圆与方程单元测试题及答案
直线和圆的方程单元测试
17．
（1）
（2） ， 或
【分析】
（1）根据两条直线垂直的条件列方程，化简求得 .
（2）根据两条直线平行以及距离列方程，化简求得 .
（1）
由于 ，所以 .
（2）
依题意 ，则 ，
此时 ，即 ，故 .
由于两条直线的距离为 ，
所以 或 .
18．
（1） ；
（2） .
【分析】
（1）设出圆的标准方程，根据其过的点的坐标满足圆方程，列出等量关系，求解即可；
【详解】
解：由题知 ， ，半径分别为 ，
根据两圆相交，可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，
即 ．
又 ，所以有 ，
，
再根据 ，
求得 ，
故选：B．
4．A
【分析】
设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．
【详解】
解：设直线 的方程为 ，则 的面积为 ①．
因为直线 过点 ，所以 ②．
联立①②，解得 ， ，
（2）根据过 的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.
（1）
由题意，设圆 的标准方程为： ，
圆 关于直线 对称，
圆 与 轴相切： …①
点 到 的距离为： ，
圆 被直线 截得的弦长为 ， ，
结合①有： ， ，
又 ， ， ，
圆 的标准方程为： .
（2）
当直线 的斜率不存在时， 满足题意
所以切线 的方程为 .
19．
（1）
（2） 或
【分析】
（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解.
（2）设直线 的方程为： ，利用圆心到直线的距离即可求解.
人教版高一数学必修二第四章圆与方程(单元测试,含答案).doc
与方程姓名：班级:一、选择题(共8小题；共40分)1Mx2 +尸一4x + 6y = 0的圆心坐标是()A (2,3)B (-2,3) C(-2,-3) D(2,-3)2OO的百径是3,百线1与OO相交，圆心0到百线1的距离是d,贝M应满足()Ad > 3 B 15 < d < 3 C 0 < d < 15 Dd < 0 3圆(x — 2)2 + (y- l)2 = 4与圆(x + l)2 + (y- 2)2 = 9的公切线有()条A1 B 2 C3 D4 4从原点向圆x2 + y2 一12y + 27 = 0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A nB 2nC 4TTD 6TT5过点(1,1)的直线与圆(x - 2)2 + (y - 3)2 = 9相交于A, B两点，贝lj| AB |的最小值为() A2V3 B4 C2V5 D5 6已知圆C的半径为2, |员|心在x轴的正半轴上，直线3x + 4y + 4 = 0与圆C相切，贝I」圆C的方程为()Ax2 4-y2 - 2x - 3 = 0 B x2 4- y2 + 4x = 0Cx2 +y2 + 2x - 3 = 0 D x2 + y2 - 4x = 07耍在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范閘都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是()A6 B 5 C4 D38 已知圆:C1:(x-2)2 + (y-3)3 = 1,圆：C2:(x-3)2 + (y-4)2 = 9, M、N分别是圆C〔、C?上的动点，P为x轴上的动点,贝OIPMI + IPNI的最小值为()A5V2-4 B V17- 1 C6-2V2 D V17二、填空题(共7小题；共35分)9过点A(3,—4)与闘x2 +y2 = 25相切的直线方程是_______ .10如果单位圆X? +y2 = 1与圆C: (x — a)2 + (y - a)2 = 4相交，则实数a的取值范围为 ________ 11在空间直角坐标系,已知点A(l,0,2), B(l,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则点M的坐标是 _____ ・12已知圆C: (x-2)2+y2 = l.若直线y二k(x+l)上存在点P,使得过P向圆C所作的州条切线所成的角为夕则实数k的取值范闌为 _______ .13如图，以棱长为a的止方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间百角坐标系，若点P为对角线AB的点，点Q在棱CD上运动，则PQ的最小值为 .14在圆C:(x-2)2 + (y-2)2 = 8内,过点P(l,0)的最长的弦为AB,最短的弦为DE,贝9以边形ADBE的面积为____ •15据气象台预报：在A城正东方300km的海而B处有一台风心，正以每小时40km的速度向術北方向移动，在距台风心250km以内的地区将受其影响.从现在起经过约__________ h,台风将影响A城, 持续时间约为_______ h.(结果精确到Olh)三、解答题(共5小题；共65分)16若关于x, y的方程X? + y? - 4x + 4y + m = 0表示圆C.(1)求实数m的取值范围；(2)若圆C与圆M:x2 4-y2 = 2相离，求m的取值范囤.17已知圆C:x? + y? + 4x + 4y + m = 0,直线l:x + y 4- 2 = 0.(1)若I员IC与直线1相离，求m的取值范围；(2)若I员1D过点P(l,l), H.与恻C关丁•直线1对称，求I処D的方程.18如图，在平面直角坐标系xOy,点A(0,3),直线l:y = 2x-4.设圆C的半径为1,圆心在1上.(1)若圆心C也在直线y = x-l上，过点A作圆C的切线，求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA = 2M0,求圆心C的横坐标a的取值范|节|・19已知直线啲方程为2x+(l + m)y+2m = 0, m€R，点P的坐标为(-1,0).(1)求证：直线1恒过定点，并求出定点坐标；(2)求点P到直线1的距离的最大值；(3)设点P在直线1上的射影为点M, N的坐标为(2,1),求线段MN长的取值范闱.20 在平面直角坐标系xOy,已知圆Ci： (x + 3)2 + (y - I)2 = 4和圆C?： (x 一4)2 + (y — 5)2 = 4.(1)若直线1过点A(4,0), £L被圆C］截得的弦长为2孙，求直线啲方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂肖的肖线h和12,它们分别与圆C1 和圆C2相交，且直线h被圆C］截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点p的坐标.答案第一部分I D 2 C 3 B 4 B 5 B 6 D 7 C 8 A第二部分9 3x-4y = 2510 -—< a < H J C —< a < —」 2 22 2 II (0,-1,0) 12 ［一普，晋］13 yal4 4V615 20； 66第三部分 16 (1) |w|C 化简为(x- 2)2 4-(y + 2)2 = 8-m,所以8 — m > 0,即m V 8.(2)圆C 的圆心为(2,-2),半径为V8^ (m<8),圆M 的圆心为(0,0),半径为返,由题意，得圆心距大于两圆的半径和，则“22 + 22 + 解得6<m<8.17 (1)圆Ux?+y2+4x + 4y + m = 0即(x 4- 2)2 + (y + 2)2 = 8 - m.圆心C(-2,—2)到直线啲距离d =三|旦=V2,若圆C 与直线1相离，则d > r,所以 * = 8 — m < 2即 m > 6乂严=8 - m > 0即m V 8.故m 的取值范围是(6,8).(2)设圆D 的圆心D 的坐标为(xo ，y ())，由于圆C 的圆心C(_2,_2), 依题意知点D 和点C 关于直线1对称，解牡:0 所以圆D 的方程为x 2+y 2 = r 2,而r=|DP |=V2,因此，圆D 的方程为x 2+y 2 = 2.18 (1)由题设，I 员I 心C 是直线y = 2x- 4和y = x- 1的交点, 解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C 的切线方稈为y = kx + 3由题意，得解得：k=0或—孑 4故所求切线方程为{Xo-2 Yo+2Xo+2 + 竽+2 = 0x (-1) = -1I 3k + 1 |Vk 2 + 1y = 3 或3x + 4y — 12 = 0(2)因为圆心在直线y = 2x —4上，所以圆C的方程为(x — a)2 3 + ［y — 2 (a — 2)］2 = 1 设点M(x,y),因为MA = 2M0,所以Jx2 + (y — 3)2 = 2jx2 +y2, 化简得x? + y2 + 2y — 3 = 0,即x2 + (y + l)2 = 4, 所以点M在以D(0,-l)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x,y)在圆C上，所以圆(：与圆D有公共点，贝I」12-11 < CD <2 + 1, 即l<Va2 + (2a-3)2<3 整理，得—8 S 5a2— 12a S 0由5a2-12a + 8>0,得a G R;S5a2 - 12a < 0,得12所以点C的横坐标a的取值范闌为［0,y .19(1)由2x + (l + m)y+2m = 0得2x + y + m(y + 2) = 0,所以直线1恒过直线2x + y= 0与直线y + 2 = 0交点Q.解方程组炸暮律得Q(l，-2)，所以直线1恒过定点，且定点为Q(l,-2).2 设点P在直线1上的射影为点M,贝IJIPMI < |PQ|,当且仅当直线1与PQ垂直时,等号成立, 所以点P到直线1的距离的最大值即为线段PQ的长度为2逅.3因为直线1绕着点Q(l,-2)旋转，所以点M在以线段PQ为直径的I员1上，其I员I心为点C(O.-l)，半径为说，因为N的坐标为(2,1),所以|CN| = 2V2,从而V2 < |MN| < 3V2.20(1)由于直线x = 4与圆C］不相交，所以直线1的斜率存在.设直线1的方程为y = k(x - 4),圆C］的I员I心到直线1的距离为d, 乂因为直线1被I员©截得的弦长为2箱，所以|l-k(-3-4)| d = ------- , ----Vl + k 2 y = 0 或 7x + 24y - 28 = 0 (2)设点P(a,b)满足条件，不妨设直线h 的方程为y — b = k(x — a), k H 0, 则直线】2的方程为山点到直线的距离公式得 d = J22 - (V3)2 = 1从而即所以直线1的方程k(24k + 7) = 0, 7 241因为圆Ci和C2的半径相等，及宜线I】被圆C］截得的弦长与直线-被【员丄2截得的弦长相等，所以I 员IC］的|员］心到直线1］的距离和圆C2的國心到直线】2的距离相等,即|1 一k(-3 - a) - b| |5 + £ (4 — a) — b|整理得|1 + 3k + ak — bl = |5k + 4 — a — bk|,从而1 + 3k + ak — b = 5k + 4 — a - bk,(a + b — 2)k — b — a + 3, 因为k的取值有无穷多个，所以(a + b — 2 = 0,戒(a — b + 8 = 0, (b - a + 3 = 0 严ia + b-5 = 0 解得这样点P只可能是点P］ (I，-扌)或点卩2 (-!，¥)• 经检验点P］和P2满足题口条件.。
(完整版)高二数学-直线和圆的方程-单元测试(含答案).doc
高二直线和圆的方程单元测试卷班级： 姓名：一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线 l 经过 A （2， 1）、B （ 1，m 2） (m ∈ R)两点，那么直线 l 的倾斜角的取值范围是A ． [0, )B ． [ 0, ] [3 C ． [0, ], )444D ． [0, ](, ) 422. 如果直线 (2a+5) x+( a － 2)y+4=0 与直线 (2－ a)x+(a+3)y － 1=0 互相垂直，则 a 的值等于 A ． 2 B ．－ 2C ． 2,－ 2D ．2,0,－ 2 3.已知圆 O 的方程为 x 2＋ y 2＝ r 2，点 P （ a ，b ）（ ab ≠ 0）是圆 O 内一点，以P为中点的弦所在的直线为 m ，直线 n 的方程为 ax ＋by ＝ r 2，则A ．m ∥n ，且 n 与圆 O 相交B ． m ∥ n ，且 n 与圆 O 相 离C ． m 与 n 重合，且 n 与圆 O 相离D ．m ⊥ n ，且 n 与圆 O 相离4. 若直线 ax2by 2 0( a,b 0) 始终平分圆 x 2y 2 4x 2 y8 0 的周长，则12a b的最小值为A ．1B ． 5 C．4 2D ． 3 225. M (x 0 , y 0 ) 为 圆 x 2 y 2a 2 ( a 0) 内 异 于 圆 心 的 一 点 ， 则 直 线x 0 x y 0 y a 2 与该圆的位置关系为A ．相切 B．相交C．相离 D ．相切或相交6. 已知两点 M （ 2，－ 3）， N （－ 3，－ 2），直线 L 过点 P （ 1， 1）且与线段 MN 相交，则直线 L 的斜率 k 的取值范围是A ．3≤k ≤ 4B ． k ≥ 3或 k ≤－ 4C ． 3≤ k ≤ 4D ．－34444≤ k ≤45) 2 1)27. 过直线 y x 上的一点作圆 (x ( y 2 的两条切线 l 1， l 2 ，当直 线 l 1， l 2 关于 yx 对称时，它们之间的夹角为A ． 30oB ． 45oC ． 60oD ． 90ox y 1 01x 、yy1 0，那么 xy8满足条件4()的最大值为．如果实数2xy 1 0A ． 2B． 1C．1D．19 (0, a),1x 2 y224其斜率为 ，且与圆2相切，则 a 的值为．设直线过点Ａ．4Ｂ． 2 2Ｃ．2Ｄ．210．如图， l 1 、 l 2 、 l 3 是同一平面内的三条平行直线，l 1 与 l 2 间的距离是 1，l 2 与 l 3 间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l 1 、l 2 、l 3 上，则⊿ ABC的边长是A. 23 4 63 172 21B.3 C.4D.3一、选择题答案123 45 678910二、填空题： 本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．答案填在题中横线上．11．已知直线 l 1 : x y sin 1 0 ， l 2 : 2x siny 1 0 ，若 l 1 // l 2 ，则．12．有下列命题：①若两条直线平行，则其斜率必相等；②若两条直线的斜率乘积为－ 1, 则其必互相垂直；③过点（－ 1，1），且斜率为 2 的直线方程是y 1 2 ；x1④同垂直于 x 轴的两条直线一定都和 y 轴平行 ;⑤若直线的倾斜角为 ，则 0 .其中为真命题的有 _____________( 填写序号 ).13．直线 Ax ＋ By ＋C ＝ 0 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 相交于两点 M 、 N ，若满足 C 2＝ A 2＋ uuuuruuurB 2，则 OM · ON （ O 为坐标原点）等于 _ .14．已知函数 f ( x) x 22x 3 ，集合 Mx, y f ( x) f ( y) 0 ， 集 合 N x, y f ( x) f ( y) 0 ， 则 集 合 MN 的 面 积是；15．集合P ( x, y) | x y 5 0，x N*，y N*｝，Q ( x, y) | 2x y m 0 ，M x, y) | z x y ， ( x, y) ( P Q)，若z 取最大值时，M(3,1) ，则实数m的取值范围是；三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12 分）已知ABC 的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为6x 10 y 59 0， B 的平分线所在直线方程为x 4y 10 0 ，求BC 边所在直线的方程．17．（本小题满分12 分）某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3 千元， 2 千元。
圆与方程测试题
圆与方程测试题一：选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）(A)22 (B)4 (C)24 (D)23.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ） (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 55.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( D )(A) 222=+y x (B) 422=+y x(C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-17.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A 、x y 3=B 、x y 3-=C 、x y 33=D 、x y 33-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=49．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是A 、6πB 、4πC 、3πD 、2π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与 该圆的位置关系是（ ）A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 .12.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______.13.过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________.14.过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为 .15.两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数a 的值为三、解答题16.过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA 。
第四章圆与方程综合检测-附答案
第四章综合检测题时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下面表示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为( )A ．m ＜12B ．m ＜0C ．m ＞12D ．m ≤123．已知空间两点P 1(－1,3,5)，P 2(2,4，－3)，则|P 1P 2|等于( ) A.74 B ．310C.14D.534．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( )A ．(1，－2)，5B ．(1，－2)， 5C ．(－1,2)，5D ．(－1,2)， 55．圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝46．直线l ：x －y ＝1与圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定7．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)连线段PQ 中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝18．(2011～2012·北京东城区高三期末检测)直线l过点(－4,0)，且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l 的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝09．一束光线从点A(－1,1)发出，并经过x轴反射，到达圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是()A．4 B．5C．32－1 D．2 610．(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于() A．3 3 B．2 3C. 3 D．111．方程4－x2＝lg x的根的个数是()A．0 B．1C．2 D．无法确定12．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为()A．x＝1 B．y＝1C．x－y＋1＝0 D．x－2y＋3＝0二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．点P(3,4,5)关于原点的对称点是________．14．已知△ABC的三个顶点为A(1，－2,5)，B(－1,0,1)，C(3，－4,5)，则边BC上的中线长为________．15．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(0,5)，则过P作圆C 的切线有且只有________条．16．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)求经过点P(3,1)且与圆x2＋y2＝9相切的直线方程．[分析]提示一：将点P(3,1)代入圆的方程得32＋12＝10>9，所以点P在圆外，可设过点P的圆的切线斜率为k，写出点斜式方程再化为一般式．根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质，由点到直线的距离公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所设切线方程即可．提示二：直线与圆相切，就是直线与圆有唯一公共点，于是将两曲线方程联立所得的方程组有唯一解，从而方程判别式Δ＝0，由此解得k值，然后回代所设切线方程即可．18．(本题满分12分)(2011～2012·宁波高一检测)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．19．(本小题满分12分)已知实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值．20．(本题满分12分)已知直线l1：x－y－1＝0，直线l2：4x＋3y ＋14＝0，直线l3：3x＋4y＋10＝0，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．[分析]设出圆心坐标和半径，利用圆的几何性质求解．21．(本题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．[分析](1)对切线的斜率是否存在分类讨论；(2)设出P的坐标，代入平面内两点间的距离公式，化简得轨迹方程．22．(本题满分12分)已知圆P：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)，满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1.求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时，圆的方程．[分析]根据条件可以判断出圆P被x轴截得的劣弧的圆心角为90°，建立起r ，a ，b 之间的方程组，然后解出相应的a ，b ，r 间的关系，最后借助于一元二次函数解决．详解答案1[答案] C[解析] 根据空间直角坐标系的规定可知(1)(2)(4)都正确，(3)中，Oy 轴的正向应为负向，∴选C.2[答案] A[解析] (－1)2＋12－4m ＞0，∴m ＜12，故选A.3[答案] A[解析] |P 1P 2|＝(－1－2)2＋(3－4)2＋(5＋3)2＝74.4[答案] D[解析] 圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心是(－1,2)，半径为 5.5[答案] D[解析] 由圆的标准方程得圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4. 6[答案] C[解析] 圆C 的圆心为C (2,0)，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1|2＝22<2，所以圆与直线相交． 7[答案] C[解析] 设PQ 中点坐标为(x ，y )，则P (2x －3,2y )代入x 2＋y 2＝1得(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C.8[答案] D[解析] 由题意，得圆心C (－1,2)，半径r ＝5，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2＋(y －2)2＝25，x ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝6，即此时与圆C 的交点坐标是(－4，－2)和(－4,6)，则|AB |＝8，即x ＋4＝0符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx－y ＋4k ＝0，圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k －2＋4k |k 2＋1＝|3k －2|k 2＋1，又|AB |＝2r 2－d 2，所以225－(|3k －2|k 2＋1)2＝8，解得k ＝－512，则直线l 的方程为－512x －y ＋4×(－512)＝0，即5x ＋12y ＋20＝0.9[答案] A[解析] 点A 关于x 轴的对称点是A ′(－1，－1)，圆心C (2,3)，半径r ＝1，则|A ′C |＝(－1－2)2＋(－1－3)2＝5，则最短路程是|A ′C |－r ＝5－1＝4.10[答案] B[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.11[答案] B[解析] 设f (x )＝4－x ，g (x )＝lg x ，则方程根的个数就是f (x )与g (x )两个函数图象交点的个数．如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象．由图可得函数f (x )＝4－x 2与g (x )＝lg x 仅有1个交点，所以方程仅有1个根．12[答案] D[解析] 当CM ⊥l ，即弦长最短时，∠ACB 最小，∴k l ·k CM ＝－1，∴k l ＝12，∴l 的方程为：x －2y ＋3＝0.[点评] 过⊙C 内一点M 作直线l 与⊙C 交于A 、B 两点，则弦AB 的长最短⇔弦AB 对的劣弧最短⇔弦对的圆心角最小⇔圆心到直线l 的距离最大⇔CM ⊥l ⇔弦AB 的中点为M ，故以上各种说法反映的是同一个问题．13[答案] (－3，－4，－5)[解析] ∵点P (3,4,5)与P ′(x ，y ，z )的中点为坐标原点， ∴P ′点的坐标为(－3，－4，－5)．14[答案] 2[解析] BC 的中点为D (1，－2,3)，则|AD |＝(1－1)2＋(－2＋2)2＋(5－3)2＝2.15[答案] 2[解析] 由C (1，－2)，r ＝2，则|PC |＝12＋(－2－5)2＝52>r ＝2，∴点P 在圆C 外，∴过P 作圆C 的切线有两条．16[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] ∵⊙A ：(x －6)2＋(y －6)2＝18的圆心A (6,6)，半径r 1＝32，∵A 到l 的距离52，∴所求圆B 的直径2r 2＝22，即r 2＝ 2.设B (m ，n )，则由BA ⊥l 得n －6m －6＝1， 又∵B 到l 距离为2，∴|m ＋n －2|2＝2， 解出m ＝2，n ＝2.故其方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.17[解析] 解法一：当过点P 的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k ，由点斜式可得切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋1＝0， ∴|－3k ＋1|k 2＋1＝3，解得k ＝－43. 故所求切线方程为－43x －y ＋4＋1＝0，即4x ＋3y －15＝0.当过点P 的切线斜率不存在时，方程为x ＝3，也满足条件． 故所求圆的切线方程为4x ＋3y －15＝0或x ＝3.解法二：设切线方程为y －1＝k (x －3)，将方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －3)，x 2＋y 2＝9，消去y 并整理得 (k 2＋1)x 2－2k (3k －1)x ＋9k 2－6k －8＝0.因为直线与圆相切，∴Δ＝0，即[－2k (3k －1)]2－4(k 2＋1)(9k 2－6k －8)＝0.解得k ＝－43.所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.又过点P (3,1)与x 轴垂直的直线x ＝3也与圆相切，故所求圆的切线方程为4x ＋3y －15＝0或x ＝3.[点评] 若点在圆外，所求切线有两条，特别注意当直线斜率不存在时的情况，不要漏解．18[解析] 以D 为原点建立如图所示坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a 2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a 2，a )，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得：|MN |＝(a 2－a 4)2＋(a 2－34a )2＋(a 2－a )2＝64a .[点评] 空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离公式求解．19[解析] 设x ＋y ＝t ，则直线y ＝－x ＋t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点∴|3＋3－t |2≤6，∴6－23≤t ≤6＋2 3 因此x ＋y 最小值为6－23，最大值为6＋2 3.20[解析] 设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ，则点C 到直线l 2的距离d 1＝|4a ＋3(a －1)＋14|5＝|7a ＋11|5.点C 到直线l 3的距离是d 2＝|3a ＋4(a －1)＋10|5＝|7a ＋6|5. 由题意，得⎩⎨⎧|7a ＋11|5＝r ，(|7a ＋6|5)2＋32＝r 2.解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25. 21[解析] 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |.∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.22[解析] 如下图所示，圆心坐标为P (a ，b)，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |. ∵圆P 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，∴∠APB ＝90°.取AB的中点D，连接PD，则有|PB|＝2|PD|，∴r＝2|b|.取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE.∵圆截y轴所得弦长为2，∴|EC|＝1，∴1＋a2＝r2，即2b2－a2＝1.则a2－b2－2b＋4＝b2－2b＋3＝(b－1)2＋2.∴当b＝1时，a2－b2－2b＋4取得最小值2，此时a＝1，或a＝－1，r2＝2.对应的圆为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.∴使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时，对应的圆为(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.[点评](1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d ＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有(l2)2＋d2＝r2.。
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.圆心为点，且经过原点的圆的方程为【答案】【解析】由于圆过原点，，所以圆的标准方程.【考点】圆的标准方程2.圆的圆心和半径分别（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将圆配方得：，故知圆心为（2，-1），半径为，所以选A【考点】圆的一般方程.3.圆的面积为；【答案】【解析】写成标准方程,所以,那么圆的面积公式等于.【考点】圆的标准方程与圆的一般方程4.圆的方程过点和原点，则圆的方程为；【答案】【解析】设圆的一般方程为,将三点代入得：,解得,所以圆的方程为.【考点】求圆的方程5.已知，则以线段为直径的圆的方程为；【答案】【解析】,,圆心为中点，圆心，所以圆的方程为.【考点】求圆的标准方程6.已知圆方程.（1）若圆与直线相交于M，N两点，且（为坐标原点）求的值；（2）在（1）的条件下，求以为直径的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】首先确定方程表示圆时应满足的条件；设，，利用韦达定理，建设立关于的方程,解方程可得的值.在（1）的条件下,以为直径的圆过原点,利用韦达定理求出的中点,从而也就易于求出半径,得到圆的方程.试题解析：解：（1）由得:2分于是由题意把代入得 3分， 4分∵得出： 5分∴∴ 8分（2）设圆心为.9分半径 12分圆的方程 13分【考点】1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系；3、韦达定理的应用；4、向量垂直的条件．7.已知，则以为直径的圆的方程是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆心为AB的中点，为。
直径为，半径为，所以所求的圆的方程是。
故选A。
【考点】圆的标准方程点评：要得到圆的标准方程，需求出圆的圆心和半径。
8.当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，半径为的圆是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】变形为，令得，定点，所以圆的方程为【考点】直线方程过定点及圆的方程点评：带参数的直线方程一定过定点，求定点时将含有参数的整理到一起，不带参数的整理到一起，化为的形式可求得定点9.求经过三点A，B(), C（0，6）的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.【答案】，圆心坐标是.【解析】解：设所求圆的方程为 2分点A，B(), C（0，6）的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得 6分解得： 8分于是得所求圆的方程为： 10分圆的半径圆心坐标是. 12分【考点】圆的一般方程点评：此题考查了圆的一般方程，求圆方程的方法为待定系数法，此方法是先设出圆的一般方程，然后把已知的点代入到所设的方程中确定出圆方程中字母的值，从而确定出圆的方程10.已知圆过点 A(1, 1)和B (2, -2),且圆心在直线x - y +1=0上，求圆的方程____.【答案】【解析】根据圆的几何性质可知圆心是AB的垂直平分线与直线x-y+1=0的交点.因为AB的垂直平分线方程为,即.由得,所以圆心坐标为(-3,-2),半径为5,所以所求圆的方程为.11.若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（）A．．B．．C．D．【答案】B【解析】解：因为表示圆，则说明，解得，选B12.( 本小题满分14)已知点A（-4，-5），B（6，-1），求以线段AB为直径的圆的方程。
中职数学直线与圆的方程单元测试含参考答案
中职数学直线与圆的方程单元测试（一）含参考答案一、单项选择题1．已知A(2，3)，B(2，5），则线段AB 的中点坐标为（ ）A ．(1，2) B.（0,－1） C ．(0，－2) D ．(2，4)2．若直线l 的倾斜角是o 120，则该直线的斜率是（ ）A ．－1B ．0 C.3- D ．33．已知33+-=x y ，斜率为( )．A ．3B ．－3C ．－1D ．04．直线012=--y x 在y 轴上的截距为( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．经过点P(l ，3)，且斜率为2的直线方程是( )。
A ．012=++y xB ．012=+-y xC ．012=--y xD ．052=++y x6．直线x y 5=与直线3-=ax y 平行，则a ＝( )．A ．-1B ．0C ． 1D ．57．直线52-+y x =0与直线x ＝3的交点坐标为( )．A. (3,1)B. (1,3)C. (3,2)D. (2,3)8．点M(-3，1)到直线0543=-+y x 的距离为( )．A ．2-B ．1-C ． 2D ．19．圆心为C(2，-1)，半径为3的圆的方程为( )．A ．9)1(222=-++y x ）（B ．3)1(222=-++y x ）（ C ．9)1(222=++-y x ）（ D ．3)1(222=++-y x ）（10.圆6)5(222=++-y x ）（的圆心坐标与半径分别是( )A ．），（52-，6=rB ．），（52-，6=r C ． ），（52-，6=r D ．），（52-，6=r 11. 直线02=+-m y x 过圆046422=+--+y x y x 的圆心，则m ＝( )．A ．1B ．0C ．1-D ．212.经过圆25)2(122=-++y x ）（的圆心且与直线04=--y x 垂直的直线方程为( )A ．01=++y xB ．01=+-y xC ．01=-+y xD ．01=+-y x二、填空题13．已知两点A(0，6)，B （－8，0），则线段AB 的长度为14．倾斜角为45。
圆与方程试题及答案
圆与方程试题及答案1.圆(x+2)^2+y^2=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为（B）x+(y-2)^2=5.2.若P(2,-1)为圆(x-1)^2+y^2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（A）x-y-3=0.3.圆x+y-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（C）1+√2.4.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x^2+y^2+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（B）-2或8.5.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（C）3条。
6.圆x+y-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（B）x+3y-4=0.二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x^2+y^2+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是（2）2.2.由动点P向圆x^2+y^2=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为（x^2+y^2-1)^2=3(x^2+y^2).3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(-2,-4)、B(2,4)，则圆C的方程为（x-3)^2+(y+1)^2=9.4.已知圆(x-3)^2+y^2=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为2，则圆C的方程为（x-3)^2+(y-kx)^2=4+k^2.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a^2+b^2-2a-2b+2的最小值。
解：因为点P在直线x+y+1=0上，所以a+b+1=0，即a=-b-1.将a=-b-1代入a^2+b^2-2a-2b+2中，得到a^2+b^2-2a-2b+2=2b^2+2b+4，这是关于b的二次函数，因此最小值为该函数的顶点，即b=-1，此时a=0，所以最小值为6.2.求以A(-1,2)、B(5,-6)为直径两端点的圆的方程。
解：圆的直径AB的中点为M(2,-2)，半径为AM的长度，即√((2-(-1))^2+(-2-2)^2)=√26/2，所以圆的方程为(x-2)^2+(y+2)^2=13.3.求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x-2y-1=0相切的圆的方程。
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第四章单元测试题(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( ) A．相离B．相交C．外切D．内切2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝03．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( ) A．1，－1 B．2，－2C．1 D．－14．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是( )A．x＋6y－10＝0 x－2y＋10＝0C．x－6y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝05．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是( )A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1)C．(3，－3，－1) D．(3,3,1)6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝( )A．5C．107．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )或－ 3 和－28．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是( )A．4 B．3C．2 D．19．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是( ) A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝010．圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心在直线x ＋y －4＝0上，那么圆的面积为( )A ．9π B．πC ．2π D．由m 的值而定11．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝112．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，512)B ．(512，＋∞)C ．(13，34]D ．(512，34]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________． 14．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________．15．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________． 16．直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于__________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．18．(12分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A ，B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．19．(12分)已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．20．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．21．(12分)已知⊙C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上动点，求d ＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．22．(12分)已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明曲线C过定点；(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．答案：1.解析：将圆x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，化为标准方程得(x －3)2＋(y －4)2＝16.∴两圆的圆心距0－32＋0－42＝5，又r 1＋r 2＝5，∴两圆外切．答案：C2.解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0.答案：A3.解析：圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|1＋a2＋1＝1，即|a ＋2|＝a ＋12＋1，平方整理得a ＝－1.答案：D4.解析：∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62，∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63， 故切线方程为y －6＝－63(x －2)，即2x ＋6y －10＝0.答案：D 5.解析：点M (3，－3,1)关于xOz 平面的对称点是(3,3,1)．答案：D6.解析：依题意得点A (1，－2，－3)，C (－2，－2，－5)．∴|AC |＝－2－12＋－2＋22＋－5＋32＝13.答案：B7.解析：由题意知，圆心O (0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离为12，∴11＋k 2＝12，∴k ＝± 3. 答案：C8.解析：两圆的方程配方得，O 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，O 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心O 1(－2,2)，O 2(2,5)，半径r 1＝1，r 2＝4，∴|O 1O 2|＝2＋22＋5－22＝5，r 1＋r 2＝5.∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B9.解析：依题意知，直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2，∴l 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：A10.解析：∵x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0，∴[x －(2m ＋1)]2＋(y －m )2＝m 2.∴圆心(2m ＋1，m )，半径r ＝|m |.依题意知2m ＋1＋m －4＝0，∴m ＝1.∴圆的面积S ＝π×12＝π.答案：B11.解析：设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.答案：C 12.解析：如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)，当直线l 与半圆相切时，有|－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512.当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34.因此，k 的取值范围是512<k ≤34.答案：D13.解析：圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5，∴所求的最小值为4.答案：4 14.解析：r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝215.解析：已知方程配方得，(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案：②16.解析：由x 2＋y 2－6x －2y －15＝0，得(x －3)2＋(y －1)2＝25.圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1|5＝ 5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝4 5.答案：4517.解：解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 点轨迹方程是以M (2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内)．18.解：由圆M 与圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M (m ，－2)，N (－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB 的方程为 2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0. ∵A ，B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，∴AB 过点N (－1，－1)， ∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0， 解得m ＝－1.故圆M 的圆心M (－1，－2)．19.解：设两圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0x 2＋y 2－2x －2y ＝0的解，两方程相减得：x ＋y －3＝0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程， ∴x ＋y －3＝0为所求． 将圆C 2的方程化为标准形式， (x －1)2＋(y －1)2＝2， ∴圆心C 2(1,1)，半径r ＝ 2. 圆心C 2到直线AB 的距离d ＝|1＋1－3|2＝12， |AB |＝2r 2－d 2＝22－12＝ 6. 即两圆的公共弦长为 6.20.解：如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2， 化简得点P 的轨迹方程为：2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21.解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 02＋(x 0－1)2＋y 02＝2(x 02＋y 02)＋2.欲求d 的最大、最小值，只需求u ＝x 02＋y 02的最大、最小值，即求⊙C 上的点到原点距离的平方的最大、最小值．作直线OC ，设其交⊙C 于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 如图所示．则u 最小值＝|OP 1|2＝(|OC |－|P 1C |)2＝(5－1)2＝16.此时，x 13＝y 14＝45，∴x 1＝125，y 1＝165.∴d 的最小值为34，对应点P 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，165. 同理可得d 的最大值为74，对应点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫185，245. 22.解：(1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5，消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径， 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2， ∴k ＝5±3 5.。