高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第6讲 数学归纳法知能训练轻松闯关 理 北师大版
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 66 直接证明与间接证明、数学归纳法课件 理
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微考点·大课堂
考点例析 对点微练
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考点一 分析法 【例 1】 已知 a，b∈R，a>b>e(其中 e 是自然对数的底数)，用分析 法求证：ba>ab。
证明 因为 a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证 ba>ab，只需证 alnb>blna，只 需证lnbb>lnaa。
①当 n＝1 时，S1＝1＝14，等式成立。 ②假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，
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即 S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4， 那么，当 n＝k＋1 时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2 ＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k ＋1＝(k＋1)4，这就是说，当 n＝k＋1 时，等式也成立。 根据①和②，可知对于任意的 n∈N*， S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4 都成立。
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综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要 证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。 其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎 规律，才能保证结论的正确性。
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必考部分(bù fen)
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第六章 不等式、推理(tuīlǐ)与证明
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高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 . 直接证明与间接证明练习 理-课件
第六章 不等式、推理与证明 6.6 直接证明与间接证明练习 理[A 组·基础达标练]1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设是( )A ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．自然数a ，b ，c 都是奇数D ．自然数a ，b ，c 都是偶数 答案 B解析 “恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或是奇数”，故选B. 2．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2 C ．至少有一个不小于2 D ．至少有一个不大于2 答案 C解析 由于y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ≥2＋2＋2＝6，∴y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y中至少有一个不小于2.故选C.3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证 b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0答案 C解析 由a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0可得b ＝－a －c ，a >0，c <0.要证b 2－ac <3a ，只要证(－a －c )2－ac <3a 2，即证a 2－ac ＋a 2－c 2>0， 即证a (a －c )＋(a ＋c )(a －c )>0， 即证a (a －c )－b (a －c )>0， 即证(a －c )(a －b )>0.故求证“b 2－ac <3a ”索的因应是 (a －c )(a －b )>0.4．[2015·合肥一模]对于函数f (x )，若∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )都是某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是( )A ．f (x )＝1(x ∈R )不是“可构造三角形函数”B ．“可构造三角形函数”一定是单调函数C ．f (x )＝1x 2＋1(x ∈R )是“可构造三角形函数”D ．若定义在R 上的函数f (x )的值域是[e ，e](e 为自然对数的底数)，则f (x )一定是“可构造三角形函数”答案 D解析 对于A 选项，由题设所给的定义知，∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )都是某一正三角形的三边长，是“可构造三角形函数”，故A 选项错误；对于B 选项，由A 选项判断过程知，B 选项错误； 对于C 选项，当a ＝0，b ＝3，c ＝3时，f (a )＝1>f (b )＋f (c )＝15，不构成三角形，故C 错误；对于D 选项，由于e ＋e>e ，可知，定义在R 上的函数f (x )的值域是[e ，e](e 为自然对数的底数)，则f (x )一定是“可构造三角形函数”．5．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)>0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1答案 B解析 A 选项错误，(a ＝0)不成立，C 选项，当a ＝0，b ＝－1时不成立，D 选项，ab <0不成立，故选B.6．[2015·青岛期末]已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2答案 D解析 由题意，可得m 2＋2m 的最大值应小于2y x ＋8x y 的最小值，所以由基本不等式可得2y x＋8x y≥22y x ·8x y ＝8，当且仅当2y x ＝8x y，即y ＝4x 时等号成立，所以m 2＋2m <8，解得－4<m <2，故答案为D.7．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________．答案 (0,16]解析 ∵a ，b ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋⎝⎛⎭⎪⎫9a b ＋b a≥10＋29＝16(当且仅当a ＝4，b ＝12时等号成立)，∴a ＋b 的最小值为16.∴要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.8．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．答案 A ≤B ≤C 解析 因为a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C . 9．[2015·陕西二模]小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)．小明依次共答了10道题，设正确率依次相应为a 1，a 2，a 3，…，a 10.现有三种说法：①若a 1<a 2<a 3<…<a 10，则必是第一题答错，其余题均答对；②若a 1>a 2>a 3>…>a 10，则必是第一题答对，其余题均答错；③有可能a 5＝2a 10.其中正确的个数是________．答案 3个解析 ①②显然成立，③前5个全答对，后5个全错，符合题意，故正确的有3个． 10．[2015·南昌一模]设无穷数列{a n }，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －A |<ε成立，就称数列{a n }的极限为A .则四个无穷数列：①{(－1)n×2}；②{n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1；④⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋1n ，其极限为2的共有________个．答案 2解析 对于①，|a n －2|＝|(－1)n×2－2|＝2×|(－1)n－1|，当n 是偶数时，|a n －2|＝0，当n 是奇数时，|a n －2|＝4，所以不符合数列{a n }的极限的定义，即2 不是数列{(－1)n×2}的极限；对于②，由|a n －2|＝|n －2|<ε，得2－ε<n <2＋ε，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε，即2不是数列{n }的极限；对于③，由|a n－2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n1－12－2＝22n<ε，得n >1－log2ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1的极限；对于④，由|a n －2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2n ＋1n －2＝1n <ε，得n >1ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋1n 的极限．综上所述，极限为2的共有2个，即③④. [B 组·能力提升练]1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，用反证法证明时，假设的内容是________．答案 假设a ，b ，c 都不是偶数解析 “至少有一个是”否定为“都不是”．2．[2016·福建模拟]对于30个互异的实数，可以排成m 行n 列的矩形数阵，如图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．将30个互异的实数排成m 行n 列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为a 1，a 2，…，a m ，并设其中最小的数为a ；把每列中最小的数选出，记为b 1，b 2，…，b n ，并设其中最大的数为b .两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：①a 和b 必相等；②a 和b 可能相等；③a 可能大于b ；④b 可能大于a . 以上四个结论中，正确结论的序号是________(请写出所有正确结论的序号)． 答案 ②③解析 不妨假设m 行n 列的矩形数阵，为如题图所示的5行6列的矩形数阵，则由题意可得a 的最小值为6，最大值为30；而b 的最小值为6，最大值为26，且在同一个5行6列的矩形数阵中，一定有a ≥b ，故②③正确，而①④不正确．3．已知△ABC 三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，证明：∠B 为锐角． 证明 要证明∠B 为锐角，只需证明cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac>0，即证a 2＋c 2－b 2>0，由于a 2＋c 2－b 2≥2ac －b 2，∴要证a 2＋c 2－b 2>0只需证2ac －b 2>0. ∵a 、b 、c 的倒数成等差数列， ∴1a ＋1c ＝2b，即2ac ＝b (a ＋c )．∴要证2ac －b 2>0，只需证b (a ＋c )－b 2>0 即证b (a ＋c －b )>0，上述不等式显然成立， ∴∠B 为锐角．4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)·cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)·cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 证法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋cos(30°－α)[cos(30°－α)－sin α]＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)[(cos30°cos α＋sin30°·sin α)－sin α]＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)·(cos30°cos α－sin30°·sin α) ＝sin 2α＋(cos30°cos α)2－(sin30°sin α)2＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34.。
高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第6节 直接证明与间接证明课件 理
答案 1．(1)推理论证 成立 2．(1)要证明的结论 充分条件
1．判断正误 (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成 立的充要条件．( ) (3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方 法，再用综合法展现解决问题的过程．( ) (4)证明不等式 2＋ 7< 3＋ 6最合适的方法是分析 法．( )
答案 不成立 矛盾
4．用反证法证明命题：“已知 a，b∈N，若 ab 可被 5 整除，则 a，b 中至少有一个能被 5 整除”时，反设正确的 是( )
A．a，b 都不能被 5 整除 B．a，b 都能被 5 整除 C．a，b 中有一个不能被 5 整除 D．a，b 中有一个能被 5 整除
解析：对原命题的结论的否定叙述是：a，b 都不能被 5 整除．
用分析法证明：若 a>0，则 a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
证明：要证 a2＋a12－ 2≥a＋1a－2， 只要证 a2＋a12＋2≥a＋1a＋ 2. ∵a>0，故只要证( a2＋a12＋2)2≥(a＋1a＋ 2)2， 即 a2＋a12＋4 a2＋a12＋4≥a2＋2＋a12＋2 2(a＋1a)＋2，
证明：由题意得，Sn＝na＋n（n－ 2 1）d. 由 c＝0，得 bn＝Snn＝a＋n－2 1d. 又因为 b1，b2，b4 成等比数列，所以 b22＝b1b4， 即a＋d22＝aa＋32d，化简得 d2－2ad＝0. 因为 d≠0，所以 d＝2a. 因此，对于所有的 m∈N*，有 Sm＝m2a. 从而对于所有的 k，n∈N*，有 Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．要证明 3＋ 7<2 5，可选择的方法有以下几种，其
近年高考数学一轮复习 第6章 不等式及其证明 第6节 数学归纳法课时分层训练(2021年整理)
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课时分层训练（三十五) 数学归纳法A组基础达标（建议用时：30分钟)一、选择题1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是（）A．1 B．2C．3 D．4C［∵n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2时,22＝4，2×2＋1＝5,2n〉2n＋1不成立；n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7,2n〉2n＋1成立．∴n的第一个取值应是3.］2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立,并在假设当n＝k（k≥1且k ∈N*)时命题成立的基础上,证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述,对于（）【导学号：51062211】A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对B[本题证的是对n＝1，3,5，7，…命题成立,即命题对一切正奇数成立．］3．在数列｛a n}中，a1＝错误!，且S n＝n（2n－1)a n，通过求a2，a3，a4,猜想a n的表达式为（）A.错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!C［由a1＝错误!，S n＝n(2n－1)a n求得a2＝错误!＝错误!，a3＝错误!＝错误!，a4＝错误!＝错误!.猜想a n＝错误!。
浙江专版高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第6节数学归纳法课时分层训练
——教学资料参考参考范本——浙江专版高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第6节数学归纳法课时分层训练______年______月______日____________________部门A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是( )A．1 B．2C．3 D．4C [∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．∴n的第一个取值应是3.]2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( ) 【导学号：51062211】A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对B [本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．]3．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )A. B.1C. D.1C [由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.]4．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2C [边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加(n－1)条．]5．用数学归纳法证明3(2＋7k)能被9整除，证明n＝k＋1时，应将3(2＋7k＋1)配凑成( ) 【导学号：51062212】A．6＋21·7k B．3(2＋7k)＋21C．3(2＋7k) D．21(2＋7k)－36D [要配凑出归纳假设，故3(2＋7k＋1)＝3(2＋7·7k)＝6＋21·7k＝21(2＋7k)－36.]二、填空题6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝__________时，命题亦真．2k＋1 [n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．]7．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为__________. 【导学号：51062212】(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 [当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.]8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为__________________．f(2n)>(n≥2，n∈N*)[因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)．]三、解答题9．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)．[证明] (1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立.4分(2)假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－.7分当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－1k＋1＝2－命题成立.14分由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立.15分10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0)．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明. 【导学号：51062213】[解] (1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.6分(2)由(1)可猜想数列通项公式为：an＝(n－1)λn＋2n.8分下面用数学归纳法证明：①当n＝1,2,3,4时，等式显然成立，②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时等式成立，即ak＝(k－1)λk＋2k，10分那么当n＝k＋1时，ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想成立，由①②知数列的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n(n∈N*，λ>0).15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是( )A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立D [∵f(k)≥k2成立时，f(k＋1)≥(k＋1)2成立，∴f(4)≥16时，有f(5)≥52，f(6)≥62，…，f(k)≥k2成立．]2．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝__________；当n>4时，f(n)＝__________(用n表示)．5 (n＋1)(n－2)(n≥3)[f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)(n≥3)．]3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式. 【导学号：51062214】[解] (1)由题意知S2＝4a3－20，∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.2分又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.6分(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，结论显然成立；7分②假设当n＝k(k≥1)时，ak＝2k＋1，则Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝＝k(k＋2)．又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，解得2ak＋1＝4k＋6，13分∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1.15分。
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明66直接证明与间接证明数学归纳法课件理新人教A版
“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应 用的解题模式。其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结 论，然后用数学归纳法证明。这种方法在解决探索性问题、存在性问题或 与正整数有关的命题中有着广泛的应用。其关键是归纳、猜想出公式。
【变式训练】 将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)， (11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和 如下，试猜测 S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1 的结果，并用数学归纳法证明。
答案 ③
5．设 a，b，c 都是正数，则 a＋1b，b＋1c，c＋1a三个数( ) A．都大于 2 B．都小于 2 C．至少有一个不大于 2 D．至少有一个不小于 2
解析 因为a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥6，当且 仅当 a＝b＝c＝1 时取等号，所以三个数中至少有一个不小于 2。故选 D。
样的证明方法叫做反证法。
3．数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)证明当 n 取 第一个值 n0(n0∈N*) 时命题成立，这一步是归纳奠基。 (2)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成 立，这一步是归纳递推。
完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。
答案 D
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
考点一 分析法 【例 1】 已知 a，b∈R，a>b>e(其中 e 是自然对数的底数)，用分析 法求证：ba>ab。
证明 因为 a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证 ba>ab，只需证 alnb>blna，只 需证lnbb>lnaa。
高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6.6直接证明与间接证明课时训练理(2021年整理)
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6。
6 直接证明与间接证明[课时跟踪检测][基础达标]1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b〉c，且a＋b＋c ＝0,求证：错误!〈错误!a”索的因应是( ）A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c）>0D．（a－b）(a－c）〈0解析：b2－ac〈3a⇔b2－ac<3a2⇔（a＋c）2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔（a－c)(2a＋c)〉0⇔(a－c)（a－b）〉0。
答案：C2．若P＝错误!＋错误!,Q＝错误!＋错误!（a≥0),则P,Q的大小关系是( )A．P>Q B．P＝QC．P〈Q D．由a的取值确定解析:假设P〉Q，要证P>Q，只需证P2>Q2,只需证：2a＋13＋2错误!>2a＋13＋2a＋8a＋5，只需证a2＋13a＋42>a2＋13a＋40，即证42>40，因为42>40成立,所以P〉Q成立．答案：A3．设f(x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x)单调递减，若x＋x2〉0，则f（x1）＋f(x2)的值( )1A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析：由f(x)的定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2〉0,可知x1〉－x2，f（x1)<f（－x2）＝－f(x2），则f(x1）＋f(x2)<0.答案：A4．设a＝3－错误!,b＝错误!－错误!，c＝错误!－错误!，则a、b、c的大小顺序是（)A．a>b>c B．b〉c〉aC．c〉a>b D．a〉c>b解析：因为a＝错误!－错误!＝错误!，b＝错误!－错误!＝错误!，c＝错误!－错误!＝错误!,且错误!＋错误!>错误!＋错误!>错误!＋错误!〉0,所以a〉b〉c.答案：A5．已知函数f（x）＝错误!x，a,b是正实数，A＝f错误!，B＝f（错误!),C ＝f错误!,则A,B，C的大小关系是（）A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A解析：因为错误!≥错误!≥错误!，又f(x)＝错误!x在R上是减函数，所以f错误!≤f（错误!）≤f错误!.答案：A6．要使错误!－错误!〈错误!成立,则a,b应满足( )A．ab〈0且a>bB．ab>0且a〉bC．ab<0且a<bD．ab>0且a>b或ab〈0且a〈b解析：要使错误!－错误!<错误!成立，只要（错误!－错误!)3<(错误!）3成立,即a－b－3错误!＋3错误!<a－b成立，只要错误!<错误!成立，只要ab2〈a2b成立，即要ab(b－a)<0成立，只要ab>0且a〉b或ab〈0且a<b成立．故选D。
高考数学(理)一轮复习 课件+练习：第六章 不等式、推
第六章 不等式、推理与证明
第六节 直接证明与间接证明
栏 目 链 接
考纲要求
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了 解分析法和综合法的思考过程、特点．
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法 的思考过程、特点．
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考点探究
考点1 用综合法证明命题
考点探究
所以ab2＋bc2＋ca2≥3. 点评：(1)综合法也是中学数学证明中常用的一种方法．它是一 种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知 条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导 出所要求证结论的真实性． 简而言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是 三段论式的演绎推理方法．
即 15＋2 54＜15＋2 56， 只需证 54＜ 56，即证 54＜56. ∵54＜56 成立，∴原不等式成立． 点评：分析法的特点和思路是“执果索因”，是逆向思维，即从 “未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性 质或已经证明成立的结论等．通常采用“欲证——只需证——已知” 的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．应用分析法证明问题时要 严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
考点探究
考点2 用分析法证明命题
【例 2】 求证：3＋ 6＜2 2＋ 7. 思路点拨：由于所证的不等式两边都是正数，并且有根式，需平 方，宜用分析法． 自主解答： 证明：3＋ 6＞0，2 2＋ 7＞0， 欲证 3＋ 6＜2 2＋ 7成立， 只需证(3＋ 6)2＜(2 2＋ 7)2 成立．
考点探究
考点探究
变式探究 1．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin (－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin (－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
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第6讲 数学归纳法
1．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )
A ．f (n )＋n ＋1
B ．f (n )＋n
C ．f (n )＋n －1
D ．f (n )＋n －2
解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．
2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )
A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N *)
B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N *)
C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N *)
D ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N *)
解析：选B.因为n 为正奇数，所以n ＝2k －1(k ∈N *)．
3．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1
<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推理n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．
解析：当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1
<k ；当n ＝k ＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1
<k ＋1.左边增加了2k 项． 答案：2k
4．(2016·九江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52
，f (16)>3，f (32)>72
，则其一般结论为________． 解析：因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22
. 答案：f (2n )>n ＋22
(n ≥2，n ∈N *) 5．求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)．
证明：(1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；
(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时等式成立，
即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )
＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)，
那么当n ＝k ＋1时，
左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1)
＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)
＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2
＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)．
这就是说当n ＝k ＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对所有n ∈N *等式成立．
6．(2014·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且
S 3＝15.
(1)求a 1，a 2，a 3的值；
(2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)由题意知S 2＝4a 3－20，所以S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20.
又S 3＝15，所以a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8.
又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7，
所以a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3.
综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.
(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，结论显然成立； ②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ＝2k ＋1，
则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k [3＋（2k ＋1）]2
＝k (k ＋2)．
又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，
所以k (k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，解得2a k ＋1＝4k ＋6，
所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，
即当n ＝k ＋1时，结论成立．
由①②知，对于∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.。