直线与圆的方程的应用理解练习知识题

4.2.3 直线与圆的方程的应用

练习一

一、 选择题

1、ABC ?的顶点A 的坐标为（3，-1），AB 边上的中线所在直线方程为08=-+y x ，直线L ：012=+-y x 是过点B 的一条直线，则AB 的中点D 到直线L 的距离是（

）

A 、

55

2

B 、

55

3 C 、

55

4 D 、5

2、两直线l 1：mx-y+n=0和l 2：nx-y+m=0在同一坐标系中，则正确的图形可能是（ ）

A B C D

3、已知点A(-7，1)，B(-5，5)，直线：y=2x-5，P 为上的一点，使|PA |＋|PB |最小时P 的坐标为

( )

(A) (2，-1) (B) (3，-2) (C) (1，-3) (D) (4，-3)

4、如果点A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)到直线x=my 的距离平方和取最大值，那么m 的值等于

( )

(A) 0 (B) －1 (C) 1 (D) 2 5、已知直线b x y +=

2

1

与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，如果△AOB 的面积(O 为原点)小于等于1,那么b 的取值范围是 ( ) (A) b ≥ －1 （B ）b ≤1且0≠b (C) －1 ≤b ≤1 且0≠b (D) b ≤－1或b ≥1

6、通过点M （1，1）的直线与坐标轴所围成的三角形面积等于3，这样的直线共有

( )

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

7、点P （x,y ）在直线x+2y+1=0上移动，函数f(x,y)=2x +4y 的最小值是 ( ) (A)

2

2

(B) 2 (C)22 (D)42 8、已知两点O(0,0) , A(4,－1)到直线mx+m 2y+6=0的距离相等, 则实数m 可取的不同值共有 ( )

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 二、填空题

9、菱形ABCD 的相对两个顶点是B(1,3),D(0,4),如果∠BAD=60o ,那么顶点A 和C 的坐标是________. 10、与直线3x+4y-7=0平行，且和两轴围成的三角形面积等于24的直线方程是_____

11、如果对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么A 的坐标是______。 12、已知y 轴上有一点P ，它与点(－3、1)连成的直线的倾斜角为1200，则点P 的坐标为 三、解答题

13、求与直线0534=+-y x 垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为10的直线的方程． 14、、已知圆0242

2

=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若?=∠90APB 。

求m 的值。

15、已知定点)0,2(A ，点在圆12

2

=+y x 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点，

求Q 点的轨迹方程．

4.2.3 直线与圆的方程的应用

练习一

答案： 一、 选择题

1、B ；

2、B ；

3、A ；

4、B ；

5、C ；

6、D ；

7、B ；

8、C 二、 填空题

9、)2

3

7,231( )237,231(

--++、 10、02443 02443=-+=++y x y x 或

11、A(-1，2) 12、P(0，-2) 三、 解答题

13、解：设所求直线方程：3x+4y+t=0 分别交x 轴、y 轴于点A )0,3

(t

-，B )4

,0(t - 则线段AB 的长

t 12

5

由

1012

5

4

3

=+

+

t t t 得 t=10或t= -10 即 所求的直线方程为 3x+4y+10=0 或3x+4y-10=0

14、解：由题设△APB 是等腰直角三角形，∴圆心到y 轴的距离是圆半径的

2

2倍 将圆方程0242

2

=++-+m y x y x 配方得：m y x -=++-5)1()2(2

2

圆心是P(2,-1)，半径r=m -5 ∴225?=-m 解得m= -3

15、解：在△AOP 中，∵OQ 是∠AOP 的平分线 ∴

21

2

==

=

OP

OA PQ

AQ 设Q 点坐标为（x ，y ）；P 点坐标为（x 0，y 0）

∴?????

=-=????

?

++=++=

即y y x x y y x x 23

2232

120212200

00

∵ P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=1上运动，∴x 02+y 02=1

即12322322=??? ??+??? ??-y x ∴94322

2

=+??? ?

?-y x

x

y

O

A

P

Q

此即Q 点的轨迹方程。

4.2.3 直线与圆的方程的应用

练习二

一、 选择题

1、已知两点O(0,0) , A(4,－1)到直线mx+m 2y+6=0的距离相等, 则实数m 可取的不同值共有 ( )

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

2、直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是 （ ）.

(A)直线与圆相切 (B) 直线与圆相交但不过圆心 (C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心

3、点()

M x y 00，是圆()x y a a 2220+=>内不为圆心的一点，则直线x x y y a 002

+=与该圆的位置关

系是 ( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．相切或相交

4、直线()00≠=++ab c by ax 截圆52

2

=+y x 所得弦长等于4，则以|a |、|b |、|c |为边长的确良三角形

一定是 （ ）

（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不存在

5、已知两点A(–2,0),B(0,2), 点C 是圆x 2+y 2–2x=0上的任意一点,则△ABC 面积的最小值是 （ ）

(A)23- (B) 23+

(C)

226- (D) 2

2

3-

6、已知集合{}

R y x x y y x p ∈--==、,25),(2及

{}Φ≠∈+==Q P R y x b x y y x Q 若、,),(，则实数b 的取值范围是 （ ）

（Ａ）[–5,5] （Ｂ）)5,25(- （Ｃ）]5,25[- （Ｄ）]25,25[-

7、若曲线x 2+y 2+a 2x=(1–a 2)y –4=0关于直线y –x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=（ ）． （Ａ）2

1

±

（Ｂ）22± （Ｃ）2221-或 （Ｄ）2221或-

8、若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到直线4x +3y =11的距离等于1，则半径R 的取值范围是 （ ）． （A ）R >1 （B ）R <3 （C ）1

9、已知圆50)3()6(10)1()2(2

2

22

2

1=+++=-+-y x C y x C ：与圆：

交于A 、B 两点，则AB 所在的直线方程是_______________________。

10、直线1-=x y 上的点到圆04242

2

=+-++y x y x 的最近距离是 。

11、已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为 。 12、过P （－2，4）及Q （3，－1）两点，且在X 轴上截得的弦长为6的圆方程是 三、解答题

13、设正方形ABCD 的外接圆方程为x 2+y 2–6x+a=0(a<9)，Ｃ、Ｄ点所在直线l 的斜率为3

1

,求外接圆圆心Ｍ点的坐标及正方形对角线AC 、BD 的斜率。

14、设圆1C 的方程为2

2

2

4)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ． （1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；

（2）当变化且0≠m 时，求证：2C 的圆心在一条定直线上，并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程． 15、已知圆C ：04422

2

=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径

的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

4.2.3 直线与圆的方程的应用

练习二

答案： 一、选择题

1、B ；

2、A ；

3、C ；

4、A ；

5、A ；

6、C ；

7、B ；

8、C 二、填空题

9、2x+y=0 10、122- 11、22+-=+

=x y x y 或

12、(x －1)2＋(y －2)2=13或(x －3)2＋(y －4)2=25 三、解答题

13、解：由(x –3)2+y 2=9-a(a<9)可知圆心Ｍ的坐标为（3,0）

依题意：.3

1,4==

∠=∠AB k BAM ABM π

MA,MB 的斜率k 满足:113

13

1=+-k k

解得:k AC =2,2

1

=-

BD k 14、解：（1）圆C 1的圆心为C 1（-2，3m+2） 设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ）

则??

???++-=++-=+--2

22223122

3m a b m a m b 解得：???+=+=11

2m b m a

∴圆C 2的方程为2

2

2

4)1()12(m m y m x =--+-- （2）由??

?+=+=1

1

2m b m a 消去m 得a-2b+1=0

即圆C 2的圆心在定直线x-2y+1=0上。 设直线y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，则

m k

b

m m k 21)1()12(2

=+++-+

即0)1()1)(12(2)34(2

2

=-++-+-+--b k m b k k m k

∵直线y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立，所以有：

?????=-+=-+-=-- 0)1(0)1)(12(20342b k b k k k 解之得：??

???=-=47

43b k 所以2C 所表示的一系列圆的公切线方程为：4

7

43+-=x y 15、圆C 化成标准方程为2

2

2

3)2()1(=++-y x

假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a ，b ） 由于CM ⊥ l ，∴k CM ?k l = -1 ∴k CM =

11

2

-=-+a b ，

即a+b+1=0，得b= -a-1 ①

直线l 的方程为y-b=x-a ，即x-y+b-a=0 CM=

2

3

+-a b

∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA ==

2

)3(92

2

22+--=-=a b CM

CB MB ，222

b a OM

+=

∴222

2

)3(9b a a b +=+--

② 把①代入②得 0322

=--a a ，∴12

3

-==

a a 或 当2

5

,23-==

b a 时此时直线l 的方程为x-y-4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x-y+1=0 故这样的直线l 是存在的，方程为x-y-4=0 或x-y+1=0