利用算术平方根的非负性进行计算
11.2算术平方根的双重非负性
即：注x意 哦1！ 任何数的2平方 即任都：13注 何是 意 数x非哦 的负23 ！ 绝数对 值也都是非负 即：x为 数任意数
注意哦！ 即：分x母为任不意能数为
零
即：x 5 4
x2 4x 5
例2： 已知y x 1 1 x 7,求y的值。
(1) 2x 1 (2) 3x 1 3 2x (3) (x 5)2 (4) x 2 (5)
解：(1)要使式子有意义，则 2x 1 0
(2)要使式子有意义，则33x21x00 (3)要使式子有意义，则 (x 5)2 0
(4)要使式子有意义，则x 2 0
，求a-20002的值。
a 2001
原式可化为：a 2000 a 2001 a
2000 a 2001 0
a 2001 2000 a 2001 20002 a 20002 2001
变式训练 已知实数a满足
。
例4：当a
时， a 1 2有最小值
(1) 3 2a （ 2） 1 3a 2 5a
2、 已知y 4 5 x x 5,求x y的值。
3、 已知(a b 1)2 2a 3b 4 0, 求a2 16b2的算术平方根。
第三课时：平方根的非负性
遂宁四中：陈珂
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x 2 =a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根，记为“ a ”，读作“ 根号 a ”。a叫
做被开方数
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0 （a≥0）
算术平方根具有双重非负性
当x为何值时， 下列式子有意义？
课件：七下数学6.1.1算术平方根的概念及其非负性
(P41)练习：2、求下列各式的值。
例2 下列各式是否有意义。
解： （1）无意义； （3）有意义；
（2）有意义； （4）有意义．
(P41)探究2
能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为 2 dm2的大正方形？
(P41)探究2
能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为 2 dm2的大正方形？
6.1.1 算术平方根
教学内容：(P40-41)
1、理解算术平方根的概念及其非负性； 2、会求一些数的算术平方根， 并用算术平方根的符号表示。
教师：黄春荣
复习 已知正方形的边长是5，你会求它的面积吗？
5
思考
已知正方形的面积是25，你会求它的边长吗？
问题1：若正方形的面积为1、4、9、16、9/16…呢？
问题2：若正方形的面积为7 8 9
边长 1
2
3
我们需要一种规则。
25
探究1 已知正方形的边长x，求正方形的面积a. a=x2 已知正方形的面积a，如何求正方形的边长x？ x2=a
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么 这个正数x叫做a的算术平方根。 a的算术平方根记做
(P41)探究2
拼成的这个面积为 2 dm2 的大正方形的边长应该是 多少呢？
解：设大正方形的边长为x dm， 则x2=2， 由算术平方根的定义，得：
【归纳】
（1）什么是算术平方根？ 如何求一个正数的算术平方根？
（2） 什么数才有算术平方根？
【布置作业】 P47 习题6.1 第1、2、3、11题
自学P42-43，探究
训练：读出下列各算术平方根，并指出被开方数。
中考数学复习：专题1-15 巧用二次根式两个非负性解题
专题15 巧用二次根式两个非负性解题【专题综述】 一般地，形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.注意到a 表示非负数a 的算术平方根，那么二次根式定义中隐含着两个非负数：一个是被开方数a 的值，另一个是二次根式a 的值.解答某些与二次根式有关的问题时，要注意灵活巧用这两个非负数. 【方法解读】例1：如果2211a a a +-+=，那么a 的取值范围是（ ）A.a ＝0B.a ＝1C.a ＝0或a ＝1D.a ≤1 .【举一反三】已知3233x x x x +=-+，那么（ ）A.x ≤0B.x ≥－3C.0＜x ＜3D.－3≤x ≤0．二、化简问题例2：当ab ＜0时，化简2ab ，得（ ）A.b a -B.b aC.b a -D.b a -- .【举一反三】把－a 1a -中根号外面的因式移到根号内的结果是( ) A.a - B. －a C. －a - D. a三、求值问题例3：若x 、y 都为实数，且21124x x y -+-+=，则xy 的值为（ ）A.0B.12C.2D.不能确定.【举一反三】已知5260x y x -++=，则31x y ++=______ .【强化训练】1．若21x x =，请写出一个符合条件的x 的值__________． 2．若1221n n -+-有意义，则（﹣n ）2的平方根是（ ）A. 14B. 12C. 14±D. 12± 3．若12x <<，则23(1)x x -+-的值为（ ）A. 24x -B. 2C. 42x -D. 2-4．化简2961x x -+－(35x -)2的结果是( )A. 6x －6B. －6x ＋6C. －4D. 45．已知xy ＜0，化简二次根式x 2y x-的正确结果为 ． 6．当x 取某一范围的实数时，代数式()()221613x x -+-的值是一个常数，该常数是（ ） A. 29 B. 16 C. 13D. 3 7．已知a 满足|2017﹣a |+2018a -=a ，则a ﹣20172的值是_____．8．若x 、y 满足y ＜2x - +2x -＋4，化简|y -4|－21025y y -+＝__________.9．实践与探索：（1）填空： 23＝ ； 25-（）＝ ； （2）观察第（1）的结果填空：当a ≥0时，2a ＝ ；当a ＜0时， 2a ＝ ； （3）利用你总结的规律计算： 2223x x -+-（）（），其中2＜x ＜3.10．阅读材料，解答下列问题：例：当错误!未找到引用源。
数学人教版七年级下册算术平方根之双重非负性(二)
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自学检测（3分钟）
平方 绝对值 算术平方根 正负性
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交流小结（18分钟）
讨论一 根据上表，关于平方、绝对值、算术平方根的非负性 你得到什么结论？ 一个数的平方、绝对值、算术平方根都是非负数， 也就是它们都具有非负性。这也是算术平方的第二 重非负性。
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交流小结（18分钟）
讨论四
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
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注意：被开方数也要是非负数！
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交流小结（18分钟）
讨论二 如果两个非负相加，它们的结果是什么数（正负 性）？三个非负数相加呢？ 两个非负数的和一定是非负数，三个非负数的和也是 非负数，不管多少个非负数的和都一定是非负数。 讨论三
如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数必须满足 什么条件？你可以用相反数的性质去进行解释吗？ 如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须等于0. 因为两个数相加为0，那么这两个数就应该是相反数，所 以要么是一正一负，要么两个数都是0，根据它们都是非 负数，所以只能都等于0.
算术平方根之双重 非负性（二）
太湖港中学七（3）班：张翠丽
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学习目标（2分钟解读）
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指导自学（5分钟）
大于等于0的数叫非负数。 一定是非负数的数就具有非负性 回想以前学习的知识中还学过类似的非负性吗？ 两个相反数具备什么性质？ 还有平方和绝对值具有非负性，两个相反数的和为0.
2.2.1 算术平方根 北师大版数学八年级上册教学课件
知识点 1 算术平方根的定义
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a， 即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平根． 规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为 a ,
读作 “根号a”．
例1 下列说法中,正确的是( A ) A．3是9的算术平方根 B．-2是4的算术平方根 C. (-2)2的算术平方根是-2 D．-9的算术平方根是3
方根是3，即 2x y 9 3.
总结
要使y＝ x 2＋ 2 x＋5有意义，
需满足x－2≥0，2－x≥0.只有它们都等 于0，这两个式子才都有意义．
(2)已知x，y为有理数，且 x 1＋3(y－2)2＝0，求x－y 的值．
导引：算术平方根和平方都具有非负性，即 a ≥0, a2≥0.
由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为 0，由此可求出x和y的值，进而求得答案． 解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0. 所以x＝1，y＝2. 所以x－y＝1－2＝－1.
导引：要正确把握算术平方根的定义．因为3的平方等 于9，所以3是9的算术平方根；因为－2不是正数， 所以－2不是4的算术平方根；因为(-2)2＝4，而22 ＝4，所以2是(-2)2的算术平方根；负数没有算术 平方根．
总结
算术平方根具有双重非负性，这个数 是非负数，它的算术平方根也是非负数．
知识点 2 求算术平方根
8
即 49 7 ; 64 8
(4)14的算术平方根是 14.
（来自教材）
总结
(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数 的算术平方根，分清求 81 的算术平方根与81的算 术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．
(2)求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，因 此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．
√25的算术平方根过程
√25的算术平方根过程算术平方根是指数的平方等于给定数的过程。
下面是√25的算术平方根过程的详细解释。
要求√25的算术平方根，我们首先要明确算术平方根的定义和性质。
算术平方根是一个非负实数，它的平方等于给定的数。
对于任意非负实数a，它的算术平方根可以表示为√a。
对于√25的算术平方根，我们可以通过多种方法来计算。
下面介绍一些基本的计算方法。
1.近似方法：要计算√25的算术平方根，我们可以通过近似的方式来得到一个值。
我们可以尝试1、2、3等等数值进行计算，直到找到一个数的平方等于25、我们可以发现√25的算术平方根是5，因为5的平方等于252.分解法：我们可以将25分解成5*5的形式，然后得到√(5*5)，进而得到√5*√5、根据算术平方根的性质，√5*√5等于53.迭代法：迭代法是一种近似计算算术平方根的方法。
我们可以从一个初始值开始，然后迭代计算直到得到一个足够接近于算术平方根的值。
对于√25的算术平方根，我们可以选择一个初始值，比如5、迭代计算的公式如下：xn+1 = (xn + 25 / xn) / 2我们可以根据上述公式计算出不同的近似值，直到计算出的值不再发生变化为止。
迭代计算的结果如下：第1次迭代：(5+25/5)/2=5.5这几种方法都可以得到√25的算术平方根，但是近似方法和迭代法是比较常用的方法。
近似方法适用于小数的计算，而迭代法适用于更精确的计算。
总结起来，√25的算术平方根是5、通过近似方法、分解法和迭代法等不同的计算方法，我们可以得到5这个结果。
当然，迭代法可以计算更精确的结果，但需要更多的计算步骤。
专题02 平方根重难点题型专训(9大题型+15道拓展培优)(解析版)七年级数学下册-
专题02平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）【题型目录】题型一平方根与算术平方根概念理解题型二求一个数的算术平方根题型三利用算术平方根的非负性解题题型四求算术平方根的整数部分与小数部分题型五与算术平方根有关的规律探索题题型六求一个数的平方根题型七已知一个数的平方根，求这个数题型八利用平方根解方程题型九平方根的应用【知识梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.特别说明：有意义时，aa ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.=.=0.25=25=， 2.5250【经典例题一平方根与算术平方根概念理解】【变式训练】平方差公式和完全平方公式，下，【经典例题二求一个数的算术平方根】【变式训练】A．3B．3±C．3【答案】A【分析】本题主要考查了有理数和无理数的识别，根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可，理解算术平方根是解题的关键．【点睛】本题主要考查了同类项、代数式求值、算术平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．七年级统考期末）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为【经典例题三利用算术平方根的非负性解题】【变式训练】【经典例题四求算术平方根的整数部分与小数部分】【变式训练】8．（2022下·广东珠海·七年级统考期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【经典例题五与算术平方根有关的规律探索题】【答案】B【分析】根据算术平方根的定义解决此题．【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91，故选B．【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键．【变式训练】【经典例题六求一个数的平方根】n 【变式训练】∴x y+的平方根是2±，±．故答案为：2【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键．【经典例题七已知一个数的平方根，求这个数】【变式训练】的值，再找出关系即可．【详解】（1）解：由题意得，6290a a ++-=，解得1a =，21649m +∴==（）；（2）当1a =时，2160x -=，216x ∴=，4x ∴=±．【点睛】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数．【经典例题八利用平方根解方程】【变式训练】1．（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）问题：在一块面积为2400cm 的正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为2300cm ，且长宽之比为3：2的长方形纸片(不拼接)，能裁出吗？对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话：嘉嘉：可是不符合实际情况啊正方形纸片的面积为【经典例题九平方根的应用】【变式训练】1．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）电流通过导线时会产生热量，满足2=，其中Q为产生的热量Q I Rt为通电时间（单位：，则乙的面积为【拓展培优】A．2B．【答案】C【分析】本题主要考查算术平方根的定义，准确求出阴影部分的面积是解题的关键．根据割补法求出阴影部分的面积即可得到答案．①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则±【答案】2【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平方根，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．则3757.69的算术平方根为．【答案】61.3【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据题目所给的方法进行解答即可．；，由于10．（2023上·浙江丽水·七年级统考期中）如图角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠）折后得到图2所示的大正方形．（1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为（2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为【答案】7123或8【分析】（1）根据图1求出四个直角三角形的面积，根据翻折的性质，从而得到图可；（2）设小正方形的面积为x，从而得到图2大正方形的面积，再根据大正方形的边长为正整数，即可得到x的值．【详解】解：（1）∵一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形，阴影小正方形的边长为1，②∵3,2a b ==-，∴a b >，∴()()33228a b ⊕=⊕-=-=-，∵83-<，∴()()()8328313a b a ⊕⊕=-⊕=⨯-+=-．13．（2023上·湖北黄冈·七年级武穴市实验中学校考期中）如图，A 、B 、C 、D 四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过A B C D →→→顺序的运算，可列式为：2[(52)3]4⨯-+，8经过运算顺序B D A C →→→运算，可列式为2{[(83)4]2}-+⨯(1)请计算2[(52)3]4⨯-+；(2)列式计算2-经过C D A B →→→顺序的运算结果；(3)若数x 经过B C A D →→→顺序的运算，结果是12．则求初始数字x 是多少？【答案】(1)53(2)13(3)初始数字x 是5或1【分析】（1）根据有理数的运算法则和运算顺序计算即可；（2）根据题意可以列出算式2[(2)4]23-+⨯-，计算即可；（3）根据题意可以得到()223412x -+=，即可求解．【详解】（1）解：2[(52)3]4⨯-+()21034=-+274=+53=；（2）解：由题意得：2[(2)4]23-+⨯-(44)23=+⨯-2。
算术平方根怎么算
一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根。
计算a的算术平方根可记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
1算术平方根的性质
（1）双重非负性
在x=√a中的a
①a≥0（若小于0，则为虚数）
②x≥0
（2）与平方根的关系
正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。
2平方根的性质
（1）一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
（2）负数在实数系内不能开平方。
只有在复数系内，负数才可以开平方。
（3）负数的平方根为一对共轭纯虚数。
3平方根和算术平方根的相同点
（1）前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”。
（2）存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。
（3）0的算术平方根和平方根相同，都是0。
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利用算术平方根的非负性进行计算
过关指南：
（1）算术平方根的双重非负性)0(0aa （2）02a （3）0a
例题
例1：填空
（1）若._________023baba，则
（2）若.________012015)1(2yxyx，则
过关练习：
A组
（1）._________)(0452yxyx，则若
（2）若.________034)1(2baba，则
例2.填空
（1）若._________)(112yxyxxx，则
（2）已知实数a、b满足22105baaa，则.________ab
B组
（1）若._________133yxyxx，则
（2）若baa2015221，则.________ba
例3.（1）若.2017201820172的值，求aaaa
（2）已知非零实数ba、满足abaa243)1(422，求.的值ba
例4.△ABC中，，分别为三角形的三边长、、cba化简.2)(2baccba
C组
（1）若.1103的值，求aaaa
（2）若20153)2(20152xyxx，求yx23的值.
（3）实数ba、在数轴上的位置如图所示，化简222)(baba.