第三章第四节2--厚壁圆筒-应力
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厚壁筒的塑性应力分析
高压容器筒体的结构与强度设计----------厚壁圆筒的弹性应力分析厚壁容器承受压力载荷时产生的应力具有如下特点：1、薄壁容器中的应力只考虑经向和周向两向应力，忽略径向应力。
但厚壁容器中压力很高，径向应力则难以忽略，应考虑三向应力分析。
2、在薄壁容器中将二向应力视为沿壁厚均匀分布薄膜应力，厚壁容器沿壁厚出现应力梯度，薄膜假设不成立。
3、内外壁间的温差随壁厚的增大而增加，由此产生的温差应力相应增大，厚壁容器中的温差应力不应忽视。
（一）受内压单层厚壁圆筒中的弹性应力(1)几何方程图中所示单元体两条圆弧边的径向位移分别为w和w+dw，可导出其应变表达式为：径向应变（1）周向应变对第二式求导并变换得：（2）物理方程按广义虎克定律可表示为：（3）（4）同时对（3）式的第二式求导，可得：另将（4）式代入（2）式得：由这两个式相等可得：（5）（2）平衡方程得：（6）为消去将（5）式代入（6）式得：由该微分方程求解便可得s r通解，再将s r代入（6）得：，仅有内压作用时，上式可以简化，即著名的拉美公式（Lame）（3）分布规律（二）单层厚壁圆筒的位移表达式由（1）式和（3）式可得，开口厚壁筒的径向位移封闭厚壁筒的径向位移当采用过盈配合的热套筒时需要计算在内压或外牙作用下的直径变化量ΔD。
圆筒在任意半径r处的直径变化量可由下式导出：两端开口的ΔD两端封闭的ΔD（三）单层厚壁圆筒中的温差应力(1)温差应力方程对无保温层的高压容器，若内部有高温介质，内外壁面必然形成温差，内外壁材料的热膨胀变形存在相互约束，变形不是自由的，导致温差应力。
1、内壁温度高于外壁时(称为内加热)，内层材料的自由热膨胀变形大于外层，但内层变形受到外层材料的限制，因此内层材料出现了压缩温差应力，而外层材料则出现拉伸温差应力。
2、当外加热时，内外层温差应力的方向则相反。
可以想象，当壁厚愈厚时，沿壁厚的传热阻力加大，内外壁的温差也相应增大，温差应力便随之加大。
第三章第四节2--厚壁圆筒-应力
多层板厚壁筒体及绕带筒体的采用，可以有效 地避开单层厚壁筒体的上述局限性。
将上述公式代入公式(3-46d) 得
(3-46e)
dd rdd rr1 r(r)
式（3-46e）是根据微元体的几何变化关系及物理关系得出 的补充方程，将其与式（3-46a）联立并整理，得：
d2r
dr2
3dr
r dr
0
(3-46f)就是求解微元体应力的微元方程。
将式（3-46f）整理并积分得：
(3-47) 将 r 代入式(3-46a)得：
元体的径向应变为：
r
(udu)udu dr dr
(3-46b)
微元体的环向应变为：
(ru)rddrdur (3-46c)
u du
b'
b
u
a'
a
c'
c
d' dr
d
d r
图3-18 厚壁圆筒微元体变形情况
式（3-46b）和式（3-46c）就是微元体的几何方程，它 表明微元体的径向应变和环向应变均取决于径向位移。 由（3-46c）对r求导得出：
bardcdr dr r
微单元体
r dr
b
c
a
d 2
dr
d
r
r
d 2
厚壁圆筒
图3-17 厚壁圆筒微元体受力情况
在圆筒体半径为r处，以相距dr的二环向截面及夹角 d
的二径向截面截取任一微元体，其微元体在轴向的长度为1。
由于轴向应力对径向应力的平衡没有影响，所以图中未标出
轴向应力。
根据半径r方向力的平衡条件，有：
d 1-32KK 22-p1
相应对载荷的限制为： 或
将上述公式代入公式(3-46d) 得
(3-46e)
dd rdd rr1 r(r)
式（3-46e）是根据微元体的几何变化关系及物理关系得出 的补充方程，将其与式（3-46a）联立并整理，得：
d2r
dr2
3dr
r dr
0
(3-46f)就是求解微元体应力的微元方程。
将式（3-46f）整理并积分得：
(3-47) 将 r 代入式(3-46a)得：
元体的径向应变为：
r
(udu)udu dr dr
(3-46b)
微元体的环向应变为：
(ru)rddrdur (3-46c)
u du
b'
b
u
a'
a
c'
c
d' dr
d
d r
图3-18 厚壁圆筒微元体变形情况
式（3-46b）和式（3-46c）就是微元体的几何方程，它 表明微元体的径向应变和环向应变均取决于径向位移。 由（3-46c）对r求导得出：
bardcdr dr r
微单元体
r dr
b
c
a
d 2
dr
d
r
r
d 2
厚壁圆筒
图3-17 厚壁圆筒微元体受力情况
在圆筒体半径为r处，以相距dr的二环向截面及夹角 d
的二径向截面截取任一微元体，其微元体在轴向的长度为1。
由于轴向应力对径向应力的平衡没有影响，所以图中未标出
轴向应力。
根据半径r方向力的平衡条件，有：
d 1-32KK 22-p1
相应对载荷的限制为： 或
厚壁圆筒应力分析
温度变化引起的弹性热应力
热应力
构件之间热变形 的相互约束
构件热变形受到 外界约束
构件内部温度 分布不均匀
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、厚壁圆筒的热应力
◆厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程， 结合边界条件求解。
◆当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时， 稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：
应变
径向应变、轴向应变和周向应变
分析方法
8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问 题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
p0
研究在内压、 外压作用下， 厚壁圆筒中的 应力。
图2-15 厚壁圆筒中的应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
•以轴线为z轴建立圆柱坐标。 •求解远离两端处筒壁中的三向应力。
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程（续） 径向应变 周向应变 变形协调方程
（2-27） （2-28）
2.3 厚壁圆筒应力分析
d. 物理方程
（2-29）
2.3 厚壁圆筒应力分析
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
（2－33）
2.3 厚壁圆筒应力分析
边界条件为：当
时，
；
当
时，
。
由此得积分常数A和B为：
2.3 厚壁圆筒应力分析
周向应力 径向应力
轴向应力
称Lamè（拉美）公式
（2-34）
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
2.3 厚壁圆筒应力分析
(a)仅受内压
(b)仅受外压
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
工程上一般将设计压力在10≤p≤100MPa之间的压力容器称为高压容器，而将100MPa压力以上的称为超高压容器。
高压容器不但压力高，而且同时伴有高温，例如合成氨就是在15～32MPa压力和500℃高温下进行合成反应。
一般来说，高压和超高压容器的径比K > 1.2，称此类容器为“厚壁容器”。
本章讨论的对象，是厚壁圆筒型容器。
承受压力载荷或者温差载荷的厚壁圆筒容器，其上任意点的应力，是三向应力状态。
即存在经向应力（又称轴向应力）、周向应力和径向应力。
针对厚壁筒的应力求解，将在平衡方程、几何方程、物理方程三个方面进行分析。
2.2.1 弹性应力－压力载荷引起的弹性应力（1）轴向(经向)应力ϭz222200002200002220()1i z i i i i i i i z i iP P FP P p R p R F R R p R p R p p KR K R R K R σππππσ−=−=⋅−⋅=−−−⋅===−−径比(2) 周向应力ϭ和径向应力ϭrθ三对截面：一对圆柱面，相距dr一对纵截面，相差dθ一对横截面，长度为1Ϭz作用在横截面上Ϭr作用在圆柱面上Ϭθ作用在纵截面上平衡方程（沿径向列平衡方程）()()112sin 102r r r d d r dr d rd dr θθσσθσθσ++⋅−⋅−⋅=sin 22d d θθ≈略去高阶无穷小，并使得到平衡方程r r d r drθσσσ−=几何方程()r w dw wdwdr drε+−==径向应变周向应变()r w d rd wrd r θθθεθ+−==上述表达式是Lame 在1833年推得的，又称为Lame 公式。
当仅有内压时，p o =0，有()222222211111112i o i o r z i z r p R K r p R K r p K θθσσσσσσ⎧⎛⎞=⋅−⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪⎛⎞⎪=⋅+⎜⎟⎪−⎝⎠⎨⎪⎛⎞=⋅⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪=+⎪⎩246810010********σθ R i / σθ R oK可见，当K 越大时，应力的分布就越不均匀。
第3章 回转薄壳应力分析
13
1.基本概念 ◦ (3)中间面：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面，内外表面间的 法向距离即为壳体壁厚。 ◦ (4) 母线：回转壳体的中间面是由平面曲线绕回转轴旋转一周而成的， 形成中间面的平面曲线称为母线。 (5) 经线：过回转轴作一纵截面与壳体 曲面相交所得的交线。经线与母线的 形状完全相同。 (6) 法线：过经线上任意一点M垂直于 中间面的直线，称为中间面在该点的 法线。法线的延长线必与回转轴相交。
σm
σθ
pa a 2δ b
pa ❖ 椭圆壳体的赤道位置x=a处： σm 2δ
σθ
pa 2δ
2
a2 b2
❖ (1)椭圆封头的中心位置x=0处，经向应力和环向应力相等即：σm=σθ；
❖ (2) 经向应力σm恒为正值，且最大值在x=0处，最小值在x=a处。
❖ (3) 环向应力σθ，在x=0处，σθ>0；在x=a处有三种情况：
15
❖ 典型回转壳体的第一、第二曲率半径举例
D
R
DM M
※※※【注意】组合壳体的交界点的第一、第二曲率半径采用分别讨论 的方法确定！
16
2.基本假设 除假定壳体是完全弹性的，即材料具有连续性、均匀性和各向同性； 薄壁壳体通常还做以下假设使问题简化： ◦(1) 小位移假设 壳体受力以后，各点的位移都远小于壁厚。壳体变形 后可以用变形前的尺寸来代替。 ◦(2) 直法线假设 在变形前垂直于中间面的直线段(法线)，在变形后仍 保持直线，并垂直于变形后的中间面。变形前后的法向线段长度不变， 沿厚度各点的法向位移均相同，变形前后壳体壁厚不变。 ◦(3) 不挤压假设 壳体各层纤维变形前后相互不挤压。壳壁法向（半径 方向）的应力与壳壁其他应力分量比较是可以忽略的微小量，其结果 就变为平面问题。
1.基本概念 ◦ (3)中间面：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面，内外表面间的 法向距离即为壳体壁厚。 ◦ (4) 母线：回转壳体的中间面是由平面曲线绕回转轴旋转一周而成的， 形成中间面的平面曲线称为母线。 (5) 经线：过回转轴作一纵截面与壳体 曲面相交所得的交线。经线与母线的 形状完全相同。 (6) 法线：过经线上任意一点M垂直于 中间面的直线，称为中间面在该点的 法线。法线的延长线必与回转轴相交。
σm
σθ
pa a 2δ b
pa ❖ 椭圆壳体的赤道位置x=a处： σm 2δ
σθ
pa 2δ
2
a2 b2
❖ (1)椭圆封头的中心位置x=0处，经向应力和环向应力相等即：σm=σθ；
❖ (2) 经向应力σm恒为正值，且最大值在x=0处，最小值在x=a处。
❖ (3) 环向应力σθ，在x=0处，σθ>0；在x=a处有三种情况：
15
❖ 典型回转壳体的第一、第二曲率半径举例
D
R
DM M
※※※【注意】组合壳体的交界点的第一、第二曲率半径采用分别讨论 的方法确定！
16
2.基本假设 除假定壳体是完全弹性的，即材料具有连续性、均匀性和各向同性； 薄壁壳体通常还做以下假设使问题简化： ◦(1) 小位移假设 壳体受力以后，各点的位移都远小于壁厚。壳体变形 后可以用变形前的尺寸来代替。 ◦(2) 直法线假设 在变形前垂直于中间面的直线段(法线)，在变形后仍 保持直线，并垂直于变形后的中间面。变形前后的法向线段长度不变， 沿厚度各点的法向位移均相同，变形前后壳体壁厚不变。 ◦(3) 不挤压假设 壳体各层纤维变形前后相互不挤压。壳壁法向（半径 方向）的应力与壳壁其他应力分量比较是可以忽略的微小量，其结果 就变为平面问题。
压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析
未来发展方向和前景展望
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汇报人：XX
有限元法的优缺点及其在 工程实践中的应用案例
厚壁圆筒的弹塑性应力分析中的材料模型
理想弹塑性模型：假设材料在受力过程中遵循胡克定律，忽略材料的应变率效应 和温度效应。
弹塑性有限元法：将厚壁圆筒离散化为有限个单元，每个单元的应力应变关系通 过弹塑性本构方程描述。
增量理论：基于增量形式的本构方程，考虑了前一次加载时残留在材料中的应力 场对当前加载的影响。
厚壁圆筒的弹塑性应力 分析的未来发展
PART 01 添加章节标题
PART 02
压力容器厚壁圆 筒的弹塑性应力
分析概述
压力容器厚壁圆筒的结构特点
厚壁圆筒由金属材料制成，具有高强度和耐腐蚀性能。 厚壁圆筒的结构设计应满足压力容器的工艺要求和使用条件。 厚壁圆筒的厚度通常较大，以承受内压和其他附加载荷。 厚壁圆筒的制造过程中需要进行焊接、热处理、无损检测等质量控制措施。
PART 06
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析的未
来发展
新型材料对厚壁圆筒弹塑性应力分析的影响
新型材料的出现将改变厚壁圆筒的弹塑性应力分析的边界条件和载荷条件。 新型材料的力学性能对厚壁圆筒的弹塑性应力分析的精度和可靠性提出了更高的要求。 新型材料的加工制造技术将促进厚壁圆筒的弹塑性应力分析方法的改进和发展。 未来将有更多的新型材料应用于厚壁圆筒的制造，需要进一步研究这些材料对弹塑性应力分析的影响。
提高压力容器的安裂而引起的安全事故 为压力容器的设计、制造和使用提供科学依据
PART 03
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析方法
有限元法在厚壁圆筒弹塑性应力分析中的应用
有限元法的定义和原理
厚壁圆筒的弹塑性应力分 析的数学模型
压力容器应力分析-厚壁圆筒应力分析
• 位移
•周向位移为零，只有径向位移和轴向位移
• 应变
•径向应变、轴向应变和周向应变
•分析方 法
•8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定 问题，需平衡、几何、物理等方程联立求解 。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•2.3.1 弹性应力
•p0
•研究在内压 、外压作用下 ，厚壁圆筒中 的应力。
•图2-15 厚壁圆筒中的应力
•一、压力载荷引起的弹性应力 • 1、轴向（经向）应力
•对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所 以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
•＝ A •（2-25）
•2.3 厚壁圆筒应力分析
• 2、周向应力与径向应力 •由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体 着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。
•表2-3 厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•图2-21 厚壁筒内的综合应力 •（a）内加热情况；(b)外加热情况
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•由图可见
•内加热——内壁应力叠加后得到改善，
•
外壁应力有所恶化。
•外加热——则相反，内壁应力恶化，
•
外壁应力得到很大改善。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•筒体内外壁的温差，
•厚壁圆筒各处的热应力见表2-2， • 表中
•厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•表2-2 厚壁圆筒中的热应 力
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•图2-20 厚壁圆筒中的热应力分布
•（a）内部加热
(b)外部加热
•2.3 厚壁圆筒应力分析
厚壁圆筒应力
讨论
2.3 厚壁圆筒应力分析
二、温度变化引起的弹性热应力
1、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点
2.3 厚壁圆筒应力分析
1、热应力概念 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内
所引起的应力，称为热应力。
单向约束：
po=0 任意半径 r 内壁处
处
r=Ri
K
pi 2 1
1
Ro2 r2
pi
外壁处 r=Ro
0
仅受外压
任意半径 r 处
po K 2 K 2 1
1
Ri2 r2
pi=0 内壁处
r=Ri
0
外壁处 r=Ro
po
K
pi 2 1
1
Ro2 r2
Pi
K K
2 2
11
pi
K
2
2 1
po K 2 K 2 1
二、温度变化引起的弹性热应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向（经向）应力 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以， 假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
zR i2p R i0 2 R R i0 2 2p0piR R i0 2 2 R p0 i2R 0 2＝ A （2-25）
m'1
n' 1
w+dw
m1
n1
m'
n'
w
m
n
d
r
图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程（续）
径向应变 周向应变
r
wdw wdw
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d 1 - 3
对内壁
K 2 1 1 i 2 p， 3 ri -p K -1 2K 2p d 1 - 3 2 K -1 K 2 -1 p 2 2K p max
因而
相应对载荷的限制为：
或
K 2 -1 2K 2
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第三章 当 K 时，p max 0.5 ，其含义是， 对厚壁圆筒，其壁厚的无限增加只能换来允许承受载 荷的有限增加。即用增加壁厚来增大承载能力是有限 和有条件的。在应力低的筒体外壁处增大壁厚，对筒 体提高承载能力作用不大，甚至造成浪费或其他问题。 多层板厚壁筒体及绕带筒体的采用，可以有效 地避开单层厚壁筒体的上述局限性。
2
(3-46)
整理并略去高阶无穷小量，且： d d sin 2 2
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故得出 ： r dr rd r dr 0
r r
d r 0 (3-46a) dr
' b u du
c'
c d
d
d'
b a
这就是微元体的平衡方程。 微元体各面的位移情况如图 3-18所示。若坐标为r的圆柱面ad 径向位移为u，坐标为（r+dr）的 圆柱面bc径向位移为u+du，则微 元体的径向应变为：
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三、与薄壁圆筒壳应力公式的比较 厚壁圆筒应力计算公式可以用于任何壁厚的承受内压圆筒，是比较 精确地公式。 比较厚壁圆筒应力计算公式与薄壁圆筒壳应力计算公式，对 第三章 了解圆筒壳应力计算公式的精确度和适用范围是十分有益的。 以环向应力为例，圆筒壳环向薄膜应力为：
R0 - Ri r K -1 r
(3-50)
2 2 Ri2 p R0 p R0 2 2 (1 2 ) 2 (1 2 ) R0 - Ri r K -1 r
应力最大点在圆筒体内壁上：
ri -p
(3-51)
i i
K 2 1 K 2 -1 1 K 2 -1
dr
2
r dr
0
(3-46f)就是求解微元体应力的微元方程。
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第三章 将式（3-46f）整理并积分得：
(3-47) 将 代入式(3-46a)得：
r
1 r C1 C2 2 r 1 C1 C2 2 r
(3-48) 式中，C1 ， C2 为积分常数，可根据边界条件确定。厚壁圆筒承受 内压时，边界条件为： r Ri时， ri -p
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第三章
第四节 厚壁圆筒在内压作 用下的应力
一、圆平板在内压作用下的弯曲 一、厚壁壳体的应力特点 二、绕度微分方程及其求解 二、轴向应力分析 三、径向应力分与环向应力分析 四、厚壁与薄壁圆筒应力公式的比较 五、单层厚壁圆筒应力承载的局限性
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p p
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2P K 2 -1
第三章 应力最小的点在圆筒 外壁上：
r0 0 0 K 2 -1 p
2
K 2 1 K 2 -1
p
P K 2 -1
p
0
1 K 2 -1
p
其应力沿壁厚的分布 如图3-19所示。
图3-19 承受内压厚壁圆筒的应力分布
r R0时， r0 0
因而
Ri2 C1 p 2 R0 - Ri2
2 R0 Ri2 C2 2 p 2 R0 - Ri
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厚壁圆筒体承受内压时的径向应力和环向应力分别为： (3-49) 2 2 第三章 Ri2 p R0 p R0 r 2 (1 - 2 ) 2 (1 - 2 ) 2
Ri2 p 2 p 2 2 R0 - Ri K -1
(3-45)
2 （R0 Ri2） pRi2 0
R0 ，Ri——厚壁圆筒体的外半径及内半径； K——厚壁圆筒体外半径与内半径之比； P——内压。
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——轴向应力；
三、环向应力 和径向应力 r
i 0
K 2 1 p 2 K 2 1 K 1 2 2 p K 2 -1
(3-35)
随着厚壁增大，K值增加，内壁和外壁处应力的差异加大， 见表3-2。 表3-2 厚壁圆筒内外壁面应力比随K的变化
K
i 0
1.2
1.3
1.4
1.6
1.8
2.0
2.5
3.0
1.11
1.22
pR
p(R 0 Ri ) K 1 p 2(R 0 Ri ) 2(K - 1)
式中，R为圆筒壳平均半径。 若以厚壁圆筒应力公式进行计算，其最大环向应力为：
K 2 1 max i 2 p K -1
max
K 2 1 2 （ 2 K 2 1 ） K 1 p 2 K 1 （K 1 ） 2(K - 1)
第三章 随半径r的变化规律，必须借助于微 元体，考虑其平衡条件及变形条件 ，进行综合分析。如图3-17所示。
微单元体 b
r d r
c
a
dr
d
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ba
r
r
dr
d r
c d
d 2
厚壁圆筒 图3-17 厚壁圆筒微元体受力情况
r
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第三章 进而得出：
d 1 d d ( r) dr E dr dr 1 1 ( r ) ( r ) r rE
将上述公式代入公式(3-46d) 得 d d r 1 ( r ) (3-46e) dr dr r 式（3-46e）是根据微元体的几何变化关系及物理关系得出 的补充方程，将其与式（3-46a）联立并整理，得： d 2 r 3 d r
即
d 1 du u 1 du u 2 ( ) dr r dr r r dr r d 1 ( r ) dr r
(3-46d)
式（3-46d）称做微元体的变形协调方程，表示微元体 径向位移和环向位移的互相制约关系。根据广义虎克定律， 有： 1 1 r [ r ( )] [ ( r )] E E
可以看出，在K≦1.2时，用圆筒壳应力公式算得的环向应力 是十分接近按厚壁圆筒应力公式算得的最大环向应力的。薄 壁及厚壁圆筒分别按第三强度理论计算得到的当量应力，在 K值较小时，也比较接近。
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四、单层厚壁圆筒承载的局限性 （一）单层厚壁承内压圆筒的内外壁面应力不均，随K的增 第三章 加而增加，仍以环向应力为例：
第三章
•
第四节 厚壁圆筒在内压作用 下的应力
锅炉及中、低压容器中采用的各类圆筒形受压元件， 一般都是按薄壁圆筒进行应力分析和强度计算的，这样 处理通常能满足安全使用的要求。 如前所述，厚壁与薄壁是相对的，并没有一个严格 的界限。实际采用的圆筒形元件都有一定的壁厚，严格 的讲，应力沿壁厚并不是均匀分布的，把实际圆筒形元 件看做薄壁圆筒壳是一种近似处理，存在着误差。壁厚 越厚，这种误差就越大。对于高压容器及某些特定情况， 为了严格、精确地进行安全设计和安全评定，必须按厚 壁圆筒体进行应力分析，了解应力沿壁厚的分布情况。
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第三章
p
二、轴向应力
厚壁圆筒两端 封闭承受内压时， 在远离端部的横截 面中，其轴向应力 可用截面法求得。 如图3-16所示，
图3-16
p
D1=2R1 D0=2R0
厚壁圆筒的轴向应力
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第三章
假定将圆筒体横截成两部分，考虑 其中一部分轴向力的平衡，有：
r
(u du ) u du dr dr
u
a'
dr
r
(3-46b)
图3-18 厚壁圆筒微元体变形情况
微元体的环向应变为：
(r u )d rd u rd r
(3-46c)
式（3-46b）和式（3-46c）就是微元体的几何方程，它 第三章 表明微元体的径向应变和环向应变均取决于径向位移。 由（3-46c）对r求导得出：
（3-52）
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第三章
max
随K值的增加而增加，见表3-1
表3-1 圆筒壳环向应力与厚壁圆筒最大环向应力的比较 K
max
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.5
3.0
1.000 1.008 1.028 1.053 1.082 1.111 1.184 1.250
r
d 2
第三章
在圆筒体半径为r处，以相距dr的二环向截面及夹角 d 的二径向截面截取任一微元体，其微元体在轴向的长度为1。 由于轴向应力对径向应力的平衡没有影响，所以图中未标出 轴向应力。 根据半径r方向力的平衡条件，有： d ( r d r )(r dr )d - r rd - 2 dr sin 0
变形
*里层材料的约束 *外层材料的限制
2、径向应力沿壁厚非均匀分布
对内壁
K 2 1 1 i 2 p， 3 ri -p K -1 2K 2p d 1 - 3 2 K -1 K 2 -1 p 2 2K p max
因而
相应对载荷的限制为：
或
K 2 -1 2K 2
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第三章 当 K 时，p max 0.5 ，其含义是， 对厚壁圆筒，其壁厚的无限增加只能换来允许承受载 荷的有限增加。即用增加壁厚来增大承载能力是有限 和有条件的。在应力低的筒体外壁处增大壁厚，对筒 体提高承载能力作用不大，甚至造成浪费或其他问题。 多层板厚壁筒体及绕带筒体的采用，可以有效 地避开单层厚壁筒体的上述局限性。
2
(3-46)
整理并略去高阶无穷小量，且： d d sin 2 2
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故得出 ： r dr rd r dr 0
r r
d r 0 (3-46a) dr
' b u du
c'
c d
d
d'
b a
这就是微元体的平衡方程。 微元体各面的位移情况如图 3-18所示。若坐标为r的圆柱面ad 径向位移为u，坐标为（r+dr）的 圆柱面bc径向位移为u+du，则微 元体的径向应变为：
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三、与薄壁圆筒壳应力公式的比较 厚壁圆筒应力计算公式可以用于任何壁厚的承受内压圆筒，是比较 精确地公式。 比较厚壁圆筒应力计算公式与薄壁圆筒壳应力计算公式，对 第三章 了解圆筒壳应力计算公式的精确度和适用范围是十分有益的。 以环向应力为例，圆筒壳环向薄膜应力为：
R0 - Ri r K -1 r
(3-50)
2 2 Ri2 p R0 p R0 2 2 (1 2 ) 2 (1 2 ) R0 - Ri r K -1 r
应力最大点在圆筒体内壁上：
ri -p
(3-51)
i i
K 2 1 K 2 -1 1 K 2 -1
dr
2
r dr
0
(3-46f)就是求解微元体应力的微元方程。
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第三章 将式（3-46f）整理并积分得：
(3-47) 将 代入式(3-46a)得：
r
1 r C1 C2 2 r 1 C1 C2 2 r
(3-48) 式中，C1 ， C2 为积分常数，可根据边界条件确定。厚壁圆筒承受 内压时，边界条件为： r Ri时， ri -p
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第三章
第四节 厚壁圆筒在内压作 用下的应力
一、圆平板在内压作用下的弯曲 一、厚壁壳体的应力特点 二、绕度微分方程及其求解 二、轴向应力分析 三、径向应力分与环向应力分析 四、厚壁与薄壁圆筒应力公式的比较 五、单层厚壁圆筒应力承载的局限性
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p p
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2P K 2 -1
第三章 应力最小的点在圆筒 外壁上：
r0 0 0 K 2 -1 p
2
K 2 1 K 2 -1
p
P K 2 -1
p
0
1 K 2 -1
p
其应力沿壁厚的分布 如图3-19所示。
图3-19 承受内压厚壁圆筒的应力分布
r R0时， r0 0
因而
Ri2 C1 p 2 R0 - Ri2
2 R0 Ri2 C2 2 p 2 R0 - Ri
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厚壁圆筒体承受内压时的径向应力和环向应力分别为： (3-49) 2 2 第三章 Ri2 p R0 p R0 r 2 (1 - 2 ) 2 (1 - 2 ) 2
Ri2 p 2 p 2 2 R0 - Ri K -1
(3-45)
2 （R0 Ri2） pRi2 0
R0 ，Ri——厚壁圆筒体的外半径及内半径； K——厚壁圆筒体外半径与内半径之比； P——内压。
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——轴向应力；
三、环向应力 和径向应力 r
i 0
K 2 1 p 2 K 2 1 K 1 2 2 p K 2 -1
(3-35)
随着厚壁增大，K值增加，内壁和外壁处应力的差异加大， 见表3-2。 表3-2 厚壁圆筒内外壁面应力比随K的变化
K
i 0
1.2
1.3
1.4
1.6
1.8
2.0
2.5
3.0
1.11
1.22
pR
p(R 0 Ri ) K 1 p 2(R 0 Ri ) 2(K - 1)
式中，R为圆筒壳平均半径。 若以厚壁圆筒应力公式进行计算，其最大环向应力为：
K 2 1 max i 2 p K -1
max
K 2 1 2 （ 2 K 2 1 ） K 1 p 2 K 1 （K 1 ） 2(K - 1)
第三章 随半径r的变化规律，必须借助于微 元体，考虑其平衡条件及变形条件 ，进行综合分析。如图3-17所示。
微单元体 b
r d r
c
a
dr
d
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ba
r
r
dr
d r
c d
d 2
厚壁圆筒 图3-17 厚壁圆筒微元体受力情况
r
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第三章 进而得出：
d 1 d d ( r) dr E dr dr 1 1 ( r ) ( r ) r rE
将上述公式代入公式(3-46d) 得 d d r 1 ( r ) (3-46e) dr dr r 式（3-46e）是根据微元体的几何变化关系及物理关系得出 的补充方程，将其与式（3-46a）联立并整理，得： d 2 r 3 d r
即
d 1 du u 1 du u 2 ( ) dr r dr r r dr r d 1 ( r ) dr r
(3-46d)
式（3-46d）称做微元体的变形协调方程，表示微元体 径向位移和环向位移的互相制约关系。根据广义虎克定律， 有： 1 1 r [ r ( )] [ ( r )] E E
可以看出，在K≦1.2时，用圆筒壳应力公式算得的环向应力 是十分接近按厚壁圆筒应力公式算得的最大环向应力的。薄 壁及厚壁圆筒分别按第三强度理论计算得到的当量应力，在 K值较小时，也比较接近。
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四、单层厚壁圆筒承载的局限性 （一）单层厚壁承内压圆筒的内外壁面应力不均，随K的增 第三章 加而增加，仍以环向应力为例：
第三章
•
第四节 厚壁圆筒在内压作用 下的应力
锅炉及中、低压容器中采用的各类圆筒形受压元件， 一般都是按薄壁圆筒进行应力分析和强度计算的，这样 处理通常能满足安全使用的要求。 如前所述，厚壁与薄壁是相对的，并没有一个严格 的界限。实际采用的圆筒形元件都有一定的壁厚，严格 的讲，应力沿壁厚并不是均匀分布的，把实际圆筒形元 件看做薄壁圆筒壳是一种近似处理，存在着误差。壁厚 越厚，这种误差就越大。对于高压容器及某些特定情况， 为了严格、精确地进行安全设计和安全评定，必须按厚 壁圆筒体进行应力分析，了解应力沿壁厚的分布情况。
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p
二、轴向应力
厚壁圆筒两端 封闭承受内压时， 在远离端部的横截 面中，其轴向应力 可用截面法求得。 如图3-16所示，
图3-16
p
D1=2R1 D0=2R0
厚壁圆筒的轴向应力
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第三章
假定将圆筒体横截成两部分，考虑 其中一部分轴向力的平衡，有：
r
(u du ) u du dr dr
u
a'
dr
r
(3-46b)
图3-18 厚壁圆筒微元体变形情况
微元体的环向应变为：
(r u )d rd u rd r
(3-46c)
式（3-46b）和式（3-46c）就是微元体的几何方程，它 第三章 表明微元体的径向应变和环向应变均取决于径向位移。 由（3-46c）对r求导得出：
（3-52）
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第三章
max
随K值的增加而增加，见表3-1
表3-1 圆筒壳环向应力与厚壁圆筒最大环向应力的比较 K
max
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.5
3.0
1.000 1.008 1.028 1.053 1.082 1.111 1.184 1.250
r
d 2
第三章
在圆筒体半径为r处，以相距dr的二环向截面及夹角 d 的二径向截面截取任一微元体，其微元体在轴向的长度为1。 由于轴向应力对径向应力的平衡没有影响，所以图中未标出 轴向应力。 根据半径r方向力的平衡条件，有： d ( r d r )(r dr )d - r rd - 2 dr sin 0
变形
*里层材料的约束 *外层材料的限制
2、径向应力沿壁厚非均匀分布