06多目标及离散变量优化方法简介
多目标及离散变量优化方法-文档资料
min F ( x) wi fi ( x)
i 1
l
wi——加权因子 (wi≥0，i=1,2,…，l ) 加权因子取值对计算结果的正确性影响较大。
第六章 第二节 多目标优化方法
加权因子wi确定的方法: ①将各分目标转化后加权 为消除各分目标在量级上的差别，先将分目标函数fi(x) 转化为无量纲等量级目标函数 f i ( x) (i 1,2,...,l ) ( f i ( x) 1) 再组成统一目标函数。 l F ( x) wi f i ( x)
第六章
结束
第一节 多目标优化问题
机械设计中，同时要求几项设计指标达到最优的问题 ——多目标优化设计问题
T .. ( x ) [ f ( x ), f ( x ) f ( x )] F 2 l min min 1 n
s.t. g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m)
x R
x R n
第二节 一、主要目标法
多目标优化方法
基本思想：多个目标中选择一个目标作为主要目标， 而其它目标则只需满足一定的要求即可，即 将目标转化为约束条件 目标函数转化为：
f k ( x) min (k ) x(D k) D x | f i min f i ( x) f i max (i 1,2,...,k 1, k 1,...l , x D)
式中，f imin和f imax为第i个目标函数的上、下限。 一般 f i ( x) 只有问题，通过一定方法转化为 统一目标函数或综合目标函数作为多目标优 化问题的评价函数。
第六章 第二节 多目标优化方法
常用的方法有：线性加权法、理想点法（目标规划法） 、 功效系数法和极大极小法等。
06多目标及离散变量优化方法简介
U (x ) =
∑
l
i =1
f i (x ) f i fi
2
分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法的基本思想是将多目标优化问 题式中的J个目标函数分清主次,按其重要程度 逐一排除,然后依次对各个目标函数求最优解. 不过后一目标应在前一目标最优解的集合域内寻 优.
现在假设f1(x)最重要,f2 (x)其次,f3 (x)再其次,…. 首先对第一个目标函数f1(x)求解,得最优值
x∈R
s.t . g j ( x ) ≤ 0 ( j = 1, 2, , p ) hk (x ) = 0 ( k = 1,2, , q )
f 2 (x )
f 3 (x )
T f 4 ( x )]
在多目标优化模型中,还有一类模型,其特点 是,在约束条件下,各个目标函数不是同等地被最优 化,而是按不同的优先层次先后地进行优化.例如: 工厂生产:1号产品,2号产品,3号产品,…,M号 产品.应如何安排生产计划,在避免开工不足的条件 下,使工厂获得最大利润,工人加班时间尽量地少. 若决策者希望把所考虑的两个目标函数按其重 要性分成以下两个优先层次:第一优先层次——工厂 获得最大利润.第—优先层次——工人加班时间尽可 能地少.那么,这种先在第一优先层次极大化总利润, 然后在此基础上再在第二优先层次同等地极小化工人 加班时间的问题就是分层多目标优化问题.
主要目标法的思想是抓住主要目标,兼顾其它 要求.求解时从多目标中选择一个目标作为主要目 标,而其它目标只需满足一定要求即可.为此,可 将这些目标转化成约束条件.也就是用约束条件的 形式来保证其他日标不致太差,这样处理后,就成 为单目标优化问题. 设有l个目标函数f1(x),f2(x),…,fl(x),其 中 x ∈ D,求解时可从上述多目标函数中选择一个 f(x)作为主要目标,则问题变为
多目标优化设计方法讲解
多目标优化设计方法讲解多目标优化是指在一个优化问题中存在多个目标函数需要同时优化的情况。
多目标优化问题在实际应用中非常常见，例如在工程设计、金融投资和运筹学中等等。
与单目标优化问题不同的是，多目标优化问题需要找到一组解，满足所有目标函数的最优性要求。
本文将介绍多目标优化的相关概念和设计方法。
1.目标函数的定义方法：对于每个目标函数，我们需要明确定义其数学形式。
目标函数一般是一个关于决策变量的函数，用于衡量解的质量。
这些目标函数可以是线性的、非线性的、连续的或离散的。
2. Pareto优化：在多目标优化问题中，我们通常使用Pareto优化来解决。
Pareto优化是一种基于Pareto支配的解集划分方法。
Pareto支配是指解集中的解在至少一个目标上比另一个解更好，且在其它目标上至少一样好。
解集中不被任何其它解所支配的解被称为Pareto最优解。
Pareto最优解形成了一个称为Pareto前沿的非支配集合。
3. Pareto优化算法：常见的Pareto优化算法包括遗传算法（GA）、模拟退火算法（SA）、粒子群优化算法（PSO）和多目标蚁群算法等。
这些算法基于不同的策略和参数设置，通过多次迭代找到Pareto最优解。
4.解集的评价和选择：找到Pareto最优解后，需要根据具体应用的要求进行解集的评价和选择。
一种常见的方法是使用其中一种距离度量方法，如欧氏距离或海明顿距离，来度量解集中各个解之间的相似度。
另一种方法是基于问题的特定要求进行解集的选择。
5.偏好权重方法：在实际应用中，不同的目标函数可能具有不同的权重。
偏好权重方法可以对不同目标函数赋予不同的权重，从而根据具体需求得到更合理的解集。
常见的偏好权重方法有加权和法、电报求和法和最大化方法等。
6.可行性约束：在多目标优化问题中，可能存在一些约束条件，如可行性约束和偏好约束。
可行性约束是指解集中的解必须满足一些约束条件。
在算法设计中，需要考虑如何有效地处理这些约束，以充分利用已有信息，降低空间。
最优化_第7章多目标及离散变量优化方法
最优化_第7章多目标及离散变量优化方法在实际问题中，往往存在多个相互关联的优化目标，这就引出了多目标优化问题。
与单目标优化问题相比，多目标优化问题更加复杂，需要综合考虑多个目标之间的平衡和权衡。
多目标优化方法可以分为基于加权法的方法和基于多目标遗传算法的方法。
其中，基于加权法的方法将多个目标函数转化为单一的综合目标函数，通过对综合目标函数的优化来求解多目标优化问题。
而基于多目标遗传算法的方法则直接将多目标函数进行优化，通过一系列的遗传算子（如选择、交叉和变异）来逐步逼近多目标的最优解。
在多目标优化问题中，离散变量的存在进一步增加了问题的复杂性。
离散变量是指变量的取值只能是有限个数中的一个，与连续变量不同。
针对离散变量的多目标优化问题，可以采用遗传算法、粒子群算法等进化计算方法进行求解。
这些算法通常会使用染色体编码来表示离散变量，采用相应的遗传算子对染色体进行进化操作。
在实际应用中，多目标及离散变量优化方法可以应用于多个领域。
举个例子，对于资源分配问题，可以将资源的分配方案和目标函数（如成本、效益、风险等）作为多个目标进行优化，得到最优的资源分配方案。
又比如，在工程设计中，可以将设计方案的多个目标（如性能、重量、成本等）作为优化目标，找到最优的设计方案。
总之，多目标及离散变量优化方法是解决实际问题中复杂优化问题的有效手段。
通过综合考虑多个目标和处理离散变量，可以得到更加全面和合理的最优解，提高问题的解决效果。
在实际应用中，需要选择合适的优化方法和算法，并针对具体问题进行适当的调整和改进，以获得更好的优化结果。
第六章多目标及离散变量优化方法
第六章 多目标优化方法
一、多目标优化问题 二、多目标优化方法
机械优化设计
一、多目标优化问题
1、概念 同时要求实现： 成本、重量、体积 利润、产量、承载能力 兼顾多方面的要求，则称为多目说，若有 l 个目标函数，则多目标优化 问题的表达式可写成：
V min F n X min f1 X n
各分目标函数
机械优化设计
返回目标函数的最优解
返回目标函数的最优值
二、优化函数使用格式
返回算法的终止标志 优化算法信息的一个数据结构
返回目标函数在最优解的梯度
目标函数在最优解的海色矩阵 [x,fval,exitflag,output, grad,hessian]= fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)
对于两个单目标函数显然很容易分别求的其最优解，但 是却无法求得两者共同的最优解。
机械优化设计
3．多目标优化问题解得可能情况
（1）最优解 （2）劣解 （3）非劣解 （4）弱非劣解或称弱有效解。
0
●
f2
● ●
4
●
6
5
1
●
3
●
2
f1
对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6； 对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。
xR xR
f 2 X
f l 1 X
fl X
T
s.t.
g j X 0 j 1, 2 , p
F X min f1 X
hk X 0 k 1, 2 , q
多目标及离散
⎧min F ( X ) ⎪ n ⎪X ∈ D ∈ R ⎪ ⎨ D : g j ( X ) ≤ 0, j = 1,2, , m ⎪ hk ( X ) = 0, k = 1,2, , l ⎪ ⎪ ai ≤ xi ≤ bi , i = 1,2, , n ⎩
引例1
对车床齿轮变速箱进行设计，要求:
⎧min F1 ( X ) ⎪ X ∈ D ∈ Rn ⎪ ⎪ D : g j ( X ) ≤ 0, j = 1, 2, , m ⎪ ⎨ ⎪ hk ( X ) = 0, k = 1, 2, , l ⎪ ai ≤ xi ≤ bi , i = 1, 2, , n ⎪ 0 ⎪ g m + j −1 ( X ) = Fj ( X ) − Fj ≤ 0, ⎩
多目标优化方法
2. 统一目标法
② 功效系数法
引例4
设计齿轮时,要求:
齿轮的齿数——正整数 齿轮的模数——按标准系列选用
离散优化方法
1. 网格法
遍数法
离散优化方法
2. 离散复合形法
离散变量的优化方法（P222）
离散变量的优化方法（P222）
非劣解（P189）
也称有效解。
⎧V − min f ( X ) = min [ f1 ( X ) ⎪ ⎪ f1 ( X ) = x 2 − 2 x ⎨ ⎪ f2 ( X ) = − x ⎪ ⎩0 ≤ x ≤ 2
f 2 ( X )]
T
多目标优化方法
1. 主要目标法（P190）
根据总体技术条件，选定一个作为主要目标函数， 其余分目标函数分别给一个限制后，使其转化为新 的约束条件，即
T
多目标与单目标优化问题求解的区别
对于单目标优化问题，任何两个解都可以用其目标 函数值比较方案优劣。 对于多目标优化问题，任何两个解不一定都可以评 判出优劣：
多目标优化算法的基本概念
多目标优化算法的基本概念随着科技的不断发展，人们对于问题的解决方案也越来越多样化和复杂化。
在实际应用中，我们常常需要同时考虑多个目标，而不仅仅是单一的目标。
这就引出了多目标优化问题。
多目标优化算法是一种用于解决多目标优化问题的数学方法，它能够在给定的约束条件下，找到一组最优解，使得多个目标函数达到最优。
多目标优化算法的基本概念包括以下几个方面：1. 目标函数：多目标优化算法的核心是目标函数。
目标函数是一个数学模型，用于描述问题的目标和约束条件。
在多目标优化问题中，通常有多个目标函数，每个目标函数都代表了问题的一个方面。
这些目标函数可能是相互矛盾的，因此需要找到一个平衡点，使得各个目标函数都能够得到满意的结果。
2. Pareto最优解：在多目标优化问题中，我们通常无法找到一个解能够同时最优化所有的目标函数。
因此，我们需要引入Pareto最优解的概念。
Pareto最优解是指在给定的约束条件下，无法通过改变一个目标函数的值而改善其他目标函数的值。
换句话说，Pareto最优解是一种无法被改进的解。
3. 支配关系：在多目标优化问题中，我们需要确定解之间的支配关系。
一个解支配另一个解，意味着在所有目标函数上，前者至少与后者一样好，并且在至少一个目标函数上比后者更好。
通过确定支配关系，我们可以筛选出一组非支配解，即Pareto最优解。
4. 多目标优化算法：多目标优化算法是一种用于求解多目标优化问题的计算方法。
常见的多目标优化算法包括遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。
这些算法通过不断迭代和优化，逐步接近Pareto 最优解。
多目标优化算法的核心思想是通过维护一组解的集合，不断更新和改进这些解，直到找到一组满足约束条件的非支配解。
5. 解集合的维护：在多目标优化算法中，解集合的维护是一个重要的步骤。
解集合是指算法在每一次迭代中得到的一组解。
为了保证解集合能够包含尽可能多的非支配解，我们需要采取一些策略，如选择合适的交叉和变异操作、引入适应度函数等。
第7章 多目标优化和离散变量优化概述
[x2*] [x1*] X*周围的整型点群 [x1*]+1 X*周围的整型点群 均不在可行域内
离X*较远处整型点为 优化点
7.2.3 离散变量优化问题的网格解法
1、方法： 以一定的变量增量为间隔，把设计空间划分为若干个网格，计算 在域内的每个网格结点上的目标函数值，比较其大小，再以目标 函数值最小的节点为中心，在其附近空间划分更小的网格，在计 算在域内各节点上的目标函数值。重复进行下去，直到网格小到 满足精度为止。 2、特点： 此法对低维变量较有效，对多维变量因其要计算的网格节点数目 成指数幂增加，故很少使用。
7.1.2多目标优化问题解的特性
1.非劣解
是指若有m个目标fi(X0)(i=1,2,,m)，当要求(m-1)个目标值不变坏时， 找不到一个X，使得另一个目标函数值fi(X)比fi(X*)更好，则将此X*作 为非劣解，关键是要选择某种形式的折中。
2.例 V min F ( X ) min f1 ( X ), f 2 ( X )]T [
(ii)分目标函数值最优化法： j 1 / f j *
f j * minf j ( X) XD 目的：反映了各分目标函数离开各自最优值的程度。
7.1.5功效系数法——几何平均法
(1)适用条件：
各单目标要求不全相同，有的要求极小值，有的要求极大 值，有的则要求有一个合适的值。
(2)方法：
f2 ( X ) x f1 ( X ) x 2 2 x D { x | 0 x 2}
X R
n
a a’ 1
b
2
说明：
(1)当 D { x | 0 x 1} 时， X=[1，1]T，是绝对最优解； 其余点是劣解。 全区域中都能找到 (2)当 D { x | 0 x 2} 时， 全部分目标函数值 都比它小的点 X∈[1，2]中任何点都 是非劣解；
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此外,该变速箱设计时需满足轮齿不根切,不 干涉等几何约束条件,还需满足轮齿强度等约束条 件,以及有关设计变量的非负约束条件等. 按照上述要求,可分别建立四个目标函数: f1(x) , f2(x) , f3(x) , f4(x) .这几个目标函数都要 达到最优,且又要满足约束条件,则可归纳为
V min F n ( x ) = min [ f1 (x )
x min F ( x ) = min ∑ W i f i ( x ) x∈ D x∈ D i =1
使用这个方法的难处在于如何找到合理的权系 数,以反映各个单目标对整个多目标问题中的重要 程度.使原多目标优化问题较合理地转化为单目标 优化问题,且此单目标优化问题的解又是原多目标 优化问题的好的非劣解.权系数的选取.反映了对 各分目标的不同估价,折衷,故应根据具体情况作 具体处理,有时要凭经验,凭估计或统计计算并经 试算得出.
2.理想点法与平方和加权法. 先对各个目标函数分别求出最伏值和相应的最 优点.一般所有目标难于同时都达到最优解,即 找不到一个最优解使各个目标都能达到各自的最 优值.这个理想点,一般是达不到的.但是,若 能使各个目标尽可能接近各自的理想值,那么, 就可以求出较好的非劣解.根据这个思想,将多 目标优化问题转化为求单目标函数(评价函数)的 极值.构造出理想点的评价函数为
1.线性加权和法 线性加权和法又称线性组合法,它是处理多目标 优化问题常用的较简便的一种方法.这种方法因 为有一定理论根据,故已被广泛应用.但这种方 法的成功与否,在很大程度上取决于一个确定方 向的凸性条件.如果缺乏凸性,这种方法将归于 失败.所谓线性加权和法即将多目标函数组成— 综合目标函数,把一个要最小化的函数F(z)规定为 有关性质的联合.
多目标优化方法
多目标优化的求解方法甚多,其中最主要的有 两大类.一类是直接求出非劣解,然后从中选择较 好解.属于这类方法的如合适等约束法等.另一大 类是将多目标优化问题求解时作适当的处理.处理 的方法可分为两种:一种处理方法是将多目标优化 问题重新构造一个函数,即评价函数,从而将多目 标(向量)优化问题转变为求评价函数的单目标(标量) 优化问题.
另一种是将多目标(向量)优化问题转化为一 系列单目标(标量)优化问题来求解. 属于这一大类求解的前一种方法有:主要目 标法,线性加权和法,理想点法,平方和加权法, 分目标乘除法,功效系数法——几何平均法,极 大极小法等等.属于后一种的有分层序列法等. 此外还有其它类型的方法,如协调曲线法等等.
主要目标法
�
多目标及离散变量 优化方法简介
在实际问题中,对于大量的工程设计方案要评 价其优劣,往往要考虑多个目标. 例如,对于车床齿轮变速箱的设计,提出了下列要 求: 1)各齿轮体积总和f1(x)尽可能小.使材料消耗减少, 成本降低. 2)各传动轴间的中心距总和f2(x)尽可能小,使变速 箱结构紧凑. 3)齿轮的最大圆周速度f3(x)尽可能低,使变速箱运 转噪声小. 4)传动效率尽可能高,亦即机械损耗率f4(x)尽可能 低,以节省能源.
主要目标法的思想是抓住主要目标,兼顾其它 要求.求解时从多目标中选择一个目标作为主要目 标,而其它目标只需满足一定要求即可.为此,可 将这些目标转化成约束条件.也就是用约束条件的 形式来保证其他日标不致太差,这样处理后,就成 为单目标优化问题. 设有l个目标函数f1(x),f2(x),…,fl(x),其 中 x ∈ D,求解时可从上述多目标函数中选择一个 f(x)作为主要目标,则问题变为
多目标优化设计问题要求各分量目标都达到 最优,如能获得这样的结果,当然是十分理想的. 但是,一般比较困难,尤其是各个分目标的优化 互相矛盾时更是如此.譬如,机械优化设计中技 术性能的要求往往与经济性的要求互相矛盾.所 以,解决多目标优化设计问题也是一个复杂的问 题.近年来国内外学者虽然作了许多研究,也提 出了—些解决的方法,但比起单目标优化设计问 题来,在理论上和计算方法,都还很不完善,也 不够系统. 在前述的单目标优化方法的基础上,扼要介 绍多目标优化设计问题的一些基本概念,求解思 路和处理方法.
{
{
离散变量优化问题
约束非线性离散变量的优化方法有: 1)以连续变量优化方法为基础的方法,如圆整法, 拟离散法;离散型罚函数法. 2)离散变量的随机型优化方法,如离散变量随机 试验法;随机离散搜索法. 3)离散变量搜索优化方法,如启发式组合优化方 3) 法,整数梯度法,离散复合型法. 4)其它离散变量优化方法.如非线性隐枚举法; 离散型网格与离散型小交网格法,离散变量的组合 型法.上述这些方法的解题能力与数学模型的函数 性态和变量多少有很大关系.
D ( k ) = {x f i min (x ) ≤ f i ( x ) ≤ f i max (x )}
x∈D
min) f k ( x ) (k
统一目标法
统一目标法又称综合目标法.它是将原多目标 优化问题,通过一定方法转化为统一目标函数或综 合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数,然 后用前述的单目标函数优化方法求解.
{
} } (i = 1, 2 ) } (i = 1, 2 , , l 1)
min f 3 ( x ) = f 3* (3 ) x ∈ D 2 x f i (x ) ≤ f i * + ε i min f l ( x ) (4 ) x ∈ D l 1 x f i ( x ) ≤ f i * + ε i
U (x ) =
∑
l
i =1
f i (x ) f i fi
2
分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法的基本思想是将多目标优化问 题式中的J个目标函数分清主次,按其重要程度 逐一排除,然后依次对各个目标函数求最优解. 不过后一目标应在前一目标最优解的集合域内寻 优.
现在假设f1(x)最重要,f2 (x)其次,f3 (x)再其次,…. 首先对第一个目标函数f1(x)求解,得最优值
x∈R
பைடு நூலகம்
s.t . g j ( x ) ≤ 0 ( j = 1, 2, , p ) hk (x ) = 0 ( k = 1,2, , q )
f 2 (x )
f 3 (x )
T f 4 ( x )]
在多目标优化模型中,还有一类模型,其特点 是,在约束条件下,各个目标函数不是同等地被最优 化,而是按不同的优先层次先后地进行优化.例如: 工厂生产:1号产品,2号产品,3号产品,…,M号 产品.应如何安排生产计划,在避免开工不足的条件 下,使工厂获得最大利润,工人加班时间尽量地少. 若决策者希望把所考虑的两个目标函数按其重 要性分成以下两个优先层次:第一优先层次——工厂 获得最大利润.第—优先层次——工人加班时间尽可 能地少.那么,这种先在第一优先层次极大化总利润, 然后在此基础上再在第二优先层次同等地极小化工人 加班时间的问题就是分层多目标优化问题.
min f 1 ( x ) = f 1* x∈D
求f2 (x)最优值时,公式如下:
min f 2 ( x ) x ∈ D1 x f 1 ( x ) ≤ f 1*
{
}
采用分层序列法,求解过程中可能出现中断现 象,使求解过程无法继续进行下去.一般采用宽容 分层序列法
min f 1 ( x ) = f 1* (1) x∈ D min f 2 ( x ) = f 2* (2 ) x ∈ D1 x f 1 ( x ) ≤ f 1* + ε 1
对多目标设计指标而言,任意两个设计方案的 优劣一般是难以判别的,这就是多目标优化问题的 特点.这样,在单目标优化问题中得到的是最优解, 而在多目标优化问题中得到的只是非劣解.而且, 非劣解往往不只一个.如何求得能接受的最好非劣 解,关键是要选择某种形式的折衷. 所谓非劣解(或称有效解),是指若有M个目标 fl(x0)(i=1,2,…,M),当要求(M—1)个目标值不 变坏时,找不到一个x,使得另一个目标函数值f(x) 比f(x*)更好,则将此x*作为非劣解. 显然,多目标优化问题只有当求得的解是非劣解 时才有意义,劣解是没有意义的,而绝对最优解存在 的可能性很小.
从上述有关多目标优化问题的数学模型可见, 多目标(向量)优化问题与单目标(标量)优化问题的— 一个本质的不同点是:多目标优化是一个向量函数 的优化,比较向量函数值的大小,要比标量值大小 的比较复杂.在单目标优化问题中,任何两个解都 可以比较其优劣,因此是完全有序的.可是对于多 目标优化问题,任何两个解不一定都可以比出其优 劣,因此只能是个有序的.例如,设计某一产品时, 希望对不同要求的A和B为最小.一般说来这种要求 是难以完美实现的,因为它们没有确切的意义.除 非这些性质靠完全不同的设计变量组来决定,而且 全部约束也是各自独立的.