文章算术平方根的双重非负性
双重非负性 帮你解题
双重非负性帮你解题
吴欣
【期刊名称】《数理化解题研究：初中版》
【年(卷),期】2015(0)2
【摘要】一般地,形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式.而√a（a≥0）表示非负数a 的算术平方根,可看出二次根式定义中隐含着两个非负数：一个是被开方数a的值是非负数,另一个是二次根式√a的值是非负数,即二次根式具有双重非负性.目前许多初中考试中的试题都是依据二次根式的双重非负性来设计的.若能注意发掘二次根式的双重非负性,可使问题获得妙解.请看下面的例子.
【总页数】2页(P14-15)
【关键词】非负性;二次根式;解题;算术平方根;负数;开方
【作者】吴欣
【作者单位】陕西西安邮电大学
【正文语种】中文
【中图分类】O122.1
【相关文献】
1.利用＂双重非负性＂解题 [J], 宋毓彬
2.√a的双重非负性在解题中的应用 [J], 乐毅
3.利用算术平方根的双重非负性解题 [J], 梁宗明
4.数学中的“小海螺”——二次根式的双重非负性 [J], 朱呈霞
5.二次根式√a的双重非负性 [J], 明国华
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算术平方根的双重非负性
算术平方根的双重非负性算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax=2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=.算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，即0a≥，a的算术平方根a也是一个非负数，≥．这就是算术平方根的双重非负性．例题：已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即≥，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y的值，进而求得答案．()20,20y≥-≥，且x－1＋3(y－2)2＝0∴x-1=0，y-2=0.∴x=1,y=2∴x－y＝1－2＝－1.方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即≥，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.巩固练习：1.若|x－2|+3-y=0,则xy=______.2.已知()0232212=++++-zyx，求x+y+z的值.3. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范围．参考答案：1. xy =62. 解：因为21-x ≥0，()22+y ≥0，23+z ≥0，且()0232212=++++-z y x ， 所以21-x =0，()22+y =0，23+z =0， 解得21=x ，2-=y ，23-=z ， 所以x +y +z = 3-．3. 解：由04412=+-+-b b a ，可得0)2(12=-+-b a ，因为 1-a ≥0，2)2(-b ≥0， 所以1-a =0，2)2(-b =0，所以a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b +a ，即1 < c < 3．。
二次根式的性质与计算
二次根式的性质与计算在数学的世界里，二次根式是一个重要的概念，它不仅在代数运算中频繁出现，也在解决实际问题中发挥着关键作用。
接下来，让我们一起深入探究二次根式的性质与计算。
二次根式，简单来说，就是形如√a（a≥0）的式子。
其中，“√”称为二次根号，a 称为被开方数。
先来说说二次根式的性质。
性质一：双重非负性。
即二次根式的被开方数a 是非负的（a≥0），同时二次根式的值也是非负的（√a≥0）。
这就好比一个房子，里面住的人数（被开方数）不能是负数，而且从这个房子走出来的人（二次根式的值）也不能是负数。
性质二：（√a）²＝ a（a≥0）。
这个性质可以理解为，一个数先开平方再平方，就等于它本身。
就像一个人先出门再回家，还是原来那个人。
性质三：√（a²）＝｜a|。
当a≥0 时，√（a²）＝ a；当 a＜0 时，√（a²）＝ a。
这就好像一个人的正面和背面，虽然看起来不一样，但都是这个人。
性质四：√ab ＝√a×√b（a≥0，b≥0）。
这个性质告诉我们，两个非负实数的乘积的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的乘积。
比如说，计算√12，我们可以把 12 分解为 4×3，那么√12 ＝√4×√3 ＝2√3。
性质五：√a÷√b ＝√（a÷b）（a≥0，b＞0）。
这就像是把一个大蛋糕（a）按照一定比例（b）切开，得到的每一份的大小（√（a÷b）），和先分别计算每一份蛋糕的大小（√a 和√b）再相除是一样的。
了解了这些性质，我们再来看看二次根式的计算。
二次根式的加减法，首先要把二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
比如√8，就不是最简二次根式，因为 8 可以分解为 4×2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。
在进行二次根式的加减运算时，只有同类二次根式才能合并。
数学人教版七年级下册算术平方根之双重非负性(二)
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自学检测（3分钟）
平方 绝对值 算术平方根 正负性
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交流小结（18分钟）
讨论一 根据上表，关于平方、绝对值、算术平方根的非负性 你得到什么结论？ 一个数的平方、绝对值、算术平方根都是非负数， 也就是它们都具有非负性。这也是算术平方的第二 重非负性。
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交流小结（18分钟）
讨论四
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
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注意：被开方数也要是非负数！
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交流小结（18分钟）
讨论二 如果两个非负相加，它们的结果是什么数（正负 性）？三个非负数相加呢？ 两个非负数的和一定是非负数，三个非负数的和也是 非负数，不管多少个非负数的和都一定是非负数。 讨论三
如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数必须满足 什么条件？你可以用相反数的性质去进行解释吗？ 如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须等于0. 因为两个数相加为0，那么这两个数就应该是相反数，所 以要么是一正一负，要么两个数都是0，根据它们都是非 负数，所以只能都等于0.
算术平方根之双重 非负性（二）
太湖港中学七（3）班：张翠丽
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学习目标（2分钟解读）
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指导自学（5分钟）
大于等于0的数叫非负数。 一定是非负数的数就具有非负性 回想以前学习的知识中还学过类似的非负性吗？ 两个相反数具备什么性质？ 还有平方和绝对值具有非负性，两个相反数的和为0.
初中数学二次根式双重非负性的运用
二次根式双重非负性的运用
湖北省黄石市下陆中学陈勇
在实数范围内，我们知道式子表示非负数ａ的算术平方根，它具有双重非负性：（１）
；（２）ａ≥０．运用这两个简单的非负性，再结合非负数的性质“若几个非负数的和等于０，则这几个非负数都等于０”可以解决一些似乎无从下手的算术平方根问题．例１已知＋＝０，求ｘ，ｙ的值．
分析：因为≥０，≥０，根据几个非负数之和等于０，则每个
非负数都等于０，可知，从而，解之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．
例２若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得
，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．
例３已知实ａ满足，求ａ-2010的值．
解：由ａ-20110，得ａ2011。
故已知式可化为ａ-2010+=ａ，
∴=2010，两边平方并整理，得：ａ-2010＝2011．
例４在实数范围内，求代数式的值．
解：考虑被开方数，得从而，又，故
＝０，ｘ＝４．∴原式＝１．
例５设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．
解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为，ｘ＝－ｙ≠０，故原式＝
＝.。
算术平方根怎么算
一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根。
计算a的算术平方根可记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
1算术平方根的性质
（1）双重非负性
在x=√a中的a
①a≥0（若小于0，则为虚数）
②x≥0
（2）与平方根的关系
正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。
2平方根的性质
（1）一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
（2）负数在实数系内不能开平方。
只有在复数系内，负数才可以开平方。
（3）负数的平方根为一对共轭纯虚数。
3平方根和算术平方根的相同点
（1）前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”。
（2）存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。
（3）0的算术平方根和平方根相同，都是0。
二次根式中的“双非负性”
二次根式中的“双非负性”作者：***来源：《初中生世界·八年级》2020年第08期在二次根式a中，存在两个非负的性质。
一是被开方式a≥0，这是因为负数没有平方根的缘故。
它是所有二次根式有意义的先决条件，具有很强的隐蔽性。
我们在解题时，稍不留神就会掉入陷阱里。
二是二次根式的值a≥0，这是因为a表示a的算术平方根的缘故。
它是所有关于二次根式的等式成立必须要尊重的事实，是检验运算结果是否合理的重要依据。
这两条非负性质在“二次根式”这一章中既是重点又是难点，具有非常重要的地位，理解它是我们学好这一章节内容的前提。
下面让我们一起走进二次根式的双非负世界。
一、直接用双非负性解决问题1.利用a中的a≥0解决问题。
例1已知x、y满足x-3+5y+2=0，求x-y的值。
【解析】通过观察等式的结构我们可以发现：等式左边是两个二次根式的和，右边刚好为0。
我们知道，互为相反数的两个数的和等于0，但根据a≥0可知x-3≥0，5y+2≥0，在它们都不为负的情况下，只有x-3=0且y+2=0时原等式才成立，则x-3=0，y+2=0，所以x=3，y=-2，则x-y=3-（-2）=5。
2.利用a中的a≥0解决问题。
例2已知x、y满足x-3+53-x=y+2，求x+y的值。
【解析】观察式子的结构，左边仍是两个二次根式的和，但右边是y+2，不为0，故例1的思路不再适用。
我们经过进一步细细观察后发现：等式左边的两个根式的被开方式x-3和3-x刚好互为相反数。
根据a中a≥0可得x-3≥0且3-x≥0，可知只有x=3（两个不等式联列成的不等式组的解集）时，这两个不等式才同时成立。
把x=3代入x-3+53-x=y+2便可得y=-2，所以x+y=3+（-2）=1。
【点评】例1和例2都是通过一个等式解出包含两个未知数的特殊方程。
它们的形式存在相似之处。
我们首先要通过观察等式的特征辨别出题目的类型，然后根据题型选择具体的解法。
二、二次根式的双非负性对与它相等的代数式的约束所有与二次根式相等的代数式都必须要保持与这个二次根式符号的一致性，如公式“a2=|a|”和“（a）2=a（a≥0）”。
初二上册数学算术平方根知识点总结
初二上册数学算术平方根知识点总结除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大伙儿提供了初二上册数学算术平方根知识点总结，期望对大伙儿的学习有一定关心。
算术平方根的双重非负性1.a中a≧02.a≧0算术平方根产生根号(即算术平方根)的产生源于正方形的对角线长度根号二，那个根号二的发觉一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。
因为按当时的权威说明(也确实是毕达哥拉斯学派的学说)，世界的一切事物都能够用有理数代表。
关于那个无理数根号二，最终人们选取了用根号来表示算术平方根举例9的平方根为9的算术平方根为3，正数的平方根差不多上前面加，算术平方根全部差不多上正数。
算术平方根辨析算术平方根和平方根是大伙儿学习实数接触最多的概念，两者密不可分。
可关于初学者来说是对孪生杀手，专门容易在解题过程中产生错误。
算术平方根和平方根到底有哪些区别与联系呢?一、两者区别1、定义不同：⑴一样地，假如一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么那个正数x叫做a的算术平方根(arithmetic square root)。
⑵一样地，假如一个数的平方等于a，那么那个数叫做a的平方根或二次方根(square root)。
这确实是说，假如x2=a，那么x叫做a的平方根。
2、表示方法不同：⑴a的算术平方根记为a ，读作根号a，a叫做被开方数(radicand)。
⑵a的平方根记为a，读作正负根号a，其中a叫做被开方数。
3、个数不同：从形式上看，二者的符号主体相似，然而一个数的平方根要在其算术平方根的前面写上。
这也正好说明了一个正数和零的算术平方根有且只有一个，而一个正数却有两个互为相反数的平方根。
零只有一个平方根二、两者联系1、前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件差不多上只有非负数才有算术平方根和平方根。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
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文章算术平方根的双重
非负性
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算术平方根的双重非负性
一般地，如果一个正数x 的平方根等于 a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
0的算术平方根是0。
其中算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即①被开方数0≥a ；②0≥a 。
这一性质在解题中有着极其广泛应用，以下举例说明。
一、利用非负性①被开方数0≥a
例1x 为何值时，下列各式有意义。
⑴x -；⑵x x +-1；⑶
14+x ； ⑷12+x ；⑸11
2--x
解：⑴当0≥-x ，即0≤x ，x -有意义；
⑵当01≥-x 且0≥x ，即10≤≤x 时，x x +-1有意义；
⑶当01>+x ，即1->x 时，14
+x 有意义；
⑷当012≥+x ，即x 取任意实数时，12+x 有意义；
⑸当012>--x ，即(),012>+-x 012<+x 时，11
2--x 有意义，但
无论x 取任何数，12+x 都不会是负数，故原式无意义。
评注：对于⑶、⑸这样的式子，除了应用被开方数0≥a 的性质外，还要注意分母不能为0。
例2若x 、y 满足42112=+-+-y x x ，则xy 的值为。
解：由被开方数0≥a 得，
所以21=
x 把21=
x 代入等式得4=y 故242
1=⨯=xy ，应填2。
评注：这里应用了被开方数0≥a ，而x x 2112--与是相反数，互为相反数的只有0，所以012=-x 。
可以解出x 、y 值。
例3比较x -5与()3
6-x 的大小。
解：由被开方数0≥a 得
因此，06<-x ，()063
<-x 所以x -5>()3
6-x 评注：本题看起来无从下手，其实隐含着被开方数0≥a 这一条件，应用这一条件可以求出x 的取值范围，然后依据x 的取值范围计算比较大小。
二、利用非负性②0≥a
例421++a 的最小值是，此时a 的取值是。
解：因为01≥+a 所以221≥++a
当a+1=0，即a=-1时取等号。
故应填2、-1。
评注：本题利用非负性②0≥a ，因为是求最小值，所以当0=a 是有最小值。
例5若92+-y x 与105+x 互为相反数，求x 、y 的值。
解：因为92+-y x 与105+x 互为相反数 所以010592=+++-x y x
又因为092≥+-y x ；0105≥+x
即⎩
⎨⎧=+=+-0105092x y x 解得⎪⎩
⎪⎨⎧=-=272y x 评注：由0≥a 和0≥a ，以及几个非负数的和等于0，则这几个非负数一
定都为0可以得到⎩⎨⎧=+=+-0
105092x y x 。
从而计算出结果。
三、双重非负性的同时应用
例6已知3323+-=+x x x x ，则x 的取值范围是。
解：因为0323≥+x x ， 所以03≥+-x x ， 又因为03≥+x ，
所以0≥-x ，即0≤x ，
又03≥+x ，所以3-≥x ，
故x 的取值范围是03≤≤-x 。
评注：虽然大家没学习过如何将x 开方出来，但只要能灵活应用性质①被开方数0≥a 和性质②0≥a ，一样能求出x 的取值范围。
例7若x 、y 、m 适合关系式
y x y x m y x m y x --++-=-++--+2005200532353，试求m 的值。
解：由等式的右边，根据算术平方根的意义有：
02005≥+-y x 且02005≥--y x
所以2005≤+y x 且2005≥+y x
即2005=+y x
已知即为：()()02323=-+++--++⨯m y y x m y y x
⎩⎨⎧=-+=--+0
40100326015m y m y 解得2008=m 评注：抓住题目中隐含的条件——算术平方根具有双重非负性：①被开方数0≥a ；②0≥a ，然后仔细观察，便不难解决此类问题。