最新(文章)算术平方根的双重非负性
算术平方根的性质
算术平方根的性质
算术平方根的性质是正数有算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。
由于正数有两个平方根，它们互为相反数，因此，我们求一个正数平方根时，只需要求出它的算术平方根，就可以得到正数的两个平方根。
根据算数平方根的意义可知，被开方数是非负数。
算术平方根的意义
算术平方根是正数的正的平方根和0的算术平方根是0。
当a大于或等于0时，根号下a表示a的算术平方根，括号根号下a括弧的平方等于a（a大于或等于零），根号下a的平方等于绝对值a，根号下a乘以根号下b等于根号下ab（a，b都大于或等于0）。
算术平方根的双重非负性
算术平方根的双重非负性
算术平方根√a(a≥0)具有双重非负性，一是被开方数具有非负性，即a≥0；二是算平方根本身具有非负性，即√a≥0。
算术平方根的双重非负性还有两个特征，一是兼容性，二是隐含性。
算术平方根的性质
双重非负性
如果x=√a
那么：1.a≥0（若小于0，则为虚数）
2.x≥0
与平方根的关系
正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。
负数没有算术平方根。
算术平方根的产生
根号（即算术平方根）的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个“根号二”的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。
因为按当时的权威解释（也就是毕达哥拉斯学派的学说），万物皆数（也就是说世界上所有的事物都可以用有理数来表示）。
对于这个无理数“根号二”，最终人们选取了用根号来表示。
算术平方根的非负性运用
算术平方根的非负性运用
旧知链接 a 被1. 开a可方以数取a是任非何负数数吗,？即 a 0 .
2a. 是a非是负什 数，么即数a？ 0 .
也就是说，非负数的“算术平方根”是非负数.
负数不存在算术平方根，即当 a 0 时，a 无意义.
如： 6 无意义 ； 8是64的算术平方根 或 64 8 .
所以 3 m 0 m n 1 0
所以 m 3 n 4 所以 1 m 1 n 7
9 23
强调：几个非负数的和为0，则 这几个数都为0.
巩固练习 1.若 5-x 有意义，则x的取值范围是_x____5___.
2.若 m 2 化简 m 22 =_m_____2.
追问：若m<-2呢？ 结果(-m-2).
3. 是算术平方根的运算符号.
运用新知
例1 2-x 有意义，则实数x应满足条件为________.
解：要使 2-x有意义，需有2 x 0，即x 2.
变式：若m>0,则 m2 __m__ . 变式：若m<0,则 m2 __-_m_ .
强调： a2 a
当a 0时，a2 a 当a 0时，a2 a 当a 0时，a2 0
3.已知 y x 3 3 x 2，则 y x =___8___.
4.已知 3 m (1 n)2 0 ，则 m+n=_4_____.
a
总结反思
运用算术平方根的双重非负性解决问题：
1.求算术平方根被开方数的取值范围.
2.化简简单的二次根式.
3.解决几个非负数和为2m 1 1 2m 1 ,求 y 2m .
4
解：由题意知 ： 2m10 12m0
所以
把m
所以
八年级数学上册第4章实数专题训练8算术平方根双重非负性的应用习题课件新版苏科版
∵ + ≥0， ( − ) ≥0，∴1＋ a ＝0，2－ b ＝0，
a
－1
解得 a ＝－1， b ＝2，所以 b ＝2 ＝ .
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5. 已知有理数 a 满足｜2 023－ a ｜＋ − ＝ a ，求 a
－2 0232的值.
解：依题意得 a －2 024≥0，则 a ≥2 024，∴2 023－
是
值，最小值
.
(2)[2023南通崇川区月考]代数式3－ − 的最大值
是
3
.
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7. [2024如皋月考]已知｜2 a ＋ b ｜与 + 互为相反
数，求2 a －3 b 的平方根.
解：∵｜2 a ＋ b ｜与 + 互为相反数，∴｜2 a ＋
解：∵ − ＋( y －2)2＋｜ x ＋ z ｜＝0，∴ x ＝1， y
＝2， z ＝－1，
∴ + − ＝ × + × + ＝3.
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第4章
实数
专题训练8 算术平方根双重非负性的应用
类型1
中被开方数 a ≥0的应用
1. 已知 是整数，则正整数 n 的最小值为
1
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3
.
2. [2024南通崇川区校级月考]若整数 x 满足｜ x ｜≤3，则使
算术平方根的双重非负性
算术平方根的双重非负性算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax=2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=.算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，即0a≥，a的算术平方根a也是一个非负数，≥．这就是算术平方根的双重非负性．例题：已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即≥，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y的值，进而求得答案．()20,20y≥-≥，且x－1＋3(y－2)2＝0∴x-1=0，y-2=0.∴x=1,y=2∴x－y＝1－2＝－1.方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即≥，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.巩固练习：1.若|x－2|+3-y=0,则xy=______.2.已知()0232212=++++-zyx，求x+y+z的值.3. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范围．参考答案：1. xy =62. 解：因为21-x ≥0，()22+y ≥0，23+z ≥0，且()0232212=++++-z y x ， 所以21-x =0，()22+y =0，23+z =0， 解得21=x ，2-=y ，23-=z ， 所以x +y +z = 3-．3. 解：由04412=+-+-b b a ，可得0)2(12=-+-b a ，因为 1-a ≥0，2)2(-b ≥0， 所以1-a =0，2)2(-b =0，所以a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b +a ，即1 < c < 3．。
利用算术平方根的非负性进行计算
利用算术平方根的非负性进行计算算术平方根的非负性是指一个非负实数的算术平方根也是非负的。
在数学中，利用算术平方根的非负性可以进行各种计算，包括求解方程、简化公式、推导关系等。
本文将对如何利用算术平方根的非负性进行计算进行详细的阐述。
首先，让我们来了解一下算术平方根的定义。
给定一个非负实数x，我们称一个非负实数y满足y²=x为x的算术平方根。
符号上，我们用√x表示x的算术平方根。
根据定义，我们有√x≥0，即算术平方根是非负数。
基于算术平方根的非负性，我们可以进行几种常见的计算。
首先，我们可以利用算术平方根的非负性求解方程。
考虑一个方程x²=a，其中a是已知的非负实数。
根据算术平方根的非负性，我们知道方程的解必然是非负实数。
因此，我们可以得出x=√a。
例如，对于方程x²=4，根据算术平方根的非负性，我们得出x=±√4=±2，即x可以是2或者-2、取非负解，我们得到x=2其次，我们可以利用算术平方根的非负性简化公式。
例如，我们考虑计算下列表达式：√(a²+b²)根据算术平方根的非负性，我们知道√(a²+b²)≥0。
因此，无需进行进一步计算，可以直接得出结果为非负实数0。
此外，我们也可以利用算术平方根的非负性推导关系。
例如，考虑两个非负实数a和b，满足a>b。
我们可以利用算术平方根的非负性证明以下关系：√a>√b首先，我们可以用反证法来证明上述关系。
假设√a≤√b，根据算术平方根的非负性，我们可以得到a≤b。
然而，这与假设a>b矛盾，因此原假设不成立。
所以我们可以得到√a>√b。
这个结论表明，对于两个非负实数，如果一个大于另一个，则它们的算术平方根之间的大小关系也是相同的。
综上所述，利用算术平方根的非负性进行计算可以大大简化问题。
我们可以利用算术平方根的非负性求解方程、简化公式以及推导关系。
数学人教版七年级下册算术平方根之双重非负性(二)
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自学检测（3分钟）
平方 绝对值 算术平方根 正负性
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交流小结（18分钟）
讨论一 根据上表，关于平方、绝对值、算术平方根的非负性 你得到什么结论？ 一个数的平方、绝对值、算术平方根都是非负数， 也就是它们都具有非负性。这也是算术平方的第二 重非负性。
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交流小结（18分钟）
讨论四
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
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注意：被开方数也要是非负数！
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交流小结（18分钟）
讨论二 如果两个非负相加，它们的结果是什么数（正负 性）？三个非负数相加呢？ 两个非负数的和一定是非负数，三个非负数的和也是 非负数，不管多少个非负数的和都一定是非负数。 讨论三
如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数必须满足 什么条件？你可以用相反数的性质去进行解释吗？ 如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须等于0. 因为两个数相加为0，那么这两个数就应该是相反数，所 以要么是一正一负，要么两个数都是0，根据它们都是非 负数，所以只能都等于0.
算术平方根之双重 非负性（二）
太湖港中学七（3）班：张翠丽
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学习目标（2分钟解读）
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指导自学（5分钟）
大于等于0的数叫非负数。 一定是非负数的数就具有非负性 回想以前学习的知识中还学过类似的非负性吗？ 两个相反数具备什么性质？ 还有平方和绝对值具有非负性，两个相反数的和为0.
二次根式的双重非负性在解题中的运用
二次根式的双重非负性在解题中的运用式子a表示非负数a的算术平方根，它是一个非负数，而a是被开方数，它也是一个非负数，这就是二次根式的双重非负性。
它在初、高中数学中占有重要的位置，所以在解题中一定要注意这两个隐含条件。
现列举出这一性质在中考解题中的运用归类如下，以供大家参考，不对之处敬请指正。
类型一：确定自变量的取值范围例：若下列式子有意义，试确定x的取值范围。
评析：纵览《数学课程标准》（2011年版）（以下简称《标准》）及现行初中教材，可以归纳出在初中阶段对字母的取值有要求的只有三种情况：①分式中的分母不能为零。
②二次根式中被开方数要大于等于零。
③零指数幂的底数不能为零。
抓住这三点就能准确地求出自变量的取值范围，通过这样训练，就能使其条件从隐含形态转变为显形形态而成为一种数学思想，从而促成学生模型思想的生成。
类型二：求代数式的值评析：解决此类题用到了“几个非负数的和为零，那么每一个加数一定为零”和“如果被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为零”这种模型思想。
而依据《标准》，初中阶段涉及的非负数有绝对值、偶次方和二次根式。
这也正符合《标准》增加的提高学生的运算能力的要求。
有了这些理念，学生就能明白算理，做到运算正确、有据、合理、简洁，学生的数学思想就能自然生成。
类型三：化简对于利用二次根式的双重非负性在化简中又包含以下几种情形：1.默认条件。
例： 18a3b2c=3ab2ac。
这类题目如果没有注明条件，在解题中就认为所有的字母都是非负数。
2.给定条件。
评析：由于思维定势的影响，学生见惯了被开方数是没有带负号正数的情况，而对于被开方数是-a这种形式的正数不习惯，这就需要教师注重发挥学生想象力，不断积累经验。
解决这类问题关键一定要抓住二次根式的双重非负性质，就能找到突破口，从而化难为易。
这体现了《标准》中“读懂学生的基础，读懂学生的思路，读懂学生的错误，读懂学生的情感”的要求。
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算术平方根的双重非负性
一般地，如果一个正数x 的平方根等于 a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
0的算术平方根是0。
其中算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即①被开方数0≥a ；②0≥a 。
这一性质在解题中有着极其广泛应用，以下举例说明。
一、利用非负性①被开方数0≥a
例1 x 为何值时，下列各式有意义。
⑴x -； ⑵x x +-1； ⑶
14+x ； ⑷12+x ； ⑸11
2--x
解：⑴当0≥-x ，即0≤x ，x -有意义；
⑵当01≥-x 且0≥x ，即10≤≤x 时，x x +-1有意义；
⑶当01>+x ，即1->x 时，14
+x 有意义 ；
⑷当012≥+x ，即x 取任意实数时，12+x 有意义；
⑸当012>--x ，即(),012>+-x 012<+x 时，11
2--x 有意义，但
无论x 取任何数，12+x 都不会是负数，故原式无意义。
评注：对于⑶、⑸这样的式子，除了应用被开方数0≥a 的性质外，还要注意分母不能为0。
例2 若x 、y 满足42112=+-+-y x x ，则xy 的值为 。
解：由被开方数0≥a 得，
021,012≥-≥-x x
2
1,21≤≥
x x 所以2
1=x 把2
1=x 代入等式得4=y 故2421=⨯=xy ，应填2。
评注：这里应用了被开方数0≥a ，而x x 2112--与是相反数，互为相反数的只有0，所以012=-x 。
可以解出x 、y 值。
例3 比较x -5与()3
6-x 的大小。
解：由被开方数0≥a 得
5,05≤≥-x x
因此，06<-x ，()063
<-x 所以x -5>()3
6-x 评注：本题看起来无从下手，其实隐含着被开方数0≥a 这一条件，应用这一条件可以求出x 的取值范围，然后依据x 的取值范围计算比较大小。
二、利用非负性②0≥a
例4 21++a 的最小值是 ，此时a 的取值是 。
解：因为01≥+a 所以221≥++a
当a+1=0，即a=-1时取等号。
故应填2、-1。
评注：本题利用非负性②0≥a ，因为是求最小值，所以当0=a 是有最小值。
例5 若92+-y x 与105+x 互为相反数，求x 、y 的值。
解：因为92+-y x 与105+x 互为相反数
所以010592=+++-x y x
又因为092≥+-y x ；0105≥+x
即⎩
⎨⎧=+=+-0105092x y x 解得⎪⎩
⎪⎨⎧=-=272y x
评注：由0≥a 和0≥a ，以及几个非负数的和等于0，则这几个非负数一
定都为0可以得到⎩⎨⎧=+=+-0
105092x y x 。
从而计算出结果。
三、双重非负性的同时应用
例6 已知3323+-=+x x x x ，则x 的取值范围是 。
解：因为0323≥+x x ， 所以03≥+-x x ， 又因为03≥+x ，
所以0≥-x ，即0≤x ，
又03≥+x ，所以3-≥x ，
故x 的取值范围是03≤≤-x 。
评注：虽然大家没学习过如何将x 开方出来，但只要能灵活应用性质①被开方数0≥a 和性质②0≥a ，一样能求出x 的取值范围。
例7 若x 、y 、m 适合关系式y x y x m y x m y x --++-=-++--+2005200532353，试求m 的值。
解：由等式的右边，根据算术平方根的意义有：
02005≥+-y x 且02005≥--y x
所以2005≤+y x 且2005≥+y x
即2005=+y x
已知即为：()()02323=-+++--++⨯m y y x m y y x
0200523220053=-+⨯+--+⨯m y m y
⎩⎨⎧=-+=--+0
40100326015m y m y 解得2008=m 评注：抓住题目中隐含的条件——算术平方根具有双重非负性：①被开方数
0≥a ；②0≥a ，然后仔细观察，便不难解决此类问题。
《建筑构造与识图》习题库及答案
建筑工程系 潘华贵
本试题库包含建筑识图和建筑构造两部分，共有单选题208题（其中建筑识图部分48题），多选题80题（其中建筑识图部分24题），判断题95题（其中建筑识图部分15题），简答题19题（其中建筑识图部分5题），识图填空题3题53个空，作图说明题8题（其中建筑识图部分2题），（建筑构造部分6题有2题为较难题）解释题（建筑识图部分）4题（03G101-1）系较难题。
建议在选题时建筑识图部分40%-45%，建筑构造部分占55%-60%；所选题型可为单选题占20%-30%，多选题占20%，判断题占10%，识图填空题占20%，作图说明题占10%或简答题占10%，解释题占10%。
建筑识图部分：
一、单选题：（每题1分）
1、表示为（B ）。
A.A号轴线之后的第三根附加轴线
B.A号轴线之前的第三根附加轴线
C.0A号轴线之后的第三根附加轴线
D.0A号轴线之前的第三根附加轴线
2、定位轴线应用（ D ）绘制。
A．中粗实线 B．细实线 C．虚线 D．细点划线
3、定位轴线的端部圆圈直径为（A）
A.10mm
B.14mm
C. 24mm
D.没有要求
4、定位轴线的端部圆圈线型为（C）
A.粗实线
B.中实线
C.细实线
D.细虚线。