8、离散变量的最优化方法

7.3 离散最优解（续）
3．离散局部最优解 若 X * D ，对所有 X UN ( X *) D 恒有 f ( X *) f ( X ) 则称X*是离散局部最优点 4、拟离散局部最优解 若 X * D ，对所有 X UC ( X *) D 恒有 f ( X *) f ( X ) 则称X*是拟离散局部最优点 5、离散全域最优解 若 X ** D ，对所有 X D 恒有 f ( X **) f ( X ) 则称X**是离散全域最优点
max
max 服 正 分布，
h H
8.1 引 言（续）
b
现在需要设计堤坝 的截面尺寸 b 和 h，在
保证不受灾害的概率不
低于99.9%，堤坝不受 冲压损坏的概率不低于 99.0% 的要求下，使投 资最小。
h H
8.1 引 言（续） 三、传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变
n p
p
C
T
p 1
p2
n p
n
若Rp为空集时，Rn为全连续变量设计问题； 若Rn-p为空集时，Rn 为全离散变量设计问题。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
在机械优化设计中．常见的约束非线性离散 变量最优化问题的数学模型为：
min f ( X ) D X g ( X ) 0
这些交点就是三维离 散设计空间中的离散点。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
4、P维离散设计空间 对于p维离散变量，过每个变量离散值作该变量 坐标轴的垂直面，这些超平面的交点的集合就是p维 离散设计空间，用 R p表示。 而这些交点就是p维离散设计空间中的离散点，用 D x 表示。
X
D
x1 , x2 , , x p R p
2、与连续最优点A最接近的离散点B并非离散最优点C， 点B仅是一个工程实际可能接受的较好的设计方案。
改进：即在求得连续最优点A并调整到最接近的 离散点B以后，在B的离散单位邻域UN（X）或离 散坐标邻域UC（X)内找出所有的离散点，逐个 判断其可行性并比较其函数值的大小．从中找到 离散局部最优点或拟离散局部最优点。
D u
(u 1, 2,...m)
T
X D X D x1 , x2 ,...x p R D X T C C X X x p 1 , x p 2 ,...xn RC
N—设计变量维数；m—不等式约束条件个数 P—离散变量的个数； XD—离散子空间；RD—离散变量子集； XC—连续子空间；RC—连续变量子集；
X x p 1 , x p 2 ,, xn R
C T


n p
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
4、N维设计空间
R R R 其中：离散设计空间为 X x , x ,, x R 连续设计空间为 X x , x ,, x R
n p
D T 1 2 p
l为各离散设计变量可取离散值个数中的最大值 注：①因为离散变量是有限个,所以离散空间是有界的。 ②某个离散变量的取值不足l个，其余值可用预先 规定的自然数补齐。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
4、N-P维连续设计空间 N个设计变量中有P个离散变量，此外有N-P个 连续变量。 N-P维连续设计空间
3、连续变量离散化的方法
xiu xil i li 1 i p 1，p 2， ，n
其中： xiu，xil 为连续变量xi的上、下界， li 为欲取离散值的个数。 xi 坐标轴上的第 个拟离散点为： ij， j x 其相邻两个拟离散点为 xij i，xij，xij i ：
7.3 离散最优解（续）
严格说来，离散优化问题的最优解应
是指离散全域最优点而言，但它与一般的
非线性优化问题一样，离散优化方法所求
得的最优点一般是局部最优点，这样通常
所说的最优解均指局部最优解。
7.3 离散最优解（续）
三、收敛准则 设当前搜索到的最好点为x(k)，需要判断其是否
收敛。
在x(k)的单位邻域中查3n – 1个点，若未查到比x(k)
题的最优（称为离散最优点）的坐标．这便构成离
散变量最优化问题的凑整解法。
7.4 凑整解法与网格法（续） 图中A、B两点分别表示二维离散变量优化问 题凑整法中的连续最优点与离散最优点。
7.4 凑整解法与网格法（续） 凑整法可能出现的两个问题：
1、与连续最优点A最接近的离散点B落在可行域外，不 可以接受；
T
P 个离散设计变量组成P维离散设计空间。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
p个离散变量全部可取的离散值的集合称为p维 离散变量的值域，可用一个p*l阶的矩阵Q来表示
q11 q 21 Q q p1 q12 q22 q p2 q1l q2 l q pl pl
离散点：，qij1 , qij , qij1 , 离散间隔： ， i i
D
i 1,2,, n
j 1,2,, l代表离散点个数；
只有在均匀离散空间中 ：i i
X x1 , x2 ,, x p


T
Rp
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续） 2、二维离散设计空间
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
二、非均匀离散变量和连续变量的均匀离散化处理 1、整型变量的离散
整型变量可看作为是离散间隔恒定为1的离散 变量。是离散变量的特例。
2、连续变量的离散化 有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量 转化为拟离散变量。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
7.5 离散复合形法（续）
一、初始离散复合形的产生
1、初始离散点的确定
用复合形法在n维离散设计空间搜索时，通常取 初始离散复合形的顶点数为K=2n+1个。先给定一 个初始离散点X(0)，X(0)必须满足各离散变量值的边 界条件，即：
x x
x
( j) i
ai ri (bi ai )
( j)
i 1, 2,, n ;
j 2,3,, k
将第q+1点朝着点X (s)的方向移动，新点X (q+1)为： X(q+1)= X(s)+0.5 (X(q+1)—X(s))
X
(r )
X
(c)
(X
(c)
X
( h)
)
反射系数的初值一般取 1.3
量优化设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到
离散值上。 弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是 离散最优解。
8.1 引 言（续） x*是连续变量的最优点；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可行；
x2
x(2)是最近的可行离散 点，但不是离散最优点；
●
X(2) X
x(3)是离散最优点。
0
●
X(3)
7.4 凑整解法与网格法（续） 点若不可行，则去掉； X(k)点 若可行，则计算目标函数值f(X(k))，并与以前计 算取得的可行最好点x(l)比较,若f(X(k))<f(X(l)), 则将X(k)作为新的最好点 继续检查所有的全部离散点后，其最好点就是该 优化问题的最优解X**。 优点：原理简单 缺点：设计变量维数n以及每个变量离散值数目很 多时，计算量大。
的目标函数值更小的点，则收敛，x*=x(k) 。
7.4 凑整解法与网格法 一、凑整解法
解决离散变量的优化问题很容易考虑为；将离
散变量全都权宜地视为连续变量，用一般连续变量 最优化方法求得最优点（称为连续最优点），然后 再把该点的坐标按相应的设计规范和标准调整为与 其最接近的整数值或离散值，作为离散变量优化问
7.3 离散最优解
由于离散设计空间的不连续性，离散变量最优点与 连续变量最优点不是同一概念，必须重新定义。
1．离散单位邻域（UN(X)) 在设计空间中，离散点X的单位邻域UN(X)是 指如下定义的集合。
X xi i , xi , xi i , i 1, 2,... p) UN ( X ) X xi i , xi , xi i , i p 1, p 2,...n)
8.1 引 言
在许多工程问题中，设计变量实际上不是连续 变化的。 齿轮的齿数只能是正整数．是整型变量； 齿轮的模数应按标准系列取用；
钢丝直径、钢板厚度、型钢的型号也都应符合 金属材料的供应规范等等
属于这样的一些必须取离散数值的设计变量
均称为离散变量。
8.1 引 言（续）
一、 变量类型 工程实际问题中不是单一的连续变量，经常 是各种类型变量的混合。有： 连续变量 确定型 整型变量
二维连续设计变量的设计空间是代表该两个 变量的两条坐标轴形成的平面；
二维离散设计空间则 是上述平面上的某些 点的集合； 这些点的坐标值分别离 散变量可取的离散值．称 为二维离散设计空间的离 散点，
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续） 3、三维离散设计空间
对于三维离散变量，过每个变量离散值作该 变量坐标轴的垂直面．这些平面的交点的集合就 是三维离散设计空间。
●
●
F
G
H
0
7.3 离散最优解（续） 2、离散坐标邻域（UC(X)) 在设计空间中离散点X的离散坐标邻域UC(X)是指 以X点为原点的坐标轴线和离散单位邻域UN（X）的 交点的集合。 图示离散坐标邻域为：
UC( X ) B, D, E, G, X
一般在p维离散变量情况下 离散坐标邻域的离散点总数 为N=2p+1。
● ●
x* (1) x1
§7பைடு நூலகம்2 离散变量优化设计的基本概念