算术平方根的大小比较
第六章 算术平方根
因为1.4142 1.999 396, 1.4152 2.002 225, 1.999 396 2 2.002 225，
1.414 2 1.415; ......
如此下去，可以得到 2 的更精确的近似值.
一、无限不循环得到
因此 100 10；
（2）由于
4 5
2=1265
，
因此
16 4 ；
25 5
（3）由于0.72=0.49，
不难看出：被 开方数越大， 对应的算术平 方根也越大.这 个结论对所有 正数都成立.
因此 0.49 0.7 .
例2 计算：
（1） 49 2 7 1 ； （2） 4 9 16 .
的小数点就向左移动 1 位.
当堂练习
1．估计 56 的大小应在(C )．
A．5～6 之间 B．6～7 之间 C．7～8 之间 D． 8～9 之间 2．利用规律计算：已知 2 1.414 ， 20 4.472 ，则 0.2 0_._4_4_7_2 . 3. 用计算器计算下列各式的值（精确到 0.01）.
当堂练习
1.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 9 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是_a_2_；和这个自然数相邻的下一个自然数是 a2+1 .
(3) 81 的算术平方根为 3 . 81 = 9 (4) 2的算术平方根为___2_.
2.求下列各数的算术平方根: （1）169； (2) 64 ； (3) 0.0001.
小丽不能裁出符合要求的纸片.
二 用计算器求算术平方根 在估计有理数的算术平方根的过程 中，为方便计算，可借助计算器求 一个正有理数a的算术平方根(或其 近似数).
平方根-第二课时-用计算器求算术平方根及大小比较课件 2022—2023学年人教版数学七年级下册
解： 3 ≈ .
0.03 ≈ .
300 ≈ .
30000 ≈173.2
由 3不能说出 30的值，因为不符合规律。
解决问题
• 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，
• 沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方
因为62 =36， 72 =49，
所以6< 45 <7
所以 45的整数部分是6，
小数部分是 45 -6
即时练习
• 已知 7+7的小数部分是a,7- 7的小数部分是b,
• 求a+b的值。
解：∵22 =4，32 =9
∴2< 7<3
∴ 9< 7+7<10， 4<7- 7<5
∴ 7+7的整数部分是9，小数部分是 7+7-9= 7-2
•
⋯⋯
即时练习
1.估计 41的值在（ D ）
A.3到4之间
B. 4到5之间
C.5到6之间
D. 6到7之间
2.已知a,b是两个连续整数，且a< 23< b,
则a+b=
9
.
3.与 14-2最接近的自然数是
2 。
新知探究
我们知道 45是一个无限循环小数，那么它的
整数部分是多少？小数部分是多少呢？
对 45估算：
100个1
50个2
。
Hale Waihona Puke 巩固练习• 5.已知m是 45-3的整数部分，n是 23+1的
• 小数部分，求m+n- 23的值。
•
解：因为6 < 45 < 7，4 < 23 < 5
数学七年级下学期《用计算器求算术平方根及其大小比较》教学设计
数学七年级下学期《用计算器求算术平方根及其大小比较》教学设计一. 教材分析《用计算器求算术平方根及其大小比较》这一节内容，主要让学生掌握如何使用计算器求解算术平方根，以及如何比较不同数的大小。
教材通过具体的例子，引导学生了解算术平方根的概念，以及计算器在求解过程中的应用。
本节内容是学生在七年级数学学习过程中的重要组成部分，也是学生数学思维能力的一次提升。
二. 学情分析学生在进入七年级下学期时，已经具备了一定的数学基础，对数学知识有一定的理解。
但计算器的使用在数学课堂中还属于新生事物，学生可能对其存在好奇心和陌生感。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习兴趣，引导学生正确使用计算器，提高他们的数学解题能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用计算器求算术平方根的方法，能熟练使用计算器进行计算。
2.过程与方法目标：通过小组合作，培养学生运用计算器解决数学问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们善于动脑、动手的能力。
四. 教学重难点1.重点：用计算器求算术平方根的方法。
2.难点：如何比较不同数的算术平方根的大小。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体的问题情境，引导学生运用计算器求解。
2.小组合作学习：让学生在小组内互相交流、讨论，共同解决问题。
3.实例教学法：通过具体的例子，讲解算术平方根的概念及求解方法。
六. 教学准备1.准备计算器，确保每名学生都有机会使用。
2.准备相关的数学题目，用于练习和巩固。
3.准备PPT或黑板，用于展示解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的数学问题，引入本节内容。
例如：“请问5的平方根是多少？”然后引导学生思考：“我们如何用计算器快速求解这个问题？”2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，展示算术平方根的定义，以及如何使用计算器求解。
同时，解释算术平方根的概念，以及计算器在求解过程中的应用。
3.操练（10分钟）教师发放练习题，学生独立或小组合作，使用计算器求解。
平方根和算术平方根
平⽅根和算术平⽅根平⽅根和算术平⽅根1、什么叫做平⽅根？如果⼀个数的平⽅等于9，这个数是⼏？±3是9的平⽅根；9的平⽅根是±3。
⼀般地，如果⼀个数的平⽅等于a ，那么这个数叫做的a 平⽅根,也称为⼆次⽅根。
数学语⾔：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平⽅根。
4的平⽅根是；149的平⽅根是。
的平⽅根是0.81。
如果225x =，那么x = 。
2的平⽅根是？2、平⽅根的表⽰⽅法：⼀个正数a 的正的平⽅根，记作“a ”，正数a 的负的平⽅根记作“a -”。
这两个平⽅根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.表⽰，= 。
2的平⽅根是；如果22x =，那么x = 。
3、平⽅根的性质：⼀个正数的平⽅根有2个，它们互为相反数；0只有1个平⽅根，它是0本⾝；负数没有平⽅根。
求⼀个数的平⽅根的运算叫做开平⽅。
4、算术平⽅根：正数有两个平⽅根,其中正数的正的平⽅根,叫的算术平⽅根. 例如，4的平⽅根是2±，2叫做4的算术平⽅根，记作4=2；2的平⽅根是2±，2叫做2的算术平⽅根，记作22=。
5、算术平⽅根的性质：（双重⾮负性）⑴ 0≥0a ≥。
⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a⼆、【题型分类讲解】题型⼀、求平⽅根1、36的平⽅根是；2、的算术平⽅根是；3、下列计算正确的是（）A 2B = C.636=± D.992-=-4、下列说法中正确的有。
①只有正数才有平⽅根；②-2是4的平⽅根；③的平⽅根是；④的算术平⽅根是；⑤的平⽅根是-6 ⑥5、如果a 是b 的⼀个平⽅根，则b 的算术平⽅根是；6平⽅根是； 25 的平⽅根是___，4的算术平⽅根是_____，7、2)8(-= ；2)8(= ；若72=x ，则=x _____。
8、22)4(+x 的算术平⽅根是（）A 、 42)4(+xB 、22)4(+xC 、42+x D 、42+x 9、⼀个⾃然数的算术平⽅根是a ，则下⼀个⾃然数的算术平⽅根是（）A ．()1+aB ．()1+±aC ．12+aD ．12+±a10、若9,422==b a ，且0A. 2-B.5±C. 5D. 5-题型⼆、运⽤算术平⽅根进⾏运算计算下列各式的值1、811441691+-；2、()3616512522?--??-题型三、平⽅根性质的运⽤1、⼀个正数x 的平⽅根分别是a+1和a-3，则a= ；x= 。
实数典型例题
（1） 4 ；（2） 4
；（3） 32
；（4）
1 10 2
．
解：（1）无意义； （2）有意义； （3）有意义； （4）有意义．
下列各式是否有意义，为什么？
（1）
√
3 （2）
×
3
（3）
√
(8)2 （4）
√
1 92
下列各式中，x为何值时有意义？
（1） x
（2） x2 1
解:∵-x≥0 ∴x≤0
解: ∵x2+1≥0恒成立 ∴x为任何数
120
∴ x 0.09 0.3（米）. 答：每块地砖的边长是0.3米.
若 a2 a 则a的取值(范围)为 ( C )
A. 正数
B. 非负数
C. 1,0
D. 0
有一列数按如下规律排列：
- 2 ，- 3 ，1 ，- 5 ，- 6 ， 7 ，...... 2 4 4 16 32 64
则第2016个数是 ( C )
实数典型例题
一.求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根：
（1）100 ；
（2）49 ； 64
（3）0.0001．
解：（1）因为 102=100 ，
所以100的算术平方根是10 ．
即
．
100 =10
（2） 49 ； 64
解：（2）因为 （7）2 49 ， 8 64
所以 的算术平方根是 ．
49
解：(1) 依次按键 显示：56．
3136 =
∴
．
3136 56
(2) 依次按键
2=
显示：1.414213562．
∴
．
2 1.414
小明房间的面积为10.8平方米，房间地面恰由120块相同的正 方形地砖铺成，问每块地砖的边长是多少？
时用计算器求算术平方根及其大小比较课件
二分法
将一个正数介于两个完全 平方数之间，通过不断缩 小范围来逼近其算术平方根。
利用计算器求算术平方根
打开计算器并进入相应的功能模式（如 科学型）。
如果需要比较两个数的算术平方根大小， 只需分别求出它们的算术平方根，然后 进行比较即可。
按下“=”键即可得到结果。
输入需要求算术平方根的数字。
时用计算器求算术平方根及其 大小比较课件
CONTENTS
• 引言 • 算术平方根的概念与计算方法 • 算术平方根的大小比较 • 算术平方根的性质及应用 • 总结与回顾
01
引言பைடு நூலகம்
主题介绍
介绍主题背景：算术平方 根和平方根的概念、用途 和重要性。
定义算术平方根：正数的 正平方根叫作算术平方根， 0的算术平方根是0。
问题3
一个电路中电流为5安培， 求该电路中电阻的算术平 方根。
05
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
介绍了如何使用计算器求算术平 方根 讲解了如何比较两个数的平方根 的大小 提供了相应的例题和练习题
学习收获及不足之处
学会了使用计算器求算术平方根的方法 掌握了比较两个数的平方根大小的技巧 对于一些特殊情况的处理还需要加强练习
算术平方根是非负的， 而代数平方根有正、 负两个值。
算术平方根a^(1/2) 与代数平方根√a是 两个不同的概念。
计算算术平方根的常用方法
分解质因数法
将一个正数分解为若干个 质因数的积，根据算术平 方根的定义，找出所有质 因数并计算其平方根的和。
完全平方公式法
将一个正数表示为若干个 完全平方数的和，根据算 术平方根的定义，分别求 出每个完全平方数的算术
物理计算
二次方根知识点总结
实数知识点总结平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
练习⑴ 一个数的平方等于它的本身的数是 ；⑵ 平方根等于它的本身的数是⑶ 算术平方根等于它的本身的数是 ；⑷ 立方根等于它的本身的数是⑸ 大于0且小于π的整数是 ；⑹ 满足21-＜x ＜15-的整数x 是6.到原点的距离为34的点表示的数是 ；7.若32-=x ，则x = ，8. 实数与数轴上的点9．写出之间的所有的整数为____． 10．比较大小：____三、解答题11．1．3-，0，0.3，227，1.732-π2-，3+，0.1010010001整数{} ；分数{} ；正数{} ；负数{} ；有理数{} ；无理数{}四．计算（1） （221；（3）π2练习一 平方根1.如果2a = 3，那么a = ，如果3=a ，那么=a2.若一个正方形的面积为13，则正方形的边长为3.0.04的平方是 ，0.04的算术平方根是 ，平方根是4.若12是a 的一个平方根，则a 的另一个平方根是5.若414.12=，则=200 ，02.0=6.用“＞”“＜”填空：⑴ ⑵ 160 13 ⑶；9.若==x x 则,4942 ，若==-x x ，则025812 ；10.⑴ =25 ， ⑵ ()=-22 ，⑶ =2a ；11.下列说法中不正确的是 （ ）A 、2-是2的平方根B 、2是2的平方根C 、2的平方根是2D 、2的算术平方根是2 12.41的平方根是 （ ） A 、161 B 、81 C 、21 D 、21± 13. 下列各式中无意义的是 （ ） A 、7- B 、7 C 、7- D 、()27-- 14.下列各式中，正确的个数是（ ）① 3.09.0= ② 34971±= ③23-的平方根是－3 ④()25-的算术平方根是－5 ⑤67±是36131 的平方根A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 15.“254的平方根是52±”，由数学式子可以表示为（ ） A 、52254±= B 、52254±=± C 、52254= D 、52254-=-16.下列判断正确的是 （ ） A 、一个数的倒数等于它本身，这个数是1 B 、一个数的绝对值等于它本身，这个数是正数 C 、一个数的相反数等于它本身，这个数是0 D 、一个数的平方根等于它本身，这个数是1 17.若a 是()24-的平方根，b 的一个平方根是2，则代数式a ＋b 的值为 （ ） A 、8 B 、0 C 、8或0 D 、4或－4 18.求下列各数的平方根与算术平方根 ⑴ 169 ⑵ 0.0256 ⑶ 25242 ⑷ ()22-19.16的算术平方根是 ，()22-的平方根是 ； 20.若m 、n 满足()0312=++-n m ，则=+n m ；23. 有一个正数的两个平方根分别是32-a 与a -5，你知道a 是多少？这个正数又是多少？24. 若a 的两个平方根是方程223=+y x 的一组解，⑴ 求a 的值 ⑵ 求2a 的算术平方根。
《平方根》第二课时教学设计
教学设计教学目标：知识与能力：1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律；2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值；过程与方法：会用计算器求一个数的算术平方根情感态度价值观：体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。
教学重点：会比较两个数的算术平方根的大小；教学难点：会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识；课型、课时：新授课1课时教学手段：PPT课件计算器黑板教学方法：讲授法讨论法教学过程：第二课时课前德育教育：一、激趣导入：1、导言：（板书课题）复习导入：（1）算术平方根的定义判断下列数有没有算术平方根，如果有，请写出结果。
-36 , 0.09 ,25121, 0 , 2 , （-3）2.课时目标：（大屏幕展示）1．会比较两个数的算术平方根的大小；(重点)2．会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识；(难点)3．会用计算器求一个数的算术平方根．二、自主学习：（大屏幕展示导学习题并让学生提前准备好做好的导学案）三、算术平方根的估算及大小比较活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为（），从而说明边长为1的小正方形的对角线为（）PPT展示图片.三、合作探究（分小组讨论问题，然后展示，教师点评并指正）参照课本41页，把两个面积为12dm小正方形沿对角线剪开，所得到的4个正方形拼在一起，就得到一个面积为22dm的大正方形.小正方形对角线的长与大正方形的边长有什么关系？表示出它们的长度？解：很明显小正方形对角线的长即为大正方形的边长.设大正方形的边长为xdm，x2=2由算术平方根的意义可知2=x，所以大正方形的边长是2dm.用算术平方根的意义来解方程，为我们提供了一种新的思路；而边长2又让我们进一步去探究它到底有多大.(2)2到底有多大？根据活动一的结论：被开方数大的数算术平方根也大.我们可以用夹值法进行粗略估计：因为1<2<4, 所以1<2<4，即1<2<2，这说明2的值一定在1和2之间.因为1.42=1.96，1.52=2.25且1.96<2.25所以1.4<2<1.5因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，且1.9881<2<2.20164所以1.41<2<1.42因为1.4142=1.999396，1.4152=2.002225 ，且1.999396<2<2.002225 所以1.414<√2<1.415······如此进行下去，可以得到2的更准确的近似值：事实上，2=1.41421356273095048824097···2是一个无限不循环小数，像这样的数还有很多，如：3，5，7等.点拨：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数;自此我们将进入有理数外的一个新的数域，也为我们后面学习实数做铺垫.这里的夹值法常用来估计一些正数的算术平方根，需要重视.2、用计算器求算术平方根在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数a的算术平方根(或其近似数).按键顺序：a =四、精讲解疑：通过估算比较下列各组数的大小：(1) 5 与1.9； 216+与1.5.；解：(1)因为5>4，所以 5 >2，所以5>1.9.五、达标测评：1、测评习题：比较下列各组数的大小.课堂小结：【知识梳理】（1）被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值. （2）利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值.（3）无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 板书设计：6.1.2 平方根1、计算器求算术平方根2、加值法3、√2的大小，平方根数的比较大小布置作业：(2)因为6>4，所以 216+ > 2，所以 216+ >212+ =1.5.求19的近似值（精确到0.0001）.P44页练习第二题教学反思：。
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1．解决问题
2 有多大呢？ 因为 1.42 1.96 ，1.52 2.25，而 1.96 2 2.25 ， 所以1.4 2 1.5 ．
因为 1.412 1.9881，1.422 2.0614， 而 1.9881 2 2.0164 ，所以 1.41 2 1.42 ．
解：(1) 依次按键 3136 ， 显示：56． ∴ 3136 56 ．
(2) 依次按键 2 ， 显示：1.414213562． ∴ 2 1.414 ．
3．解决章引言中提出的问题
你知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的 速度在什么范围吗？这时它的速度要大于第一
宇宙速度 v（1 单位：m/s ）而小于第二宇宙速度 v（2 单位：m/s ）．v1 ，v2的大小满足v12 gR， v22 2gR ，其中 g 9.8 m/s2 ，R是地球半 径，R 6.4 106 m ．怎样求 v1，v2呢？
（4）表中与 260 最接近的是哪个数？
6．归纳小结 举例说明如何估算算术平方根的大小．
7．布置作业
教科书第44页练习 第1，2(1)、(2)、(4)题； 习题6.1第6题
你能将这个问题转化为数学问题吗？
5．例题讲解
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm， 则有3x∙2x=300 ，
6x2=300 ， x2=50， x 50 ，
故长方形纸片的长为3 50 cm ，宽为 2 50 cm ．
长方形的长和宽与正方形的边长之间的 大小关系是什么？小丽能用这块纸片裁 出符合要求的纸片吗？
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17.0
x2 256.00 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289.00
（1）268.96 的平方根是多少？ （2） 285 .6 ____ . （3） 270 在哪两个数之间？为什么？
活动一 复习回顾 引入新知
1．什么是算术平方根？
2．判断下列各数有没有算术平方根？如果有，请
求出它们的算术平方根.
-36 , 0.09
25 , 121,
0
,32 ,
2.
只-3有6非没负有数算才术有平算方术根平. 方根,算术
平方根是非负的.
0.09 0.3
25 5 121 11
3.你知道 2 有多大吗?
4．探究规律
课本第43页探究: (1)利用计算器计算下表中的算术平方根, 并将计算结果填在表中,你发现了什么规 律?你能说出其中的道理吗?
…
…
0.062 5 0.625 6.25 62.5 625 6 250 62 500
…
0.25
0.790 6 2.5 7.906 25
79.06
…
250
规律：被开方数的小数点向右每移动 2 位,它的算术平方根 的小数点就向右移动 1 位;被开方数的小数点向左每移动 2 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 1位.
因为 1.4142 1.999396 ，1.4152 2.002225， 而 1.999396 2 2.002225 ，所以1.414 2 1.415．
……
1．解决问题
2
你以前见过这种数吗？ 2有多大呢？
2．用计算器求算术平方根
例1 用计算器求下列各式的值：
(1) 3136 ； (2) 2 （精确到 0.001 ）．
2
5．例题讲解
小丽想用一块面积为400 cm2为的长方形纸片， 沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形 纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得 出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定 能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” 你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符 合要求的纸片吗？
2
0 0 3 3
2的算术平方根是 2.
1．解决上节课提出的问题
拼成的这个面积为 2 的大正方形的 边长应该是多少呢？
?
边长= 2
2 有多大呢？
1．解决问题
2 有多大呢？
2大于1而小于2
你是怎样判断出 2 大于1而小于2的？
因为 12 1 ，22 4 ，
而1<2 <4，
所以1 2 2．
8.
25
0.462 54 0.58 8 0.57 25
7.请你观察思考下列计算过程．
∵112 121, ∴ 121 11. ∵1 121 1 2 , ∴3 2112 321 111 . 由此猜想： 12 345 678 987 654 321 ______ .
8. 根据下表回答问题. x 16.0 16.1 16.2
4．应用规律
你能用计算器计算 3（精确到0.001）吗？ 并利用刚才的得到规律说出 0.03 ， 300
30000 的近似值．
你能否根据 3的值说出 30是多少？
5．例题讲解
例2 比较大小： 5 1与0.5 .
2
解：∵ 5＞4， ∴ 52 ， ∴ 5 1 2 1 1， ∴ 5 1 0.5．
你会表示 v , v 吗？ 12
3．解决章引言中提出的问题
v1 gR , v2 2gR
你会计算吗？
v1 9.8 6.4106 7.9103
v2 29.8 6.4106 1.1104
因此，第v一1 宇宙9.速8度6.4v1大1约06是 7.9103 m/s ， 第v二2 宇宙2v92.速8度6.4大1约06是 1.1104 m/s ．
巩固练习 检测反馈
1．估计 56 的大小应在( C)．
A．5～6 之间 B．6～7 之间 C．7～8 之间 D． 8～9 之间
2．利用规律计算：已知 2 1.414 ， 20 4.472 ，则 0.2 _0__.4__4. 72
3. 用计算器计算下列各式的值（精确到 0.01）.
0.462 54,
5．例题讲解
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm， 则有3x∙2x=300 ，
6x2=300 ， x2=50， x 50 ，
故长方形纸片的长为3 50 cm ，宽为 2 50 cm ．
因为 50＞49，得 50＞7 ，所以3 50 ＞3×7＝21，
比原正方形的边长更长，这是不可能的．所以，小 丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．