第三节 厚壁圆筒应力分析
平面问题作业--厚壁圆筒应力分析
图 厚壁圆筒问题
问题描述及要求
如图所示为一厚壁圆筒，其内半径r 1=50 mm ，外半径r 2=100 mm ，作用在内孔上的压力p=10 MPa ，无轴向压力，轴向长度很大可视为无穷。
材料参数：2e11（弹性模量），泊松比：0.3；计算厚壁圆筒的径向应力σr 和切向应力σt 沿半径r 方向的分布。
根据材料力学的知识，σr 、σt 沿r 方向的分布的解析解为
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=2222
1
2221r 1r r r r p
r σ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=222212221t 1r r r r p r σ
提示：该问题符合平面应变问题的条件，故可以简化平面应变问题进行分析。
另外，根据对称性，可取圆筒的四分之一并施加垂直于对称面的约束进行分析。
利用路径操作。
（1）
步骤：
1、定义单元类型
Ok
options
2、定义材料属性
3、创建模型
4、划分单元
Size controls--lines--set
apply
拾取圆弧边输入20
mesh
5、施加约束
apply
拾取左边线
6、施加载荷
7、求解
8、显示单元
Plot--elements
9、定义路径
顺次拾取下边线结点
Plot paths Map onto path
10、作路线图
11、结果。
厚壁圆筒应力分析
温度变化引起的弹性热应力
热应力
构件之间热变形 的相互约束
构件热变形受到 外界约束
构件内部温度 分布不均匀
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、厚壁圆筒的热应力
◆厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程， 结合边界条件求解。
◆当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时， 稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：
应变
径向应变、轴向应变和周向应变
分析方法
8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问 题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
p0
研究在内压、 外压作用下， 厚壁圆筒中的 应力。
图2-15 厚壁圆筒中的应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
•以轴线为z轴建立圆柱坐标。 •求解远离两端处筒壁中的三向应力。
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程（续） 径向应变 周向应变 变形协调方程
（2-27） （2-28）
2.3 厚壁圆筒应力分析
d. 物理方程
（2-29）
2.3 厚壁圆筒应力分析
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
（2－33）
2.3 厚壁圆筒应力分析
边界条件为：当
时，
；
当
时，
。
由此得积分常数A和B为：
2.3 厚壁圆筒应力分析
周向应力 径向应力
轴向应力
称Lamè（拉美）公式
（2-34）
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
2.3 厚壁圆筒应力分析
(a)仅受内压
(b)仅受外压
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
厚壁圆筒应力分析剖析
厚壁圆筒应力分析剖析一、应力分析方法1.在应力分析中，通常采用静力学的方法，根据力学定律对厚壁圆筒进行应力分析。
2.厚壁圆筒的应力分析可以分为轴向应力、周向应力和切向应力三个方向上的应力分析。
二、应力计算公式1.轴向应力：σa=(P·r)/t其中，σa表示轴向应力，P表示圆筒受到的内外压力，r表示圆筒内径，t表示圆筒壁厚。
2.周向应力：σc=(P·r)/(2t)其中，σc表示周向应力。
3. 切向应力：τ = (P · ri) / t其中，τ 表示切向应力，ri 表示圆筒中心点到任意一点的径向距离。
三、实例分析假设有一个内径为 10cm，外径为 15cm，壁厚为 2cm 的厚壁圆筒，内外压力分别为 5MPa 和 10MPa。
现对该厚壁圆筒进行应力分析。
1.轴向应力：根据公式σa = (P · r) / t，代入 P = 5MPa，r = 7.5cm，t =2cm，计算得σa = (5×7.5) / 2 = 18.75MPa。
同理，代入 P = 10MPa，r = 7.5cm，t = 2cm，计算得σa =(10×7.5) / 2 = 37.5MP a。
2.周向应力：根据公式σc = (P · r) / (2t)，代入 P = 5MPa，r = 7.5cm，t= 2cm，计算得σc = (5×7.5) / (2×2) = 9.375MPa。
同理，代入 P = 10MPa，r = 7.5cm，t = 2cm，计算得σc =(10×7.5) / (2×2) = 18.75MPa。
3.切向应力：根据公式τ = (P · ri) / t，代入 P = 5MPa，ri = 7.5cm，t =2cm，计算得τ = (5×7.5) / 2 = 18.75MPa。
同理，代入 P = 10MPa，ri = 7.5cm，t = 2cm，计算得τ =(10×7.5) / 2 = 37.5MPa。
压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
工程上一般将设计压力在10≤p≤100MPa之间的压力容器称为高压容器，而将100MPa压力以上的称为超高压容器。
高压容器不但压力高，而且同时伴有高温，例如合成氨就是在15～32MPa压力和500℃高温下进行合成反应。
一般来说，高压和超高压容器的径比K > 1.2，称此类容器为“厚壁容器”。
本章讨论的对象，是厚壁圆筒型容器。
承受压力载荷或者温差载荷的厚壁圆筒容器，其上任意点的应力，是三向应力状态。
即存在经向应力（又称轴向应力）、周向应力和径向应力。
针对厚壁筒的应力求解，将在平衡方程、几何方程、物理方程三个方面进行分析。
2.2.1 弹性应力－压力载荷引起的弹性应力（1）轴向(经向)应力ϭz222200002200002220()1i z i i i i i i i z i iP P FP P p R p R F R R p R p R p p KR K R R K R σππππσ−=−=⋅−⋅=−−−⋅===−−径比(2) 周向应力ϭ和径向应力ϭrθ三对截面：一对圆柱面，相距dr一对纵截面，相差dθ一对横截面，长度为1Ϭz作用在横截面上Ϭr作用在圆柱面上Ϭθ作用在纵截面上平衡方程（沿径向列平衡方程）()()112sin 102r r r d d r dr d rd dr θθσσθσθσ++⋅−⋅−⋅=sin 22d d θθ≈略去高阶无穷小，并使得到平衡方程r r d r drθσσσ−=几何方程()r w dw wdwdr drε+−==径向应变周向应变()r w d rd wrd r θθθεθ+−==上述表达式是Lame 在1833年推得的，又称为Lame 公式。
当仅有内压时，p o =0，有()222222211111112i o i o r z i z r p R K r p R K r p K θθσσσσσσ⎧⎛⎞=⋅−⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪⎛⎞⎪=⋅+⎜⎟⎪−⎝⎠⎨⎪⎛⎞=⋅⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪=+⎪⎩246810010********σθ R i / σθ R oK可见，当K 越大时，应力的分布就越不均匀。
压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析
未来发展方向和前景展望
THANK YOU
汇报人：XX
有限元法的优缺点及其在 工程实践中的应用案例
厚壁圆筒的弹塑性应力分析中的材料模型
理想弹塑性模型：假设材料在受力过程中遵循胡克定律，忽略材料的应变率效应 和温度效应。
弹塑性有限元法：将厚壁圆筒离散化为有限个单元，每个单元的应力应变关系通 过弹塑性本构方程描述。
增量理论：基于增量形式的本构方程，考虑了前一次加载时残留在材料中的应力 场对当前加载的影响。
厚壁圆筒的弹塑性应力 分析的未来发展
PART 01 添加章节标题
PART 02
压力容器厚壁圆 筒的弹塑性应力
分析概述
压力容器厚壁圆筒的结构特点
厚壁圆筒由金属材料制成，具有高强度和耐腐蚀性能。 厚壁圆筒的结构设计应满足压力容器的工艺要求和使用条件。 厚壁圆筒的厚度通常较大，以承受内压和其他附加载荷。 厚壁圆筒的制造过程中需要进行焊接、热处理、无损检测等质量控制措施。
PART 06
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析的未
来发展
新型材料对厚壁圆筒弹塑性应力分析的影响
新型材料的出现将改变厚壁圆筒的弹塑性应力分析的边界条件和载荷条件。 新型材料的力学性能对厚壁圆筒的弹塑性应力分析的精度和可靠性提出了更高的要求。 新型材料的加工制造技术将促进厚壁圆筒的弹塑性应力分析方法的改进和发展。 未来将有更多的新型材料应用于厚壁圆筒的制造，需要进一步研究这些材料对弹塑性应力分析的影响。
提高压力容器的安裂而引起的安全事故 为压力容器的设计、制造和使用提供科学依据
PART 03
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析方法
有限元法在厚壁圆筒弹塑性应力分析中的应用
有限元法的定义和原理
厚壁圆筒的弹塑性应力分 析的数学模型
05_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
三对截面取出微元体：
2.3.1 弹性应力
② 周向应力σϴ 径向应力σr
一对圆柱面，相距dr，σr作用于该面上。 一对纵截面，相差dθ，σϴ作用于该面上。 一对横截面，长度为1， σz作用于该面上。
根据轴对称性， σϴ和σr仅与r有关。
2.3 厚壁圆筒应力分析
Hale Waihona Puke 2.3.1 弹性应力周向应变
(mn m' n' )
(r w)d rd w rd r
上述二式为(2-27)式。
2.3 厚壁圆筒应力分析
对周向应变求导，有
2.3.1 弹性应力
dw r w d 1 dw w dr 2 dr r r dr r 1 r r
上式又称广义虎克定律。
(2 29)
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
平衡、几何和物理方程综合－求解应力的微分方程 由物理方程(2-29)式，可得
(1 ) r ( r ) E d d r d 1 dr E dr dr
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
合成氨反应器 结构示意图
2.3 厚壁圆筒应力分析
合成氨高压反应器制造安装
2.3 厚壁圆筒应力分析
(1) 薄壁容器力学分析模型
(2) 厚壁容器力学分析模型
针对厚壁筒的应力求解，将在平衡方程、几何方 程、物理方程三个方面进行分析。
2.3 厚壁圆筒应力分析
由上面方程组可导出下列“二阶齐次变系数微分方程”
d r 3 d r 0 2 dr r dr
厚壁圆筒应力分析
厚壁圆筒应力分析1、概述K>1.2的壳体成为厚壁圆筒。
厚壁容器承压的应力特点有（此处不考虑热应力）：一、不能忽略径向应力，应做三向应力分析；二、厚壁容器的应力在厚度方向不是均匀分布，而是应力梯度。
所以，在求解的时候需要联立几何方程、物理方程、平衡方程才能确定厚壁各点的应力大小。
2、解析解一、内压为i p ，外压为0p 的厚壁圆筒，需要求出径向应力r σ、周向应力θσ和轴向应力z σ，其中轴向应力z σ不随半径r 变化。
（1）几何方程如图所示，取内半径r ，增量为dr 的一段区域两条弧边的径向位移为ω和ωωd +，其应变的表达式为：r rd rd d r drd dr d r ωθθθωεωωωωεθ=-+==-+=))(（周向应力：径向应力：（1）θσ对r 求导，得：()θθσσωωωωωσ-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=r rr dr d r r r dr d r dr d 112 （2） （2）物理方程 根据胡克定理表示为[]z Eσσμσεθθ+-=r (1（3） 两式相减，消去z σ得：[]θθσσμεε-+=r E ）（1-r []z r Eσσμσεθ+-=(1r（4） 将（4）代入（2）得：[]）z r Edr d σσμσεθθ+-=(1（5） 对（3）的θε求导得，z σ看做常数：⎪⎭⎫⎝⎛-=dr r d dr d E dr d σμσεθθ1 （6） 联立（5）、（6）得：[]θθθσσμσμσ-)1-r rdr d dr d +=（ （7） （3）平衡方程如图所示，沿径向和垂直径向建立坐标 系，把θσ向x 轴和y 轴分解，得：⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+2sin 2θθd p p p r dr r （8）其中()θσσd dr r d p r r dr r ++=+)（ （9）θσrd p r r =由于θd 很小，22sin θθd d ≈⎪⎭⎫⎝⎛，略去二阶微量r r d d σ，得 drd rrr σσσθ=- （10） 联立（7）（10）得0322=+drd dr d r r r σσ （11）对（11）进行求得r σ，在代入（10）得22rBA rB A r +=-=θσσ （12） 其中A 、B 是两个积分常数，要求A ，B 需要两个方程，根据内外壁边界条件0,,p R r p R r r i r i -==-==σσ （13）将（13）代入（12）得：22020202202002)(ii i i i i RR R R p p B R R R p R p A --=--=（14）最后剩下z σ未求出，最后在轴向用平衡方程，内力等于外力。
厚壁圆筒应力分析剖析
厚壁圆筒应力分析剖析厚壁圆筒是一种常见的结构，广泛应用于各个领域，比如压力容器、热交换器等。
在使用厚壁圆筒的过程中，必须进行应力分析，以确保结构的安全性和可靠性。
首先，研究厚壁圆筒的应力分析需要考虑以下几个方面。
1.圆筒的几何形状：厚壁圆筒是由外径、厚度和长度组成的。
这些几何参数会影响圆筒内部的应力分布情况。
2.材料特性：圆筒的材料特性直接影响其应力分布。
研究厚壁圆筒时，通常会考虑材料的弹性模量和泊松比等参数。
3.加载条件：圆筒的应力分布受外部载荷的影响。
载荷的形式可以是压力、温度、重力等。
加载条件的确定对于应力分析至关重要。
接下来，我们将详细介绍厚壁圆筒的应力分析方法。
1.内外压力分析：考虑厚壁圆筒内外的压力差异。
当内外压力相等时，圆筒应力较小。
当内压大于外压时，圆筒将会受到较大的应力。
2.纵向应力分析：厚壁圆筒在纵向方向上承受的应力主要为轴向拉应力。
如果存在压力差，则拉应力沿厚度逐渐增加。
3.周向应力分析：在周向上，厚壁圆筒受到的应力主要为周向拉应力。
当圆筒内外压力不平衡时，周向应力将会增加。
4.切应力分析：切应力是圆筒内部的剪切应力分量。
在圆筒壁厚度的不同位置，切应力的大小也会有所不同。
5.应力分布图：为了更好地理解厚壁圆筒的应力分布情况，可以绘制应力分布图。
这样可以直观地了解不同部位的应力分布情况，以便进行结构优化。
总结一下，厚壁圆筒的应力分析对于确保结构安全性至关重要。
通过分析内外压力、纵向应力、周向应力和切应力，可以更好地理解圆筒的应力分布情况。
通过应力分布图，可以更直观地了解圆筒不同部位的应力情况，从而进行优化设计。
在实际工程中，应力分析的结果可以用来指导材料的选择、结构的设计以及使用中的安全操作。
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第三节厚壁圆筒应力分析
3.3厚壁圆筒应力分析
3.3.1弹性应力
3.3.2弹塑性应力
3.3.3屈服压力和爆破压力
3.3.4提高屈服承载能力的措施
3.3.1弹性应力
i i c c o o
本小节的目的：求弹性区和塑性区里的应力
假设：a.理想弹塑性材料
b.圆筒体只取远离边缘区
图2-2
1、塑性区应力
平衡方程： r
r d r dr
θσσσ-= （2-26） M i s e s 屈服失效判据
：r s θσσ-=
（2-40） 联立积分，得
ln r s r A σ=
+ （2-41） :i r i r R p σ==-内壁边界条件，求出A 后带回上式得
ln r s i i r
p R σ=
- （2-42）
将（2-42）带入（2-40）得
1ln
s i i r p R θσ⎛⎫
=
+- ⎪⎝⎭
（2-43）
12ln 2
r z i i r
p R θ
σσσ⎛
⎫
+=
=
+-⎪⎭
（2-44） 将:c r c r R p σ==-代入（2-42）得
ln c c s i i R p p R =+ （2-45）
结论:
①(,//)i i s f R r p σσ= ②,(ln )
r r f r r θθσσσ=↑↑，，
③1()2z r const θσσσ=+≠（区别: 弹区1
()2
z r const θσσσ=+=）
弹性区内壁处于屈服状态:
()(
)Kc=Ro/Rc
c
c
r s r R r R θσσ==-=
由表2-1拉美公式得出
：22
c p =
（2-46）
与2-45联立导出弹性区与塑性区交界面的p i 与R c 的关系
2202ln )c c i i R R
p R R =-+ （2-47）
由（2-34）式(以c p 代替i p )得
220222022
11r z R r R r θσσσ⎛
⎫
=-⎪⎭
⎛
⎫=+⎪⎭=
（2-48） 若按屈雷斯卡（H . T r e s c a ）屈服失效判据，也可导出类似的上述各表达式。
各种应力表达式列于表2-4中
结论:
① (,,//)c o i s f R R r p σσ= ② ()
r r f r r θθσσσσ=↑→↑↓，，
③1
()2
z r const θσσσ=+= 与r 无关
二、残余应力
当厚壁圆筒进入弹塑性状态后卸除内压力p i →残余应力 思考：残余应力是如何产生的？
卸载定理：卸载时应力改变量'σσσ∆=-和应变的改变量'εεε∆=-之间存在着弹性
关系E εσ∆=∆。
图2-24。
思考：残余应力该如何计算？
基于M i s e s屈服准则的塑性区（R i≤r≤R c）中的残余应力为：
22
2
2
22
000
12ln112ln
c i c c
c i i
R R R R R
r
R R R R r R R θ
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎪
⎛⎫
'⎢⎥
=++-+-+
⎢⎥⎬
⎪ ⎪
⎪
-⎝⎭⎢⎥
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦⎣⎦⎭
22
2
2
22
000
12ln112ln
c i c c
r
c i i
R R R R R
r
R R R R r R R
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎪
⎛⎫
'⎢⎥
=-+---+
⎢⎥⎬
⎪ ⎪
⎪
-⎝⎭⎢⎥
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦⎣⎦⎭
（2-49）
22
2
22
000
2ln12ln
c i c c
z
c i i
R R R R
r
R R R R R R
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎪
'⎢⎥
=+--+⎬
⎪ ⎪
-⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦⎭
弹性区（R c≤r≤R0）中的残余应力为：
22
22
22
000
112ln
c i c c
i i
R R R R R
r R R R R R
θ
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎛⎫
'⎢⎥
=+--+
⎢⎥⎨⎬
⎪ ⎪
⎪-
⎝⎭⎢⎥
⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎪⎪
⎣⎦⎣⎦
⎩⎭
22
22
22
000
112ln
c i c c
r
i i
R R R R R
r R R R R R
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎛⎫
'⎢⎥
=---+
⎢⎥⎨⎬
⎪ ⎪
⎪-
⎝⎭⎢⎥
⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎪⎪
⎣⎦⎣⎦
⎩⎭
（2-50）
22
2
00
22
00
12ln
c i
z
i c i
R R R R
R R R R R
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎪
'⎢⎥
=--+⎬
⎪ ⎪
-⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦⎭
图2-24 卸载过程的应力和应变
层材料受到压缩预应力作用。
目的：
∑↓,沿壁厚应力分布均匀,提高材料利用率。
a.使内壁σ
b.提高屈服承载能力。
方法：在内壁施加足够大的径向力。
a.直接液压法—常用
b.机械型压法
c.爆炸胀压法—新技术
应用：一般用于超高压容器。
3.3.3屈服压力和爆破压力
爆破过程
O A:弹性变形阶段
A C:弹塑性变形阶段（壁厚减薄+材料强化）
C:塑性垮塌压力（P l a s t i c C o l l a p s e P r e s s u r e）——容器所能承受的最大压力。
D:爆破压力（B u r s t i n g P r e s s u r e）
一、屈服压力 （1）初始屈服压力
令i s p p =(内壁面开始屈服)，得基于米塞斯屈服失效判据的圆筒初始屈服压力s p 。
2s p =
（2-51）
（2）全屈服压力
当筒壁达到整体屈服状态时所承受的压力，称为圆筒全屈服压力或极限压力（L i m i t p r e s s u r e ），用so p 表示。
令R c =Ro ，得
ln so s p K =
（2-52） 注意：不要把全屈服压力和塑性垮塌压力等同起来。
前者假设材料为理想弹塑性，后
者利用材料的实际应力应变关系。
二、爆破压力
厚壁圆筒爆破压力的计算公式较多，但真正在工程设计中应用的并不多，最有代表性的是福贝尔（F a u p e l ）公式。
爆破压力的上限值为
：max ln b b p K =
下限值为
：min ln b s p K =
且爆破压力随材料的屈强比
s
b σσ呈线性变化规律。
容积变化量
图2-26 厚壁圆筒中压力与变形关系
于是，福贝尔将爆破压力p b 归纳为()min max min s
b b b b b
p p p p σσ=+
- 即： 2ln
s b s b p K σσ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（2-53） 3.3.4 提高屈服承载能力的措施
1. 自增强：
2. 对圆筒施加外压：多层圆筒结构 (套合/包扎/缠绕) 效果难以保证
注意: 实际多层厚壁圆筒有间隙，且不均匀，应力分布复杂。
故目前多数情况下，多层厚壁圆筒不以得到满意的预应力为主要目的，而是为了得到较大。