河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题
A．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．
C．
4 D．
12. 在 A．2
中，
【市级联考】河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题
，是
的平分线交 于 ，
，
B．
C．
，则
（） D．
二、填空题
13. 已知复数 的实部与虚部之和为2，且
，则 _____．
14. 某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图.当地政策规定，若家庭收入不足1.5万元，则可以享 受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有_______户.
（）
A．-16
B．0
C．16
与
上，且都不与原点 重合，则
D．32
9. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第 个三角形数为 ，则下面结论错误的是
（）
A．
B．
C．1024是三角形数
D．
10. 三角形的三个顶点的坐标分别为
，
，
，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为
20. 某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的折线图：
（Ⅰ）由图可以看出，这种酶的活性 与温度 具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）求 关于 的线性回归方程，并预测当温度为
时，这种酶的活性指标值.（计算结果精确到0.01）
参考数据：
，
，
.类
比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四
面体的四个顶点的空间坐标分别为
，
，
，
，则该四面体的重心的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
11. 已知变量 关于 的回归方程为 1
，其一组数据如下表所示：
2
3
若
，则预测 的值可能为（ ）
，都有
调递增，以上“三段论”式的推理（ ） A．推理形式是错误的 C．结论是错误的
，则函数 在 上是增函数.因为
B．大前提是错误的 D．是正确的
，所以
在
上单
6. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土
地的单位.现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，
18. 在梯形
中，
，
.
于点 ，
，
，将
沿着 折起，使得 点到 点的位置，
（Ⅰ）求证：平面
平面
（Ⅱ） 为 上一点，且
； ，求证：
平面
.
19. 已知 ， ， ， 为实数.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）若
，证明： ， ， ， 中至少有一个不大于1.
【市级联考】河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题
，
.
参考公式：相关系数 .回归直线方程
，，
.
21. 已知抛物线 ：
的焦点为 ，过 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，弦 的中点的横坐标为 ，
.
（Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）若直线 的倾斜角为锐角，求与直线 平行且与抛物线 相切的直线方程.
22. 已知函数
.
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）证明：
（
，且 ）.
【市级联考】河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题
一、单选题
1.
（）
A．
B．
C．
D．
2. 某公司的财务报销流程图如图所示，则2019年初，采购人员为公司购进了一批办公用品，现准备报销此次所购的办公用品的经费，根据下面 的流程图，则需要签字的次数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
一年后，每棵果树都有
的果子收成，则此圭田中的收成约为（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 根据下面的程序框图，输出的 的值为（ ）
A．1007
B．1009
C．0
D．-1
【市级联考】河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题
8. 在复平面内，虚数 对应的点为 ，其共轭复数 对应的点为 ，若点 与 分别在
3. 已知变量 与 线性相关，其散点图中的点从左下到右上分布.若 关于 的线性回归方程为
A．
B．
C．
，则 的取值范围是（ ） D．
【市级联考】河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题
4. 已知数列 A．
是等差数列，且
，
B．
，则公差 （ ） C．1
D．2
5. 对于任意的
，且
15. 若 ， 满足约束条件
，则
的最大值为_____．
16. 已知函数
，若
，则实数 的取值范围为___．
三、解答题
17. 高一学年结束后，要对某班的50名学生进行文理分班，为了解数学对学生选择文理科是否有影响，有人对该班的分科情况做了如下的数据统 计：
理科人数
文科人数
总计
数学成绩好的人数
25
数学成绩差的人数
10
合计
【市级联考】河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题
30
15
（Ⅰ）根据数据关系，完成 列联表； （Ⅱ）通过计算判断能否在犯错误的概率不超过
附：
的前提下认为数学对学生选择文理科有影响.
0.05 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
2018-2019学年河南省焦作市高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年河南省焦作市高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题 1．21ii-=+（ ） A ．i 22+- B ．1i -+C ．1i --D ．i 22+【答案】C【解析】直接利用复数的除法运算求解即可. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i ---==--++-. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．某公司的财务报销流程图如图所示，则2019年初，采购人员为公司购进了一批办公用品，现准备报销此次所购的办公用品的经费，根据下面的流程图，则需要签字的次数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】首先从流程图中得到报销此次所购的办公用品的经费，需要采购整理票据并签字、后勤部门审核签字、财务总监审核签字、总经理审核签字共四道签字过程，从而得到答案.【详解】根据题意，观察流程图，可知报销办公用品的经费，流程走右边的分支，需要采购整理票据并签字、后勤部门审核签字、财务总监审核签字、总经理审核签字共四道签字过程，所以需要签字的次数为4次， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关流程图的问题，属于简单题目.3．已知变量x 与y 线性相关，其散点图中的点从左下到右上分布.若y 关于x 的线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，则b 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,0)-C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【答案】D【解析】首先根据其散点图中的点从左下到右上分布，得到x ，y 是正相关，从而得到ˆb的取值范围为(0,)+∞，得到结果. 【详解】根据题意，其散点图中的点从左下到右上分布，所以x ，y 是正相关，所以ˆb的取值范围为(0,)+∞， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关正相关的概念问题，属于简单题目.4．已知数列{}n a 是等差数列，且66a =，108a =，则公差d =（ ） A ．12B ．23C ．1D ．2【答案】A【解析】直接解方程组求解. 【详解】由题得11561,982a d d a d +=⎧∴=⎨+=⎩. 故选：A 【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．对于任意的12,x x D ∈，且12x x <，都有12()()f x f x <，则函数()f x 在D 上是增函数.因为sin sin63ππ<，所以()sin f x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，以上“三段论”式的推理（ ）A ．推理形式是错误的B ．大前提是错误的C ．结论是错误的D ．是正确的【答案】A【解析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，而该命题中两个自变量的值不满足其任意性，所以小前提错误，从而得到答案. 【详解】 由题意可得，63，ππ是两个确定的量，不满足任意性，所以此题的错误是小前提没有满足任意性，所以小前提错误， 故正确答案为A. 【点睛】该题考查的是有三段论推理证明的问题，属于简单题目.6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60kg 的果子收成，则此圭田中的收成约为（ ） A ．25kg B ．50kgC ．1500kgD ．kg 2000【答案】C【解析】利用几何概型的概率公式求解. 【详解】1852110060(812)82x⨯⨯=⨯⨯+⨯，解得1500=x .故选：C 【点睛】本题主要考查几何概型的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．根据下面的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．1007B ．1009C ．0D ．-1【答案】A【解析】按照程序框图模拟运行即可得解. 【详解】1i =，1112x ==--，0(1)1S =+-=-；i 2=，111(1)2x ==--， 11122S =-+=-；3=i ，12112x ==-，13222S =-+=；4i =，1112x ==--，31(1)22S =+-=，…，由此可知，运行程序过程中，x 呈周期性变化，且周期为3，所以输出112672110072S ⎛⎫=-++⨯-= ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查程序框图和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B【解析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得)4,4(-或)0,0(（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选：B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数 D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 【答案】C【解析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确；令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确.故选：C 【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭ C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭ D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数， 从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体， 就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数， 故选D. 【点睛】该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.11．已知变量y 关于x 的回归方程为0.5ˆbx ye -=，其一组数据如下表所示：若5x =，则预测y 的值可能为（ ） A ．5e B ．112eC ．7eD ．152e【答案】D【解析】将式子两边取对数，得到ln 0.5y bx =-，令ln zy ，得到0.5z bx =-，根据题中所给的表格，列出,x z 的取值对应的表格，求得,x z ，利用回归直线过样本中心点，列出等量关系式，求得 1.6b =，得到 1.60.5z x =-，进而得到 1.60.5x y e -=，将5x =代入，求得结果. 【详解】由0.5bx y e -=，得ln 0.5y bx =-，令ln zy ，则0.5z bx =-.12342.54x +++==，1346 3.54z +++==，∵(,)x z 满足0.5z bx =-，∴3.5 2.50.5b =⨯-， 解得 1.6b =，∴ 1.60.5z x =-，∴ 1.60.5x y e -=，当5x =时，151.650.52y e e ⨯-==， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点将对数型回归关系转化为线性回归关系，根据回归直线过样本中心点求参数，属于简单题目.12．在ABC ∆中，︒=∠60B ，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D ，2=BD ，1cos 4BAC ∠=，则AD =（ ） A ．2 BC ．3D【答案】A【解析】先求出sin 4BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】∵21cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=，∴sin 4BAD ∠=.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠，∴sin 2sin BAD BD BAD =⋅==∠. 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．已知复数z 的实部与虚部之和为2，且z =，则z =_____． 【答案】1i +【解析】设bi a z +=，依题得2222a b a b +=⎧⎨+=⎩，解方程组即得解. 【详解】设bi a z +=，依题得2222a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，∴1z i =+. 故答案为：1i + 【点睛】本题主要考查复数的实部与虚部的概念，考查复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图.当地政策规定，若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有_______户.【答案】10【解析】利用频数计算公式求解即可.【详解】该村享受国家扶贫政策的有0.01520010⨯⨯=户.故答案为：10【点睛】本题主要考查频率分布图中频数的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．若x，y满足约束条件5525x yx yx y+≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y=+的最大值为_____．【答案】10【解析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求解. 【详解】不等式组所表示的区域为如图ABC∆，联立=52=5x yx y+⎧⎨-⎩得A(5,0),当直线y=z-2x经过点(5,0)A时，直线的纵截距最大，z最大目标函数z取得最大值：25+010⨯=.故答案为：10【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．已知函数2()cos f x x x =+，若()()193a af f +>，则实数a 的取值范围为___．【答案】(2,)-+∞【解析】首先对函数求导，得到'()2sin f x x x =-，利用条件判断出当0x >时，'()0f x >，从而得到函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，根据函数值的大小，得到自变量的大小，从而有193a a +>，即2233a a +>，利用指数函数的单调性，得到22a a +>，从而求得实数a 的取值范围，得到结果. 【详解】由题意'()2sin f x x x =-，当0x >时，2sin sin 0x x x x ->->，即'()0f x >，所以()f x 单调递增， 由()()193a af f +>，得193a a +>，即2233a a +>，∴22a a +>，解得2a >-，∴实数a 的取值范围为(2,)-+∞， 故答案是：(2,)-+∞. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值的大小，判断自变量的大小的问题，涉及到的知识点有根据导数确定函数的单调性，利用函数的单调性，结合函数值的大小确定自变量的大小，根据指数函数的单调性确定自变量的大小，属于中档题目.三、解答题17．高一学年结束后，要对某班的50名学生进行文理分班，为了解数学对学生选择文理科是否有影响，有人对该班的分科情况做了如下的数据统计：（Ⅰ）根据数据关系，完成22⨯列联表；（Ⅱ）通过计算判断能否在犯错误的概率不超过2.5%的前提下认为数学对学生选择文理科有影响.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据题意，结合数据之间的关系，补全22⨯的列联表即可；（Ⅱ）计算观测值2K，通过观测值表进行比较，即可得出结论.【详解】（Ⅰ）根据数据关系，得22⨯的列联表如下：（Ⅱ）∵2250(2510510)6.349 5.02435153020K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故可以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下认为数学对学生选择文理科有影响.【点睛】该题考查的是有关独立性检验的问题，涉及到的知识点有补全列联表，判断能否在犯错误的概率不超过2.5%的前提下认为数学对学生选择文理科有影响，属于简单题目. 18．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD . 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）先证明PO ⊥平面BCD ，再证明平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）先证明//OM DC .再证明//OM 平面PCD . 【详解】（Ⅰ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2CO AO =， 所以6CO =，3AO =.即3PO =，又因为35PC =PO CO ⊥ . 因为AC BD ⊥于点O ，所以PO BD ⊥. 又因为BDOC O =，所以PO ⊥平面BCD .又因PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面BCD . （Ⅱ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2BODO=， 又因为2BM CM =，因此BO BMDO CM=，所以//OM DC . 又因为OM ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以//OM 平面PCD . 【点睛】本题主要考查线面平行和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．已知a ，b ，c ，d 为实数.（Ⅰ）证明：()()()()0a a b b b c c c d d d a -+-+-+-≥；（Ⅱ）若4ab bc cd da +++=，证明：a ，b ，c ，d 中至少有一个不大于1. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）利用分析法证明()()()()0a a b b b c c c d d d a -+-+-+-≥；（Ⅱ）假设a ，b ，c ，d 都大于1，利用反证法证明. 【详解】（Ⅰ）要证()()()()0a a b b b c c c d d d a -+-+-+-≥， 需证2222a b c d ab bc cd da ≥++++++.因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c d cd +≥，222d a da +≥， 所以222222222222a b c d ab bc cd da ≥++++++. 即2222a b c d ab bc cd da ≥++++++. （Ⅱ）假设a ，b ，c ，d 都大于1， 则1a >，1b >，所以1ab >. 同理得1bc >，1cd >，1da >. 所以4ab bc cd da +++>.这与题设条件4ab bc cd da +++=相矛盾， 故假设不成立，原命题成立，即a ，b ，c ，d 中至少有一个不大于1. 【点睛】本题主要考查分析法和反证法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的折线图：（Ⅰ）由图可以看出，这种酶的活性y 与温度x 具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测当温度为30C ︒时，这种酶的活性指标值.（计算结果精确到0.01） 参考数据：6152.5ii y==∑，61()()85i i i x x y y =--=∑5.5=2.65≈.参考公式：相关系数C .回归直线方程ˆˆˆybx a =+，512，ˆˆay bx =-. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 3.020.34y x =+；活性指标值为13.22.【解析】（Ⅰ）根据题中所给的数据，利用公式求得0.97r ≈，r 非常接近1，从而得到酶的活性y 与温度x 具有较强的线性相关性；（Ⅱ）根据公式求得y 关于x 的线性回归方程为 3.020.ˆ34yx =+，将30x =代入求得ˆ13.22y=，得到结果. 【详解】 （Ⅰ）1(81114202326)176x =+++++=， ()122226(817)(1117)(1417)i i x x =∑-=-+-+-222(2017)(2317)(2617)252+-+-+-=.()()10.97i i i x x y y r =∑--==≈.因为r 非常接近1，所以酶的活性y 与温度x 具有较强的线性相关性.（Ⅱ）16152.58.7566i i y y ==∑==， ()()()16126850.34252ˆi i i i i x x y y bx x ==∑--==≈∑-， 8ˆ58.7517 3.02252ay bx =-=-⨯≈. 所以y 关于x 的线性回归方程为 3.020.ˆ34yx =+. 当30x =时， 3.020.3430ˆ13.22y=+⨯=. 故预测当温度为30C ︒时，这种酶的活性指标值为13.22. 【点睛】该题考查的是有关线性相关关系的判断以及线性回归方程的求解，正确利用公式是解题的关键，属于简单题目.21．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的中点的横坐标为23，5=AB . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 的倾斜角为锐角，求与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程. 【答案】（Ⅰ）24y x =（Ⅱ）122y x =+ 【解析】（Ⅰ）由题得12322x x +=，再利用抛物线的定义求p 的值，即得抛物线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为(1)=-y k x ，0k >.根据已知求出k=2, 设与直线l 平行的直线的方程为2y x b =+，根据直线和抛物线相切求出b 的值得解. 【详解】（Ⅰ）设),(11y x A ，),(22y x B ， 因为AB 的中点的横坐标为23，所以12322x x +=. 根据抛物线定义知125AB AF BF p x x =+=++=. 所以35p +=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（Ⅱ）设直线l 的方程为(1)=-y k x ，0k >.则由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得()2222240k x k x k -++=.所以212224k x x k ++=，即22243k k+=，解得2k =. 设与直线l 平行的直线的方程为2y x b =+，由242y x y x b⎧=⎨=+⎩得224(44)0x b x b +-+=. 依题知22(44)160b b ∆=--=，解得12b =. 故所求的切线方程为122y x =+. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求法，考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．已知函数()ln 1f x e x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）证明：(1)2ln(123)n n e n +>⨯⨯⨯⨯（*n N ∈，且2n ≥）.【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.（Ⅱ）见证明 【解析】（Ⅰ）写出函数的定义域，对函数求导，利用函数的单调性和导数符号之间的关系即可得到其单调性；（Ⅱ）利用第一问的结论，得到()()ln 11f x f e e e e ≤=-+=，从而转化得到ln xx e≤，进而有1ln1e <，2ln 2e<，3ln 3e <，…，ln nn e <，累加利用对数运算法则得结果. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()1e e xf x x x-=-=. ∵在(0,)e 上，'()0f x >，在(,)e +∞上，'()0f x <. ∴()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()()ln 11f x f e e e e ≤=-+=，∴ln 11e x x -+≤，即ln xx e≤，当且仅当x e =时取等号. 从而1ln1e <，2ln 2e<，3ln 3e <，…，ln nn e <，∴123ln1ln 2ln 3ln nn e++++++++<，∴(1)ln(123)2n n n e+⨯⨯⨯⨯<，∴(1)2ln(123)n n e n +>⨯⨯⨯⨯. 【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性得到函数值小于等于其最大值，构造出新的式子，对数的运算法则，属于中档题目.。
2019-2020学年焦作市高二(下)期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年焦作市高二(下)期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）(i为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是()1.复数1−1i3A. (1,1)B. (1,−1)C. (−1,1)D. (−1,−1))2=()2.对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则(log28)⊗(12A. 16B. 15C. 14D. 133.由变量x与y相对应的一组数据(3,y1)，(5,y2)，(7,y3)，(12,y4)，(13,y5)，得到的线性回归方x+20，则y ŷ=()程为ŷŷ=12A. 26B. 23.5C. 23D. 244.在等差数列{a n}中，a1+a5−a8=1，a9−a2=5，则a5=()A. 4B. 5C. 6D. 75.观察按下列顺序排列的等式：，，，，，猜想第个等式应为()A. B.C. D.6.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率为A.B.C.D.7. 如图1是牡一中高二学年每天购买烤肠数量的茎叶图，第1天到第14天的购买数量依次记为A 1，A 2，…，A 14.图2是统计茎叶图中烤肠数量在一定范围内购买次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是( )A. 7B. 8C. 9D. 108. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB =2，CD =4，BC =√5，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点．如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD 的四条边长，有且只有8个不同的点P ，使得PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ成立，那么λ的取值范围是( )A. (−54,−920)B. (−920,114)C. (−920,−14)D. (−54,114)9. 设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 2+a 4+a 6=48，a 2+a 5+a 8=39，则S n 取到最大时，n 的值为( )A. 10B. 9C. 8D. 710. 将正整数按如图所示的规律排列下去，且用表示位于从上到下第行，从左到右列的数，比如，若，则有( )A.B. C. D.11. 某同学用收集到的6组数据对(x i ,y i )(i =1,2，3，4，5，6)制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线l 的方程：y ̂=b ̂x +a−，相关指数为r ．参考公式：附：回归方程y ̂=b ̂t +a ̂中：{b ̂=∑(n i=1t −t)(y −y)∑(n i=1t i −t)2=∑t i n i=1y i −nty ∑t i2n i=1−nt 2a ̂=y −b̂t现给出以下3个结论： ①r >0；②直线l 恰好过点D ； ③b ̂>1；其中正确的结论是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③12. 已知两座灯塔A 、B 与C 的距离都是a ，灯塔A 在C 的北偏东20°，灯塔B 在C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A. aB. √3aC. √2aD. 2a二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设复数z 满足z (2−3i)=6+4i(i 为虚数单位)，则z 的模为__________．14.如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图．已知图中第一组的频数为4000，请根据该图提供的信息(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500))，回答：(1)若按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500,2000)的这段应抽______ 人(2)样本数据的中位数估计为______ (元)．15.抛物线y=x 2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x+y的取值范围是__________．16.已知f(x)为偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，则满足f(log2x)>f(−1)的x的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.19.某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况，用简单随机抽样方法调查了该校100 名学生，调查结果如下：(Ⅰ)求的值，并估计该校共有500名学生中有多少学生喜好篮球？(Ⅱ)能否有的把握认为该校学生是否喜欢篮球与性别有关？请说明理由．(Ⅲ)已知在喜欢篮球的名女生中，4名女生同时喜欢乒乓球(其中一人为甲)，8名女生同时喜欢羽毛球(其中一人为乙)，现从这喜欢乒乓球、羽毛球的女生中各取人，求甲、乙有且仅有一人被选中的概率．参考数据：附：，．18.如图，直三棱柱A1B1C1−ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB.D、E分别为棱C1C、B1C1的中点．(1)求点E到平面ADB的距离；(2)求二面角E−A1D−B的平面角的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1DB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．19.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1.证明：ab+bc+ca≤1．320.某零售公司从1月至6月的销售量与利润的统计数据如下：月份 1 2 3 4 5 6 销售量x/万件68 12 13 11 10 利润y/万元 121626292522(1)根据2月至5月4个月的统计数据，求出y 关于x 的回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂.(b ̂,a ̂的结果用分数表示)；(2)若由回归直线方程得到的估计数据与实际数据的误差均不超过1万元，则认为得到的回归直线方程是有效的．试用1月和6月的数据估计所得的回归直线方程是否有效？参考公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y ̂−b ̂x −． 参考数据：82+122+132+112=98，8×16+12×26+13×29+11×25=1092．21. 已知抛物线C ：y 2=4 x 的焦点为F ，过点K (−1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明点F 在直线BD 上； (2)设·=，求△ BDK 的内切圆M 的方程．22.已知函数f(x)=axlnx，在点(e,f(e))处的切线与直线4x−y=0平行．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数f(x)在[m,m+2](m>0)上的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：1−1i 3=1−1−i =1−i−i 2=1−i ． ∴1−1i 3的共轭复数为1+i ． 在复平面上对应的点的坐标是(1,1)． 故选：A ．利用虚数单位i 的运算性质及复数的除法运算化简给出的复数，求出其共轭复数，则答案可求． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法与几何意义，是基础题．2.答案：A解析：解：∵log 28=3>(12)2=14， ∴由程序指令知输出a+1b=3+114=16．故选：A ．求出两个式子的值，利用程序框图对运算的定义列出运算式求出值即可．本题考查理解由程序框图给的运算的新定义、利用新定义求代数式的值，属于基础题．3.答案：D解析：解：由题意，x =8，代入线性回归方程为y ̂y ̂=12x +20，可得y 12×8+20y ̂=24， 故选：D ．利用回归直线方程恒过样本中心点，即可得出结论．本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4.答案：C解析：解：∵在等差数列{a n }中，a 1+a 5−a 8=1，a 9−a 2=5， ∴{a 1+a 1+4d −a 1−7d =1a 1+8d −a 1−d =5，解得a 1=227，d =57， ∴a 5=a 1+4d =227+4×57=6．故选：C ．利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a 5．本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：D解析：试题分析：因为： ，，，，则可以归纳猜想第个等式应为，故选D ．考点：合情推理和演绎推理6.答案：D解析：试题分析：表示的平面区域为D ，是边长为2的正方形，面积为4，到坐标原点的距离大于1的点，是位于以原点为圆心，一为半径的园外，面积为4−，所以，此点到坐标原点的距离大于1的概率为=，故选D 。
河南省焦作市普通高中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河南省焦作市普通高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，2}，B={0，2，-2}，则A∪B=（）A. 0，B. 0，2，C.D.2.若直线y=k（x-1）和（x+1）2+y2=1有公共点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.3.已知平面向量=（2，m），=（-1，1），若（2）∥，则实数m的值是（）A. 3B.C. 2D.4.已知等差数列{a n}的前n项之和为S n，若S13=26，则a7=（）A. 2B. 4C. 6D. 85.点（a，b）为直线y=-4x+8的第一象限上的一点，则ab的最大值为（）A. 1B. 2C. 4D. 86.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A. 48B. 32C. 24D. 167.已知f（x）=sin x+，则f（x）在区间[-1，1上的最大值和最小值之和等于（）A. 0B. 1C. 2D. 38.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若a=b=c，则∠A，∠B，∠C的度数之比为（）A. 1：1：5B. 1：1：4C. 1：1：3D. 1：1：29.在递增的等比数列{a n}中，前3项之和等于7，若a1，a2，a3-1成等差数列，则{a n}的公比等于（）A. 2或4B. 4或C. 2或D. 210.若关于x的不等式-x2+ax-4≥0的解集中只有一个元素并且该元素是正数，则直线y=（a-5）x+a不经过第（）象限A. 一B. 二C. 三D. 四11.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一个最高点为（，），且与该最高点相邻的一个零点为，将f（x）的图象向右平移m个单位得到一个奇函数，则m可以是（）A. B. C. D.12.已知数列{an}的前n项之和为S n（n∈N*），a1=1且满足a n+a n+1=sin，则S2019=（）A. 2B. 1C. 0D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，边AB，BC的长为方程x2-3x+1=0的两个根，且cos B=，则AC=______．14.如图，向边长为1的正方形内随机投掷一点P，则点P落在阴影区域内的概率是______．15.已知点N（x，y）在不等式组，表示的平面区域中，M（2，-3），O为坐标原点，则•的取值范围是______．16.在锐角△ABC中，R为△ABC的外接圆半径，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且aR=bc，则tan A tan B tan C的最小值为______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知S n为正项数列{a n}的前n项之和，且S n=a n2+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{}的前n项和T n．18.某企业近五年里每年的单件产品平均研发费用x（元）与销售单价增加值y（元）之间的对应关系如表：已知，之间线性相关．（Ⅰ）求x，y之间的线性回归方程；（Ⅱ）当年单件产品平均研发费用为6元时，试估计销售单价增加值．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=，a=．19.已知向量=（sin x，cos x），=（cos x，cos x），f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=1，a=1，求△ABC面积的最大值．20.设等差数列{b n}的前n项和为S n，已知b2=4，S5=30．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设a n=b n cos nπ，求数列{a n}的前30项和T30．21.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a，b，c成等差数列，△ABC的周长为15，且c2=a2+b2+ab．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）设G为△ABC的重心，求CG的长．22.已知m是不等式2≤x2-2x＜8的解集中的元素且m为正整数，f（x）=．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若f（x）≥n在（，+∞）上恒成立，求实数n的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={0，2}，B={0，2，-2}，∴A∪B={-2，0，2}．故选：A．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查集合的并集运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，圆（x+1）2+y2=1的圆心为（-1，0），半径r=1，若直线y=k（x-1）和（x+1）2+y2=1有公共点，则有≤1，解可得：-≤k≤，即k的取值范围为[-，]；故选：B．根据题意，由圆的方程分析圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得≤1，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意转化为圆心到直线的距离，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：；∵；∴3+2m+1=0；∴m=-2．故选：D．先求出，根据即可得出3+2m+1=0，解出m即可．考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系．4.【答案】A【解析】解：S13==13a7=26，则a7=2，故选：A．由S13==13a7，即可求出本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题5.【答案】C【解析】解：依题意得：4a+b=8，（a＞0，b＞0），8=4a+b≥2，∴ab≤4，当且仅当4a=b=4，即a=1，b=4时取等），故选：C．点代入直线后得4a+b=8，再利用基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．6.【答案】D【解析】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面积S=4×4=16，棱锥的高h=3，故棱锥的体积V=Sh=16，故选：D．由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．7.【答案】C【解析】展开f（x）得 f（x）=sinx+，令h（x）=sinx+，则h（x）为一个奇函数，由于h（x）在区间[-1，1上最大值和最小值之和为0，所以f（x）的最大值和最小值之和为2．故选：C．展开f（x）得一个奇函数，再利用奇函数的性质求得对复合函数求解过程，力求分解寻求突破，是奇函数性质的很好应用．8.【答案】B【解析】解：假设c=3，可求a=b=，由余弦定理可得：cosC===-，可求C=120°，A=B=30°，所以：A：B：C=1：1：4．故选：B．设c=3，可求a=b=，由余弦定理可得cosC=-，可求C=120°，A=B=30°，从而得解．本题主要考查了余弦定理中的求角公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：设公比为q，由前3项之和等于7，可得a1+a2+a3=7，由a1，a2，a3-1成等差数列，可得2a2=a1+a3-1，则2a2+1+a2=7，解得a2=2，则+2+2q=7，即2q2-5q+2=0，解得q=（舍去），q=2，故选：D．设公比为q，根据求和公式和等差数列的性质先求出a2=2，则可得+2+2q=7，解得即可本题考查等比数列的通项公式和求和公式，以及等差数列的性质，属基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，不等式-x2+ax-4≥0的解集中只有一个元素并且该元素是正数，必有△=a2-16=0，解可得a=±4，当a=4时，不等式-x2+ax-4≥0的解集为{2}，符合题意；当a=-4时，不等式-x2+ax-4≥0的解集为{-2}，不符合题意；故a=4，直线y=（a-5）x+a即y=-x+4，经过第一二四象限，不经过第三象限，故选：C．根据题意，分析可得△=a2-16=0，解可得a=±4，验证不等式的解集即可得a的值，即可得直线y=（a-5）x+a的方程，据此分析可得答案．本题考查一元二次不等式的解法，涉及直线的方程，关键是求出a的值，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：∵已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一个最高点为（），且与该最高点相邻的一个零点为，∴•=-，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2•+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）．∵将f（x）的图象向右平移m个单位得到一个奇函数y=sin（2x-2m+）的图象，则-2m+=kπ，k∈Z．令k=0，可得m=，故选：A．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）得解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得m的值．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：数列{an}的前n项之和为S n（n∈N*），a1=1且满足a n+a n+1=sin，a2k+a2k+1=sinkπ=0，可得a1+a2+a3+a4+…+a2018+a2019=1+0+…+0=1，故选：B．利用数列的关系公式，列出数列的和，求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．13.【答案】【解析】解：∵AB，BC的长为方程x2-3x+1=0的两个根，∴AB•BC=1，AB+BC=3，∵cosB=，∴由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=（AB+BC）2-2AB•BC-AB•BC=32-2×1-=，∴AC=．故答案为：．由已知利用韦达定理可得AB•BC=1，AB+BC=3，进而根据余弦定理即可解得AC的值．本题主要考查了韦达定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和方程思想，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件是正方形的面积S=1×1=1，阴影部分区域的面积是8×[×π×-]=-1，∴由几何概型公式得到P==-1，故答案为：-1．由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是正方形面积S=1×1，求出阴影部分区域的面积，最后利用几何概型的概率公式解之即可．本题主要考查了几何概型，解题的关键求阴影部分的面积，同时考查了计算能力，属于中档题．15.【答案】[-6，]【解析】解：N（x，y）的坐标x，y满足不等式组不等式组．M（2，-3），•=2x-3y．表示的可行域如图：由向量的数量积的几何意义可知，由解得：A（0，2），由，解得B（，），2x-3y取得最大值是，2x-3y取得最小值为：-6，所以•的取值范围是[-6，]．故答案为：[-6，]．先根据约束条件画出可行域，再利用向量的数量积表示出z=•，利用z的几何意义求最值即可．本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识，属于基础题．文科考查线性规划问题都考查的比较浅，难度不大这与理科有所区别，本题就具备这个特点，只是目标函数稍加变动．16.【答案】8【解析】解：∵aR=bc，由正弦定理可得，2R2sinA=4R2sinBsinC，∴sinA=2sinBsinC，sin（B+C）=2sinBsinCsinBcosC+sinCcosB=2sinBsinCtanBtanC即tanB+tanC=2tanBtanC，因为B，C为锐角，∴tanB＞0，tanC＞0∴tanB+tanC≥2，∴2tanBtanC≥2，∴∈（0，1]∵tan（B+C）==-tanA，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，则tanAtanBtanC=-tan（B+C）tanBtanC=-•tanBtanC=-•tanBtanC==，∴=时，tanAtanBtanC取得最小值8，故答案为：8．先用正弦定理将边化成角，再将A化成B，C，变成tanB+tanC=2tanBtanC，将tanAtanBtanC变形后用二次函数求最值．本题主要考查了正弦定理及同角基本关系的简单应用，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）S n=a n2+，n=1时，a1=S1=a12+a1，解得a1=2（0舍去），当n≥2时，a n=S n-S n-1=a n2+-a n-12-a n-1，化为（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，由a n＞0，可得a n-a n-1=2，即有a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；（Ⅱ）==（-），前n项和T n=（1-+-+…+-）═（1-）=．【解析】（Ⅰ）运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式即可得到所求；（Ⅱ）==（-），运用裂项相消求和，化简整理可得所求和．本题考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的递推式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）依题意，==3.2，==24，所以可得下表：于是，（x i-）（y i-）=（-0.8）×（-10）+（-0.4）×（-5）+0×0+0.4×5+0.8×10=20，（x i-）2=（-0.8）2+（-0.4）2+02+0.42+0.82=1.6，故b=12.5，a=-16，于是线性回归方程为：y=12.5x-16；（Ⅱ）当x=6时，销售单价增加值的估计值为y=12.5×6-16=59，故销售单价增加值约为59元．【解析】-）（y i-）=20，（x i-）2=1.6，b=12.5，a=-16，则可得回归直线方程为y=12.5x-16；（Ⅰ）先求出=3.2，=24，（x（Ⅱ）令x=6解得y=59即为所求．本题考查了线性回归方程，属中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）向量=（sin x，cos x），=（cos x，cos x），则f（x）==sin x cosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+），令≤2x+，k∈Z得≤x≤，∴f （x ）的单调递增区间为[ ，]，k ∈Z ； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得f （x ）=sin （2x +）， ∵f （A ）=1，即sin （2A +）=1， ∴sin （2A +）=， ∵0＜A ＜π， 可得A = ， 余弦定理：cos A =，即bc =b 2+c 2-1， ∵b 2+c 2≥2bc ．当且仅当b =c 时取等号， ∴bc +1≥2bc ． 即bc ≤1，△ABC 面积的最大值S =bc sin A=故△ABC 面积的最大值为．【解析】（Ⅰ）由f （x ）=．根据向量的坐标运算可得f （x ），化简，结合三角函数的性质求f （x ）的单调递增区间（Ⅱ）根据f （A ）=1，求解A ，由a=1，结合余弦定理，基本不等式即可求解△ABC 面积的最大值． 本题主要考查向量的运算和三角函数的图象和性质，余弦定理和基本不等式的应用． 20.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{b n }的公差设为d ，前n 项和为S n ，b 2=4，S 5=30，可得b 1+d =4，5b 1+10d =30， 解得b 1=d =2，可得b n =2n ，n ∈N *；（Ⅱ）a n =b n cos n π= 为奇数为偶数，则数列{a n }的前30项和T 30=（-2-6-…-2×15）+（4+8+…+2×30） =×15×（-2-30）+×15×（4+60） =240．【解析】（Ⅰ）等差数列{b n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（Ⅱ）a n =b n cosnπ=，由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 21.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）设a =x ，b =x +d ，c =x +2d ，由，△ABC 的周长为15，可得：x +d =5，…1分 ∵c 2=a 2+b 2+ab ，∴（x +2d ）2=x 2+（x +d ）2+x （x +d ），将d =5-x 代入到上式中，解得：x =3，d =2，…3分 ∴a =3，b =5，c =7，…4分 ∴由余弦定理可得：cos C ==-，∴由C ∈（0，π），可得C =，…6分∴S △ABC =ab sin C ==…7分（Ⅱ）延长CG ，交AB 于F 点，则F 为AB 的中点，…8分 ∵ =（ + ）， ∴ 2=（ + ）2=（ 2+ 2+2 • ）=[32+52+2×]=，…10分 ∴CF =，∴CG = CF =．…12分【解析】（Ⅰ）设a=x，b=x+d，c=x+2d，由△ABC的周长为15，可得：x+d=5，进而由c2=a2+b2+ab，可得x=3，d=2，解得a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得cosC=-，结合范围C∈（0，π）可得C的值，根据三角形面积公式即可计算得解．（Ⅱ）延长CG，交AB于F点，则F为AB的中点，由=（+），可求CF的值，利用重心的性质可求CG=CF=．本题主要考查了数列，余弦定理以及平面向量在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）解不等式x2-2x-2≥0得x≥1+或x≤1-，解不等式x2-2x-8＜0得-2＜x＜4，取交集，得原不等式的解集是{x|-2＜x≤1-或1+≤x＜4}，故此解集中的正整数为3，所以实数m的值为3．（Ⅱ）当m=3时，f（x）===2x+=2x-1++1，在区间（，+∞）上，对任意的实数x，均有2x-1＞0且＞0，故根据基本不等式可得f（x）=2x-1++1≥2+1=7，当且仅当2x-1=，也即x=2时，等号成立，故f（x）在（，+∞）上的最小值为7，根据题意，需f（x）min≥n，所以实数n的取值范围是（-∞，7]．【解析】（Ⅰ）先解一元二次不等式组得解集，取其中的整数为3，所以m=3；（Ⅱ）通过对f（x）变形为f（x）=2x-1++1后，利用基本不等式求出其最小值为7，然后f（x）≥n恒成立等价于7≥n．本题考查了一元二次不等式的解法，基本不等式的应用，不等式恒成立问题，属中档题．。
河南省焦作市普通高中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题(含精品解析)
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
1
（Ⅱ）求{������������������������ + 1}的前 n 项和 Tn．
������
∑������ =
1(������������
‒
������)(������������
‒
������)
b=
������
∑������ =
1(������������
‒
������)2
，a=������ ‒ ������������．
⃗
⃗
⃗⋅⃗
19. 已知向量������=（ 3sinx，cosx），������=（cosx，cosx），f（x）=������ ������．
本题考查了数列前 n 项和，正切函数的周期性，考查了推理能力与计算能 力．
5
13.【答案】2
【解析】
解：∵AB，BC 的长为方程 x2-3x+1=0 的两个根， ∴AB•BC=1，AB+BC=3，
∵cosB= ， ∴由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=（AB+BC）2-2AB•BC-
18. 某企业近五年里每年的单件产品平均研发费用 x（元）与销售单价增加值 y（元） 之间的对应关系如表：
x
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
y
河南省焦作市普通高中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
1
（Ⅱ）若 f（x）≥n 在（2，+∞）上恒成立，求实数 n 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：∵集合 A={0，2}，B={0，2，-2}， ∴A∪B={-2，0，2}． 故选：A． 利用并集定义直接求解． 本题考查并集的求法，考查集合的并集运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2018-2019 学年河南省焦作市普通高中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={0，2}，B={0，2，-2}，则 A∪B=（ ）
A. { ‒ 2,0，2}
B. { ‒ 2,0，2，2}
C. {0,2}
2. 若直线 y=k（x-1）和（x+1）2+y2=1 有公共点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A.
[
‒
3,0]
3
B.
[
‒
3,
3
3]
3
C.
[0,
3]
3
D. { ‒ 2} D. [ ‒ 3, 3]
⃗
⃗
⃗+⃗ ⃗
3. 已知平面向量������=（2，m），������=（-1，1），若（2������ ������）∥������，则实数 m 的值是（ ）
A. 3
B. ‒ 3
C. 2
4. 已知等差数列{an}的前 n 项之和为 Sn，若 S13=26，则 a7=（ ）
D. ‒ 1
14. 如图，向边长为 1 的正方形内随机投掷一点 P，则点 P 落在阴影区域内的概率是______．
焦作市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
焦作市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ）A ．80＋20πB ．40＋20πC ．60＋10πD ．80＋10π2． 如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．3． 已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）A ．（﹣∞，]B ．（﹣∞，）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）4． 已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35． 函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ）A ．e x+1B ．e x ﹣1C ．e ﹣x+1D ．e ﹣x ﹣16． 如图所示，函数y=|2x ﹣2|的图象是（）A ．B ．C ．D ．班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________7． 已知，若存在，使得，则的()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->0(1,)x ∈+∞00()'()0g x g x +=b a取值范围是（）A ．B ． C.D ．(1,)-+∞(1,0)-(2,)-+∞(2,0)-8． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．9． 已知集合，，则（ ）{| lg 0}A x x =≤1={|3}2B x x ≤≤A B =I A ．B ．C ．D ．(0,3](1,2](1,3]1[,1]2【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力．10．已知x ，y 满足，且目标函数z=2x+y 的最小值为1，则实数a 的值是（ ）A ．1B ．C ．D ．11．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A ．725B ．725-C. 725±D ．242512．若命题p ：∀x ∈R ，2x 2﹣1＞0，则该命题的否定是（ ）A ．∀x ∈R ，2x 2﹣1＜0B ．∀x ∈R ，2x 2﹣1≤0C ．∃x ∈R ，2x 2﹣1≤0D ．∃x ∈R ，2x 2﹣1＞0二、填空题13．对于映射f ：A →B ，若A 中的不同元素有不同的象，且B 中的每一个元素都有原象，则称f ：A →B 为一一映射，若存在对应关系Φ，使A 到B 成为一一映射，则称A 到B 具有相同的势，给出下列命题：①A 是奇数集，B 是偶数集，则A 和B 具有相同的势；②A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B 是复数集，则A 和B 不具有相同的势；③若区间A=（﹣1，1），B=R ，则A 和B 具有相同的势．其中正确命题的序号是 ． 14．已知（x 2﹣）n ）的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是 ．15．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ． 16．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ． 17．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 .18．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，则P ABC -PA PB PC ==PA PB ⊥PA PC ⊥PBC △PC与平面所成角的正弦值为______________.ABC【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．三、解答题19．（本题12分）正项数列{}n a 满足2(21)20n n a n a n ---=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前项和为n T .20．如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为与的交点，平P ABCD -ABCD E AC BD PA ⊥面，为中点，为中点．ABCD M PA N BC （1）证明：直线平面；//MN ABCD（2）若点为中点，，，，求三棱锥的体积．Q PC 120BAD ∠=︒PA =1AB =A QCD -21．已知函数f （x ）=﹣x 2+ax ﹣lnx （a ∈R ）．（I ）当a=3时，求函数f （x ）在[，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）函数f （x ）既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围．22．如图，平面ABB 1A 1为圆柱OO 1的轴截面，点C 为底面圆周上异于A ，B 的任意一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面A 1AC ；（Ⅱ）若D 为AC 的中点，求证：A 1D ∥平面O 1BC ．23．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形是一个观光区的平面示意图，其中为，半AOB AOB ∠23π径为，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口到出口的观光道路，道路由圆弧OA 1km A B 、线段及线段组成．其中在线段上，且，设．AC CD BD D OB //CD AO AOC θ∠=（1）用表示的长度，并写出的取值范围；θCD θ（2）当为何值时，观光道路最长？θ24．已知函数f（x）=．（1）求f（f（﹣2））；（2）画出函数f（x）的图象，根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f（x）在区间（﹣4，0）上的值域．焦作市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1． 【答案】【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．依题意得（2r ×2r ＋πr 2）×2＋5×2r ×2＋5×2r ＋πr ×5＝92＋14π，12 即（8＋π）r 2＋（30＋5π）r －（92＋14π）＝0，即（r －2）[（8＋π）r ＋46＋7π]＝0，∴r ＝2，∴该几何体的体积为（4×4＋π×22）×5＝80＋10π.122． 【答案】 D【解析】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D ．3． 【答案】 B【解析】解：由题意，不等式f （x ）＜g （x ）在[1，e]上有解，∴mx ＜2lnx ，即＜在[1，e]上有解，令h （x ）=，则h ′（x ）=，∵1≤x ≤e ，∴h ′（x ）≥0，∴h （x ）max =h （e ）=，∴＜h （e ）=，∴m ＜．∴m的取值范围是（﹣∞，）．故选：B．【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．4．【答案】C【解析】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2．故选：C5．【答案】D【解析】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．6．【答案】B【解析】解：∵y=|2x﹣2|=，∴x=1时，y=0，x≠1时，y＞0．故选B．【点评】本题考查指数函数的图象和性质，解题时要结合图象进行求解．7．【答案】A【解析】考点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.8． 【答案】D【解析】解：设F 2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P ，并且直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P 是切点，所以PF 2=c 并且PF 1⊥PF 2．又因为F 1F 2=2c ，所以∠PF 1F 2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a ，所以|PF 2|=2a ﹣c ．所以2a ﹣c=，所以e=．故选D ．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义． 9． 【答案】D【解析】由已知得，故，故选D ．{}=01A x x <£A B =I 1[,1]210．【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知A （a ，a ），化目标函数z=2x+y 为y=﹣2x+z ，由图可知，当直线y=﹣2x+z 过A （a ，a ）时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，z 的最小值为2a+a=3a=1，解得：a=．故选：B ．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 11．【答案】A 【解析】考点：正弦定理及二倍角公式.【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定理R CcB b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化.12．【答案】C【解析】解：命题p ：∀x ∈R ，2x 2﹣1＞0，则其否命题为：∃x ∈R ，2x 2﹣1≤0，故选C ；【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题； 二、填空题13．【答案】 ①③ ．【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A→B是一一映射，故①正确；对②设Z点的坐标（a，b），则Z点对应复数a+bi，a、b∈R，复合一一映射的定义，故②不正确；对③，给出对应法则y=tan x，对于A，B两集合可形成f：A→B的一一映射，则A、B具有相同的势；∴③正确．故选：①③【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．14．【答案】 45 ．【解析】解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，由第三项与第五项的系数之比为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10﹣i（﹣）i=（﹣1）i C10i=，令40﹣5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（﹣1）8C108=45，故答案为：45．15．【答案】 （，） ．【解析】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①∵点A（2，0），点B（0，3），∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C的坐标为（，）．故答案是：（，）．【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【答案】 ﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3 ．【解析】解：根据题意知：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，两圆圆心距d=|a|，∴2﹣1＜|a|＜2+1，∴﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．故答案为：﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，属中档题．17．【答案】12【解析】考点：分层抽样18．【解析】三、解答题19．【答案】（1）n a n 2=；（2）=n T )1(2+n n .考点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和．20．【答案】（1）证明见解析；（2）.18【解析】试题解析：（1）证明：取中点，连结，，PD R MR RC ∵，，，//MR AD //NC AD 12MR NC AD ==∴，，//MR NC MR AC =∴四边形为平行四边形，MNCR ∴，又∵平面，平面，//MN RC RC ⊂PCD MN ⊄PCD ∴平面．//MN PCD（2）由已知条件得，所以，1AC AD CD ===ACD S ∆=所以．111328A QCD Q ACD ACD V V S PA --∆==⨯⨯=考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式.21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）a=3时，f ′（x ）=﹣2x+3﹣=﹣=﹣，函数f （x ）在区间（，2）仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在[，2]最大值是f （1）=2，又f （2）﹣f （）=（2﹣ln2）﹣（+ln2）=﹣2ln2＜0，故f （2）＜f （），故函数在[，2]上的最小值为f （2）=2﹣ln2．（Ⅱ）若f （x ）既有极大值又有极小值，则必须f ′（x ）=0有两个不同正根x 1，x 2，即2x 2﹣ax+1=0有两个不同正根．故a 应满足⇒⇒，∴函数f （x ）既有极大值又有极小值，实数a 的取值范围是．22．【答案】 【解析】证明：（Ⅰ）因为AB 为圆O 的直径，点C 为圆O 上的任意一点∴BC ⊥AC…又圆柱OO 1中，AA 1⊥底面圆O ，∴AA 1⊥BC ，即BC ⊥AA 1…而AA 1∩AC=A∴BC ⊥平面A 1AC…（Ⅱ）取BC 中点E ，连结DE 、O 1E ，∵D 为AC 的中点∴△ABC 中，DE ∥AB ，且DE=AB…又圆柱OO 1中，A 1O 1∥AB ，且∴DE ∥A 1O 1，DE=A 1O 1∴A 1DEO 1为平行四边形…∴A 1D ∥EO 1…而A 1D ⊄平面O 1BC ，EO 1⊂平面O 1BC ∴A 1D ∥平面O 1BC …【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．23．【答案】（1）;（2）设当时，取得最大值，即当cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭∴6πθ=()L θ6πθ=时，观光道路最长.【解析】试题分析：（1）在中，由正弦定理得：OCD ∆sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO==∠∠∠，2cos 3CD πθθθ⎛⎫∴=-=+ ⎪⎝⎭OD θ=1sin 03OD OB πθθθ<<∴<<<Qcos ,0,3CD πθθθ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭（2）设观光道路长度为，()L θ则()L BD CD AC θ=++弧的长= = ，1cos θθθθ-+++cos 1θθθ-++0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()sin 1L θθθ=-+'由得：，又()0L θ'=sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭6πθ∴=列表：θ0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭6π,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()L θ'+0-()L θ↗极大值↘当时，取得最大值，即当时，观光道路最长.∴6πθ=()L θ6πθ=考点：本题考查了三角函数的实际运用点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。