算术平方根与平方根

例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）()25- （2）100 （3）0例2、 计算（1）81 （2）41（3）-169（4）()264 （5）24925⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （6）()22.7 （7）()22- （8（9）例3求x 的值（1）、()x -=292（2）、()3010752x -=..（3） (x -1)2－121=0； （4） 81(3x －2)2=625；例5 已知536.136.2=，858.46.23= ① 求236和00236.0的值； ② 若x =0．4858，求x 的值；例6、求下列各数的立方根（1）512 （2）833- （3）0例7、求下列各式的值：④⑤⎛ ⎝例7.⑴ 填表：⑵ 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律。

⑶ 根据你发现的规律填空：① 已知442.133=，则=33000 ，=3003.0② 已知07696.0000456.03=，则=3456 ；③已知0157053953..= 15711623..= 15725043..= 00000157157033.和的值。

例8求x 的值(1)(x+3)3+27＝0； (2)(x-0.5)3+10-3＝0.(3) (x-1)3＝8 (4)(0.1+x)3＝-27000；例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。

②已知互为相反数，求a ，b 的值。

1：求x x +-的值2：已知21140a b -++=，求ab的值3：如果a 为正整数，14-a 为整数，求14-a 的最大值及此时a 的值4：已知x y x y +=-=23424 求x y +的值2.已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求 110x y --（）的平方根。

2.已知3x ＝4，且(y-2z+1)2+43-z ＝0， 求3333z y x ++的值.3已知31x +的平方根是±4，求919x +的立方根．例8①已知2-x 的平方根是±2，72++y x 的立方根是3，求22y x +的平方根②. 若8+a 与()227-b 互为相反数，求33b a -的立方根.③.若195+x 的立方根是4，则34x +的平方根是④、若124-++b a =0，则a b -的立方根是多少？⑤、已知 x=n m n m -++3是m+n+3的算术平方根， y=322+-+n m n m 是m+2n 的立方根，求y-x 的立方根.根。

*例6 设1996x 3＝1997y 3＝1998z 3,xyz>0,且3222199819971996z y x ++＝31996+31997+31998，求x 1+y 1+z1.（8）已知实数a 满足a a a =-+-20052004，那么a-20042=（6,,4x y m m -试求的算术平方根。

例5、若124-++b a =0，则a b -的立方根是多少？★ 例6、已知 x=n m n m -++3是m+n+3的算术平方根， y=322+-+n m n m 是m+2n 的立方根，求y-x 的立方根.平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平。

2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3件是a ≥0。

4、公式：⑴2=a （a ≥0）a 取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。

②已知互为相反数，求a ，b 的值。

六、实数1、实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类：①按属性分类： ②按符号分类2．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算．3．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如、等．思考：（1）－a 2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？ （2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？(3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____ (4)实数包括____________或__________________；(5)下列各数：3，π，0.28，03.14159，0.121121112，3，227．其中无理数有（ ）个七、实数大小比较的方法 一、平方法 比较23和3的大小二、移动因式法 比较32和23的大小三、求差法 比较215-和1的大小四、求商法 比较534和11的大小练习：比较下列各组数的大小： ①2-和3-；②3和23-；③15和543；④7-和－2.45。

八、解答题（每题4分，共8分） 1、当21≤a 时，化简|12|4412-++-a a a 2、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图， 化简b a ++2)1(+-b a第1讲 实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数 1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a |≥0在数轴上，表示实数a 的点到原点的距离叫做实数a 的绝对值，用|a |来表示设a 为实数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0)0(0)0(||a a a a a a绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a 与b 互为相反数，则|a |＝|b |；若|a |＝|b |则a ＝±b ③对任意实数a ，则|a |≥a ， |a |≥－a④|a ·b |＝|a |·|b |，||||||b a b a =(b ≠0)⑤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |（2）实数的偶次幂是非负数如果a 为任意实数，则n a 2≥0（n 为自然数），当n ＝1时，2a ≥0（3）算术平方根是非负数，即 a ≥0，其中a ≥0.算术平方根的性质：()a a =2（a ≥0）||2a a =＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0)0(0)0(a a a a a2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零 （3）若非负数不大于零，则此非负数必为零 34a =5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。

【例题精讲】◆专题一：利用非负数的性质解题： 【例1】已知实数x 、y 、z满足0241||212=+++-+-z y z z y x ，求x ＋y ＋z 的平方根。

【巩固】1、已知2(6)0x y ++=，则x y -的值为______________；2、若0)2(12=-+-ab a ，)(2007(1)2)(2(1)1)(1(11+++++++++ba b a b a ab 求的值【拓展】 设a、b、c是实数，若14261412--++++=++c b a c b a ，求a 、b 、c 的值0)a ≥ 的应用 【例2】已知x 、y是实数，且=+-+-=yx x x y 则,32112； 【例3】 已知x、y 、z 适合关系式：y x z y x z y x +-+=-++--+2002223，求x y z ++的值。

【巩固】1、已知b ＝31315153+-+-a a ，且11+a 的算术平方根是m ，14+b 的立方根是n ，试求)43)(2(+-mn mn 的平方根和立方根。

2、已知141122++-+-=x x x y ，则=+yx ）（32 ；【拓展】在实数范围内，设a ＝201041(1x x ++，求a 的个位数字。

a =a =的化简及应用 常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【例4】化简：961222+-++-=x x x x y【例5】若实数x 满足方程11x x -=+ ，那么= ；【巩固】1、若92=a ，42=b ，且a b b a -=-2)(，则=+2)(b a ；2、已知实数a 满足a ＋332a a +＝0，那么11a a -++= ；3、设449612222++++-++-=x x x x x x y（1）求y 的最小值（2）求使6＜y ＜7的x 的取值范围。