平方根和算术平方根的区别
平方根与算术平方根的学习要点
平方根与算术平方根的学习要点平方根是一门非常重要的数学知识，它在日常生活中以及科学技术中都有着广泛的应用。
今天我们就来聊聊平方根，包括它的定义、数学特性以及计算方法。
首先，什么是平方根？平方根是一类幂函数，可以表示平方根的数学记号是“√”，它的定义是指某个数a的p次幂（p≥2）等于一个数M时，a称为M的p次平方根，写作M^1/p 。
例如，数字8的平方根就是2，因为2^2=8，因此8的平方根是2。
其次，复平方根和算术平方根的区别。
按照参数的不同可以将平方根分为两种：\复平方根和算术平方根。
复平方根的参数中可以有复数，而算术平方根的参数只能有实数。
另外，算术平方根一定是正的，也就是说复数的平方根中，存在两个实部相同的复数，其中一个的实部正负分别为±平方根的值。
再次，平方根的特性。
平方根是可交换律的，即可以交换根号内外的数。
平方根也具有乘法结合律，即可以将平方根取出，并推广到根号内任意多个因子上。
此外，平方根是分配律的，可以将平方根化简为连续的根号，即凡是可以分配的，就可以把根号内的数乘法分开。
最后，如何计算平方根。
计算平方根常见的方法有：（1）法则相乘法。
即用待开根号的数除以另一个数，等于另一个数，则除数即为待开根号数的平方根。
例如225的平方根=15：15x15=225；（2）求解法。
有一种叫求解法的求根号的方法，将原式展开成一个二次方程，一般可求出两个解，其中一个就是我们要求的根号。
例如√225=15，把它展开成一个二次方程，你就会得到两个解，一个是+15，另一个是-15。
（3）原式法。
即直接用开根号的方法求其平方根。
将待求的数分解为几个质数之乘积，开根号时除以质数，把根号内的质数变成几个单项式的相乘。
以上就是关于复平方根和算术平方根的学习要点，希望能够帮助大家对平方根有更深入的认识，有更全面的掌握，从而更好地应用在日常生活以及科学技术中。
平方根与算术平方根的区别
平方根和算术平方根的区别(1)．定义不同．如果x2 =a,那么x叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如果x2 =a,并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根．一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数．(2)表示方法不同．正数a的平方根，表示为 a．正数a的算术平方根为a．(3)平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1．2．平方根和算术平方根的联系．(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个．(2)存在条件相同．非负数才有平方根和算术平方根．(3)零的平方根和零的算术平方根都是零．平方根、算术平方根指导老师：锋行天下班级__________ 姓名___________1、64的平方根记作，等于，即 = ；64的算术平方根记作，等于，即 = ；2、25的平方根记作，等于，即 = ；25的算术平方根记作，等于，即 = ；3、36的平方根记作，等于，即 = ；36的算术平方根记作，等于，即 = ；4、16的平方根记作，等于，即 = ；16的算术平方根记作，等于，即 = ；5、15的平方根记作，等于，即 = ；15的算术平方根记作，等于，即 = ；6、9的平方根记作，等于，即 = ；9的算术平方根记作，等于，即 = ；7、4的平方根记作，等于，即 = ；4的算术平方根记作，等于，即 = ；8、2的平方根记作，等于，即 = ；2的算术平方根记作，等于，即 = ；9、1的平方根记作，等于，即 = ；1的算术平方根记作，等于，即 = ；10、0.81的平方根记作，等于，即 = ；0.81的算术平方根记作，等于，即 = ；11、0.64的平方根记作，等于，即 = ；0.64的算术平方根记作，等于，即 = ；12、0.49的平方根记作，等于，即 = ；0.49的算术平方根记作，等于，即 = ；13、0.36的平方根记作，等于，即 = ；0.36的算术平方根记作，等于，即 = ；14、0.25的平方根记作，等于，即 = ；0.25的算术平方根记作，等于，即 = ；15、0.16的平方根记作，等于，即= ；0.16的算术平方根记作，等于，即= ；16、0.09的平方根记作，等于，即= ；0.09的算术平方根记作，等于，即= ；17、0.04的平方根记作，等于，即= ；0.04的算术平方根记作，等于，即= ；18、0.01的平方根记作，等于，即= ；0.01的算术平方根记作，等于，即= ；19、0的平方根记作，等于，即= ；0的算术平方根记作，等于，即= ；20、-1的平方根存在吗？（填“存在”或“不存在”）；-4呢？-9？-16？-25？……这是为什么呢？答：原来，所有的数，它们的平方都是，反过来也就是说：比小的数没有平方根，所以我们说：“一个正数有个平方根；0只有个平方根，它是0本身；数没有平方根。
1的平方根是1对不对
1的平方根是1对不对
这句话是不对的，1的算术平方根是1，1的平方根是±1。
平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根，一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。
平方根和算术平方根的区别：
(1)定义不同：
如果x2=a,那么x叫做a的平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
如果x2=a，并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根。
一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。
(2)表示方法不同：
正数a的平方根，表示为±√a；正数a的算术平方根为√a。
(3)平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1。
平方根和算术平方根的联系：
(1)二者有着包含关系：
平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个。
(2)存在条件相同.非负数才有平方根和算术平方根。
(3)零的平方根和零的算术平方根都是零。
第二章平方根、算术平方根和立方根
第二章平方根、算术平方根和立方根知识点汇总1. 平方根、算术平方根和立方根三者的区别与联系( 理清概念方能百战不殆)指数 2 在根号的里面。
2 ( a) 2与a2的关系( 难点)(1) 区别：①意义不同：( a) 2表示非负数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根。
②取值范围不同：( a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的 a 为任意数。
③运算顺序不同：( a)2是先求 a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求 a 的平方，再求平方后的算术平方根。
④写法不同。
在( a) 2中，指数 2 在根号的外面；而在a2中，⑤运算结果不同：(a)2＝a(a≥0) ； a ＝| a|＝a，a≥0，－a，a<0.（2） 联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算。
②两式运算的结果都是非负数，即 ≥0. ③仅当 a ≥0时，有 （ a ）2＝ a 2 。
3. 立方根的化简公式： 3 a 3 ＝a ；（3 a ）3＝a ； 3 a ＝－ 3 a( a ) 2≥ 0， a 21．．选择2014·南京） 8 的平方根是（ A ． 4B ．±42． （2014 。
东营 ） 的平方根是（ A ．±3 B ．3 3． 2014?连云港） 计算 A ． ﹣3 B ． 4.（2014。
厦门） 4 的算术平方根是（ A ． 16 B ．5．下列计算中，正确的是（ 典型题精选）C ．的结果是（±9 C ． C ． D ．D ．9﹣9 D ． ﹣2 D ． ±2 3 2 6 A.a · a =a B. ( π -3.14 )o =1 C. (13)1) 2C ．( ab ) 3 D. 93 6.（2014 年湖北荆门 ）下列运算正确的是 A ．3﹣1=﹣3 B ． =±3 7. 下列说法错误的是（ ） A ．5是 25 的算术平方根 C ．（－4）2 的平方根是－ 4 8．如果 x 是 0.01的算术平方根，则 A ． 0.000 1 C ．0.1 9.下 列说法中，正确的是（ ） A. 一个有理数的平 方根有两个，B. 一个有理数的 立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－ 10. 下列各式中，无意义的是（ ） x ＝（ B ． D ． 36 =a b D ．a 6 2 ÷a =a A. 32 B ．1 是 1 的一个平方根D ．0 的平方根与算术平方根都是 ）±0.000 1±0.1 它们互为相反数 1， 0，1 B. 3 ( 3)3 C. ( 3)2 D. 10 3 绝对值与算术平方根的非负性）11. 若 a,b 为实数，且满足 |a －2|+ b 2 =0，则 b －a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．－ 2D ．以上都不对平方与算术平方根的非负性）12.（2014·福州） 若（m-1）2+ n 2 ＝0，则 m ＋ n 的值是（ A ．－ 1 B ． 0 C ．1 13. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的D ．2x 错误！未找到引用源。
浅谈平方根、算术平方根的几点异同
则 ２ ６的 算 术 平 方 根 是 １ ． ５ ６
（因 （ ，以 的 方 是 ．正 平 根， ２ 为± ＝ 所 鲁 平 根 ± 取 的 方 则 ） ）鲁 鲁的 术 方 是 算 平 根 ．
点 拨 ： 第 （ 题 时 要 慎 重 ． 于 这 类 有 运 算 的 题 目 ， 妨 先 计 算 出 解 ４） 对 不
来再 求平 方根．
要
点
例 ２
求下 列 各数 的算 术平 方根 ．
精
析
（ ２ ； ） ； ） ０）（ ． １ ５ （ 鲁 （ （． ； ） ）６ ２ ３ －９ ４
要
口河
南
时 学 顶
点
精
析
平 方 根 、 术 平 方根 是 实 数 中两 个 比较 重 要 的 概念 ． 为 它 们 的定 算 因 义 相 近 ． 系 紧 密 ． 以 初 学 的 同 学 很 容 易 混 淆 ． 帮 助 同 学 们 区 分 这 两 联 所 为 个 概 念 ． 将 它 们 的 区别 与 联 系 总 结 如 下 ． 现
3
8
．
是
一
9
的算 术 平 方 根
±4
．
16
的算术平 方 根 是
暖囫
一
只有 非负数才有平 方根 和算 术平 方 根
１ ５
雾
盔圃
例 4
A
一
( 1 )正 确 因 4
．
．
2
=
16
，
所 以 4 是 16 的 平 方 根
算术平方根、平方根、立方根之间区别联系
3
y21或y32
3
3
2. 2（ 7x5） 380 解: 27(3x5)3 8
3 (x5)3 8
3 27
x5 2 33
x52 33
x 1
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解
解方程：
（ 1） （ x-1） 3125（4）2（ 7x2） 31250
（2）23x12 8
做二次方根）。记为“ a ”读作“正、负
根号a”
立方根的定义.
一般地，如果一个数的立方等于a，这个 数就叫做a的立方根(也叫做三次方根).
用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
数a的立方根用符号“3 a ”表示,读作“三次根号a
其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省 略).
掌 握
若x0.485,则 8x是 0.236
规 律
已知 3 5.251.73,3852 .53.74,4
则 3 52的 50值是 17.38
注意算术平方根和立方根的移位规律
8是 64 的平方根
不
64的平方根是 ±8
要 搞
64的值是 8
错 了
64的平方根是 8
64的立方根是 4
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
(3)2
π-3
————————
已x 知 y4x2y 50 ， x， 求 y的值
问题9：0的整数部分是什数么部？分小是什么？
解 9 2 8 ： , 1 2 1 1 0 ， 0 8 0 9 1 而 1 0 ， 0 0
9 9010
9的 0 整数部 9，分 小是 数部 90 分 9 是
(1)
算术平方根和平方根的区别例题
算术平方根和平方根的区别例题算术平方根和平方根的区别例题一、引言在数学中，我们经常会碰到算术平方根和平方根这两个概念。
但是很多人可能会混淆它们之间的区别。
今天，我们就来深入探讨一下算术平方根和平方根的区别，并通过例题来加深理解。
二、算术平方根和平方根的定义1. 算术平方根的定义算术平方根是指对于一个非负数a，其算术平方根记作√a，即一个非负数b，使得b²=a。
√16=4，因为4²=16。
2. 平方根的定义平方根是指对于一个数x，若存在一个数y，使得y²=x，则y称为x 的平方根。
与算术平方根不同的是，平方根可以是负数。
-3的平方是9，所以-3是9的平方根。
从上面的定义可以看出，算术平方根强调的是非负数的平方根，而平方根包括了正负数的情况。
这也是它们最本质的区别所在。
三、例题分析为了更好地理解算术平方根和平方根的区别，我们来看几个例题：1. 求下列各数的算术平方根和平方根：a) 9b) 16c) -252. 比较下列各对数的算术平方根和平方根的大小：a) 4和-4b) 25和-25c) 36和-36四、解题过程及讨论1. 求下列各数的算术平方根和平方根：a) √9=3，因为3²=9；9的平方根为±3，因为3²=9，(-3)²=9，所以9的平方根为±3。
b) √16=4，因为4²=16；16的平方根为±4。
c) -25的算术平方根不存在，因为算术平方根要求被开方数为非负数；-25的平方根为±5，因为5²=25，(-5)²=25，所以-25的平方根为±5。
2. 比较下列各对数的算术平方根和平方根的大小：a) 4的算术平方根为2，平方根为±2，-4的算术平方根不存在，平方根为±2。
可见，当涉及到正负数的情况时，平方根会比算术平方根多出来一个负数解。
算术平方根与平方根的概念及性质
第六章实数专题6 算术平方根与平方根的概念及性质知识要点1.算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术，读作“根号a ”，a 叫作被开方数.规定：0的算术平方根是0.2.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个数x 叫作a 的平方根或二次方根，a 叫作被开方数.正数a 的正的平方根，即为a 的算术平方根。
①正数a 有两个互为相反数的平方根：，读作“正负根号a ”；②负数没有平方根；③0的平方根是0.3.求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方和开平方互为逆运算。
4.如果被开方数的小数点向左（或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应向左（或向右）移动1b =10b 0.1b =.5.算术平方根的双重非负性满足关系式：①a ≥0（被开方数为非负数）；≥0（算术平方根为非负数）。
6.算术平方根的性质：若a ＞b ≥07.两个结论：①2a = (a ≥0)a =. 典例精析例1 （1）求下列各数的算术平方根：①81；②2536；③()23π-；④()2x - （2）求下列各数的平方根：①0.49；②124；③()232---；④4x【分析】分别按照平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同.【解】（1）因为9²=81，所以；②因为2525636⎛⎫= ⎪⎝⎭56③因为π＞3，所以π-3＞0a =33ππ-=-；④因为()22x x =-==x（2）①因为()20.70.49±=，所以=±0.7；②因为23924⎛⎫±= ⎪⎝⎭，所以32==±；③因为()2525±=，5=±；④因为()()2222224x x x x x x x x x ±==⋅=⋅⋅⋅=，2x ±.【点评】①遇到带分数，需要先把带分数化为假分数；②求一个式子的平方根或算是平方根，需要先求出该算式的值；③一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏.拓展与变式1 ___________.拓展与变式2 若m +1是9的平方根，则m =_________拓展与变式3 若一个正数的两个平方根为x -1和2x +1，则这个正数为_________. 拓展与变式4 若整式x -1和2x +1都可以表示一个正数的平方根，求这个正数.【反思】①审题时，要注意按照定义运算，”的作用.②需要灵活判断和运用平方运算和它的逆运算---开平方的运算例2 已知：（m +1）²，求式子3n m -的值.【分析】两个非负数的和为0，则这两个数均为0.【解】依题意得1030m n +=⎧⎨-=⎩解得13m n =-⎧⎨=⎩，所以3n m -=()331--=4 【点评】灵活借助平方结构和算式平方根的非负性进行分析和求解.拓展与变式5 已知：()21m -=m +n 的值为_________.拓展与变式6 0=，a 的值为___________拓展与变式7 已知：()2210m t n --=，代数式2m n t ++的值为_______.【反思】①学过的具有非负性的式子有20a ≥，0a ≥0≥（a ≥0）.②学会运用和区别算术平方根的非负和被开方数非负两个性质.例3 ）A .3与4之间B . 4与5之间C . 5与6之间D . 6与7之间【解】因为20＜30＜36且a ＞b ≥00>≥.所以答案为C【点评】利用被开平方数的范围进行估算，需要寻找与其大小最接近的两个平方数.拓展与变式8 1________3.拓展与变式9 a ，小数部分为b ，求a 、b 的值【反思】若1m m <+（m 为非负整数）m -m . 专题突破1.（1）x 是81的算术平方根，那么x 的算术平方根是（ ）A .3±B .9±C .3D .9（24±34132=+；④22，其中正确的个数是（ ）A .0B .1C .2D .32.如图6-1所示，点A ，B ，C ，D ，O 分别表示的数是1，2，3，4，0.图6-1（1）点P 从O 2秒后，点P 在线段______上；（2）点P 从B 1秒后，点P 在线段______上.3.a ，b 满足关系式b ab 的平方根.4.解方程：（1）x ²=4； （2）（a -1）²=4； （3）（x -2）²-1=4。
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定义
区别 拓展
1、（基础题）习题2.4 2、（拓展题）(1） 49 的平方根是 （2）如果 a 的平方根等于 （3）对于任意数a, 。 。
2 则a=
a 2 一定等于a吗？
1
2
1
1.2
2
1.44
4 2 2 非负数才有 结论： 议一议： 5 25
10
3 2
10
6
平方根 (1)一个正数有几 2 1 (1)一个正数有两 个平方根？它们之 个平方根,它们互 4 间有什么关系？ 2 为相反数 . 25 (2)0有几个平方根 ? (2)0只有一个平方 (3)负数呢？ 根,就是0本身.
10
4
四、已知某数有两个平方根分别是a+3与2a-15，求： a的值是 ；这个数是 。
联系：(1)具有包含关系 (2)存在条件相同：被开方数为非负数 (3)0的平方根，算术平方根都是0.
议 一 议 平方根与算术平方根又什么区别和联系？
区别 定义不同 个数不同
表示法不同 取值范围不同
平方根
算术平方根
(3)负数没有平方
2
1.44
2
106
填 一 填
2
0
根
填一填
4的平方根可表示为：＿＿＝＿＿ 4 2 4的算术平方根可表示为：＿＿＝＿＿ 4 2
想一想
对于正数a的平方根可以怎样表示？ a
a
.
互为相反数
a
(a数a的平方根的运算，叫开平 方(extraction of square root)， 其中a叫被开方数
..
一、判断正误 （1)1.21 的平方根是±1.1 ( ) （2) -5 是 25 的平方根 ( ) （3）25的平方根是-5 ( ) （4) 16 的平方根是±4 ( )
（5) 平方根是本身的数有0 ，1 ( ) 二、求下列各数的平方根. 2 (1)64；(2) 49 ；（3）11 ； (4）-16；（5） (25) 121 三、说出下列各式的含义并求值： （1） 0.25 （2） (5) 2 （3 ）
. (4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.
如果一个数的平方等于a，非负数a的非负平方根 这个数就叫做a的平方根 叫a的算术平方根
正数有两个平方根
a
正数的算术平方根 只有一个
正数的平方根一正一负， 正数的算术平方根只有 互为相反数。 一个.
a
想一想
7.2
求出下列各数的算术平方根： (1)16 (2) 0 (3) -3 (4)1.44 (5)106 (6)15 说出下列各式的含义并求值： (1) 25 (2) 4 (3) 1 9
（3） （6） （4）
家用电器的电阻R，功率P和电压2U之间 一般地，如果一个正数 x的平方等于a,即 x a 关系如下：P= U 2 /R，若某用电器的功率为100 那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0 瓦，电阻为441Ω，则该电器所能承受的电压 的算术平方根是0，记为 a (其 中 a 0，a 0) U为 伏。
121
16
想一想
4
2
16
1
想 一 想
2
1
4 25
1.2 2
1.44
2 2 5
103 2
10
6
填 一 填
（1）平方等于1的数有几个？它们具 有什么关系？平方等于1.44的数呢？ （2）如果把 1叫做1的平方根， 1.2 2 2 叫做 1.44 的平方根，你能否类比 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a, 即x x a a 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a, 即 算术平方根定义，给平方根下一 那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根， 的 ， 那么这个数 x 就叫做 a 的平方根 (square 0 root 算术平方根是 0，记为 也叫二次方根）。 a (a 0) 个定义呢？
64
2
2
49 等于多少？ 等于多少？ 121
2
等于多少？
等于多少？（2）
对于任意非负数a， a 等于多少？
2
a
2
a (a 0)
谈谈收获
1、通过这节课的学习，你能得到什么结论？ 2、你是如何得到的这些结论？（经历了怎 样的过程？） 3、谈谈你的体会。 法则 符号