第九章 动量矩定理
第九章 动量定理
v v2 = 0
（a ）
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第九章 动量定理
【解】 1）以机车和车辆为研究对象。 以机车和车辆为研究对象。 （ 它们在撞击过程中相互作用力是内力， 它们在撞击过程中相互作用力是内力，作用在系统上的 外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外， 外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外，无其 它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量， 它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量，即系统的 动量在水平轴x方向是守恒的 方向是守恒的。 动量在水平轴 方向是守恒的。
将质点系中每个质点的动量定理相加， 将质点系中每个质点的动量定理相加，有
v v d v ∑ dt (mv ) = ∑ Fe + ∑ Fi v 因内力为零， 因内力为零，即 ∑ Fi = 0
故
v d v ∑ mv = ∑ Fe dt
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第九章 动量定理
各质点动量的矢量和， 表示， 各质点动量的矢量和，质点系的动量用 p 表示，即
x ∑ m&& = ∑ F ∑ m&y& = ∑ F ∑ m&z& = ∑ F
（9－17） － ） cy cz
cx
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第九章 动量定理
或
M&&c = ∑ Fcx x M&&c = ∑ Fcy y &&c = ∑ Fcz Mz
第九章 动量定理
例9-2 机车的质量为 m 1 ，车辆的质量为 m 2 ，它们系通过 相互撞击而挂钩的。若挂钩前， 相互撞击而挂钩的。若挂钩前，机车的速度为 v1 ，车辆处于 静止，如图（ 所示。 ；（2 静止，如图（a）所示。求（1）挂钩后的共同速度 u ；（2） 在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击力。 在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击力。设挂钩时间为t 轨道是光滑和水平的。 秒，轨道是光滑和水平的。
动量矩定理
17
四、平面运动微分方程
y'
F1
y
c
Fn o
x'
Fi x
利用相对质心的动量矩定理：
dLrc
dt
M C (Fi )
利用质心运动定理：
mac mv&c m&r&c Fi
macx mv&cx m&x&c Fix macy mv&cy m&y&c Fiy Jc Jc& Jc&& M c (Fi )
➢ 质点系对固定轴的动量矩：
n
Lx mi ( yiviz ziviy ) i1
n
Ly mi (zivix xiviz ) i1
n
Lz mi (xiviy yivix ) i1
2020/6/18
4
一、动量矩 刚体的动量矩
➢ 平移刚体对点O的动量矩：
v
mi
mv
z
C
o ri rC
y
LO (ri miv) (miri ) v
e
O
由 &, a r1 得小车上升的加速度
FN
v2
B
m2 g
r2
Foy
r1
O
M
mg
Fox
v1
A
m1g
a
M
( m1r1 m2r2sin
JO m1r12 m2r22
)g
r2
三、刚体绕定轴转动微分方程
刚体绕定轴转动微分方程：
J z J z& J z&& M z (Fi )
转动惯量：
= mrc v = rc mv
动量矩定理公式
动量矩定理公式
动量矩定理公式是描述物体运动状态的基本定律之一，它是在牛顿第二定律的基础上发展起来的。
根据动量矩定理公式，物体的运动状态可以用动量和矩来描述。
其中，动量是物体的质量和速度的乘积，矩则是力对物体作用的力臂乘积。
动量矩定理公式可以表示为：动量矩 = 力矩，即动量矩守恒。
在物理学中，动量矩定理公式被广泛应用于解决物理问题，特别是在机械运动和力学领域。
通过对动量矩定理公式的分析，我们可以了解物体运动状态的变化过程，分析物体的动量和角动量，探究运动与力学的基本关系。
同时，动量矩定理公式也为工程设计、车辆运动控制、机器人技术等领域提供了理论支持。
简而言之，《动量矩定理公式》是描述物体运动状态的基本定律之一，它将动量和矩联系在了一起，为我们提供了解决物理问题的基本工具。
- 1 -。
动量矩定理公式总结
动量矩定理公式总结
动量矩定理是物理学中的重要概念，它描述了物体在受到外力作用时的运动状态变化。
在本文中，将介绍动量矩定理的概念和公式，并探讨其在物理学研究中的应用。
动量矩定理是指，物体在受到外力作用时，它的动量随时间的变化率等于作用在物体上的合外力矩。
换句话说，动量矩定理描述了物体受到外力矩作用时的转动运动状态变化。
动量矩定理的公式为：dL/dt = M，其中dL/dt表示物体动量的变化率，M表示作用在物体上的合外力矩。
这个公式可以用来计算物体运动时的动量变化情况，以及外力矩对运动状态的影响。
除了上述公式，动量矩定理还可以用向量形式表示。
具体而言，物体的角动量L等于它的动量p与位置向量r的叉积，即L = r × p。
在这种情况下，动量矩定理可以表示为dL/dt = M × r，其中M表示外力矩。
动量矩定理在物理学研究中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，动量矩定理可用于计算机械系统的运动状态，以及预测其运动轨迹。
在天体物理学中，动量矩定理可用于研究行星、恒星等天体的旋转运动状态。
总之，动量矩定理是物理学中的重要概念，它描述了物体在受到外力作用时的运动状态变化。
通过了解动量矩定理的概念和公式以及其在物理学研究中的应用，我们可以更好地理解物体的运动状态变化和物理规律。
理论力学第九章动量定理
mi
dபைடு நூலகம்
2
ri
dt2
mivi
Fie Fii
Fie
质心运动定理
c y
质点系质量与质心加速度乘积等于作用于质点系上外力主矢量
m d2 xC
dt2
Fixe FR x
m
d2 d
yc t2
Fiye FR y
m
d2 zc dt2
Fize FR z
m vc2
Fi
e n
m d vC dt
px
二、冲量
定义： 力在某一时间段里的累积效应
1、常力
I Ft
2、变力：
t2
I Fdt
t1
t2
t2
I x Fx d t
I y Fy d t
t1
t1
t2
I z Fz d t
t1
t2
t2
t2
t2
t2
I F d t (F1 F2 Fn ) d t F1 d t F2 d t Fn d t
例2 一人在高为h的悬崖边以v0的速度平抛一块石子， 当空气阻力F=- kmv时,试求：石子的运动方程。
解： 建立微分方程:
mx -Fx -kmx
y
my -Fy - mg -kmy - mg
v0
mg
x -kx
dx x
-kdt
ln
x
|x x0
-kt
Fx
y
x v0e-kt
dx - v0 e-ktd(-k t) k
（1）力是常力 F 常矢量
例如：重力
'' x'' mx Fx
x Fx m
工程力学 第9章 动量原理
maz
mz
Fiz
直角坐标系形式
mat ms Fit
man
v2 m
Fin
mab 0 Fib
自然轴系形式
动量原理
9.1 质点运动微分方程和动量定理
9.1.1 质点运动微分方程
矢量形式的运动微分方程 ma mr Fi
mmaaxy
mx my
Fix Fiy
maz mz Fiz
在直角坐标系 Oxyz 下
xC
mi xi m
, yC
mi yi m
, zC
mi zi m
mxC mi xi , myC mi yi , mzC mi zi
动量原理
9.2 质点系的动量定理及质心运动定理 m mi , mrC miri , mxC mi xi , etc
p mvC 质点系的动量等于质点系的总质量与其质心的速度的乘积。
直角坐标轴投影式
px py
mvCx mvCy
pz
mvCz
动量原理
9.2 质点系的动量定理及质心运动定理 m mi , mrC miri , mxC mi xi , etc
9.2.1 质点系的动量
质点系的动量
p mvC px mvCx , py mvCy , pz mvCz
直角坐标系形式
已知运动求力 加速度 → 受力
mat ms Fit
man
v2 m
Fin
mab 0 Fib
自然轴系形式
已知力求运动
受力 → 加速度 速度 运动方程
动量原理
9.1.1 质点运动微分方程
动量原理
9.1 质点运动微分方程和动量定理 9.1.2 质点的动量定理
第九章动量定理分解
9-3 质心运动定理
2.质心守恒定律 —多用于求位移
若 F (e ) 0 ， 则 p m v C 常;矢量 若 F x (e ) 0 ， 则 p x m C v x 常 , 量
若初始质心静止， vCx则 0 xC cons.或 t (xC1 xC2)
1 2 0 2 0 a A 3 0 a B
( 1 )
而SB 12aBt2,有
5
1 2
aB
22 ,
故 a B52(m/s2)
代入式(1),得
aA
9 4
m/s2
SA 12aAt2 4.5m
故 S A B S B S A 5 4 .5 0 .5 m
F
A
9-3 质心运动定理 1. 为什么 a B =常量?
1)常力的冲量 IFt
2)变力的冲量
t
I Fdt
0
问题 1. 求均质杆的动量 p，p l ωm 对吗?
2
m,l
对。
方向与质心速度相同。
C
vC
9-1 动量和冲量
问题 2. 已知m,r,,比较两环 p1 , p2 大小?(纯滚轮)
小球固结在环上
mv
o1
m
r
v O1
2m
o2
r
vO2
p mivCi
连杆AB（P为速度瞬心）：
PC 2 25l;ABP vAA
vC2
25lAB
5l
2
滑块B： vC3PB AB 2l
9-1 动量和冲量
2.求系统的动量
pp1p2p3
m vC 1m vC 2m vC 3
Pxi Py j
设vC2与x轴负向所成夹， 角则为
动量矩定理
3 动量矩定理动量定理给出了三个独立的方程，在某种意义上来说，它只解决了一个点(质心)的运动问题，不足以全面地描述质点系的运动状态。
例如，一均质圆盘绕过质心且垂直于圆盘的定轴转动，不论圆盘转动快慢如何，也不论其转动快慢有何变化，它的动量始终为零。
这说明动量定理不能反映这种运动的规律。
动量矩定理反映了质点系外力系在空间的分布与质点系运动之间的规律。
设n 个质点组成质点系，其中第i 个质点的质量为m i ，矢径为r i ，瞬时速度为v i ，该质点对固定点O 的动量矩为L Oi (图8-1)定义为(8.1.12) ),...,2,1(,n i m i i i Oi =×=v r L 动量矩是一个矢量。
定义质点系对O 点的动量矩为质点系中每个质点对同一点动量矩的矢量和，即(8.1.13)i i ni i ni Oi O m v r L L ×==∑∑==11在直角坐标系中，质点系的动量矩可表示为(8.1.14) k j i L z y x O L L L ++=式中L x , L y , L z 为质点系动量矩L O 分别在轴x , y , z 上的投影。
类似静力学中力对点之矩和力对轴之矩的关系，有质点系对点O 的动量矩在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩，即质点系对坐标轴x , y , z 的矩为(8.1.15)∑∑∑===−=−=−=ni ix i iy i i z n i n i iz i ix i i y iy i iz i i x v y v x m L v x v z m L v z v y m L 111)(,)(,)(作为特殊的质点系，刚体作平移和定轴转动时动量矩的计算相对简单。
(1) 平移刚体对O 点的动量矩 设平移刚体的质量为m ，同一瞬时刚体上各点的速度均相等，用v 表示，由式(8.1.13)得()v r v r v r L m m m C i i i i i O ×=×=×=∑∑)( (8.1.16)因此，刚体平移时，可将全部质量集中在质心，作为一个质点计算其动量矩。
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第九章 动量矩定理
一、目的要求
1．对质点系（刚体、刚体系）的动量矩，质点系（刚体、刚体系）对某轴
的转动惯量等概念有清晰的理解，熟练地计算质点系对某定点（轴）的动量矩，
根据刚体（系）的运动计算刚体（系）对某点（轴）和质心的动量矩，会用定义、
平行移轴定理和组合法（分割法）计算刚体对某轴的转动惯量。
2．能熟练地应用质点系的动量矩定理（包括动量矩守恒）和刚体绕定轴转
动微分方程求解动力学问题。
3．会应用相对质心的动量矩定理和刚体平面运动微分方程求解动力学问题。
二、基本内容
1．质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）和质心的动量矩、转动惯量的
概念及计算。
1）质点系对某定点（轴）及质心的动量矩
ccciiiiiLvmrvmrvmmL)(00
iriciiic
vmrvmrL
为质点系对质心C的动量矩。
zziiiizzLvmmvmmL][)]([)(00
，z是过定点O的轴。
2）平动刚体对某定点O的动量矩
ccvrML0
3）绕定轴转动刚体对转轴z的动量矩
ziiz
JrmL)(
2
4）平面运动刚体对运动平面内定点O的动量矩
cccJvMrLsin0
iri
vv,
分别为第i个质点的绝对速度和相对于坐标原点在质心的平动坐标系的
速度，cv为质点系（刚体、刚体系）质心的绝对速度，czJJ、分别为刚体对转轴
和质心轴的转动惯量，为定点O到质点系质心的矢径与质心速度的夹角，为
刚体转动的角速度。
（4）转动惯量
1）定义 dmrrmJmiiz22
2）引入回转（惯性）半径 2zzmJ
z
为刚体对转轴的回转半径
3）平行轴定理 2MlJJ
c
zz
l
为轴Z和轴Zc间的距离
4）组合法（分割法）
n
zzzz
JJJJ
2．主要公式
（1）动量矩定理
n
i(e)iFMdtLd1
0
0
)(
（a）
iiiiivmrvmmL)(00
是质点系对定点O的动量矩
n
ieiieiFrFm1
)()(
0
)(
是外力系对O点的主矩
（2）刚体绕定轴转动微分方程
)(
izz
MdtdJF
（b）
2
iiz
rmJ
，是刚体对转轴z的转动惯量
（3）质点系相对于质心的动量矩定理
)(
)(e
iccc
FMdtLdJ
（4）刚体平面运动微分方程
)()(1)(1)(eiccnieiycynieixcxMJFMaFMaF
（c）
式中2iiCrmJ，是平面运动刚体对质心C的转动惯量。/
)()(eicMF
是外力系对质心C的主矩。
三、重点难点
1．重点：
（1）质点系（刚体、刚体系）动量矩、转转惯量的计算。
（2）质点系的动量矩定理和刚体绕定轴转动微分方程。
2．难点：
（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）动量矩的概念及计算方法。
（2）相对质心的动量矩定理、刚体平面运动微分方程的应用。
四、学习建议
（1）强调动量矩中所用到的速度、角速度均为绝对速度、绝对角速度。
（2）通过复习力对点之矩的计算引出动量对点之矩——动量矩的概念。
（3）刚体对定点（轴）的动量矩的计算与刚体的运动有关。
（4）通过复习力对点之矩的计算引出动量对点之矩——动量矩的概念。
（5）刚体对定点（轴）的动量矩的计算与刚体的运动有关。
（6）强调应用动量矩定理、刚体绕定轴转动微分方程解题的关键是会正确
地构造出等式两端的各项，多做相应的练习。
（7）清楚相对于质心的动量矩定理的引出及力学意义。
（8）清楚如何选取研究对象建立刚体的平面运动微分方程，如何利用运动学条
件加列补充方程。