： 平面平面；
（Ⅲ）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点
的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）和的中点，证明见解析
.
【解析】分析：（Ⅰ）由菱形的性质可得,又平面，
所以平面；（Ⅱ）先证明四边形为平行四边形，可得. 又由（Ⅰ）得，
平面, 从而得平面，由平面可得结论；（Ⅲ）别取和的中点，
由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可得及，由面面平行的判定定理可
得结论
.
详解：Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形为菱形，所以；
所以折叠后，
,
又平面，
所以平面
（Ⅲ）存在满足条件的点,且分别是和的中点.
如图，分别取和的中点
.
连接
.
因为四边形为平行四边形，
所以
.
所以四边形为平行四边形
.
所以
.
在中，分别为中点，
所以
.
又平面,平面
,
所以平面平面
.
点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之
间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线
和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；
（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直
时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
.
3．在四棱锥中， 平面， ， ，
， ， ， 是的中点， 在线段上，且满
足.
（1）求证： 平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，
求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】分析：该题是立体几何的有关问题，第一问在证明线面平行时，可以利用常规方法，
用线面平行的判定定理来证明，也可以应用空间向量来证明，用直线的方向向量与平面的法
向量是垂直的即可，第二问求二面角的余弦值，用两个平面的法向量所成角的余弦值来求得，
第三问假设其存在，设出点的坐标，建立等量关系式从而求得结果，做好取舍即可.
详解：（1）证明：取的中点， 的中点，连接和，
∴且，
∴， 分别为， 的中点.
且
∴且，四边形为平行四边形，
∴， 平面， 平面，
∴平面.
（1）由题意可得， ， 两两互相垂直，如果，以为原点， ， ，
分别是， ， 轴建立空间直角坐标系，则， ，
， ，
设平面的法向量为
，
∴，令∴
又，∴，∴
平面
∴ 平面
、（3）设， ，∴
∴
∴
∵与平面所成角的余弦值是∴其正弦值为
∴，整理得：
，解得： ， （舍）
∴存在满足条件的点， ，且
点睛：在解决立体几何问题时，尤其空间关系的时候，可以有两种方法，一是常规法，二是
空间向量法，在应用面的法向量所成角来求二面角的时候，一定需要分清楚是其补角还是其
本身，在涉及到是否存在类问题时，都是先假设存在，最后求出来就是有，推出矛盾就是没
有.
4
．在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上
的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面
.
（1）当时，求证：；
（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析: (1) 当时，点是的中点,由已知证出,根据面面垂直的性
质定理证得平面,进而证得结论;(2) 以为原点，的方向为轴，轴的正方向建
立如图所示空间直角坐标系.写出各点坐标,求出平面的法向量,根据线面角的公式
求出结果.
试题解析:
（1）当时，点是的中点.
∴，.
∵，∴.
∵，，，
∴.
∴.
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
∵平面，∴.
（2）以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.
则，，.
取的中点，
∵，∴，
∴ 易证得平面，
∵，∴，∴.
∴，，.
设平面的一个法向量为，
则
令，则.
设与平面所成的角为，
则
，
解得或（舍去）
∴存在实数，使得与平面所成的角的正弦值为，此时.
5
．如图，四边形中，，，，，，分别在，上，
，现将四边形沿折起，使平面平面
.
（Ⅰ）若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，使得平面？若
存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥的体积的最大值
.
【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）
3.
【解析】分析：（Ⅰ）在折叠后的图中过作，交于，过作交于，连
结，易证得平面，得，所以，，，从而得平面
平面，可得；
（Ⅱ）设，所以，，
故
所以当时，取得最大值3.
点睛：解决与平行、垂直有关的探索性问题时，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，
然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存
在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存
在．
6
．如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，
将沿折起使得二面角是直二面角．
（l）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析：（l）由勾股定理可得，结合是的中点可得，根据线面平
行的判定定理可得平面；（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，
分别为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量垂直数量积
为零，列方程求出平面的一个法向量，由空间向量夹角余弦公式求出直线与平面所
成角的正弦值，进而可得结果.
（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图
所示的空间直角坐标系：
因为，且分别是的中点，
所以，
所以有点，
所以，
设平面的一个法向量为，则
即，所以
令，则
设直线与平面所成角的大小为，则
.
又，所以，
所以
.
故直线与平面所成角的正切值为
.
点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标
系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用
两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）
根据定理结论求出相应的角和距离.