两角和与差的三角函数及倍角公式练习
三角恒等变换知识点和例题
三角恒等变换基本解题方法1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-m m如（1）下列各式中，值为12的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ- C 、22251225tan .tan .-o o D 、1302cos +o（2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件（3）已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4）131080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a 表示）甲求得的结果是313a a-+，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值(2)三角函数名互化(切化弦)，如（1）求值sin 50(13tan10)+o o（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m 。
高考数学一轮复习 3.3两角和与差及二倍角三角函数公式练习 理
第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析：原式＝cos 45°＝22.故选B. 答案：B2．设tan (α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( )A.318 B.322 C.1318 D.1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32 答案：D 4．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D.答案：D5．cos π9cos 2π9cos 4π9＝( )A.13B.14C.16D.18 解析：cosπ9cos 2π9cos 4π9＝12sinπ9·2sinπ9cos π9cos 2π9·cos 4π9＝12sinπ9·sin2π9cos 2π9cos 4π9＝14sin π9sin 4π9cos 4π9＝18sin π9sin 8π9＝18sinπ9sin π9＝18.故选D.答案：D6. 若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13C.13D.79 答案：C7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ等于( ) A ．－13 B.13C ．－79 D.79解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2×19＝79.又cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝－cos[π－(π3－2θ)]＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ＝－79.故选C.答案：C8．函数y ＝sin 2x1＋cos 2x的最小正周期为________．解析：y ＝sin 2x 1＋cos 2x ＝2sin x cos x2cos 2x ＝tan x ，所以最小正周期T ＝π. 答案：π9．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan 2α 的值为______． 解析：∵tan α＝－21＝－2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43. 答案：4310．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________．解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.答案：13411．若sin (π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于________．解析：∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45.又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝35.∴sin 2α－cos 2α2＝2 sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425.答案：42512．已知向量a ＝(cos 2x ，1)，b ＝(1，sin 2x)，x ∈R ，函数f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＝325，求cos 2α的值．解析：(1)f (x )＝a·b ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2 ＝2cos α＝325 ，则cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.13．在△ABC 中，已知cos A ＝17，cos(A －B)＝1314，且B ＜A.(1)求角B 和sin C 的值；(2)若△ABC 的边AB ＝5，求边AC 的长． 解析：(1)由cos A ＝17＞0，cos(A －B )＝1314＞0，得0＜A ＜π2且0＜A －B ＜π2.可得sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437，sin(A －B )＝1－cos 2（A －B ）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314， ∴cos B ＝cos[A －(A －B )]＝cos A cos (A －B )＋sin A ·sin (A －B ) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∵0＜B ＜π，且B <A ， ∴B ＝π3.∵在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )， ∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝437×12＋17×32＝5314. (2)在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，∴AC ＝AB ·sin Bsin C ＝5×325314＝7.。
三角恒等变换练习题及答案
角函数公式两角和公式sin(A+B)=sin(A-B)=cos(A+B)=cos(A-B)=tan(A+B)=tan(A-B)=倍角公式tan2α=cos2α=sin2α=半角公式sin^2( α/2)=cos^2( α/2)=tan^2( α/2)=和差化积2sinAcosB=2cosAsinB=2cosAcosB=-2sinAsinB=积化和差公式sinαsinβ=cosαcos=βsin αco=sβ万能公式sin(α)= (2tαn(α/2))/(1+t αn^2(α/2)) cos(α)= (1-t αn^2(α/2))/(1+t αn^2( α/2)) tαn(α)= (2tαn(α/2))/(1-t αn^2( α/2))角函数公式两角和公式sin(Α+B)=sin ΑcosB+cosΑsinB sin(Α-B)=sinΑcosB-sinBcosΑcos(Α+B)=cosΑcosB-sinΑsinB cos(Α-B)=cosΑcosB+sinΑsinBt αn(Α+B)=(tαnΑ+tαnB)/(1-t αnΑt αnB) tαn(Α-B)=(tαnΑ-t αnB)/(1+tαnΑt αnB) 倍角公式cos2 cos 2sin 2 2 c os 2 1 1 2 sin 2；。
sin 2 tan2 2sin2 tancos ；1 tan2半角公式sin^2( α/2)=(1-cos α)/2cos^2( α/2)=(1+cos α)/2tαn^2( α/2)=(1-cos α)/(1+cos α)和差化积2sinΑcosB=sin(Α+B)+sin( Α-B) 2cosΑsinB=sin(Α+B)-sin(Α-B) ) 2cosΑcosB=cos(Α+B)+cos(Α-B)-2sinΑsinB=cos(Α+B)-cos(Α-B)积化和差公式sin(α)sin(β)=—1/2*[cos( α+β)-cos(α-β)] cos(α)cos(β)=1/2*[cos( α+β)+cos(α-β)] sin(α)cos(β)=1/2*[sin( α+β)+sin(α-β)]1. 三角函数式的化简（1）降幂公式sin cos 1sin 22；sin1 cos22；cos1 cos2。
三角函数 两角和与两角差 倍角公式
三角函数训练-两角和与两角差1.若sin532=θ，542cos -=θ则θ在（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 Ｄ.第四象限 2.cos2125π＋cos 212π＋cos 125πcos 12π的值等于 ( ) A.26 B.23 C.45 Ｄ.1+433.已知π＜α＜23π，且sin （23π＋α）＝54，则tan 2α等于 ( ) A.3 B.2 C.－2 Ｄ.－34.若tan θ＋cot θ＝ｍ，则sin2θ等于 ( ) A.m 1 B.m 2 C.2ｍ Ｄ.21m5.下列关系式中不正确．．．的是 ( ) A.sin α＋sin β＝2sin2βα+cos2βα-B.sin α－sin β＝2cos 2βα+cos 2βα-C.cos α＋cos β＝2cos 2βα+cos 2βα-Ｄ.cos α－cos β＝2sin 2βα+sin 2αβ-6.如果tan 312=α，那么cos α的值是 ( )A.53B.54C.－53 Ｄ.－547.化简)4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ的值是 ( ) A.tan 2xB.tan2xC.－tan x Ｄ.cot x8.若sin α＝135，α在第二象限，则tan 2α的值为 ( )A.5B.－5C.51 Ｄ.－51三角函数训练-两角和与两角差1.设5π＜θ＜6π，cos2θ＝a ，则sin 4θ等于 ( ) A.－21a + B.－21a- C.－21a + Ｄ.－21a - 2.若tannmA =2，则ｍcos A －ｎsin A 等于 ( ) A.ｎ B.－ｎ C.－ｍ Ｄ.ｍ3.若tan α＝－2且sin α＜0，则cos α＝ .4.tan5π＋tan 52π＋tan 53π＋tan 54π＝ .5.已知sin θ＝－53，3π＜θ＜27π，则tan 2θ＝ .6.已知sin α＝31，2π＜α＜3π，那么sin 2α＋cos 2α＝ .7.cos 85πcos 8π＝ .8.sin （θ＋75°）＋cos （θ＋45°）－3cos （θ＋15°）＝ . 9.已知π＜θ＜23π，cos θ＝－54，则cos 2θ＝ . 10.tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝ . 11.若cos （α＋β）＝54，cos （α－β）＝－54，且2π＜α－β＜π，23π＜α＋β＜2π，则cos2α＝ ，cos2β＝ .12.求2sin160°－cos170°－tan160°sin170°的值.13.已知sin （x －43π）cos （x －4π）＝－41，求cos4x 的值. 14.求证tan xx x x x 2cos cos sin 22tan 23+=- 15.若函数ｙ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)，及点(tan β，1).求2cos2αcos2β＋p sin2（α＋β）＋2sin 2（α－β）的值.三角函数训练- 两倍角公式1．如果,532cos =θ那么θθ44cos sin +的值是（ ） A ．251 B.1 C.2517 D.2517-2．若,135)4cos(=+A π求sin2A 的值. 3．求证：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=.4．已知,31)sin()sin(=-+βαβα求证：αβα422cos sin 2sin 41++为定值.5．已知α、)2,0(πβ∈，且,02sin 22sin 3,1sin 2sin 322=-=+βαβα求证：,22πβα=+并求αsin 、βsin 、αcos 、βcos 的值.6．若,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα则（ ）A ．a <b B.a >b C.ab <1 D.ab >27．已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，那么θ2sin 等于（ ） A ．322 B. 322- C. 32 D.32-三角函数训练(三)答案1、解：由sin532=θ＞22，cos 2θ＝－54＜－22 得2θ为第二象限角. 即2ｋπ＋43π＜2θ＜2ｋπ＋π （ｋ∈Ｚ）∴4ｋπ＋23π＜θ＜4ｋπ＋2π （ｋ∈Ｚ）∴θ在第四象限. 答案：Ｄ 2、解：原式＝sin 212π＋cos 212π＋sin 12πcos 12π＝1＋21sin 6π＝45 答案：C3、解：由sin （23π＋α）＝－cos α＝54，π＜α＜23π，得cos α＝－54，2π＜2α＜43π∵cos α＝1－2sin22α ∴sin 2α＝10103 cos2α＝－1010∴tan 2α＝－3答案：Ｄ4、解：∵tan θ＋cot θ＝tan θ＋θtan 1＝ｍ 即：m =+θθtan 1tan 2 又∵sin2θ＝m2tan 1tan 22=+θθ答案：B5、解：因为sin α－sin β＝2cos 2βα+sin2βα-.答案：B6、解：cos α＝549119112tan 12tan 122=+-=+-αα.答案：B7、解：原式＝x x x x x x x x 2cos 12sin )22sin(1)22cos()]4sin()4[cos()4(sin )4(cos 222+-=+++=++++-+ππππππ x x x tan cos 2cos sin 22-=-=α答案：C8、解：由sin α＝135，α在第二象限得cos α＝－1312. ∴tan2α＝5cos 1sin =+αα答案：A三角函数训练(四)答案1、解：∵cos 2θ＝1－2sin 24θ 5π＜θ＜6π 45π＜4θ＜23π ∴sin 24θ＝21a - 即sin4θ＝－21a -. 答案：Ｄ2、解：ｍcos A －ｎsin A ＝ｍ·.2tan 12tan22tan 12tan 1222m AAn A A -=+⋅-+- 答案：C3、解：由⎪⎩⎪⎨⎧-==+2cos sin 1cos sin 22αααα得cos α＝55.答案：55 4、解：原式＝tan 5π＋tan 52π＋tan （π－52π）＋tan （π－5π）＝tan 5π＋tan 52π－tan52π－tan 5π＝0. 答案：05、解：∵3π＜θ＜27π ∴23π＜2θ＜47π又∵sin θ＝532tan 12tan22-=+θθ∴tan2θ＝－3. 答案：－36、解：∵2π＜α＜3π ∴π＜2α＜23π（sin2α＋cos 2α）2＝1＋sin α＝34∴sin2α＋cos 2α＝－332. 答案：－332 7、解：cos85πcos 8π＝cos （2π＋8π）cos 8π＝－sin8πcos 8π＝－21sin 4π＝－42.答案：－428、解：设θ＋15°＝α原式＝sin （α＋60°）＋cos （α＋30°）－3cos α＝sin αcos60°＋cos αsin60°＋cos αcos30°－sin αsin30°－3cos α＝0. 答案：09、解：由π＜θ＜23π得2π＜2θ＜43π 又cos θ＝2cos 22θ－1＝－54∴cos2θ＝－1010. 答案：－101010、解：原式＝tan （19°＋26°）（1－tan19°tan26°）＋tan19°tan26°＝1. 答案：111、解：∵2α＝（α＋β）＋（α－β） ∴cos2α＝cos ［（α＋β）＋（α－β）］＝－257∵2β＝（α＋β）－（α－β） ∴cos2β＝cos ［（α＋β）－（α＋β）］＝－ 1. 答案：－257－112、解：原式＝2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°.360sin 220cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin 20cos 10cos 40sin 20cos )10sin 20sin 20cos 10(cos 20cos 20sin 2=︒=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒+︒=︒︒︒+︒︒+︒︒=13、解：由sin （x －43π）cos （x －4π）＝－41 ⇒21［sin （2x －π）＋sin （－2π）］＝－41⇒sin2x ＝－21⇒cos4x ＝1－2sin 22x ＝21.14、证明：左边＝2cos23cos 2sin23cos 2cos 23sin 2cos 2sin 23cos 23sin x x x x x x x x x x -=- x x x x x x x 2cos cos sin 2)cos 2(cos 21)223sin(+=+-＝右边. 15、解：由条件知tan α、tan β是方程 x 2－4px －2＝1的两根. ∴⎩⎨⎧-==+3tan tan 4tan tan βαβαp∴tan （α＋β）＝p p=--)3(14.∴原式＝2cos2αcos2β＋tan （α＋β）sin2（α＋β）＋2sin 2（α－β）＝cos2（α＋β）＋cos2（α－β）＋2sin 2（α＋β）＋2sin 2（α－β）＝cos2（α＋β）＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2三角函数训练(五)答案1、分析：先化简θθ44cos sin +为（.cos sin 2)cos sin 22222θθθθ-+即为.)cos (sin 212θθ-然后用倍角公式：.22sin cos sin θθθ=⋅用532cos =θ可得2516)2(sin 2=θ ∴原式.251725421=⋅-= 答案：C2、分析：角2A 与A +4π不是倍角关系，但)4(222A A +=+ππ，故我们可以结合诱导公式与倍角公式来解决这个问题.解：169119)135(21]1)4(cos 2[)4(2cos )22cos(2sin 22=⨯-=-+-=+-=+-=A A A A πππ3、分析：因为α是2α的半角.所以可以将等式右边用倍角公式展开证得.证明：∵2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα==⋅=+ 同理，2tan 2cos2sin2cos2sin22sin 2sin cos 12αααααααα===- 所以原式成立.4、分析：求证一个三角函数式为定值，就是证它等于一个常数.我们发现已知条件算式的左边是两个角的正弦函数相乘的形式，所以我们得用如下公式：).cos()cos(sin sin 2βαβαβα+--=证明：∵)]()cos[()]()cos[(βαβαβαβα--+--++)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα-+--+=)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα-+--+-)sin()sin(2βαβα-⋅+-=∴32312)sin()sin(22cos 2cos -=⨯-=-+-=-βαβαβα ∵αβα422cos sin 2sin 41++)(324121)32(21414121)2cos 2(cos 21)2cos 2(sin 412cos 412cos 21412cos 21212sin 41)]2cos 1(21[)2cos 1(212sin 41222222常数=++-⨯+=++-++=+++-+=++-+=βαααααβααβα ∴原命题成立.5、分析：本题前半部分实际上是一个给值求角类型题，因此在确定βα2+范围的前提下，利用两个已知条件，求得βα2+的某一三角函数值.而要求βα2+的三角函数值必须用到和角公式，且应找到β2sin 、β2cos 与角α的三角函数值之间的关系.解：由已知得：ααββαcos sin 32sin sin 21sin 322=-=即αβ2sin 32cos = ① ααβcos sin 32sin = ② ∴βαβαβα2sin sin 2cos cos )2cos(-=+ 0cos sin 3sin sin 3cos 2=⋅-⋅=ααααα∵α、)2,0(πβ∈, ∴)23,0(2πβα∈+ 于是有22πβα=+，原式成立.由①2+②2得：22222)cos sin 3()sin 3(2sin 2cos αααββ+=+1sin 9 sin 9)cos (sin sin 922222==+=ααααα即得∵)2,0(πα∈， ∴322sin 1cos 31sin 2=-==ααα 将91sin 2=α代入1sin 2sin 322=+βα得：1sin 2)31(322=+⨯β 即31sin 2=β ∵)2,0(πβ∈ ∴33sin =β 36cos =β 6、分析：此题可用倍角公式化简后再比较.把a =+ααcos sin 的两边平方，则有ααsin 2sin 2+αα2cos cos +22sin 1a =+=α，同理.2sin 12b =+β因,40πβα<<<所以,2220πβα<<<则,,2sin 2sin 22b a <<βα而a ＞0,b ＞0,则有a ＜b .答案：A7、分析：此题主要考查同角三角函数关系及倍角公式22244)cos (sin cos sin θθθθ+=+θθ22cos sin 2-,95)2(sin 2112=-=θ则,98)2(sin 2=θ因θ为第三象限角，则,0cos ,0sin <<θθ即.02sin cos sin 2>=⋅θθθ所以.3222sin =θ 答案：A。
三角函数的两角和差及倍角公式练习题
三角函数的两角和差及倍角公式练习题一、选择题：1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ；7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x +=。
三、解答题：11、求的值。
·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。
cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。
答案：一、1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。
3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B 提示: ∵cos(A + B ) > 0 ∴角C 为钝角。
(完整版)两角和与差及二倍角的基础练习
两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）cos （α＋β)＝____________________________________________,cos （α－β)＝_______________________________________________；（2）sin(α＋β）＝_____________________________________________，sin(α－β)＝_______________________________________________；(3）tan(α＋β)＝______________________________________________，tan(α－β）＝_________________________________________________。
(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k ∈Z)其变形为:tan α＋tan β＝______________________________________，tan α－tan β＝_________________________________________________.2．二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）sin2α＝____________________________________________________；（2）cos2α＝________________________＝________－1＝1－_________；(3)tan2α＝_______________________ （α≠错误!＋错误!且α≠kπ＋错误!，k ∈Z ）．3。
公式的逆向变换及有关变形(1) sin αcos α＝___________________（2)降幂公式:sin 2α＝________________,cos 2α＝______________________；升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________________；变形：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝_____________________________例题讲解1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.2、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值。
两角和与差的三角函数、二倍角公式
tan β＝－17＞－1，所以 0＜α＜π4，34π＜β＜π，则 0＜2α＜π2，－π＜－β＜－34π，－π＜
2α－β＜－π4，所以 2α－β＝－34π.
总结 提炼
1．解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有
两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个 时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把 “所求角”变成“已知角”．
A．－2245
B．2245
C．274
D．－274
【解析】因为－π3＜θ＜π6，所以 0＜θ＋π3＜π2，所以 cos θ＋π3＝35，故 tan θ＋π3＝43，
tan
2θ＋π6 ＝ tan
2θ＋3π－π2 ＝
sin cos
2θ＋π3－π2 2θ＋π3－π2
＝
－
cos sin
2θ＋π3 2θ＋π3
＝
2 2
C．tan 15°＝2－ 3
D．12sin 40°＋ 23cos 40°＝sin 70°
【解析】sin 2＋π2＝cos 2，故 A 正确； cos 73°·cos 28°＋sin 73°sin 28°＝cos (73°－28°)＝cos
45°＝
22，故
B
正确；
tan 15°＝tan (60°－45°)＝1＋3－13＝2－ 3，故 C 正确；
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β
＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等．
研题型 能力养成 举题说法
1．(2023·梅州一模)已知 sin α＋π6＝13，则 cos 23π－2α＝
备战高考数学一轮复习讲义第20讲 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式
第20讲 简单的三角恒等变换激活思维1. (人A 必一P219例4(1))sin72°cos42°－cos72°sin42°＝ 12 . 解析： sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.2. (人A 必一P217练习3)已知cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( D )A. －210 B. 7210 C. －71010D. 210解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45，因此cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45×22＝210. 3. (人A 必一P220练习5)设sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，且β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝ 10 .解析： 由sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，得sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.因为β是第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝7210.4. (人A 必一P223练习3改编)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( A )A. 17 B. 7 C. －17D. －7解析： 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，得tan α＝－34，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.5. (人A 必一P223练习5改编)(多选)下列各式的值为22的是( BD ) A. sin π12cos π12B. cos 2π8－sin 2π8C.tan π81－tan 2π8D. 2cos 222.5°－1解析： 对于A ，sin π12cos π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝12sin π6＝14，不符合题意；对于B ，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22，符合题意；对于C ，tan π81－tan 2π8＝12tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＝12tan π4＝12，不符合题意；对于D,2cos 222.5°－1＝cos45°＝22，符合题意．基础回归1. 两角和、差公式(1) C (α∓β)：cos(α∓β)＝ cos αcos β±sin αsin β ； (2) S (α±β)：sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β ； (3) T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝ 2sin αcos α ；cos2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ＝ 1－2sin 2α ； tan2α＝2tan α1－tan 2α.3. 辅助角公式函数y ＝a sin x ＋b cos x 可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式， a sin x ＋b cos xtan φ＝ba .4. 常用结论(1) tan α±tan β＝ tan(α±β)(1∓tan αtan β) ；(2) 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2； (3) 1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式举题说法和、差、倍角公式的直接应用例1 (1) tan18°＋tan12°＋33tan18°tan12°等于( D ) A. 3 B. 2 C. 22D. 33解析： 因为tan30°＝tan(18°＋12°)＝tan18°＋tan12°1－tan18°tan12°＝33，所以tan18°＋tan12°＝33(1－tan18°tan12°)，所以原式＝33.(2) (2022·湛江一模)已知cos α＝45，0<α<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( B )A. 210 B. 7210 C. －210D. －7210解析： 由cos α＝45，0<α<π2，得sin α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝22×35＋22×45＝7210.解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的．此类题的解题方法可总结为“对照公式，缺什么求什么”．1. (2022·岳阳三模)1－2cos 267.5°等于( D ) A. －12 B. －22 C. －32D. 22解析： 由余弦的倍角公式可得1－2cos 267.5°＝－cos(2×67.5°)＝－cos135°＝22.2. (2022·扬州模拟)1－tan75°1＋tan75°＝ －3 .解析： 1－tan75°1＋tan75°＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝－tan(75°－45°)＝－tan30°＝－33.3. (2022·海南模拟)若sin α＝55，则cos(π－2α)等于( A ) A. －35 B. －25 C. 25D. 35解析： cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝－35.4. 若tan α＝－23，tan β＝13，则sin(2α＋2β)等于( C ) A. －7130130 B. 11130130C. －3365D. 9130解析： 由tan α＝－23，知sin α＝－213，cos α＝313或sin α＝213，cos α＝－313，则sin2α＝2sin αcos α＝－2×213×313＝－1213，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±2132＝513.由tan β＝13，知sin β＝110，cos β＝310或sin β＝－110，cos β＝－310，则sin2β＝2sin βcos β＝2×110×310＝35，cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±1102＝45，则sin(2α＋2β)＝sin2αcos2β＋cos2αsin2β＝－1213×45＋513×35＝－3365.拆、配角问题例2 (1) (2022·烟台期末)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，则cos α的值为5 .解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α＋π4<3π4.又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝31010，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1010＋31010＝255. (2) 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α等于( B )A. 43＋310 B. 43－310 C.33＋410D. 33－410解析： 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35(α为锐角)，所以α＋π6为锐角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.1. 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．1. (2022·济南模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，则sin2α的值为( A ) A. 12 B. －12 C. 32D. －32解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，所以sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－1＝12.2. (2022·株洲一模)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝55，则tan θ等于( C )A. 2B. 12 C. 3D. 13解析： 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则－π4<θ－π4<π4，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝255，所以sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋π4＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝31010，故cos θ＝1－sin 2θ＝1010，因此tan θ＝sin θcos θ＝3.3. 已知α，β为锐角，且cos (α＋β)＝1213，cos (2α＋β)＝35，那么cos α＝ 5665 . 解析： 因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，2α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π2.又cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.4. (2022·淄博期末)cos10°2sin10°－2cos 10°等于( A ) A. 32 B. 2 C. 3D. 2解析： cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－4sin10°cos10°2sin10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－(cos10°－3sin10°)2sin10°＝32.随堂内化1. (2022·潮州期末)已知cos x ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 等于( A )A. －79 B. 79 C. －89D. 89解析： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos2x ＝2cos 2x －1＝2×19－1＝－79.2. (2022·惠州三模)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，63是角α的终边与单位圆的交点，则sin2α等于( C )A. 13 B. －13 C. －223D. 63解析： 由题知，由任意角三角函数的定义可得sin α＝63，cos α＝－33，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×63×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－223.3. (2022·衡阳一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，则cos2α等于( D )A. －79 B. －13 C. 13D. 79解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13，即sin α＝13，从而得cos2α＝1－2sin 2α＝79.4. 已知sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝ －2 .解析： 因为sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos β＝－45.由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，得25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.5. 计算：3cos15°－4sin 215°cos15°解析：3cos15°－4sin 215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°·cos15°＝3cos15°－2sin15°sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝ 2.练案❶ 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(分基础和提高两个版本)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考保分增效天天练》，成书可向当地发行咨询购买．。