圆与方程测试题及答案
高二上学期数学练习题(5)(圆与方程综合)有详细答案
高二上学期数学练习题（5）（圆与方程）班级 姓名 学号一．选择填空1. 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．30－10 5B ．5－5C ．5D ．252.函数 y ＝|x | 的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )A ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π3. 点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点， 则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( ) A ．24 B ．16 C ．8 D ．44. 方程1－x 2＝x ＋k 有唯一解，则实数k 的范围是( )A ．k ＝－2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1 5.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0 相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6－25)πD ．54π6. 圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7. 已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－28. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝09. 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝( ) A ． 2 B ．2 C ．1D ．310. 直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3B ．3C ．－2或 2D ． 211. 已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B ．213C ．253D ．4312. 过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0二．填空题13.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__________14.已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是________. 15.设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________ .16.过点A(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝17.平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________18.已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标是______三．解答题19.已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当|PQ|＝23时，求直线l的方程．20.已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．21.如下图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．22.已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明曲线C过定点；(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．高二上学期数学练习题（5）（圆与方程）参考答案班级 姓名 学号 （第5—11页，共7页） 一．选择填空1. 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．30－10 5B ．5－5C ．5D ．25[答案] A[解析]x 2＋y 2为圆上一点到原点的距离．圆心(1,-2)到原点的距离d ＝5，已知园的半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.2. y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )A ．π4B ．3π4C ．3π2 D ．π[答案] D[解析] 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.3. 点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点， 则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4[答案] C [解析] ∵四边形PAOB 的面积S ＝2×12|PA |×|OA |＝2PA =2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小 4. 方程1－x 2＝x ＋k 有唯一解，则实数k 的范围是( )A ．k ＝－2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1 [答案] D [解析] 由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0只有一个交点． 结合图形易得－1≤k <1或k ＝ 2.5.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0 相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6－25)πD ．54π[答案] A [解析] 原点O 到直线240x y +-=的距离为d ，则d ＝45，园C 圆心C 到直线2x ＋y －4＝0的距离是圆的半径r ，由题知圆心C 是线段AB 的中点，又以斜边AB 为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB 中，圆C 过原点O ，即|OC |＝r ，所以2r ≥d ，∴2d r ≥,所以r 最小为2d ==25，面积最小为4π5，故选A6. 圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[答案] B[解析] 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝(22)2，圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0 的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，则到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的两条平行线与圆的公共点的个数即为所求．由于圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的平行线一条过圆心，另一条与圆相切，故这两条直线与圆有3个交点．7. 已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2[答案] D[解析] 由空间两点间的距离公式得(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26，解得x ＝6或x ＝－2. 8. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0[答案] C[解析] 由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，所以直线恒过定点(－1,2)， 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.9. 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝( ) A ． 2 B ．2 C ．1D ．3[答案] B[解析] 依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝1×cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.10. 直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3B ．3C ．－2或 2D ． 2[答案] A[解析] 方法1：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3（需作出弦心距）， 圆心到直线的距离d ＝1－(32)2＝12， ∴1k 2＋1＝12（注：用点到直线的距离公式表示弦心距），解得k ＝±3. 方法2：利用数形结合．如图所示，∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0,1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，∴∠QPO ＝30°，故∠P AO ＝60°，∴k ＝3，即直线P A 的斜率为 3.同理可求得直线PB 的斜率为－ 3.11. 已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B ．213C ．253D ．43[答案] B[解析] △ABC 外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即在直线x ＝1上，设圆心D (1，b )，由DA ＝DB 得|b |＝1＋(b －3)2，解之得b ＝223，所以圆心到原点的距离d ＝12＋(223)2＝213.故选B ．12. 过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0[答案] A[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.二．填空题13.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__________[答案] [34，＋∞)[解析] 设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA ．。
高考数学圆的方程练习题附答案
高考数学圆的方程练习题附答案1.若圆c的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[分析]将圆心设为Ca，Ba>0，b>0，从问题的意义中得出b=1又圆心c到直线4x-3y=0的距离d==1，解决方案是a=2或a=-四舍五入所以该圆的标准方程为x-22+y-12=1.[答：]x-22+Y-12=12.2021·南京质检已知点p2,1在圆c：x2+y2+ax-2y+b=0上，点p关于直线x+y-1=0的对称点也在圆c上，则圆c的圆心坐标为________.【分析】因为点P相对于直线x+Y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解为a=0，所以中心坐标为0,1[答案] 0,13.如果已知圆的中心位于直线y=-4x上，且圆在点P3，-2处与直线L:x+y-1=0相切，则圆的方程式为：___[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为1，-4.半径r=2，圆的方程式为X-12+y+42=8[答案] x-12+y+42=84.2022·江苏常州模拟知道实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，那么| 2x-y |的最小值为___[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得x-22+y+32=1，令x=2+cosα，y=-3+sinα，然后| 2x-y |=|4+2cosα+3-sinα|=|7-sinα-φ|≥7-tanφ=2.[答：]7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0a>0，b>0对称，则+的最小值是________.【分析】从圆的对称性来看，直线2aX by+8=0必须穿过圆的中心-2,4，因此a+B=2，+=+=++5≥ 2+5=9，from=，然后A2=4B2，再从a+B=2，所以当且仅当a=，B时取等号=[答案] 96.2022. 南京市和盐城市的第三次模拟考试是在平面直角坐标系xoy中进行的。
圆的方程 习题含答案
圆的方程习题（含答案）一、单选题1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝92．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．3．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )A．9πB．πC．2πD．由m的值而定4．圆的半径是（）A．B．2C．D．45．已知圆与圆相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．B．C．D．6．若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（）A．B．C．D．7．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）A．2B．C．6D．8．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：的圆心则的最小值为A．B．5C．D．109．若均为任意实数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题10．如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．11．已知x,y满足－4－4＋＝0, 则的最大值为____12．若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．13．设直线与圆相交于两点，若，则圆的面积为________.14．已知圆的圆心在曲线上，且与直线相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．15．在平面直角坐标系xOy中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆C的标准方程为______．16．已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，则圆的标准方程是__________．17．在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形的外接圆方程是__________．18．如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，的最大值是_______.三、解答题 19．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 20．已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.（1）求圆的圆心坐标和面积； （2）若直线的斜率为，求弦的长；（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程．21．已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程； （2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.22．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线12y x =上。
《圆与方程》课后训练题(解析版)
《圆与方程》课后训练题答案1. 圆x 2＋y 2＋x －3y －＝0的半径是________________ 【答案】2【详解】将圆的一般223302x y x y ++--=，化为标准方程为2213422x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得圆的半径2r ,故答案为2.2. 点P(5a ＋1,12a)在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为_______ 【答案】113a <-或113a > 【详解】由题意()()22511121a a +-+>，解得113a <-或113a >． 3. 直线5x ＋12y －8＝0和圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝8的位置关系是_______________ 【答案】相离．【详解】由()()22138x y -++=可得，圆的圆心坐标为()1,3-，圆的半径为22，()1,3-到直线51280x y +-=的距离为325144=+，因为322>，所以直线与圆的位置关系是相离．故答案为相离.4. 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为_____________ 【答案】x 2＋y 2－4x ＝0.【详解】设圆心坐标为(,0)(0)a a >,则圆方程为:(x −a )2+y 2=4,根据点到直线的距离公式,得223404234a d R +⨯+===+,解得a =2或143a =-(舍去),所以圆C 的方程为:(x −2)2+y 2=4,整理为一般方程为:2240x y x +-=.5. 能够使得圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两个点到直线2x ＋y ＋c ＝0距离等于1的c 的一个值为( ) A. 2 B.5C. 3D. 35【答案】C【详解】由圆的标准方程()()22124x y -++=，可得圆心为()1,2-，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线20x y c ++=的距离为1，由()1,35c d =∈可得()()35,55,35c ∈--⋃，经验证，()35,35c =∈，符合题意，故选C.6. 若x 2＋y 2＋(λ－1)x ＋2λy ＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围为___________________ 【答案】λ>1或15λ<【详解】根据二元二次方程表示圆的条件可得，()()221240λλλ-+->，化为25610λλ-+> 解得1λ>或15λ<，故答案为1λ>或15λ<. 7. 直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＋2x ＝0只在第二象限有公共点，则 k 的取值范围是___________ 【答案】3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】画出直线与圆的图象，如图所示：直线2y kx =+与圆相切时223141k k k -=⇒=+，直线2y kx =+过()2,0-时，1k =，直线2y kx =+与圆2220x y x ++=只在第二象限有公共点，∴实数k 的取值范围是3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8. 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差为____ 【答案】6.【详解】试题分析：将圆的方程变形为，可知圆心，半径．圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为．故C 正确．9. 两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线的条数为____条 【答案】3【详解】试题分析：圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0可变为()()22221x y ++-=，圆心为()2,2-，半径为11r =；圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0可变为()()222516x y -+-=，圆心为()2,5，半径为24r =；所以125O O ==，125r r +=，所以两圆相切；所以与两圆都相切的直线有3条.10. 已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程是__________【答案】()2211x y ++=【详解】圆()2211A x y -+=圆心为1,0A ，半径等于1，设圆心1,0A 关于直线y x =-对称点(),C m n ，则有()0111n m -⨯-=--，且0122n m ++=-，解得0,1m n ==-，故点()0,1C -，由于对称圆C 的半径与圆()22:11A x y -+=的半径相等，故圆C 的方程为()2211x y ++=，故答案为()2211x y ++=.11. 已知动点M 到定点(8,0)的距离等于M 到(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程___________________________ 【答案】x 2＋y 2＝16【详解】设(),M x y ，因为M 到定点()8,0的距离等于M 到 ()8,0的距离的2倍，所以2=，化简可得2216x y +=，故答案为2216x y +=.12. 过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为________ 【答案】4【详解】将()2,4P -代入圆方程左边得：224316925+=+=，左边=右边，即P 在圆O 上，直线OP 的斜率为413224-=---，∴切线l 的斜率为43，即直线l 的方程为()4423y x -=+，整理得：43200x y -+=，直线:30m ax y -=与直线l 平行，433a ∴=，即4a =，∴直线m 方程为430x y -=，即430x y -=，直线l 与m4=，故答案为4. 13. 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是_______ 【答案】相交．【详解】由圆221:20x y x O +-=与圆222:40O x y y +-=，分别得到标准方程()2211x y -+=和()2224x y +-=，则两圆坐标分别为()1,0和()0,2，半径分别为2,1R r ==，则两圆心之间的距离d ==2121-<<+，即1R r d R -<<+，∴故两圆的位置关系是相交，故答案为相交.14. 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是 _____ 【答案】a <1.【详解】方程22252104x y ax ay a a +++++-=表示圆，222544104a a a a ⎛⎫∴+-+-> ⎪⎝⎭，化为440a ->，解得1a <，故答案为1a <.15. 以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为___________ 【答案】(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 【详解】因圆以点(()2,1-为圆心且与直线3450x y -+=相切，所以圆心到直线的距离等于半径,即()()2232415334r d ⨯-⨯-+===+-，∴所求圆的方程为()()22219x y -++=，故答案为()()22219x y -++=.16. 若方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则实数m 的取值范围是______. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【详解】解：根据题意，方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则有1140m +-⨯>， 解的12m <，即m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．17. 若圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1，2)的最短弦所在直线l 的方程是_________ 【答案】x －2y ＋3＝0．【详解】将圆C 的一般方程化成标准方程为()2229x y -+=，所以()2,0C ,由题意知，过点()1,2P 的最短弦所在的直线l 应与PC 垂直，所以11PC k k ⋅=-,由20212PC k -==--，得112k =,所以直线l 的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=,故答案为230x y -+=. 18. 过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是_____ 【答案】3y x =【详解】圆方程22430x y x +++=．化为2221x y ，圆心为()2,0-，半径为1，又因为过原点的直线与圆切点在第三象限，所以可设直线方程为()0y kx k =>由圆心到直线距离等于半径，223131k k k -=⇒=+或33k =-(舍去) 该直线的方程是33y x =,故答案为33y x =. 19. 若直线2x ＋ky －1＝0(k ∈R)与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切，则k 的值为 _______ 【答案】32【详解】由于直线210x ky +-=与圆()2211x y ++=相切，因此有圆心()0,1到直线210x ky +-=的距离等于半径1，即2114k k --=+，解得32k，故答案为32. 20. 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝有公共点，则b 的取值范围是______________【答案】{b |－2≤b ≤2} 【详解】试题分析：曲线表示以原点为圆心，半径为2的圆在x 轴以上的部分，结合图形可知当直线过点()2,0时，b 最小为-2，当直线与曲线相切时，b 最大，此时22b = 21. 已知点P(x, y)是圆(x －3)2+(y －)2=6上的动点，则的最大值为_______；【答案】23+【详解】由y x的几何意义知,OP y k P x =在圆()()22336x y -+-=上，当P 点是由O 点向圆作切线的切点时，yx取最值，设直线OP 的斜率为k ，直线OP 的方程为y kx =，圆心1O 的坐标为()3,3，半径为6，圆心1O 到直线OP 的距离等于6，则有23361k k-=+，解得1223,32k k =+=-(最小值，舍去)，yx∴的最大值是23+，故答案为23+. 22. 若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是________ 【答案】30－105【详解】把圆的方程化为标准方程得：()()221225x y -++=，则圆心A 坐标为()1,2-，圆的半径=5r ，设圆上一点的坐标为(),x y ，原点O 坐标为()0,0，则22xy +表示圆上一点和原点之间的距离的平方根据图象可知圆心到原点距离的最小值为圆的半径r 减去圆心到原点的距离，求得5,5AO AB r ===，55BO AB OA ∴=-=-，则22x y +的最小值为()25530105-=-，故答案为30105-.23. 已知圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0，直线l 过点P(0,1)，则 ( )A. l 与C 相交B. l 与C 相切C. l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能 【答案】A【详解】∵圆C 的圆心坐标为(0,2)，半径r ＝2，∴|CP |＝1<2，∴点P (0,1)在内部，∴直线l 与C 相交． 24. 以(－2,1)为圆心且与直线x ＋y ＝3相切的圆的方程为_____________ 【答案】(x ＋2)2＋(y －1)2＝8【详解】由所求的圆与直线30x y +-=相切，∴圆心()2,1-到直线30x y +-=的距离213222d -+-==，即圆的半径为22，∴所求圆的方程为()()22218x y ++-=，故答案为()()22218x y ++-=.25. 当a 为任意实数时，直线(1)10a x y a --++=恒过定点C ，则以点C 为圆心，半径为5的圆的方程为__________．【答案】22240x y x y ++-=详解：() a 1x y a 10--++=整理关于a 的表达式a x 1x y 10+-+-=（）（），关于a 的方程各项为0，x 10x y 10+=+-=，，解得x 1y 2=-=，，恒过定点C 1,2-（），以C 为圆心，半径为的圆为：()()22125x y ++-=26. 直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=__________.【答案】2【详解】试题分析：依题意，设与单位圆相交于两点，则∠°.如图，当时满足题意，所以.27. 设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上动点，Q 是直线3x =-上动点，则||PQ 的最小值为__________． 【答案】4【详解】圆心为(3,1)-到直线3x =-的距离，3(3)6d =--=，min ||4PQ d r =-=．28. 若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是____________【答案】33,00,33⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】因为()0y y mx m --=，所以0y =或0y mx m --=，当0y =时，显然2C 与圆2220x y x +-=有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需0y mx m --=与圆2220x y x +-=有两个不同的交点，且0m ≠，由方程组2220y mx m x y x --=⎧⎨+-=⎩消去y ，得关于x 的一元二次方程， ()()22221220m x m x m ++-+=再令0∆>，可得2130m ->，解得33,00,33m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为33,00,m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29. 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－有公共点，则b 的取值范围是_________【答案】[1－2，3]【详解】试题分析：曲线即 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4（1≤y≤3），表示以A （2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b 的距离等于半径2，解得 b=1+ b=1﹣．结合图象可得b 的范围．解：如图所示：曲线y=3﹣，即 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4（ 1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A （2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆． 由圆心到直线y=x+b 的距离等于半径2，可得 =2，∴b=1+，或b=1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为[1﹣，3]．30. 过点A (4,1)的圆C 与直线x -y-1=0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为____【答案】22(3)2x y -+=【详解】∵直线x −y −1=0的斜率为1，∴过点B 直径所在直线方程斜率为−1， ∵B (2,1)，∴此直线方程为y −1=−(x −2)，即x +y −3=0，设圆心C 坐标为(a ,3−a )， ∵|AC |=|BC |,即2222(4)(31)(2)(2)a a a a =-+---+-，解得：a =3，则圆C 方程为22(3)2x y -+=. 31. 设O 为原点，点M 在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1上运动，则|OM |的最大值为____. 【答案】6【详解】圆心C 的坐标为(3,4)，∴|OC |＝()()223040-+- ＝5，∴|OM |max ＝5＋1＝6.故答案为632. 已知圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求当m 为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切．【答案】（1）m ＝0；（2）m ＝±22． 【详解】试题分析：（1）直线平分圆，即直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程可得m 值（2）根据圆心到直线距离等于半径列方程，解得m 值试题解析：解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线y ＝x ＋m 上，即有m ＝0.(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， ∴d ＝1122mm -+=＝2，m ＝±22.即m ＝±22时，直线l 与圆相切．33. 一圆与两平行直线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0都相切，圆心在直线2x ＋y ＋1＝0上，求圆的方程.【答案】22791=5510x y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】试题分析：根据直线和圆的位置关系，两平行线间的距离为直径，求出半径，设圆心为(),a b 则根据圆心在直线2x ＋y ＋1＝0上，及圆心到直线的距离为半径，可得出圆心，即可得到圆的方程. 试题解析：两平行直线之间的距离为＝，∴圆的半径为，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝，则，解得.故所求圆的方程为2＋2＝.34. 已知圆()22:15C x y +-=，直线():10l mx y m m R -+-=∈．（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长． 【答案】(1)直线l 与圆C 必相交 (2)．【详解】(1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)，因此直线l 过定点D (1，1)， 又＝1<，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交．(2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ，又k ＝tan 120°＝－，即m ＝－． 此时，圆心C (0，1)到直线l ： x ＋y －－1＝0的距离d ＝＝，又圆C 的半径r ＝，所以|AB |＝2＝2＝．35. 已知圆2212280c x y x y +++-=：与圆222210240c x y x y +-+-=：相交于A ，B 两点. （1）求公共线AB 所在的直线的方程；（2）求圆心在直线y x =-上，且经过A,B 两点的圆的方程． 【答案】(1)x －2y ＋4＝0.(2)⊙M ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.【详解】试题分析：（1）由两圆方程相减即得公共弦AB 所在的直线方程；（2）求出过12,C C 的直线与直线y=-x 的交点，可得圆心坐标，求出圆心到AB 的距离，可得半径，从而可得圆的方程 试题解析：（1）22222280{210240x y x y x y x y +++-=+-+-=⇒x －2y ＋4＝0．（2）由（1）得x ＝2y －4，代入x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0中得：y 2－2y ＝0． ∴4{0x y =-=或02x y =⎧⎨=⎩，即A （－4，0），B （0，2），又圆心在直线y ＝－x 上，设圆心为M （x ，－x ）， 则|MA|＝|MB|，解得M （－3，3），∴⊙M ：（x ＋3）2＋（y －3）2＝10．36. 已知圆C 过点A (0，－6)，B (1，－5)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆C 的方程． 【答案】(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.【详解】试题分析：由已知圆心为C 的圆经过点A （0，6-），B （1，5-）,知圆心C 在线段AB 的垂直平分线上,又圆心在直线l ：10x y -+= 上,写出线段AB 的垂直平分线的方程与直线l 的方程联立方程组就可求出圆心的坐标,再由圆经过点A 就可求出其半径,从而就可写出所求圆的方程. 试题解析：因为点A （0，6-），B （1，5-）,所以线段AB 的中点D 的坐标为,又直线AB 的斜率,因此线段AB 的垂直平分线的方程是:即;从而圆心C 的坐标是方程组的解,解此方程组得C(-3,-2);那么所求圆的半径,故圆心为C 的圆的标准方程是:.37. 一圆与两平行直线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0都相切，圆心在直线2x ＋y ＋1＝0上，求圆的方程.【答案】22791=5510x y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】试题分析：根据直线和圆的位置关系，两平行线间的距离为直径，求出半径，设圆心为(),a b则根据圆心在直线2x＋y＋1＝0上，及圆心到直线的距离为半径，可得出圆心，即可得到圆的方程.试题解析：两平行直线之间的距离为＝，∴圆的半径为，设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝，则，解得.故所求圆的方程为2＋2＝.。
圆与方程试题及答案
圆与方程试题及答案一、选择题1. 若圆心在原点，半径为5的圆的标准方程是（）。
A. x^2 + y^2 = 25B. (x-5)^2 + y^2 = 25C. (x+5)^2 + y^2 = 25D. x^2 + y^2 - 10x - 10y = 0答案：A2. 已知圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，圆心坐标为（）。
A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A3. 圆x^2 + y^2 = 9与直线x + y = 0相交于两点，这两点之间的距离是（）。
A. 2√2B. 3√2C. √2D. √3答案：A二、填空题4. 圆心在(2, -3)，半径为4的圆的方程是______。
答案：(x-2)^2 + (y+3)^2 = 165. 若圆(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9与直线y = 2x + 3相切，则圆心到直线的距离为______。
答案：√5三、解答题6. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 24 = 0，求圆C的圆心坐标和半径。
答案：圆C的方程可以写成标准形式：(x-3)^2 + (y-4)^2 = 1。
所以圆心坐标为(3, 4)，半径为1。
7. 求圆x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0与圆x^2 + y^2 + 2x - 6y +8 = 0的公共弦所在直线的方程。
答案：将两个圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为：-6x + 12y - 1 = 0，即3x - 6y + 1/2 = 0。
8. 已知圆x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0，求过点(1, 2)的圆的切线方程。
答案：圆心坐标为(1, 2)，半径为1。
过点(1, 2)的切线方程为x = 1或y - 2 = -(x - 1)，即x = 1或x + y - 3 = 0。
圆与方程测试题及答案
圆与方程测试题及答案一、选择题1. 已知圆心在原点的圆的方程为 \( x^2 + y^2 = r^2 \)，其中\( r \) 为圆的半径。
若圆的半径为5，则圆的方程为：A. \( x^2 + y^2 = 25 \)B. \( x^2 + y^2 = 5 \)C. \( x^2 + y^2 = 10 \)D. \( x^2 + y^2 = 50 \)2. 若圆的方程为 \( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 16 \)，该圆的圆心坐标为：A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)二、填空题3. 圆心在点 \( P(2, -3) \) 上，半径为4的圆的标准方程为：\( (x-2)^2 + (y+3)^2 = \) ________。
4. 若圆的一般方程为 \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)，其中\( g \) 和 \( f \) 分别为圆心的 \( x \) 和 \( y \) 坐标，则圆心坐标为：\( (-g, -f) \)。
三、解答题5. 已知圆 \( C \) 的圆心为 \( (2, -1) \)，半径为3，求圆 \( C \) 的方程。
6. 给定圆的一般方程 \( x^2 + y^2 + 6x - 8y + 16 = 0 \)，求圆心坐标和半径。
四、证明题7. 证明：若点 \( P(x_0, y_0) \) 在圆 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 =r^2 \) 上，则 \( (x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 = r^2 \)。
五、应用题8. 一个圆与 \( x \) 轴相切，圆心在直线 \( y = x \) 上，且圆经过点 \( A(2, 3) \)。
求该圆的方程。
答案：一、选择题1. A2. A二、填空题3. \( 16 \)4. \( (-g, -f) \)三、解答题5. 圆 \( C \) 的方程为 \( (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 \)。
圆与方程测试题
圆与方程测试题一：选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）(A)22 (B)4 (C)24 (D)23.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ） (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 55.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( D )(A) 222=+y x (B) 422=+y x(C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-17.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A 、x y 3=B 、x y 3-=C 、x y 33=D 、x y 33-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=49．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是A 、6πB 、4πC 、3πD 、2π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与 该圆的位置关系是（ ）A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 .12.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______.13.过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________.14.过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为 .15.两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数a 的值为三、解答题16.过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA 。
第四章圆与方程综合检测-附答案
第四章综合检测题时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下面表示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为( )A ．m ＜12B ．m ＜0C ．m ＞12D ．m ≤123．已知空间两点P 1(－1,3,5)，P 2(2,4，－3)，则|P 1P 2|等于( ) A.74 B ．310C.14D.534．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( )A ．(1，－2)，5B ．(1，－2)， 5C ．(－1,2)，5D ．(－1,2)， 55．圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝46．直线l ：x －y ＝1与圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定7．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)连线段PQ 中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝18．(2011～2012·北京东城区高三期末检测)直线l过点(－4,0)，且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l 的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝09．一束光线从点A(－1,1)发出，并经过x轴反射，到达圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是()A．4 B．5C．32－1 D．2 610．(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于() A．3 3 B．2 3C. 3 D．111．方程4－x2＝lg x的根的个数是()A．0 B．1C．2 D．无法确定12．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为()A．x＝1 B．y＝1C．x－y＋1＝0 D．x－2y＋3＝0二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．点P(3,4,5)关于原点的对称点是________．14．已知△ABC的三个顶点为A(1，－2,5)，B(－1,0,1)，C(3，－4,5)，则边BC上的中线长为________．15．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(0,5)，则过P作圆C 的切线有且只有________条．16．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)求经过点P(3,1)且与圆x2＋y2＝9相切的直线方程．[分析]提示一：将点P(3,1)代入圆的方程得32＋12＝10>9，所以点P在圆外，可设过点P的圆的切线斜率为k，写出点斜式方程再化为一般式．根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质，由点到直线的距离公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所设切线方程即可．提示二：直线与圆相切，就是直线与圆有唯一公共点，于是将两曲线方程联立所得的方程组有唯一解，从而方程判别式Δ＝0，由此解得k值，然后回代所设切线方程即可．18．(本题满分12分)(2011～2012·宁波高一检测)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．19．(本小题满分12分)已知实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值．20．(本题满分12分)已知直线l1：x－y－1＝0，直线l2：4x＋3y ＋14＝0，直线l3：3x＋4y＋10＝0，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．[分析]设出圆心坐标和半径，利用圆的几何性质求解．21．(本题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．[分析](1)对切线的斜率是否存在分类讨论；(2)设出P的坐标，代入平面内两点间的距离公式，化简得轨迹方程．22．(本题满分12分)已知圆P：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)，满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1.求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时，圆的方程．[分析]根据条件可以判断出圆P被x轴截得的劣弧的圆心角为90°，建立起r ，a ，b 之间的方程组，然后解出相应的a ，b ，r 间的关系，最后借助于一元二次函数解决．详解答案1[答案] C[解析] 根据空间直角坐标系的规定可知(1)(2)(4)都正确，(3)中，Oy 轴的正向应为负向，∴选C.2[答案] A[解析] (－1)2＋12－4m ＞0，∴m ＜12，故选A.3[答案] A[解析] |P 1P 2|＝(－1－2)2＋(3－4)2＋(5＋3)2＝74.4[答案] D[解析] 圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心是(－1,2)，半径为 5.5[答案] D[解析] 由圆的标准方程得圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4. 6[答案] C[解析] 圆C 的圆心为C (2,0)，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1|2＝22<2，所以圆与直线相交． 7[答案] C[解析] 设PQ 中点坐标为(x ，y )，则P (2x －3,2y )代入x 2＋y 2＝1得(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C.8[答案] D[解析] 由题意，得圆心C (－1,2)，半径r ＝5，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2＋(y －2)2＝25，x ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝6，即此时与圆C 的交点坐标是(－4，－2)和(－4,6)，则|AB |＝8，即x ＋4＝0符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx－y ＋4k ＝0，圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k －2＋4k |k 2＋1＝|3k －2|k 2＋1，又|AB |＝2r 2－d 2，所以225－(|3k －2|k 2＋1)2＝8，解得k ＝－512，则直线l 的方程为－512x －y ＋4×(－512)＝0，即5x ＋12y ＋20＝0.9[答案] A[解析] 点A 关于x 轴的对称点是A ′(－1，－1)，圆心C (2,3)，半径r ＝1，则|A ′C |＝(－1－2)2＋(－1－3)2＝5，则最短路程是|A ′C |－r ＝5－1＝4.10[答案] B[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.11[答案] B[解析] 设f (x )＝4－x ，g (x )＝lg x ，则方程根的个数就是f (x )与g (x )两个函数图象交点的个数．如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象．由图可得函数f (x )＝4－x 2与g (x )＝lg x 仅有1个交点，所以方程仅有1个根．12[答案] D[解析] 当CM ⊥l ，即弦长最短时，∠ACB 最小，∴k l ·k CM ＝－1，∴k l ＝12，∴l 的方程为：x －2y ＋3＝0.[点评] 过⊙C 内一点M 作直线l 与⊙C 交于A 、B 两点，则弦AB 的长最短⇔弦AB 对的劣弧最短⇔弦对的圆心角最小⇔圆心到直线l 的距离最大⇔CM ⊥l ⇔弦AB 的中点为M ，故以上各种说法反映的是同一个问题．13[答案] (－3，－4，－5)[解析] ∵点P (3,4,5)与P ′(x ，y ，z )的中点为坐标原点， ∴P ′点的坐标为(－3，－4，－5)．14[答案] 2[解析] BC 的中点为D (1，－2,3)，则|AD |＝(1－1)2＋(－2＋2)2＋(5－3)2＝2.15[答案] 2[解析] 由C (1，－2)，r ＝2，则|PC |＝12＋(－2－5)2＝52>r ＝2，∴点P 在圆C 外，∴过P 作圆C 的切线有两条．16[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] ∵⊙A ：(x －6)2＋(y －6)2＝18的圆心A (6,6)，半径r 1＝32，∵A 到l 的距离52，∴所求圆B 的直径2r 2＝22，即r 2＝ 2.设B (m ，n )，则由BA ⊥l 得n －6m －6＝1， 又∵B 到l 距离为2，∴|m ＋n －2|2＝2， 解出m ＝2，n ＝2.故其方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.17[解析] 解法一：当过点P 的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k ，由点斜式可得切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋1＝0， ∴|－3k ＋1|k 2＋1＝3，解得k ＝－43. 故所求切线方程为－43x －y ＋4＋1＝0，即4x ＋3y －15＝0.当过点P 的切线斜率不存在时，方程为x ＝3，也满足条件． 故所求圆的切线方程为4x ＋3y －15＝0或x ＝3.解法二：设切线方程为y －1＝k (x －3)，将方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －3)，x 2＋y 2＝9，消去y 并整理得 (k 2＋1)x 2－2k (3k －1)x ＋9k 2－6k －8＝0.因为直线与圆相切，∴Δ＝0，即[－2k (3k －1)]2－4(k 2＋1)(9k 2－6k －8)＝0.解得k ＝－43.所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.又过点P (3,1)与x 轴垂直的直线x ＝3也与圆相切，故所求圆的切线方程为4x ＋3y －15＝0或x ＝3.[点评] 若点在圆外，所求切线有两条，特别注意当直线斜率不存在时的情况，不要漏解．18[解析] 以D 为原点建立如图所示坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a 2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a 2，a )，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得：|MN |＝(a 2－a 4)2＋(a 2－34a )2＋(a 2－a )2＝64a .[点评] 空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离公式求解．19[解析] 设x ＋y ＝t ，则直线y ＝－x ＋t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点∴|3＋3－t |2≤6，∴6－23≤t ≤6＋2 3 因此x ＋y 最小值为6－23，最大值为6＋2 3.20[解析] 设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ，则点C 到直线l 2的距离d 1＝|4a ＋3(a －1)＋14|5＝|7a ＋11|5.点C 到直线l 3的距离是d 2＝|3a ＋4(a －1)＋10|5＝|7a ＋6|5. 由题意，得⎩⎨⎧|7a ＋11|5＝r ，(|7a ＋6|5)2＋32＝r 2.解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25. 21[解析] 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |.∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.22[解析] 如下图所示，圆心坐标为P (a ，b)，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |. ∵圆P 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，∴∠APB ＝90°.取AB的中点D，连接PD，则有|PB|＝2|PD|，∴r＝2|b|.取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE.∵圆截y轴所得弦长为2，∴|EC|＝1，∴1＋a2＝r2，即2b2－a2＝1.则a2－b2－2b＋4＝b2－2b＋3＝(b－1)2＋2.∴当b＝1时，a2－b2－2b＋4取得最小值2，此时a＝1，或a＝－1，r2＝2.对应的圆为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.∴使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时，对应的圆为(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.[点评](1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d ＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有(l2)2＋d2＝r2.。
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圆与方程测试题
一、选择题
1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为()．
A．5B．5 C．25 D．10
2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()．
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()．
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19
4．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()．
A．0或2 B．2 C．2D．无解
5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是()．
A．8 B．6 C．62D．43
6．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为()．
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是()．
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
8．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有()．
A．4条B．3条C．2条D．1条
9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：
点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)；
点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)；
点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)；
点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．
其中正确的叙述的个数是()．
A．3 B．2 C．1 D．0
10．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是()．
A．243B．221C．9 D．86
二、填空题
11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．
12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为．
13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是．
14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值．
15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为．
16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是．
三、解答题
17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．
18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．
19．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．20．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．
圆与方程 参考答案
一、选择题
1．B 圆心C 与点M 的距离即为圆的半径，227＋3－＋
5－2)()(＝5． 2．C 解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A ，C 满足条件，再把A 点坐标
(1，－1)代入圆方程．A 不满足条件．∴选C ．
解析二：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a ．由|CA |＝|CB |，得(a －1)2＋(b ＋1)2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝1，b ＝1．因此圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． 3．B 解析：∵与x 轴相切，∴r ＝4．又圆心(－3，4)，∴圆方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝16． 4．B 解析：∵x ＋y ＋m ＝0与x 2＋y 2＝m 相切，∴(0，0)到直线距离等于m ．∴
2
m ＝m ，∴m ＝2．
5．A 解析：令y ＝0，∴(x －1)2＝16．∴ x －1＝±4，∴x 1＝5，x 2＝－3．∴弦长＝|5－(－3)|＝8． 6．B 解析：由两个圆的方程C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4可求得圆心距d ＝13∈(0，4)，r 1＝r 2＝2，且r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2故两圆相交，选B ．
7．A 解析：对已知圆的方程x 2＋y 2－2x －5＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0，经配方，得(x －1)2＋y 2＝6， (x ＋1)2＋(y －2)2＝9．圆心分别为 C 1(1，0)，C 2(－1，2)．直线C 1C 2的方程为x ＋y －1＝0．
8．C 解析：将两圆方程分别配方得(x －1)2＋y 2＝1和x 2＋(y ＋2)2＝4，两圆圆心分别为O 1(1，0)，O 2(0，－2)，r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝222＋1＝5，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以有两条公切线，应选C ．
9．C 解：①②③错，④对．选C ．
10．D 解析：利用空间两点间的距离公式． 二、填空题
11．2．解析：圆心到直线的距离d ＝5
8
＋4＋3＝3，∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2．
12．(x －1)2＋(y －1)2＝1．解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1． 故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝1．
13．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2．故所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝4．
14．0或±25．解析：当两圆相外切时，由|O 1O 2|＝r 1＋r 2知22＋4a ＝6，即a ＝±25． 当两圆相内切时，由|O 1O 2|＝r 1－r 2(r 1＞r 2)知22＋4a ＝4，即a ＝0．∴a 的值为0或±25． 15．(x －3)2＋(y ＋5)2＝32．解析：圆的半径即为圆心到直线x －7y ＋2＝0的距离；
16．x ＋y －4＝0．解析：圆x 2＋y 2－4x －5＝0的圆心为C (2，0)，P (3，1)为弦AB 的中点，所以直线AB 与直线CP 垂直，即k AB ·k CP ＝－1，解得k AB ＝－1，又直线AB 过P (3，1)，则直线方程为x ＋y －4＝0． 三、解答题 17．x 2＋y 2＝36．解析：设直线与圆交于A ，B 两点，则∠AOB ＝120°，设 所求圆方程为：x 2＋y 2＝r 2，则圆心到直线距离为5
15
2
r
，所 以r ＝6，所求圆方程为x 2＋y 2＝36．
18．x2＋y2－ax－by＝0．
解析：∵圆过原点，∴设圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0．∵圆过(a，0)和(0，b)，∴a2＋Da＝0，b2＋bE＝0．
又∵a≠0，b≠0，∴D＝－a，E＝－b．故所求圆方程为x2＋y2－ax－by＝0．19．x2＋y2－2x－12＝0．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
∵A，B两点在圆上，代入方程整理得：
D－3E－F＝10 ①
4D＋2E＋F＝－20 ②
设纵截距为b1，b2，横截距为a1，a2．在圆的方程中，
令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，∴b1＋b2＝－E；
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，∴a1＋a2＝－D．
由已知有－D－E＝2．③①②③联立方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12．
所以圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．
20．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
根据题意：r＝
26
10
＝2，圆心的横坐标a＝6＋2＝8，
所以圆的方程可化为：(x－8)2＋(y－b)2＝4．
又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)2＋(3－b)2＝4，
解得b＝5或b＝1，
所求圆的方程为(x－8)2＋(y－5)2＝4或(x－8)2＋(y－1)2＝4．。