微积分在经济生活中的应用

微积分在经济生活中的应用人们面对着规模越来越大的经济和商业活动，逐渐转向用数学方法来帮助自己进行分析和决策，而且正越来越广泛地应用数学理论进行经济理论研究．在经济生活中经常涉及成本、收入、利润等问题，解决这些问题与微积分有着紧密联系．1 导数及微分的应用导数及微分在经济生活中的应用主要有边际分析与弹性分析等． 1.1 边际问题[1](37)P - 1.1.1 边际成本边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数． 设成本函数为()C C x =，产量从x 改变到x x +∆时，成本相应改变()()C C x x C x ∆=+∆-成本的平均变化率为()()C C x x C x x x∆+∆-=∆∆ 若当0x ∆→时，0limx Cx∆→∆∆存在，则这个极限值就可反映出产量有微小变化时，成本的变化情况．因此，产品在产量x 时的边际成本就是：00()()()lim limx x dC C C x x C x C x dx x x∆→∆→∆+∆-'===∆∆ 如果生产某种产品100个单位时，总成本为5000元，单位产品成本为50元．若生产101个时，其总成本5040元，则所增加一个产品的成本为40元，即边际成本为40元．在经营决策分析中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算．当企业的生产能力有剩余时，只要增加产量的销售单位高于单位边际成本，也会使得企业利润增加或亏损减少．或者说，只要边际成本低于平均成本，也可降低单位成本．由上面知当产量100x =时，这时候有(100)40C '=(100)50100C = 即边际成本低于平均成本，此时提高产量，有利降低单位成本．1.1.2 边际收入边际收入是指在某一水平增加或减少销售一个单位商品的收入增加或减少的量．实际上就是收入函数的瞬时变化率．而从数学的角度来看，它是一个导数问题．设收入函数为()R R x =，则边际收入函数就是0()()()limx dR R x x R x R x dx x∆→+∆-'==∆ 如(15)14R '=，其经济含义是，在产量为15这一水平上再增加或减少销售一个单位，其收入增加或减少14．1.1.3 边际利润由于利润函数是收入函数与成本函数的差，即()()()P x R x C x =-，因此边际利润函数为()()()P x R x C x '''=-由上面的分析我们可以得出：边际成本函数就是总成本函数对产量的导数；边际收入函数就是总收入函数对销量的导数；边际利润函数就是总利润函数对销量的导数．例1 某企业每月生产的总成本C (千元)是产量x (吨)的函数2()1020C x x x =-+如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润．解 因为利润函数为总收入减去总成本． 即22()()()20(1020)3020P x R x C x x x x x x =-=--+=-+-所以边际利润为()230P x x '=-+于是(10)2103010P =-⨯+=（千元/吨） (15)215300P '=-⨯+=（千元/吨）(20)2203010P '=-⨯+=-（千元/吨）上述结果表明，当月产量为15吨时，边际利润为0，如果再增加产量，利润不会增加反而减少，所以该企业不能单独依靠增加产量来提高利润．1.2 弹性问题[2](3437)P -弹性原是物理学上的概念，意指某一物体对外界力量的反应力．经济活动中的弹性是指当经济变量存在函数关系时，因变量对自变量变动的反应程度．若两个经济变量之间的函数关系为()y f x =，设函数()y f x =在点0x 处可导，以,x y ∆∆分别表示变量,x y 的变动量，则把'000000000/limlim ()/()x x y y x x y f x x x x y f x →→∆∆=⋅=∆∆ ⑴称为函数()y f x =在点0x 处的弹性,记作x x EyEx= 或()x x Ef x Ex =若()f x 可导，则它在任意点处的弹性为：()()()Ef x xf x Ex f x '= ⑵ ⑴式为点弹性，⑵式为弧弹性．弹性的本质是相对变化率，表现因变量对自变量的相对变化所做出的反应即灵敏度．弹性的经济意义为：当自变量变化为1%时,函数变化为()[]%Ef x Ex. 设x x Ey a Ex==，即0000000//lim//x y y x dy y dy a x x dx y dx x ∆→∆=⋅==∆若0/1%x x ∆=，即0/1%dx x =，则0/1%dy y a =⨯，而dy y ≈∆，故0/%y y a ∆≈，这就是说当x 在0x 处变化（上升或下降）1%时，y 变化（上升或下降）%a ．所以弹性是()f x 对x 变化反应的灵敏度．例2 设某种商品的需求量Q 与价格x 之间的函数关系为(83)Q x x =-试求在149x =、169、2（元）的价格水平时，需求量对价格的弹性（简称需求价格弹性）． 解86(86)(83)83EQ x x x Q x Ex Q x x x-'=⋅=-⋅=-- 故149148690.414839x EQ Ex=-⨯==--⨯，表明在149元的价格水平时，价格上涨1%则需求量下降0.4%．1691x EQ Ex==-，表明在169元的价格水平时，价格上涨1%，则需求量下降1%．22x EQ Ex==-,表明在2元的价格水平时，价格上涨1%，则需求量下降2%．在一般情况下，商品的需求量和价格是成反方向变动的，即需求价格弹性0EQEx<，故当1EQ Ex <-时，称需求是弹性的，当10EQ Ex -<<时称需求是低弹性的，当1EQEx=-时，称需求是有单位弹性的．利用需求价格弹性分析有助于作出正确的定价决策，当需求是弹性时，总收入将因价格的下调而增加;当需求是低弹性时，总收入将因价格的上调而增加；当需求是有单位弹性时，总收入取得最大值．设某商品的需求函数为()Q f x =，则总收入函数为()R Q x xf x =⋅=，因为[]()()()1()()1()()dR x f x xf x f x f x f x e x dx f x ⎡⎤''=+=+=+⎢⎥⎣⎦又()0f x ≥，所以当1EQ Ex >-时0dR dx >，即当需求是低弹性时，总收入随价格增加而增加，故此时可上调价格而使收入增加．当1EQ Ex <-时0dRdx <，即当需求是弹性的时候，总收入随价格增加而减少，故此时可下调价格而使收入增加．当1EQ Ex =-时0dRdx=，即当需求有单位弹性时，价格水平是收入函数的驻点，故R 取得最大值．例3 在上例中当149x =、169、2（元）时，应如何调整价格,才能使收入增加？调整价格后收入变化幅度有多大？解 当149x =时，因为()0.4e x =-，即需求是低弹性的，应该上调价格，此时由于[]()()()ER Exf x xxf x Ex Ex xf x '== 1()()xf x f x '=+ 110.40.6EQEx=+=-= 即价格上调1%后收入增加0.6%；当169x =时，1EQ Ex=-，此时收入最大，应该维持原价； 当2x =时，2EQEx=-，即需求是弹性的，此时应该下调价格，因为1121ER EQ Ex Ex=+=-=-故价格下调1%时，收入增加1%．1.3 偏弹性在经济函数中，影响一个经济量的因素是多种多样的，例如，商品的需求量受到商品价格、消费者的爱好、每个人的收入等因素的影响．也就是说，商品的需求量是一个多元函数．又如，产出量与投入的劳力、资本、土地、能源等因素有关，或者说产出是诸多元素的多元函数．与一元函数的导数类似，多元函数的偏导数在经济学中表示边际经济量．边际经济量的经济含义是：当其中一个的经济量变化一个微小单位时，（其他经济量需保持不变），总经济量的变化量．我们以生产函数(,)G f K L =（其中K 表示资本，L 表示劳力）为例引入偏弹性的概念．称比值GK G K∂∂为产出G 对资本K 的偏弹性．它的经济意义是：当资本K 增加001时，产品增加的百分数；称比值GL G L∂∂为产出G 对劳力L 的偏弹性，它的经济意义是：当劳力L 增加001时，产品增加的百分数．例4 证明D C -生产函数中的参数α是产出G 对劳力L 的偏弹性，参数β是产出G 对资本K 的偏弹性①．证明 由D C -生产函数G AL K αβ=得11;G GA L K A L K L Kαβαβαβ--∂∂==∂∂． 于是，产出G 对劳力L 的偏弹性为1GA L KL L G AL K L αβαβαα-∂∂=⋅=， 产出G 对资本K 的偏弹性为1GA L K K K G AL K Kαβαβββ-∂∂=⋅=． 1.4 最大利润与最小成本[3](5056)P -利润取得最大值的必要条件是：()0P x '=充分条件是：()0P x ''<如果生产原料有两种，总利润为(,)P x y ，其中,x y 分别表示两种原料的数量．则取得最大值的必要条件是：00P P x y∂∂==∂∂且 充分条件是：设00000022222(,)(,)(,),,x y x y x y PP P A B C xx yy∂∂∂===∂∂∂∂满足20A C B ⋅->．例5 设某企业生产q 个单位产品的总成本函数是: 32()1050C q q q q =-+，求使得平均成本()C q 为最小的产量;并计算出最小平均成本解 3221050()1050q q qC q q q q-+==-+， 那么()210C q q '=-， 令()0C q '=， 5q =， 又(5)20C ''=>， 所以()C q 在5q =取得极小值点， 所以理论上()C q 的最小值是存在的，5q =时平均成本()C q 为最小．最小平均成本2min (5)51055025C =-⨯+=．例6 某公司在生产中使用I 和II 两种原料，已知I 和II 两种原料分别使用x 单位和y 单位可生产u 单位的产品，且有：22(,)8324046u x y xy x y x y =++--，并且第一种原料每单位的价值为10美元，第二种原料每单位的价值为4美元，产品每单位的售价为40美元啊，求该公司的最大利润？解 生产(,)u x y 单位的产品的总成本为104x y +，总收入为40(,)u x y ，从而利润函数为22(,)40(,)10432012701596160240P x y u x y x y xy x y x y =--=++--，再由32012703200P y x x ∂=+-=∂，32015964800Px y y∂=+-=∂ 解得驻点为：00(,)(21.9,17.9)P x y =，又00000022222(,)(,)(,)320,320,480x y x y x y P PP x x yy∂∂∂=-==-∂∂∂∂，2512000A C B ⋅-=>．故P 在此点达到最大值，即该公司的最大利润为(21.9,17.6)28189()P ≈美元．2 连续复利——e 的应用[4](159164)P -利息是银行对储蓄（或借款）所支付（或收取）除本金以外的货币．银行支付（或收取）利息的多少，以利率的高低来表示：单位时间的利率=单位时间的利息/存入本金 例如，存入1000元，年利息是80元，则年利率为8%． 一般地，单位时间取年或月． 2.1 单利设本金为0A （可指投资、存款等），年利率是r ，所谓单利是指仅按本金来计算利息．例如0A 的投资时间为t 年，那么t 年后可得单利0I A rt =本利和是0000(1)A A I A A rt A rt =+=+=+例7 1000元投资5年，年利率6%，于是5年后共得单利10000.065300I =⨯⨯=（元）本利和是10003001300A =+=（元）2.2 复利所谓复利是指经过一年时间，将所生成利息加入本金再生利息，逐期滚算．假定本金为0A 元，年利率为r ，那么一年后的利息是0A r ，此时本金就成了000A A r A r +=（1+）．再经过一年又得复利[]0r A t （1+），本金成了 2000A r rA r A r （1+）+（1+）=（1+）以此类推，t 年后本金()A t 就成了0()tA t A r =（1+）例8 如果例7按年计算复利，那么5年后本金就成了5(5)10001000 1.338231338.23(A ⨯=⨯==（1+0.06）元）利息是338.23元．设年利率为r ，如果一年计算m 次复利(m 是正整数)，那么t 年就计算tm 次，每次的利率算作r m． 设本金为0A 元，年利率为r ，每年计算m 次，那么t 年后本金为0()mtr A t A m=（1+） 例9 如果例7每年计算复利4次，那么5年后本金是45200.06(5)10001000 1.0151000 1.346861346.86()4A ⨯=⨯=⨯==（1+）元 利息是346.86元． 2.3 连续复利从上面例子可以看出，计算复利的次数越多，既周期越短，利息就越高，我们自然会问，如果利息按连续复利计算，既计算复利的次数m 趋于无穷大时，t 年后本金（既本利和）是多少？此时可按如下公式计算000()lim lim rtmmt rt rm m r r A t A A A e m m →∞→∞⎡⎤==⎢⎥⎣⎦=（1+）（1+） 这种计利方法称为连续复利．例10 如果例7按连续复利计算，那么5年后本金是0.0650.3(5)100010001349.86A e e ⋅=⋅=⋅=（元）连续复利的计算公式在其他许多问题中也常有应用．例如细胞分裂、树木生长等问题．3 定积分的应用[5](2327)P -3.1 由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际收入，边际成本，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()baR b R a R x dx '-=⎰ (1)()()()baC b C a C x dx '-=⎰ (2)()()()baP b P a P x dx '-=⎰ (3)例11 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/吨），边际成本为5（万元/吨），求产量x 从250吨增加到300吨时销售收入()R x ，总成本()C x ，利润()P x 的改变量（增量）．解 首先求边际利润()()()0.082550.0820P x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式(1)、式(2)、式(3)，依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰150=（万元） 300300250250(300)(250)()5C C C x dx dx '-==⎰⎰250=（万元）300300250250(300)(250)()(0.0820)P P P x dx x dx '-==-+⎰⎰100=-（万元）3.2 由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称2121()t t f t dtt t -⎰为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率．例12 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[]0,2内的平均利息率．解 由于22()(0.08r t dt dt =+⎰⎰0.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为2()0.0820r t dtr ==+-⎰ 0.094≈（年）．例13 某公司运行t （年）所获利润为()P t（元）利润的年变化率为()310P t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[]3,8内年平均变化率．解 由于3885852333()310210(1)3810P t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰（元/年）所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083P t dt '=⨯-⎰（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元．4 条件极值[6](58)P -如果在极值问题中自变量x 与y 之间还要满足一定的约束条件(,)g x y c =，这种在(,)g x y c =条件下函数(,)f x y 的极值称为条件极值．求条件极值的问题需用到拉格朗日乘数法．例14 某工厂集资ω元，拟建一个长方体无盖水池，已知侧面的单位面积造价为a 元，底面的单位面积造价为b 元，如何选择水池的尺寸，能使水池的容积最大？解 设水池的长、宽、高分别为,,x y z 依题意就是求函数 V xyz = (0,0,0)x y z >>>在条件约束(22)a xy yz b xy ω=⋅++⋅下的条件极值． 根据拉格朗日乘数法，作辅助函数()()bxy ayz axz xyz z y x F ---+=22,,,ωλλ由 ()02=--+='by az yz F x λ ①()02=--+='bx az xz F y λ ②()022=--+='ay ax xy F z λ ③ 022=---='bxy ayz axz F ωλ ④①÷② (先移项) 得 y x = ①÷③ (先移项) 得 bx az =2 将它们代入④式，得 bx 3ω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=舍去b x 3ω又有 by 3ω=，ωb az 361=根据具体问题本身知道，水池容积的最大值是存在的，且最小值为零．所以，当水池的长、宽、高分别为 ωb b x 331=，ωb b y 331=，ωb az 361=时，水池的容积最大，最大容积为ωωb ab318．由上例可以看出，求解条件极值的关键是通过拉格朗日乘数法作辅助函数()λ,,,z y x F ，条件极值存在的必要条件就是函数()λ,,,z y x F 取得极值的必要条件．5 级数的应用[7](1115)P -随着住房的私有化，个人住房抵押贷款成了人们生活中的一项重要的经济生活．下面用级数的知识来讨论个人住房贷款中人们常选择的按月还款方式的月还款额．设贷款额为0B ，月还款为m ，贷款后第k 个月时欠款余额为k B ，则由第k 个月到第1k +个月中，除月还款m 外还有什么因素参与？无疑是月息，设月利率为r ，则有：1(1)k k B r B m +=+-， 0,1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑴ 即：1(1)k k B r B m -=+-， 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑵ 由⑴式减去⑵式，得递推公式：11(1)()k k k k B B r B B +--=+- 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑶ 令 1()k k k A B B -=-， 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑷ 则⑶式变为：1(1)k k A r A +=+， 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑸于是有 11(1)k k A r A -=+， 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑹由⑷式和⑹式可知：012k k B B A A A -=++⋅⋅⋅+111(1)(1)k A r r -⎡⎤=+++⋅⋅⋅++⎣⎦10(1)1()k r B B r+-=- 0(1)1()k r rB m r+-=- 00(1)(1)1k k m B r B r r⎡⎤=+--+-⎣⎦，1,2,3,k =⋅⋅⋅ 从而得到 0(1)(1)1k k k m B B r r r ⎡⎤=+-+-⎣⎦，1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑺ 设第个n 月已还清贷款，则0n B =，代入⑺式得0(1)(1)1nn rB r m r +=+- ⑻ 因此，若某人贷款0B ，月利率为r ，共贷款n 个月，则每月需还贷款公式为⑻式．此式也适用于购车贷款等的按月还款．下面举例说明⑻式的应用．例15 某人贷款8万元用于购买汽车，设贷款月利率为0.402%，贷款期限为10年，试计算此人每月还款额是多少？解 1012120n =⨯=，由公式⑻得：1201200.402%80,000(10.00402)520.4748672841.66(10.00402)10.618392m ⨯⨯+===+-（元） 这说明此人每月需还款841.66（元）．通过上面的论述，我们会发现微积分已经广泛的应用于经济生活中，而且随着金融市场和现代企业制度的建立，微积分越来越多地渗透到会计、审计、财务管理、市场营销、财政、税务、金融、工商管理等各个经济领域．经济定货量模型、经济生产量模型、敏感分析等都是应用微积分解决经济问题的一些典范，微积分在经济生活中的地位越来越重要．注释：①D C -生产函数是数学家柯布和经济学家道格拉斯于20世纪30年代提出来的，被认为是一种很有用的生产函数．一般形式为：G A L K αβ=⋅⋅，G 为产量，L 和K 分别为劳动和资本投入量，A 、α和β为3个参数， 0,1αβ<<．当1αβ+=时，α和β分别表示劳动和资本在生产过程中的相对重要性，α为劳动所得在总产量中所占的份额，β为资本所得在总产量中所占的份额．若1αβ+>，则为规模报酬递增；若1αβ+=，则为规模报酬不变；若1αβ+<，则为规模报酬递减．。