倍角公式

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1．将例
3(1)变为化简“cos
1－cos 20° 80° 1－cos
”． 20°
[解]
原式＝ sin
120s°in221s0in°210°＝
22ssinin212100°°＝
2.
2．将例 3(2)变为化简“1＋2sicnos2α2α×ccooss22αα”． [解] 原式＝22scions22αα×ccooss22αα＝tan 2α.
第三章 三角恒等变形
§3 二倍角的三角函数 第1课时 倍角公式
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学习目标
核心素养
1.能从两角和与差的正弦、余 1.通过两角和与差公式推导出二
弦、正切公式导出二倍角的正 倍角公式，体会逻辑推理素养．
弦、余弦、正切公式． 2.通过运用公式进行简单恒等变
2.能运用上述公式进行简单的恒 换，提升数学运算素养.
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(4)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°
＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
＝4sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°
＝4ssiinn2200°°＝4.
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在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用：1正用公式，从 题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到 目的.2公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知.3公式的变形应 用.
10°； 40°
2cos2α－1 (2)2tanπ4－αsin2π4＋α.
[思路探究] 先把切化弦，再用二倍角公式化简即可．
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[解]
cos (1)原式＝

10°1＋
3sin 10°
cos
10°

2sin 20°cos 20°
＝cos 10°＋ 3sin 10° 2 2 sin 40°
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2．如何对“二倍角”进行广义的理解？ [提示] 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α 是 4α 的二倍；6α 是 3α 的二倍；4α 是 2α 的二倍； 3α 是32α 的二倍；α2是α4的二倍； α3是α6的二倍；2αn＝22n·＋α1(n∈N＋)．
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3．“二倍角”的余弦公式的应用形式有哪些？
＝212cos
10°＋ 2
3 2 sin

10°＝2
s2insi4n04°0°＝2
2.
2 sin 40°
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(2)原式＝2csoisn4π4π2－－coααs2·αc－os21π4－α ＝2sinπ42－cosα2αc－os1π4－α ＝2ccooss2α2－α 1＝ccooss 22αα＝1.
[提示] 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应
用广泛．二倍角的常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝1＋c2os 2α；
③1－cos 2α＝2sin2α；
④sin2α＝1－c2os
2α .
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【例 3】
化简：(1)cocsos107°0°1＋1＋3ctoasn
2sin 100° 2sin 80°
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给值求值问题 【例 2】 已知 sin π4－x＝153，0<x<π4，求cocsosπ4＋2xx的值． [解] ∵0<x<π4，∴π4－x∈0，π4. 又∵sinπ4－x＝153，∴cosπ4－x＝1123. 又 cos 2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x
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2．已知 sinπ4＋xsinπ4－x＝16，x∈π2，π，求 tan 4x 的值． [解] ∵sinπ4＋xsinπ4－x ＝sinπ4＋xsinπ2－π4＋x ＝sinπ4＋xcosπ4＋x＝12sinπ2＋2x ＝12cos 2x＝16，
(1)对任意 α∈R，总有 sin 2α＝2sin α.( ) (2)对任意 α∈R，总有 cos 2α＝1－2cos2α.( )
(3)对任意 α∈R，总有 tan 2α＝1－2tatnanα2α.(
)
(4)sin
22°30′cos
22°30′＝
2 4 .(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
等变换.
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自主预习 探新知
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二倍角公式
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思考：二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用 α 的三角函数表示
2α 的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正
切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？ [提示] sin 2α＝sin(α＋α)
＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos(α＋α)
＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；
tan 2α＝tan(α＋α)＝1－2tatnanα2α.
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1．计算 1－2sin215°的结果为( )
A．12
B．
2 2
C．
3 2
D．1
C
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2．sin 105°cos 105°的值为( )
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被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分 析角的关系，看是否有互余或互补的.若有，则应用诱导公式转化； 若没有，则利用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简.
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1．对含有三角函数的平方的式子进行处理时，一般要用降幂公
式：cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
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1．求下列各式的值．
(1)cos 72°cos 36°；
(2)sin150°＋cos
3 50°.
[解]
(1)cos
72°cos
36°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°
＝s4isnin13464°°＝14.
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(2)原式＝cossi5n05°＋0°co3ss5in0°50° ＝21212c×os25si0n°＋50°2c3ossin505°0° ＝12sin 80°＝21sin 80°＝4.
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2．sin41π2－cos41π2等于(
)
A．－12
B．－
3 2
C．12
D．
3 2
B [原式＝sin21π2＋cos21π2·sin21π2－cos21π2
＝－cos21π2－sin21π2＝－cos
6π＝－
3 2 .]
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3．若 tan α＝2，则 tan 2α＝________. －43 [tan 2α＝1－2tatnanα2α＝1－4 4＝－43.]
A．14
B．－14
C．
3 4
D．－
3 4
B
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3.1－tatnan7257°5°的值是(
)
A．
3 6
C．2 3
B．－
3 6
D．－2 3
B
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4．若 sin α＝ 55，则 cos4α－sin4α＝________.
3 5
[cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)
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＝2×153×1123＝112609，cosπ4＋x＝sinπ2－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1569＝2143.
13
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1．条件求值问题常有两种解题途径： (1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函 数名靠拢； (2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函 数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 2．当遇到π4±x 这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式， 将条件与结论沟通．
∴sin
50°1＋ 3tan 10°－cos cos 80° 1－cos 20°
20°
＝1－2scions21200°°＝ 2.
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课时分层 作 业
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4．求值：sin
50°1＋ 3tan 10°－cos cos 80° 1－cos 20°
20° .
[解] ∵sin 50°(1＋ 3tan 10°)
＝sin
cos 50°·
10°＋ 3sin cos 10°
10°
＝sin
2sin 50°·cos
1400°°＝1，
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cos 80° 1－cos 20°＝sin 10° 2sin210°＝ 2sin210°，
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∴cos 2x＝13.
∵x∈π2，π，∴2x∈(π，2π)，
∴sin
2x＝－2
2 3.
∴tan 2x＝csoins 22xx＝－2 2.
∴tan
4x＝1－2tatnan22x2x＝－1－4 82＝4
7
2 .
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利用倍角公式化简 [探究问题] 1．倍角公式成立的条件是什么？ [提示] 由任意角的三角函数的定义可知，S2α，C2α 中的角 α 是 任意的，但要使 T2α 有意义，需要 α≠π4＋k2π(k∈Z)．
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ππ
π
[解]
2sin (1)原式＝
12cos 2
12＝sin2
6＝14.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝12.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－ 3.

＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×
52
5

＝35.]
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合作探究 提素养
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化简求值
【例 1】 求下列各式的值．
(1)sin
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π 12cos
1π2；
(2)1－2sin2750°；
(3)1－2tatnan125105°0°；
(4)sin110°－cos
3 10°.
2α .
2．对题目中含有的单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注
意以下变形式 2α，2α－π2，α－π4等之间关系的应用．
3．式中出现 1＋cos α， 1＋sin α时，往往采用倍角公式去掉根
号，但要注意去掉根号后的符号．
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当堂达标 固双基
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)