解析几何复习—直线和圆的方程综合
初中数学掌握解析几何中的直线和圆
初中数学掌握解析几何中的直线和圆解析几何是数学中一个重要的分支，它研究了几何图形的代数性质和坐标表示方法。
在初中数学中，解析几何的学习对于学生的数学素养的培养和数学思维的发展具有重要的作用。
在初中数学的解析几何中，直线和圆是最基础也是最常见的两个图形，下面我们来详细探讨一下初中数学中解析几何中的直线和圆。
直线是最简单的几何图形，它由一组坐标点构成。
在解析几何中，直线可以通过两点确定。
给出直线上两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以通过计算斜率和截距来确定直线的方程。
直线的方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与y轴的交点。
通过计算斜率和截距，我们可以方便地确定直线的方程，从而对直线进行研究和分析。
在解析几何中，圆是一个具有特殊性质的图形。
圆由一个中心点和一条半径构成。
给出圆心坐标为(h, k)，半径为r，我们可以确定圆的方程为(x-h)² + (y-k)² = r²。
圆的方程表示了圆上每一个点到圆心的距离都是半径r，通过这个方程，我们可以方便地确定圆的方程和圆的性质。
例如，我们可以通过圆的方程判断一个点是否在圆上，也可以方便地求出圆的面积和周长。
在解析几何中，直线和圆是经常出现的组合。
我们可以通过直线和圆的交点来研究它们之间的关系。
当直线与圆相交时，我们可以通过解方程组的方法求出交点的坐标。
根据交点的数量和位置，我们可以得出直线与圆的位置关系。
如果直线与圆有两个相交点，那么直线穿过圆；如果直线与圆有一个外切点，那么直线和圆相切；如果直线与圆没有交点，那么直线和圆相离。
解析几何中的直线和圆不仅仅是形式上的结构，更是数学思维和推理能力的培养。
通过学习直线和圆的性质以及相互之间的关系，我们可以培养学生的逻辑思维和推理能力。
学生需要运用已知的知识和方法，通过推导和证明来解决直线和圆的问题。
这样的学习过程不仅能够提高学生的数学能力，更能培养学生的创新思维。
解析几何中的直线与圆的方程与关系
解析几何中的直线与圆的方程与关系直线与圆是解析几何中最基本的几何图形之一，它们在数学和物理学中有广泛的应用。
本文将讨论直线与圆的方程及它们之间的关系。
一、直线的方程直线的方程有多种表示方法，其中最常用的是一般式和点斜式。
1. 一般式方程直线的一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A与B不全为零。
这种形式的方程可以描述任意一条直线，但不唯一。
例如，直线L1过点（2，3）和（4，5），我们可以通过以下步骤得到其一般式方程：1) 计算斜率k = (5 - 3) / (4 - 2) = 1；2) 代入其中一点的坐标（2，3），得到 2A + 3B + C = 0；3) 代入另一点的坐标（4，5），得到 4A + 5B + C = 0。
因此，直线L1的一般式方程为2A + 3B + C = 0或4A + 5B + C = 0。
2. 点斜式方程直线的点斜式方程表示为y - y1 = k(x - x1)，其中（x1，y1）为已知点，k为斜率。
这种形式的方程描述了一条直线及其斜率，方便进行几何推导。
例如，直线L2过点（2，3）且斜率为2，我们可以得到其点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。
二、圆的方程圆的方程有多种表示方法，最常见的是标准式和一般式。
1. 标准式方程圆的标准式方程表示为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中（h，k）为圆心坐标，r为半径长度。
标准式方程可以直接表达圆的几何特征。
例如，圆C1的圆心为（2，3），半径为4，它的标准式方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 16。
2. 一般式方程圆的一般式方程表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
这种形式的方程也可用于描述圆。
例如，圆C2的圆心为（-3，4），半径为5，我们可以通过以下步骤得到其一般式方程：1) 将圆心代入方程中，得到(-3)² + 4² + D(-3) + E(4) + F = 0；2) 代入半径的平方值，得到9 + 16 - 3D + 4E + F = 25。
高三总复习直线与圆的方程知识点总结_2
2016届高考数学复习——直线与圆的方程【考试要求】（1）直线与方程① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及 一般式），了解斜截式与一次函数的关系.⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.（2）圆与方程① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方 程，判断两圆的位置关系.③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.【知识及公式回顾】1. 点到直线距离：__________________________（已知点（p 0(x 0,y 0)与直线L ：AX+BY+C=0） 推论：两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒d=_________________2. 对称问题：（1）点关于点对称：点P (x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称点P '（ ， ）2）点关于线的对称：设点P(a,b),则其关于直线l 的对称点P '的坐标？一般方法：Py LP 0x3. 圆的方程① 标准方程 ()22)(r b y a x =-+-，______________为圆心，_______________为半径。
② 一般方程：022=++++F Ey Dx y x ， C 圆心______________, 半径=r __________________当0422=-+F E D 时，表示一个点。
当0422<-+F E D 时，不表示任何图形。
4. 点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d ，然后与半径r 比较大小。
高中数学的归纳解析几何中的直线与圆
高中数学的归纳解析几何中的直线与圆归纳解析几何是高中数学中的重要内容之一，其中直线与圆的相关知识是基础中的基础。
本文将通过对直线与圆的性质、相交关系、切线等方面进行深入解析，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、直线与圆的基本性质在归纳解析几何中，直线与圆的基本性质对于问题的解决至关重要。
下面我们来一一介绍。
1. 直线的方程与斜率直线的方程是解析几何中的重要内容，它可以帮助我们描述直线的特征和性质。
在数学中，直线可以通过斜率和截距表示，也可以通过两点之间的关系表示。
学习直线的方程，能够帮助我们快速而准确地确定直线的位置和性质。
2. 圆的方程与性质圆是解析几何中的基本图形，其方程和性质也是我们需要掌握的知识点。
圆的方程可以通过圆心和半径表示，也可以通过两点之间的关系表示。
学习圆的方程和性质，可以帮助我们解决与圆相关的问题，如圆的切线、切点等。
二、直线与圆的相交关系直线与圆的相交关系是归纳解析几何中的重要内容，也是解决问题时常遇到的情况。
根据相交的情况，我们可以分为三种情况：相离、相切和相交。
1. 直线与圆相离当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称它们相离。
直线与圆相离时，我们需要确定直线与圆的位置关系，可以使用距离公式和判别式等方法来判断两者之间的相对位置。
2. 直线与圆相切当一条直线与一个圆恰好有一个公共点时，我们称它们相切。
直线与圆相切时，我们需要确定点的坐标和直线的斜率等信息，通过代入方程求解可以得到相切点的坐标。
3. 直线与圆相交当一条直线与一个圆有两个公共点时，我们称它们相交。
直线与圆相交时，我们需要利用直线和圆的方程进行联立方程求解，从而得到相交点的坐标。
三、直线与圆的切线直线与圆的切线是归纳解析几何中的一个重要概念，解决与切线相关的问题时，我们需要考虑直线与圆的相对位置和切线的特征。
1. 直线与圆的切线存在条件直线与圆的切线存在的条件是直线的斜率与圆的切点处切线的斜率相等。
我们可以通过斜率公式和圆的方程来求解切线存在的条件。
解析几何中的直线和圆
解析几何中的直线和圆引言：解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了几何图形与坐标系的关系。
其中，直线和圆是解析几何中最基本的图形，它们在几何学和物理学等领域中都有广泛的应用。
本文将对解析几何中的直线和圆进行深入解析，探讨它们的性质、特点以及应用。
一、直线的性质与表示方法1. 直线的定义直线是两点之间的最短路径，它没有宽度和长度。
在解析几何中，直线可以用一元一次方程表示，即y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
2. 直线的斜率直线的斜率是直线上两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
斜率可以用来描述直线的倾斜方向和程度。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为零时，直线水平。
3. 直线的截距直线的截距是指直线与坐标轴的交点坐标。
直线与x轴的交点称为x截距，直线与y轴的交点称为y截距。
直线的截距可以通过方程的形式直接读出。
4. 直线的性质直线的性质包括平行、垂直、相交等。
两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1；两条直线相交的条件是它们的斜率不相等。
二、圆的性质与表示方法1. 圆的定义圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
圆由圆心和半径确定，其中圆心是圆上所有点到圆心的距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的方程圆的方程可以用两种形式表示：标准方程和一般方程。
标准方程是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
3. 圆的性质圆的性质包括切线、弦、弧等。
切线是与圆相切且与圆的半径垂直的直线；弦是圆上任意两点之间的线段；弧是圆上两点之间的弯曲部分。
圆的切线与半径的夹角是直角。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系包括相离、相切和相交。
当直线与圆没有交点时，它们相离；当直线与圆有且仅有一个交点时，它们相切；当直线与圆有两个交点时，它们相交。
直线与圆方程知识总结
直线与圆方程知识总结一、坐标法1．点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x ，y)建立了一一对应的关系．2．两点间的距离公式设两点的坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则两点间的距离特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：(1)当x 1=x 2时(两点在y 轴上或两点连线平行于y 轴)，则|P 1P 2|=|y 2－y 1|(2)当y 1=y 2时(两点在x 轴上或两点连线平行于x 轴)，则|P 1P 2|=|x 2－x 1|3．线段的定比分点(2)公式：分P 1(x 1，y 2)和P 2(x 2，y 2)连线所成的比为λ的分点坐标是公式|P P |=12()()x x y y 212212-+-(1)P P P P P PP P P PP P P P =P P P P 12121212112定义：设点把有向线段分成和两部分，那么有向线段和的数量的比，就是点分所成的比，通常用λ表示，即λ，点叫做分线段为定比λ的定比分点．P PP 2当点内分时，λ＞；当点外分时，λ＜．P P P 0P P P 01212x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-1212111λλλλλ≠()特殊情况，当是的中点时，λ，得线段的中点坐标P P P =1P P 1212二、直线1．直线的倾斜角和斜率(1)当直线和x 轴相交时，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．当直线和x 轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0．所以直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜∴当k ≥0时，α=arctank ．(锐角)当k ＜0时，α=π－arctank ．(钝角) (3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为2．直线的方程(1)点斜式 已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则其方程为：y －y 0=k(x －x 0)(2)斜截式 已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则其方程为：y=kx ＋b(3)两点式 已知直线过两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则其方程为：(4)截距式 已知直线在x ，y 轴上截距分别为a 、b ，则其方程为：(5)参数式 已知直线过点P(x 0，y 0)，它的一个方向向量是(a ，b)，v(cos α，sin α)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为x x x y y y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121222率，直线的斜率常用表示，即αα≠π．k k =tan ()2k =y (x x )212--y x x 121≠y y y y x x x ----121121=x (x x )12≠x a y b +=1则其参数式方程为为参数，特别地，当方向向量为x x at y y bt =+=+⎧⎨⎩00(t )(6)一般式 Ax ＋By ＋C=0 (A 、B 不同时为0)．(7)特殊的直线方程①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a ，y 轴的方程是x=0．②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b ，x 轴的方程是y=0．3．两条直线的位置关系(1)平行：当直线l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1≠b 2．(2)重合：当l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1=b 2，当l 1和l 2是(3)相交：当l 1，l 2是斜截式方程时，k 1≠k 24．点P(x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C=0的位置关系：x x t y y t =+=+⎧⎨⎩00cos sin αα为参数(t )这时，的几何意义是，→→t tv =p p |t|=|p p|=|p p|000当和是一般式方程时，≠l l 12A A B B C C 121212=一般方程时，A A B B C C 121212==当，是一般式方程时，≠l l 12A A B B 2212①斜交交点：的解到角：到的角θ≠夹角公式：和夹角θ≠A x B y C A x B y C k k k k k k k k k k k k 11122222112121221121200110110++=++=⎧⎨⎩=-++=-++⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪l l l l 1tan ()tan ||()②垂直当和有叙截式方程时，－当和是一般式方程时，＋l l l l 1212121212k k =1A A B B =0⎧⎨⎩Ax By C =0P ()Ax By C 0P 0000＋＋在直线上点的坐标满足直线方程＋＋≠在直线外．⇔⇔l l 点，到直线的距离为：P(x y )d =|Ax +By +C|0000l A B 22+5．两条平行直线l 1∶Ax ＋By ＋C 1=0，l 2∶Ax ＋By ＋C 2=0间6．直线系方程 具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x ，y 以外，还含有特定的系数(也称参变量)．确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．(1)共点直线系方程：经过两直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，l 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2=0的交点的直线系方程为：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0，其中λ是待定的系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，因此它不表示l 2．当λ=0时，即得A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，此时表示l 1．(2)平行直线系方程：直线y=kx ＋b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C=0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ=0．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．7．简单的线性规划(1)二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线Ax ＋By ＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题，例如，z=ax ＋by ，其中x ，y 满足下列条件：的距离为：．d =|C C |12-+A B 22求z 的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x 、y 的线性约束条件，z=ax ＋by 叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．三、曲线和方程1．定义在选定的直角坐标系下，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解(一点不杂)；(2)以方程f(x ，y)=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点(一点不漏)．这时称方程f(x ，y)=0为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)． 设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x ，y)|f(x ，y)=0}，若设点M 的坐标为(x 0，y 0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)．2．曲线方程的两个基本问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤：①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x ，y)表示曲线上任意一点M 的坐标；②立式：写出适合条件p 的点M 的集合p={M|p(M)}；A xB yC 0(0)A x B y C 0(0)A x B x C 0(0)111222n n n ＋＋≥或≤＋＋≥或≤……＋＋≥或≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪(*)(1)M P (x y )Q P Q (2)(x y )Q M P Q P 0000∈，∈，即；，∈∈，即．⇒⊆⇒⊆(1)(x y )Q M P (2)M P (x y )Q 0000，；，．∉⇒∉∉⇒∉显然，当且仅当且，即时，才能称方程，P Q Q P P =Q f(x y)=0⊆⊆③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)=0；④化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式；⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．(2)由方程画曲线(图形)的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点)；②求截距：③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．3．交点求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．4．曲线系方程过两曲线f 1(x ，y)=0和f 2(x ，y)=0的交点的曲线系方程是f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)=0(λ∈R)．四、圆1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．2．圆的方程(1)标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2．(a ，b)为圆心，r 为半径．特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x 2＋y 2=r 2(2)一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y y ()==⎧⎨⎩00x 方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y x ()==⎧⎨⎩00y 配方()()x D y E D E F +++=+-22442222当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，无轨迹．(3)参数方程 以(a ，b)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为特别地，以(0，0)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为3．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ．4．直线与圆的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C=0和圆C ：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，则5．求圆的切线方法(1)已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0．①若已知切点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，其方程是 过两个切点的切点弦方程．当＋－＞时，方程表示以－，－为圆心，以为半径的圆；D E 4F 0()22D E D E F 2212422+-当＋－时，方程表示点－，－D E 4F =0()22D E 22x a r y b r =+=+⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()x r y r ==⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()(1)d r (2)d =r (3)d r 点在圆外＞；点在圆上；点在圆内＜．⇔⇔⇔d Aa Bb C A B =+++||22．(1)0d r (2)=0d =r (3)0d r 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞或＜；相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△或；相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜或＞．⇔⇔⇔x x y y D x x E y y F 0000220=+++++=()()．当，在圆外时，＋＋＋＋表示(x y )x x y y D(x )E(y )F =0000000++x y 22②若已知切线过圆外一点(x 0，y 0)，则设切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③若已知切线斜率为k ，则设切线方程为y=kx ＋b ，再利用相切条件求b ，这时必有两条切线．(2)已知圆x 2＋y 2=r 2．①若已知切点P 0(x 0，y 0)在圆上，则该圆过P 0点的切线方程为x 0x ＋y 0y=r 2．6．圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则②已知圆的切线的斜率为，圆的切线方程为±．k y =kx r k 2+1(1)|O O |=r r (2)|O O |=|r r |(3)|r r ||O O |r r 12121212121212两圆外切＋；两圆内切－；两圆相交－＜＜＋．⇔⇔⇔。
直线和圆的方程知识点
直线和圆--知识总结一、直线的方程 1、倾斜角：,X 围0≤α＜π,若x l //轴或与x 轴重合时,α=00. 2、斜率： k=tan αα=0⇔κ=0已知L 上两点P 1〔x 1,y 1〕 0＜α＜02>⇔k πP 2〔x 2,y 2〕 α=κπ⇔2不存在⇒k=1212x x y y --022<⇔<<κππ当1x =2x 时,α=900,κ不存在.当0≥κ时,α=arctank,κ＜0时,α=π+arctank 3、截距〔略〕曲线过原点⇔横纵截距都为0. 几种特殊位置的直线 ①x 轴：y=0 ②y 轴：x=0③平行于x 轴：y=b④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程.②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线.5、直线系：〔1〕共点直线系方程：p 0〔x 0,y 0〕为定值,k 为参数y-y 0=k 〔x-x 0〕 特别：y=kx+b,表示过〔0、b 〕的直线系〔不含y 轴〕 〔2〕平行直线系：①y=kx+b,k 为定值,b 为参数.②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系〔3〕过L 1,L 2交点的直线系A 1x+B 1y+C 1+入〔A 2X+B 2Y+C 2〕=0〔不含L2〕 6、三点共线的判定：①AC BC AB =+,②K AB =K BC ,③写出过其中两点的方程,再验证第三点在直线上.二、两直线的位置关系2、L 1到L 2的角为0,则12121tan k k k k •+-=θ〔121-≠k k 〕3、夹角：12121tan k k k k +-=θ4、点到直线距离：2200BA c By Ax d +++=〔已知点〔p 0<x 0,y 0>,L ：AX+BY+C=0〕①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒2221B A c c d +-=②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022=+B Ad③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是5、对称：〔1〕点关于点对称：p<x 1,y 1>关于M 〔x 0,y 0〕的对称)2,2(1010Y Y X X P --' 〔2〕点关于线的对称：设p<a 、b>一般方法：如图：<思路1>设P 点关于L 的对称点为P 0<x 0,y 0> 则 Kpp 0﹡K L =－1P, P 0中点满足L 方程解出P 0<x 0,y 0>〔思路2〕写出过P ⊥L 的垂线方程,先求垂足,然后用中点坐标公式求出P 0<x 0,y 0>的坐标.P yL P 0x〔3〕直线关于点对称L ：AX+BY+C=0关于点P 〔X 0、Y 0〕的对称直线l '：A 〔2X 0-X 〕+B 〔2Y 0-Y 〕+C=0 〔4〕直线关于直线对称①几种特殊位置的对称：已知曲线f<x 、y>=0关于x 轴对称曲线是f<x 、-y>=0 关于y=x 对称曲线是f<y 、x>=0 关于y 轴对称曲线是f<-x 、y>=0 关于y= -x 对称曲线是f<-y 、-x>=0 关于原点对称曲线是f<-x 、-y>=0 关于x=a 对称曲线是f<2a-x 、y>=0关于y=b 对称曲线是f<x 、2b-y>=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征,逐步求解. 三、简单的线性规划不等式表示的区域约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划,可行解,最优解. 要点：①作图必须准确〔建议稍画大一点〕.②线性约束条件必须考虑完整.③先找可行域再找最优解. 四、园的方程1、园的方程：①标准方程 ()22)(r b y a x =-+-,c 〔a 、b 〕为园心,r 为半径.②一般方程：022=++++F EY DX y x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ,2422FE D r -+=当0422=-+F E D 时,表示一个点. 当0422<-+F E D 时,不表示任何图形. ③参数方程： θcos r a x +=θsin r b y +=θ为参数以A 〔X 1,Y 1〕,B 〔X 2,Y 2〕为直径的两端点的园的方程是 〔X-X 1〕〔X-X 2〕+〔Y-Y 1〕〔Y-Y 2〕=02、点与园的位置关系：考察点到园心距离d,然后与r 比较大小.3、直线和园的位置关系：相交、相切、相离判定：①联立方程组,消去一个未知量,得到一个一元二次方程：△＞0⇔相交、△＝0⇔相切、△＜0⇔相离②利用园心c<a 、b>到直线AX+BY+C=0的距离d 来确定： d ＜r ⇔相交、d ＝r ⇔相切d ＞r ⇔相离〔直线与园相交,注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt △〕 4、园的切线：〔1〕过园上一点的切线方程与园222r y x =+相切于点〔x 1、y 1〕的切线方程是211r y y x x =+与园222)()(r b y a x =-+-相切于点〔x 1、y 1〕的切成方程 为：211))(())((r b y b y a x a x =--+--与园022=++++F EY DX y x 相切于点〔x 1、y 1〕的切线是〔2〕过园外一点切线方程的求法：已知：p 0<x 0,y 0>是园 222)()(r b y a x =-+- 外一点①设切点是p 1<x 1、y 1>解方程组 先求出p 1的坐标,再写切线的方程②设切线是)(00x x k y y -=-即000=+--y kx y kx 再由r k y kx b ka =++--120,求出k,再写出方程.〔当k 值唯一时,应结合图形、考察是否有垂直于x 轴的切线〕③已知斜率的切线方程：设b kx y +=〔b 待定〕,利用园心到L 距离为r,确定b. 5、园与园的位置关系由园心距进行判断、相交、相离〔外离、内含〕、相切〔外切、内切〕 6、园系①同心园系：222)()(r b y a x =-+-,〔a 、b 为常数,r 为参数〕 或：022=++++F EY DX y x 〔D 、E 为常数,F 为参数〕 ②园心在x 轴：222)(r y a x =+- ③园心在y 轴：222)(r b y x =-+④过原点的园系方程2222)()(b a b y a x +=-+- ⑤过两园0:111221=++++F Y E X D y x C 和0:222222=++++F Y E X D y x C 的交点的园系方程为0(2222211122=+++++++++F Y E X D y x F Y E X D y x 入〔不含C 2〕,其中入为参数若C 1与C 2相交,则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程.。
高考数学复习《直线和圆的方程》知识点
直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。
理解圆的参数方程．§07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+by a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A CBy Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =2. 定比分点坐标分式。
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解析几何复习（4）—直线和圆的方程综合一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若直线1=x 的倾斜角为α，则α （ ）A ．等于0B ．等于4π C ．等于2π D ．不存在2．点P(2,3)到直线：ax +(a －1)y+3=0的距离d 为最大时，d 与a 的值依次为（ ） A ．3,-3 B ．5,1 C ．5,2 D ．7,1 3．圆422=+y x 截直线0323=-+y x 所得的弦长是 （ ）A ．2B ．1C ．3D ．324．若直线013=--y x 到直线0=-ay x 的角为6π，则实数a 的值等于（ ） A ．0 B ．3 C ．0或3D ．33-5．若圆)0(022222>=++-+k y kx y x 与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．20<<kB ．21<<kC ． 10<<kD ．2>k 6．若直线)2(-=x k y 与曲线21x y -=有交点，则 （ ）A ．k 有最大值33，最小值33-B ．k 有最大值21，最小值21-C ．k 有最大值0，最小值 33-D ．k 有最大值0，最小值1-7．如图，设点C(1,0)，长为2的线段AB 在y 轴上滑动，则直线AB 、AC 所成的最大夹角是（A ．30° B ．45°C ．60°D ．90° 8．如果直线(2a +5)x +(a －2)y+4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ）A ． 2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－2 9．已知x ,y 满足约束条件 0,0424≥≥≤+≤+y x y x y x ，则y x z +=的最大值是（ ）A ．34 B ．38C ．2D ．410．直线0323=-+y x 与圆 θθsin 23cos 21+=+=y x （θ为参数）的位置关系是 ( )A ． 相离B ．相切C ． 相交但不过圆心D ． 相交且过圆心二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．直线l 的倾角α满足4sin α=3cos α，而且它在x 轴上的截距为3，则直线l 的方程是_____________________. 12．若实数x ,y 满足xy y x 则,3)2(22=+-的最大值是 ．13．点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4，且在不等式32<+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标是_______________.14．已知直线134=+y x l ：，M 是l 上一动点，过M 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，则在A 、B 连线上，且满足2=的点P 的轨迹方程是____________________. 三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．已知直线l 满足下列两个条件：（1）过直线y = –x + 1和y = 2x + 4的交点; （2）与直线x –3y + 2 = 0 垂直，求直线l 的方程．（12分）16．求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．（12分）17．某承包户承包了两块鱼塘，一块准备放养鲫鱼，另一块准备放养鲤鱼，现知放养这两种鱼苗时都需要鱼料A 、B 、C ，每千克鱼苗所需饲料量如下表：鱼类 鱼料A 鱼料B 鱼料C 鲫鱼/kg 15g 5g 8g 鲤鱼/kg8g5g18g如果这两种鱼长到成鱼时，鲫鱼和鲤鱼分别是当时放养鱼苗重量的30倍与50倍，目前这位承包户只有饲料A 、B 、C 分别为 120g 、50g 、144g,问如何放养这两种鱼苗，才能使得成鱼的重量最重．（12分）18．已知与曲线C ：012222=+--+y x y x 相切的直线l 交y x ,的正半轴与B A 、两点，O 为原点，OA =a ，b OB =，)2,2(>>b a ．（1）求线段AB 中点的轨迹方程；（2）求ab 的最小值．（12分）19．已知直线l :y=k(x +22)与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S ． （1）试将S 表示成k 的函数，并求出它的定义域；（2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值．（14分）20．已知a , b 都是正数，△ABC 在平面直角坐标系x Oy 内, 以两点A (a ,0 )和B (0,b )为顶点的正三角形，且它的第三个顶点C 在第一象限内.（1）若△ABC 能含于正方形D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 1}内， 试求变量 a , b 的约束条件，并在直角坐标系a Ob 内画出这个约束条件表示的平面区域；（2）当(a , b )在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC 面积S 的最大值，并求此时（a , b ）的值.（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11．3x －4y －9=0 12．3 13．)3,3(- 14．3x +2y=4三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：由⎩⎨⎧+=+-=421x y x y ，得交点 ( –1, 2 )， ∵ k l = – 3, ∴ 所求直线l 的方程为: 3x + y + 1 = 0.16．（12分）[解析]： 由题意知：过A （2，－1）且与直线：x +y=1垂直的直线方程为：y=x －3,∵圆心在直线：y=－2x 上， ∴由32-=-=x y x y ⇒21-==y x 即)2,1(1-o ，且半径2)21()12(221=+-+-==AOr ，∴所求圆的方程为：2)2()1(22=++-y x ．17．（12分）[解析]：设放养鲫鱼x kg,鲤鱼ykg,则成鱼重量为)0,(5030≥+=y x y x w ,其限制条件为 1441885055120815≤+≤+≤+y x y x y x画出其表示的区域（如图），不难找出使30x +50y 最大值为428kg.答：鲫鱼放养3.6kg,鲤鱼放养6.4kg,此时成鱼的重量最重． 18．（12分）[解析]：（1）设AB 的中点为P(x ,y) ,圆C 的方程化简为：1),1,1(,1)1()1(22=∴-+-r C y x又直线l 的方程为：)2,2(0,1>>=-+=+b a ab ay bx bya x 即，相切与圆C l Θ， 0222)(1222222222=--+⇒-+=+⇒=+-+=∴→ab b a ab b a ab b a b a b a ab b a d l C 2,2>>b a Θ22222)2(0222--=⇒-=-⇒=--+⇒a a b a b a b a ab ①，又∵P 是AB 的中点，2,2b y a x ==∴y b x a 2,2==⇒，代入①得)1(2212>--=x x x y ，即线段AB 中点的轨迹方程为；)1(2212>--=x x x y ． （2）624)2(224)2(6)2(22222)1(222+-+-=-+-+-=--=--=a a a a a a a a a a a ab Θ，02>-a2424)2(2≥-+-∴a a ，246+≥∴ab .∴246+的最小值为ab ．19．（14分）[解析]：(1)22222114)122(42122,022:k k k kAB k kd k y kx l l O +-=+-=∴+=∴=+-→Θ 2221)1(2421k k k d AB S l O +-=⋅=∴→，定义域：01120≠<<-⇒<<→k k d l O 且．（2）设23)2)(1()1(),1(12222-+-=--=-≥=+t t t t k k t t k 则81)431(224231242324222+--=-+-=-+-⋅=∴t t t t t t S ，222124,3334,431max =⋅=±===∴S k t t 时，即当，∴S 的最大值为2，取得最大值时k=33±．20．（14分）[解析]：解: （1）由题意知：顶点C 是分别以A 、B 为圆心，以|AB|为半径的两圆在第一象限的交点，由圆A: ( x –a )2 + y 2 = a 2 +b 2 , 圆B: x 2 + ( y – b )2 = a 2 + b 2 .解得 x = 23b a +, y =23b a +，∴C （23b a +，23b a + ）△ABC 含于正方形D 内，即三顶点A ，B ，C 含于区域D 内时，∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤≤+≤≤≤≤≤.1230,1230,10,10b a ba b a 这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图的六边形， ∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外．（2）∵△ABC 是边长为22b a +的正三角形,∴ S =43( a 2+ b 2) 在（1）的条件下, 当S 取最大值等价于六边形图形中的点( a , b )到原点的距离最大, 由六边形中P 、Q 、R 相应的OP 、OQ 、OR 的计算. OP 2= OR 2= 12+ ( 2 –3)2 = 8 – 43，OQ 2 = 2(3 – 1)2 = 8 – 43.∴ OP = OR =OQ ∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 –3), 或(3– 1, 3– 1), 或( 2 –3, 1 )时, S max =23–3.。