倍角公式
倍角公式和半角公式口诀
倍角公式和半角公式口诀倍角公式口诀：正弦二倍，正负取决；余弦二倍，正负不同；正切二倍，正负相同；余切二倍，正负取决。
半角公式口诀：正弦半角，加减号；余弦半角，加减号；正切半角，加减号；余切半角，加减号。
正文：在三角函数中，倍角公式和半角公式是非常重要的公式之一。
它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，从而更方便地进行计算和推导。
下面我们将分别介绍倍角公式和半角公式的口诀，并举例说明其应用。
倍角公式口诀是一种简单易记的口诀，可以帮助我们快速记忆倍角公式的变化规律。
首先我们来看倍角公式口诀：正弦二倍，正负取决；余弦二倍，正负不同；正切二倍，正负相同；余切二倍，正负取决。
这个口诀告诉我们，在倍角公式中，正弦和余切的正负取决于原角的正负，而余弦和正切的正负则与原角的正负相反。
这个口诀的记忆方式非常简单直观，让人很容易就能记住倍角公式的正负变化规律。
接下来我们通过一个具体的例子来说明倍角公式的应用。
假设我们需要计算sin(2x)的值，其中x是一个已知的角度。
根据倍角公式sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，我们可以利用已知角度x的正弦值和余弦值来求得sin(2x)的值，而无需直接求解sin(2x)的正弦值。
这样一来，我们可以大大简化计算的复杂度，提高计算效率。
接下来我们来看半角公式口诀：正弦半角，加减号；余弦半角，加减号；正切半角，加减号；余切半角，加减号。
这个口诀告诉我们，在半角公式中，正弦、余弦、正切和余切的正负变化规律。
根据这个口诀，我们可以很容易地记住半角公式的正负变化规律，从而在实际计算中更加得心应手。
接下来我们通过一个具体的例子来说明半角公式的应用。
假设我们需要计算sin(x/2)的值，其中x是一个已知的角度。
根据半角公式sin(x/2) = ±√[(1-cos(x))/2]，我们可以利用已知角度x的余弦值来求得sin(x/2)的值，而无需直接求解sin(x/2)的正弦值。
万能倍角公式
万能倍角公式万能倍角公式是三角学中一个非常重要的公式，它可以用来计算任意角的正弦、余弦、正切、余切等三角函数值。
万能倍角公式的具体形式如下：sin(nx) = sin x cos^{n-1} x + cos x sin^{n-1} xcos(nx) = cos x cos^{n-1} x - sin x sin^{n-1} xtan(nx) = frac{sin(nx)}{cos(nx)}cot(nx) = frac{cos(nx)}{sin(nx)}其中，(n) 是一个整数，(x) 是一个任意角。
公式推导万能倍角公式可以通过以下步骤推导出来：1. 首先，令 (n = 1)，则万能倍角公式变为：sin(x) = sin x cos^0 x + cos x sin^0 xcos(x) = cos x cos^0 x - sin x sin^0 x这显然是对的。
2. 其次，假设万能倍角公式对于 (n = k) 是成立的，即：sin(kx) = sin x cos^{k-1} x + cos x sin^{k-1} xcos(kx) = cos x cos^{k-1} x - sin x sin^{k-1} x3. 现在，我们来证明万能倍角公式对于 (n = k + 1) 也是成立的。
sin((k+1)x) = sin(kx + x)= sin(kx) cos x + cos(kx) sin x= (sin x cos^{k-1} x + cos x sin^{k-1} x) cos x + (cos x cos^{k-1} x - sin x sin^{k-1} x) sin x= sin x cos^k x + cos^2 x sin^{k-1} x + cos^2 x cos^{k-1} x - sin^2 x sin^{k-1} x= sin x cos^k x + cos^k x + cos^k x - sin^k x= sin x cos^k x + 2cos^k x - sin^k x= sin x (cos^k x + sin^k x) + cos^k x - sin^k x= sin x cos^k x + cos x sin^k x因此，万能倍角公式对于 (n = k + 1) 也是成立的。
三角函数的倍角公式与半角公式
三角函数的倍角公式与半角公式一、三角函数的倍角公式：1.正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ推导过程：利用正弦函数的定义sinθ = y/r和余弦函数的定义cosθ = x/r，将x和y用θ表示，得到：sin(θ) = (2y)/2r = (2y)/2(r)cos(θ) = (x)/r将上述两个函数代入sin(2θ) = 2sinθcosθ中，得到：sin(2θ) = 2(x)/2r * (2y)/2(r)= 2xy/4r^2= xy/2r^2根据直角三角形中的三角关系式x^2 + y^2 = r^2，可得y =sqrt(r^2 - x^2)，代入上述式子得到：sin(2θ) = x * sqrt(r^2 - x^2) / 2r^2由于θ是任意角度，所以x的范围是[-r, r)，故将x/r用sinθ表示，得到：sin(2θ) = sinθ * sqrt(1 - sin^2θ)= sinθ * cosθ故得到了正弦函数的倍角公式sin(2θ) = 2sinθcosθ。
2.余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - si n^2θ推导过程：由余弦函数定义cosθ = x/r和正弦函数定义sinθ = y/r，得到：cos(θ) = x/rsin(θ) = (y)/r将上述两个函数代入cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ中，得到：cos(2θ) = (x/r)^2 - ((y)/r)^2=x^2/r^2-y^2/r^2根据直角三角形中的三角关系式x^2+y^2=r^2，代入上述式子得到：cos(2θ) = (x^2 - r^2 + x^2) / r^2=(2x^2-r^2)/r^2由于θ是任意角度，所以x的范围是[-r, r)，故将x/r用sinθ表示，得到：cos(2θ) = (2(1 - sin^2θ) - r^2) / r^2= 2(1 - sin^2θ)/ r^2 - r^2 / r^2从而可得：cos(2θ) = 2cos^2θ - 1或者cos(2θ) = 1 - 2sin^2θ故得到了余弦函数的倍角公式cos(2θ) = 2cos^2θ - 1 = 1 -2sin^2θ。
倍角公式和半角公式1
倍角公式和半角公式1倍角公式和半角公式1倍角公式和半角公式是代数中常用的一组公式，用于求解角度的相关问题。
倍角公式用于在已知角度的情况下求解角度的两倍大小，而半角公式则用于在已知角度的情况下求解角度的一半大小。
这两个公式在几何学、三角学以及物理学中都有广泛的应用。
倍角公式是指将一个角度的两倍写成其他三个角度的函数形式。
对于任意角度θ，倍角公式可以用以下两种形式来表示：1.正弦倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)2.余弦倍角公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)在实际应用中，正弦倍角公式和余弦倍角公式通常是成对使用的。
其中，正弦倍角公式是通过将2θ拆解成θ+θ并利用正弦函数的和角公式推导而得，而余弦倍角公式则是通过将2θ拆解成θ+θ并利用余弦函数的和角公式推导而得。
半角公式是指将一个角度的一半写成其他两个角度的函数形式。
对于任意角度θ，半角公式可以用以下两种形式来表示：sin(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ))/2]cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ))/2]半角公式同样可以成对使用，分别应用于正弦函数和余弦函数。
这两个公式可以通过将θ拆解成2(θ/2)并利用正弦函数和余弦函数的倍角公式推导而得。
举例来说，假设我们需要求解sin(150°) 的值。
根据正弦半角公式，sin(150°) 可以写成sin(75°/2) 的形式。
再根据正弦半角公式，sin(75°/2) 可以表示为±√[(1 - cos(75°))/2]。
我们可以使用三角函数表或计算器来查找cos(75°) 的值，然后代入公式计算sin(75°/2) 的值。
再举一个例子，假设我们需要证明sin(3θ) = 3sin(θ) -4sin³(θ) 的恒等式。
倍角公式大全
倍角公式大全倍角公式是高等数学中的重要内容之一，它们可用于简化三角函数的计算，求解复杂的三角方程，以及证明三角恒等式。
本文将介绍常见的倍角公式，帮助读者更好地理解和应用它们。
正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式之一正弦函数的倍角公式之一表达式如下：$$ \\sin(2\\theta) = 2\\sin(\\theta)\\cos(\\theta) $$这个公式可以通过正弦函数的和差公式以及毕达哥拉斯定理来推导。
它表示一个角度的正弦值等于其一半角度的正弦值乘以余弦值。
正弦函数的倍角公式之二正弦函数的倍角公式之二为：$$ \\sin(2\\theta) = \\frac{2\\tan(\\theta)}{1 + \\tan^2(\\theta)} $$这个公式可以通过正弦函数的定义和切线函数的定义推导得到。
它表示一个角度的正弦值等于其切线值除以1加切线值的平方。
余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式之一余弦函数的倍角公式之一表达式如下：$$ \\cos(2\\theta) = \\cos^2(\\theta) - \\sin^2(\\theta) $$这个公式可以通过余弦函数的和差公式以及正弦函数的和差公式推导得到。
它表示一个角度的余弦值等于其余弦值的平方减去正弦值的平方。
余弦函数的倍角公式之二余弦函数的倍角公式之二为：$$ \\cos(2\\theta) = 1 - 2\\sin^2(\\theta) $$这个公式可以通过余弦函数的定义和正弦函数的倍角公式推导得到。
它表示一个角度的余弦值等于1减去2倍其正弦值的平方。
正切函数的倍角公式正切函数的倍角公式表达式如下：$$ \\tan(2\\theta) = \\frac{2\\tan(\\theta)}{1 - \\tan^2(\\theta)} $$这个公式可以通过正切函数的定义和正弦函数的倍角公式推导得到。
它表示一个角度的正切值等于其两倍的正切值除以1减去正切值的平方。
三角函数中的倍角公式与半角公式
三角函数中的倍角公式与半角公式三角函数是数学中的重要概念，在几何和物理学中有着广泛的应用。
在三角函数中，倍角公式和半角公式是其中两个重要的公式。
本文将详细介绍三角函数中的倍角公式和半角公式，以及它们的应用。
一、倍角公式倍角公式是指将一个角的两倍表示成该角的三角函数的形式。
三角函数的倍角公式主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ正弦函数的倍角公式可以通过三角函数的和差公式推导得出。
根据和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ令α = β = θ，可以得到：sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθ化简后得到正弦函数的倍角公式。
2. 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ余弦函数的倍角公式也可以通过三角函数的和差公式推导得出。
根据和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ - sinαsinβ令α = β = θ，可以得到：cos(θ + θ) = cosθcosθ - sinθsinθ化简后得到余弦函数的倍角公式。
3. 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)正切函数的倍角公式可以通过正弦函数和余弦函数的倍角公式推导得出。
将正弦函数和余弦函数的倍角公式代入正切函数的定义式，经过简化和化简可以得到正切函数的倍角公式。
二、半角公式半角公式是指将一个角的一半表示成该角的三角函数的形式。
与倍角公式类似，三角函数的半角公式也包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ) / 2]正弦函数的半角公式可以通过正弦函数和余弦函数的和差公式推导得出。
根据和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ令α = θ/2，β = θ/2，可以得到：sin(θ/2 + θ/2) = sin(θ/2)cos(θ/2) + cos(θ/2)sin(θ/2)化简后得到正弦函数的半角公式。
三角函数的倍角公式和半角公式
三角函数的倍角公式和半角公式三角函数是数学中非常重要的一部分，它们在几何形状、物理学和工程学等领域中广泛应用。
在三角函数中，倍角公式和半角公式是计算和简化三角函数值的重要工具。
本文将介绍三角函数的倍角公式和半角公式，并探讨它们的应用。
一、倍角公式倍角公式是指通过给定角的两倍来计算该角的三角函数值。
在三角函数中，常见的倍角公式包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ2. 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ3. 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)利用倍角公式，我们可以快速计算给定角的三角函数值，而无需通过查表或使用计算器。
例如，若需要计算sin 60°的值，我们可以使用正弦函数的倍角公式，将角度60°表示为90°的一半。
根据倍角公式sin(2θ) = 2sinθcosθ，可以得到sin 60° = 2sin 30°cos 30°。
由于sin 30°和cos 30°的值可以通过常见角的三角函数值得到，我们可以使用倍角公式计算sin 60°的近似值。
二、半角公式半角公式是指通过给定角的一半来计算该角的三角函数值。
和倍角公式一样，半角公式在三角函数的计算中也有着重要的应用。
1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ± √[(1 - cosθ) / 2]2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ± √[(1 + cosθ) / 2]3. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ± √[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]半角公式可以将给定角的三角函数值转化为与原角度相关的三角函数值，这在求解复杂的三角函数问题时非常有用。
三角函数倍角公式大全
三角函数倍角公式大全
三角函数的倍角公式可以帮助我们简化计算和化简表达式。
以下
是常见的三角函数倍角公式：
1.正弦的倍角公式：
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
2.余弦的倍角公式：
cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = 2cos^2(θ) - 1 = 1 -
2sin^2(θ)
3.正切的倍角公式：
tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan^2(θ))
这些倍角公式在求解三角函数的值，化简复杂的三角函数表达式
以及证明三角恒等式等方面都非常实用。
此外，我们也可以通过倍角公式推导出其他的三角函数公式，如：
4.余切的倍角公式：
cot(2θ) = (cot^2(θ) - 1)/(2cot(θ))
5.正割的倍角公式：
sec(2θ) = (sec^2(θ) + 1)/(2sec(θ))
6.余割的倍角公式：
csc(2θ) = (csc^2(θ) + 1)/(2csc(θ))
通过使用这些倍角公式，我们可以更方便地求解三角函数的值，简化复杂的三角函数表达式，并推导出新的三角函数公式。
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＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×
52
5
＝35.]
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合作探究 提素养
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化简求值
【例 1】 求下列各式的值．
(1)sin
π 12cos
1π2；
(2)1－2sin2750°；
(3)1－2tatnan125105°0°；
(4)sin110°－cos
3 10°.
第三章 三角恒等变形
§3 二倍角的三角函数 第1课时 倍角公式
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学习目标
核心素养
1.能从两角和与差的正弦、余 1.通过两角和与差公式推导出二
弦、正切公式导出二倍角的正 倍角公式，体会逻辑推理素养．
弦、余弦、正切公式． 2.通过运用公式进行简单恒等变
2.能运用上述公式进行简单的恒 换，提升数学运算素养.
10°； 40°
2cos2α－1 (2)2tanπ4－αsin2π4＋α.
[思路探究] 先把切化弦，再用二倍角公式化简即可．
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[解]
cos (1)原式＝
10°1＋
3sin 10°
cos
10°
2sin 20°cos 20°
＝cos 10°＋ 3sin 10° 2 2 sin 40°
＝212cos
10°＋ 2
3 2 sin
10°＝2
s2insi4n04°0°＝2
2.
2 sin 40°
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(2)原式＝2csoisn4π4π2－－coααs2·αc－os21π4－α ＝2sinπ42－cosα2αc－os1π4－α ＝2ccooss2α2－α 1＝ccooss 22αα＝1.
[提示] 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应
用广泛．二倍角的常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝1＋c2os 2α；
③1－cos 2α＝2sin2α；
④sin2α＝1－c2os
2α .
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【例 3】
化简：(1)cocsos107°0°1＋1＋3ctoasn
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4．求值：sin
50°1＋ 3tan 10°－cos cos 80° 1－cos 20°
20° .
[解] ∵sin 50°(1＋ 3tan 10°)
＝sin
cos 50°·
10°＋ 3sin cos 10°
10°
＝sin
2sin 50°·cos
1400°°＝1，
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cos 80° 1－cos 20°＝sin 10° 2sin210°＝ 2sin210°，
A．14
B．－14
C．
3 4
D．－
3 4
B
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3.1－tatnan7257°5°的值是(
)
A．
3 6
C．2 3
B．－
3 6
D．－2 3
B
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4．若 sin α＝ 55，则 cos4α－sin4α＝________.
3 5
[cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)
(1)对任意 α∈R，总有 sin 2α＝2sin α.( ) (2)对任意 α∈R，总有 cos 2α＝1－2cos2α.( )
(3)对任意 α∈R，总有 tan 2α＝1－2tatnanα2α.(
)
(4)sin
22°30′cos
22°30′＝
2 4 .(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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1．求下列各式的值．
(1)cos 72°cos 36°；
(2)sin150°＋cos
3 50°.
[解]
(1)cos
72°cos
36°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°
＝s4isnin13464°°＝14.
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(2)原式＝cossi5n05°＋0°co3ss5in0°50° ＝21212c×os25si0n°＋50°2c3ossin505°0° ＝12sin 80°＝21sin 80°＝4.
cos 2α＝cos(α＋α)
＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；
tan 2α＝tan(α＋α)＝1－2tatnanα2α.
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1．计算 1－2sin215°的结果为( )
A．12
B．
2 2
C．
3 2
D．1
C
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2．sin 105°cos 105°的值为( )
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∴cos 2x＝13.
∵x∈π2，π，∴2x∈(π，2π)，
∴sin
2x＝－2
2 3.
∴tan 2x＝csoins 22xx＝－2 2.
∴tan
4x＝1－2tatnan22x2x＝－1－4 82＝4
7
2 .
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利用倍角公式化简 [探究问题] 1．倍角公式成立的条件是什么？ [提示] 由任意角的三角函数的定义可知，S2α，C2α 中的角 α 是 任意的，但要使 T2α 有意义，需要 α≠π4＋k2π(k∈Z)．
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ππ
π
[解]
2sin (1)原式＝
12cos 2
12＝sin2
6＝14.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝12.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－ 3.
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2．已知 sinπ4＋xsinπ4－x＝16，x∈π2，π，求 tan 4x 的值． [解] ∵sinπ4＋xsinπ4－x ＝sinπ4＋xsinπ2－π4＋x ＝sinπ4＋xcosπ4＋x＝12sinπ2＋2x ＝12cos 2x＝16，
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2．sin41π2－cos41π2等于(
)
A．－12
B．－
3 2
C．12
D．
3 2
B [原式＝sin21π2＋cos21π2·sin21π2－cos21π2
＝－cos21π2－sin21π2＝－cos
6π＝－
3 2 .]
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3．若 tan α＝2，则 tan 2α＝________. －43 [tan 2α＝1－2tatnanα2α＝1－4 4＝－43.]
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1．将例
3(1)变为化简“cos
1－cos 20° 80° 1－cos
”． 20°
[解]
原式＝ sin
120s°in221s0in°210°＝
22ssinin212100°°＝
2.
2．将例 3(2)变为化简“1＋2sicnos2α2α×ccooss22αα”． [解] 原式＝22scions22αα×ccooss22αα＝tan 2α.
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2．如何对“二倍角”进行广义的理解？ [提示] 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α 是 4α 的二倍；6α 是 3α 的二倍；4α 是 2α 的二倍； 3α 是32α 的二倍；α2是α4的二倍； α3是α6的二倍；2αn＝22n·＋α1(n∈N＋)．
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3．“二倍角”的余弦公式的应用形式有哪些？
等变换.
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自主预习 探新知
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二倍角公式
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思考：二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用 α 的三角函数表示
2α 的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正
切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？ [提示] sin 2α＝sin(α＋α)
＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sLeabharlann n αcos α；栏目导航
＝2×153×1123＝112609，cosπ4＋x＝sinπ2－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1569＝2143.
13
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1．条件求值问题常有两种解题途径： (1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函 数名靠拢； (2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函 数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 2．当遇到π4±x 这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式， 将条件与结论沟通．
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(4)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°
＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
＝4sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°
＝4ssiinn2200°°＝4.
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在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用：1正用公式，从 题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到 目的.2公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知.3公式的变形应 用.
2α .
2．对题目中含有的单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注
意以下变形式 2α，2α－π2，α－π4等之间关系的应用．
3．式中出现 1＋cos α， 1＋sin α时，往往采用倍角公式去掉根
号，但要注意去掉根号后的符号．
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当堂达标 固双基
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
∴sin
50°1＋ 3tan 10°－cos cos 80° 1－cos 20°
20°
＝1－2scions21200°°＝ 2.